Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

TORÇÃO 127
de cisalhamento na seção transversal de um
ou tubo circular.
.
,
.
_
material for hnear elast1co, entao a le1 de
o A '
se aplica, r = Gy, e, por consequencta, uma v a-
linear na deformação por cisalhamento, como
na seção anterior, resulta em uma variação
na tensão de cisalhamento correspondente ao
de qualquer linha radial na seção transversal.
(,, ·ectuentemente, assim como ocorre com a defor-
.. ons . .
por cisalhamento para um 1xo ma 1ço, .
r vade
zero na linha central do e1xo longltudmal a
um valor máximo r máx na superfície externa. Essa v a-
é mostrada na Figura 5.5, nas faces anteriores
de vários elementos selecionados localizados em uma
radial intermediária p e no raio externo c. Pela
proporcionalidade de t iângulos, ou pela lei de Hooke
('r Gy) e pela Equaçao 5.2 [y = (p/c)ymáJ, podemos
escrever
.
Visto que r má) c é constante,
(5.4)
(5.5)
A integral nessa equação depende somente da geometria
do eixo. Ela representa o momento polar de
inércia da área da seção transversal do eixo calculada
em torno da linha central longitudinal do eixo. Esse
valor será representado pelo símbolo J e, portanto, a
Equação 5.5 pode ser escrita de uma forma mais compacta,
a saber,
Te
rmáx = J (5.6)
(5.3)
Essa equação expressa a distribuição da tensão de
cisalhamento em função da posição radial p do elemento;
em outras palavras, define a distribuição da tensão
na seção transversal em termos da geometria do eixo.
lJsando essa equação, aplicaremos agora a condição
que exige que o torque produzido pela distribuição de
tensão por toda a seção transversal seja equivalente ao
Iorque interno resultante T na seção, o que mantém
o eixo em equilíbrio (Figura 5.5). Especificamente,
euda elemento de área dA, localizado em p, está sujeito
a uma força dF = r dA. O torque produzido por
essa força é dT = p( r dA). Portanto, para toda a seção
transversal, temos
onde
r máx = a tensão de cisalhamento máxima no eixo, que
ocorre na superfície externa
T = torque interno resultante que age na seção
transversal. Seu valor é determinado pelo método
das seções e pela equação de equilíbrio
de momento aplicada ao redor da linha central
longitudinal do eixo
J = momento polar de inércia da área da seção
transversal
c = raio externo do eixo
Pelas equações 5.3 e 5.6, a tensão de cisalhamento
na distância intermediária p pode ser determinada por
uma equação semelhante:
Tp
r=- J
(5.7)
Qualquer uma das duas equações citadas é frequentemente
denominada fórmula da torção. Lembre-se
de que ela só é usada se o eixo for circular e o material
for homogêneo e comportar-se de uma maneira linear
elástica, visto que a dedução da fórmula se baseia no
fato de a tensão de cisalhamento ser proporcional à
deformação por cisalhamento.
A tensão de cisalhamento varia linearmente
ao longo de cada linha radial da seção transversal.
Figura 5.5
Eixo maciço.
Se o eixo tiver uma seção transversal
circular maciça, o momento polar de inércia J pode
ser determinado por meio de um elemento de área na
forma de um anel diferencial, de espessura dp e circunferência
21Tp (Figura 5.6). Para esse anel, dA = 21Tp dp,
portanto,
J = 1
p 2 dA = 1>(27Tp dp) = 27T 1c p 3 dp = 27T( )p 4 1: