Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
Flexão OBJETIVOS DO CAPÍTULO Vigas e eixos são importantes elementos estruturais e mecânicos usados em projetas de engenharia. Neste capítulo, determinaremos a tensão provocada nesses elementos por conta da flexão. O capítulo começa com uma discussão sobre como construir os diagramas de força cortante e momento fletor para uma viga ou eixo. Assim como os diagramas de força normal e de torque, os diagramas de força cortante e momento fletor proporcionam um meio útil para determinar a maior força de cisalhamento e o maior momento em um elemento e especificam onde esses máximos ocorrem. Uma vez determinado o momento interno em uma seção, a tensão de flexão pode ser calculada. Em primeiro lugar, consideraremos elementos retos, com seção transversal simétrica e feitos de materiais homogêneos lineares elásticos. Em seguida, discutiremos casos especiais que envolvem flexão assimétrica e elementos feitos de materiais compósitos. Ta mbém consideraremos elementos curvos, concentrações de tensão, flexão inelástica e tensões residuais. 6.1 Diagramas de força cortante e momento fletor Viga simplesmente apoiada Elementos delgados que suportam carregamentos aplicados perpendicularmente a seu eixo longitudinal são denominados vigas. Em geral, vigas são barras longas e retas com área de seção transversal constante e classificadas conforme o modo como são apoiadas. Por exemplo, uma viga simplesmente apoiada é suportada por um apoio fixo em uma extremidade e um apoio móvel (ou rolete) na outra extremidade (Figura 6.1), uma viga em balanço é engastada em uma extremidade e livre na outra, e uma viga apoiada com extremidade em balanço é uma viga na qual uma ou ambas as extremidades ultrapassam livremente os apoios. As vigas certamente podem ser consideradas entre os mais importantes de todos os elementos estruturais. Citamos como exemplo elementos utilizados para suportar o piso de um edifício, a plataforma de uma ponte ou a asa de um avião. Além disso, o eixo de um automóvel, a lança de um guindaste e até mesmo muitos dos ossos do corpo humano agem como vigas. Por conta dos carregamentos aplicados, as vigas desenvolvem uma força de cisalhamento interna (força cortante) e momento fletor que, em geral, variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga. Para projetar . uma viga corretamente, em primeiro lugar, é necessá:t determinar a força de cisalhamento e o momento maXlmos que agem na viga. Um modo de fazer isso é expressar V e M em função de uma posição arbitrária x ao longo do eixo da viga. Então, essas funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em Viga em balanço Viga apoiada com uma extremidade em balanço Figura 6.1 gráficos denominados diagramas de força cortante e momento fletor. Os valores máximos tanto de V quanto de M podem ser obtidos desses gráficos. Além disso, uma vez que fornecem informações detalhadas sobre a variação do cisalhamento e do momento ao longo do eixo da viga, os diagramas de força cortante e momento fletor são frequentemente usados pelos engenheiros para decidir onde colocar materiais de reforço no interior da viga ou como calcular as dimensões da viga em vários pontos ao longo de seu comprimento. Na Seção 1.2, utilizamos o método das seções para determinar o carregamento interno de um elemento em um ponto específico. Todavia, se tivermos de determinar V e M internos em função de x ao longo de uma viga, então será necessário localizar a seção ou corte imaginário a uma distância arbitrária x da extremidade da viga e formular VeM em termos de x. Nesse
182 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS sentido, a escolha da origem e da direção positiva para qualquer distância x selecionada é arbitrária. Entretanto, na maioria das vezes, a origem é localizada na extremidade esquerda da viga e a direção positiva é da esquerda para a direita. Em geral, as funções de cisalhamento interno e momento fletor obtidas em função de x serão descontínuas, ou seja, suas inclinações serão descontínuas em pontos nos quais uma carga distribuída muda ou onde são aplicadas forças concentradas ou conjugados. Por essa razão, as funções de cisalhamento e momento fletor devem ser determinadas para cada região da viga localizada entre quaisquer duas descontinuidades de carregamento. Por exemplo, as coordenadas x1, x2 e x3 terão de ser usadas para descrever a variação de V e M em todo o comprimento da viga na Figura 6.2. Essas coordenadas serão válidas somente dentro das regiões de A a B para xl' de B a C para x2 e de C a D para e x3• Convenção de sinal para vigas. Antes de apresentar um método para determinar o cisalhamento e o momento em função de x e, então, construir um gráfico dessas funções (diagramas de força cortante e momento fletor), é necessário estabelecer uma convenção de sinal de modo a definir força cortante interna e momento fletor como "positivos" e "negativos". Embora a escolha de uma convenção de sinal seja arbitrária, aqui adotaremos a convenção frequentemente utilizada na prática da engenharia e mostrada na Figura 6.3. As direções positivas são as seguintes: a carga distribuída age para baixo na viga; a força cortante interna Figura 6.2 w(x) rffilTTm Carga distribuída positiva v v + t Cisalhamento interno positivo M M Momento interno positivo Convenção de sinal para a viga Figura 6.3 provoca uma rotação em sentido horário no segmento da viga sobre o qual age; e o momento interno causa compressão nas fibras superiores do segmento de forma que a flexão deste faz com que ele retenha água. Carregamentos opostos a esses são considerados negativos. " Vigas são elementos longos e retas que s:uportam cargas perpendiculàreã' a seu eix:cdongitudin:al. Elas são classifiCádas de acordo com o modo como são apoiadas, por exemplo, sil:uplesmente apoiaQ!lS, em Jjaltnç0 ou apoiadas com uma extremidade em balanço. . . . • Para projetar adequadament uma viga , é importante conht:C!'l.r a . ariação do cisá:tl?:eríto .e do mofllento f!etor 9 v l' longo de seu eixo, de modo a determin:ar os pontos onc1e esse&,yal0res são máximo· ..•. . . . .· . .. · · • Cofll a d termin:ação de umaconve ção de :>in:alp ra isalhe Jil to e. omento P8i!iY:os,
- Page 146 and 147: TORÇÃO 131 15?T 3 TI - --7 'C - 3
- Page 148 and 149: ToRçÃo 133 ílme1'10 em newtons-m
- Page 150 and 151: TORÇÃO 135 *5.12. O eixo maciço
- Page 152 and 153: TORÇÃO 137 Considere o problema g
- Page 154 and 155: TORÇÃO 139 Problema 5.41 o motor
- Page 156 and 157: ToRÇÃO 141 X +(x) '\0-( [(+r(,) .
- Page 158 and 159: ToRÇÃO 143 Visto que a resposta
- Page 160 and 161: ToRÇÃo 145 "' ng u lugar e ] é c
- Page 162 and 163: ToRÇÃO 147 F Problema 5.49 11 !10
- Page 164 and 165: TORÇÃO 149 z s ' - \ O,S m P1·ob
- Page 166 and 167: TORÇÃO 151 t Carga e deslocamento
- Page 168 and 169: ToRÇÃO 153 Aphcan oa . d relaçã
- Page 170 and 171: TORÇÃO 155 B A Problema 5.87 Prob
- Page 172 and 173: ToRçÃo 157 T OBSERVAÇÃO: Compar
- Page 174 and 175: ToRÇÃo 159 pode-se fazer uma simp
- Page 176 and 177: ToRÇÃo 161 na Seção 5.4, esses
- Page 178 and 179: TORÇÃO 163 A m l,Smy/ B Problema
- Page 180 and 181: TORÇÃO 165 0 tubo simétrico é f
- Page 182 and 183: TORÇÃO 167 'Y m áx Distribuiçã
- Page 184 and 185: 2'll' rrl dp lo ) c lo Pe Pe 1 c Pe
- Page 186 and 187: ToRÇÃO 171 SOLUÇÃO Torque elás
- Page 188 and 189: ToRçÃo 173 torque plástico T P n
- Page 190 and 191: ToRçÃo 175 30mm 30 mm Pt·oblema
- Page 192 and 193: ToRÇÃO 177 ' a! elástico-plastlc
- Page 194 and 195: TORÇÃO 179 Se 0 torque aplicado f
- Page 198 and 199: FLEXÃO 183 • Secione a viga perp
- Page 200 and 201: FLEXÃO 185 Funções de cisalhamen
- Page 202 and 203: Escolhendo a raiz positiva, Assim,
- Page 204 and 205: FLEXÃO 189 (a) (b) Mudança no mom
- Page 206 and 207: FLEXÃO 191 o procedimento descrít
- Page 208 and 209: Wo t---4,5 m------>1 (a) 2kN/m FLEX
- Page 210 and 211: FLEXÃO 195 Represente graficamente
- Page 212 and 213: FLEXÃO 197 Problema 6.9 6.10. O gu
- Page 214 and 215: 198 RESISTNCIA DOS MATERIAIS Proble
- Page 216 and 217: 200 RESISTÉ':NCIA DOS MATERIAIS 6.
- Page 218 and 219: 202 RESISTNCIA DOS MATERIAIS y (a)
- Page 220 and 221: 204 RESISTNCIA DOS MATERIAIS y Vari
- Page 222 and 223: •• • 206 RESISTÊNCIA DOS MAT
- Page 224 and 225: 208 RESISTNCIA DOS MATERIAIS A viga
- Page 226 and 227: 21 Ü RESISTtNCIA DOS MATERIAIS 6.4
- Page 228 and 229: 212 RESISTNCIA DOS MATERIAIS 125 75
- Page 230 and 231: • 214 RESISTNCIA DOS MATERIAIS pi
- Page 232 and 233: 216 RESISTNCIA DOS MATERIAIS 6.5 Fl
- Page 234 and 235: 218 RESISTi!:NCIA DOS MATERIAIS y y
- Page 236 and 237: 220 RESISTÉ':NCIA DOS MATERIAIS Pr
- Page 238 and 239: 222 RESISTÉÕNCIA DOS MATERIAIS z
- Page 240 and 241: 224 RESISTÍ:NCIA DOS MATERIAIS in
- Page 242 and 243: 226 RESISTNCIA DOS MATERIAIS y X (a
- Page 244 and 245: 228 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS - 2:-
182 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS<br />
sentido, a escolha da origem e da direção positiva para<br />
qualquer distância x selecionada é arbitrária. Entretanto,<br />
na maioria das vezes, a origem é localizada na<br />
extremidade esquerda da viga e a direção positiva é da<br />
esquerda para a direita.<br />
Em geral, as funções de cisalhamento interno e momento<br />
fletor obtidas em função de x serão descontínuas,<br />
ou seja, suas inclinações serão descontínuas em pontos<br />
nos quais uma carga distribuída muda ou onde são aplicadas<br />
forças concentradas ou conjugados. Por essa razão,<br />
as funções de cisalhamento e momento fletor devem ser<br />
determinadas para cada região da viga localizada entre<br />
quaisquer duas descontinuidades de carregamento. Por<br />
exemplo, as coordenadas x1, x2 e x3 terão de ser usadas<br />
para descrever a variação de V e M em todo o comprimento<br />
da viga na Figura 6.2. Essas coordenadas serão<br />
válidas somente dentro das regiões de A a B para xl' de<br />
B a C para x2 e de C a D para e x3•<br />
Convenção de sinal para vigas. Antes de<br />
apresentar um método para determinar o cisalhamento<br />
e o momento em função de x e, então, construir um<br />
gráfico dessas funções (diagramas de força cortante e<br />
momento fletor), é necessário estabelecer uma convenção<br />
de sinal de modo a definir força cortante interna<br />
e momento fletor como "positivos" e "negativos".<br />
Embora a escolha de uma convenção de sinal seja arbitrária,<br />
aqui adotaremos a convenção frequentemente<br />
utilizada na prática da engenharia e mostrada na Figura<br />
6.3. As direções positivas são as seguintes: a carga distribuída<br />
age para baixo na viga; a força cortante interna<br />
Figura 6.2<br />
w(x)<br />
rffilTTm<br />
Carga distribuída positiva<br />
v v<br />
+ t<br />
Cisalhamento interno positivo<br />
M M<br />
Momento interno positivo<br />
Convenção de sinal para a viga<br />
Figura 6.3<br />
provoca uma rotação em sentido horário no segmento<br />
da viga sobre o qual age; e o momento interno causa<br />
compressão nas fibras superiores do segmento de forma<br />
que a flexão deste faz com que ele retenha água. Carregamentos<br />
opostos a esses são considerados negativos.<br />
" Vigas são elementos longos e retas que s:uportam cargas perpendiculàreã' a seu eix:cdongitudin:al. Elas são classifiCádas<br />
de acordo com o modo como são apoiadas, por exemplo, sil:uplesmente apoiaQ!lS, em Jjaltnç0 ou apoiadas com<br />
uma extremidade em balanço. .<br />
. .<br />
• Para projetar adequadament uma viga , é importante conht:C!'l.r a . ariação do cisá:tl?:eríto .e do mofllento f!etor 9<br />
v<br />
l'<br />
longo de seu eixo, de modo a determin:ar os pontos onc1e esse&,yal0res são máximo· ..•. .<br />
.<br />
. .· . .. · ·<br />
• Cofll a d termin:ação de umaconve ção de :>in:alp ra isalhe Jil to e. omento<br />
P8i!iY:os,