Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
CARGA AXIAL 113 ocotr.em em séçães onde a área dà sção transversal. nruda tepentjvàmente, Qt1aU:to tn(\is · · · maior a concentração de tensão. IJ:nálise, basta determinar a tensão máxima que age sobre a menor árl}a de seção .tran:;;versal: Para um fa tor de conc;entração de. tensão, K, que foi determinado por t11eios experimentais e tí função do corpo de prova. oncentração de tensão em um corpo de prova dúctil submetido a um.carregamento estático não tsídtentoa no projeto. Todavia, se o material for frágil ou estiver sujeito a carregamentos ele fa diga, as dé tensão se tornarão impol'tantes. As dimensões da barra de aço são mostradas na Figura 426. Se a tensão admissível for uadm = 115 MPa, determine a maior força axial P que a barra pode suportar. SOLUÇÃO 10 mm 1 ! - p t t p Figura 4.26 Como há um filete de rebaixo, o fator de concentração de tensão pode ser determinado pelo gráfico na Figura 4.24. O cálculo elos parâmetros geométricos necessários dá Portanto, elo gráfico !__ = 10 mm = O 50 n 20 mm ' w = 40 mm h 20 mm =2 k = 1,4 O cálculo da tensão normal média na menor seção transversal dá p 2 (20 mm)(10 mm) = O,OOSP N/mm A aplicação da Equação 4.7 com u = u , produz adm max (T adm = [( (T méd 115N/mm2 = 1,4(0,0005P) P = 16,43(103) N = 16,43 KN Resposta A tira de aço mostrada na Figura 4.27 está sujeita a uma carga axial de 80 kN. Determine a tensão normal máxima desenvolvida na tira e o deslocamento de uma de suas extremidades em relação à outra. A tensão de escoamento do aço é ue = 700 MPa e Eaço = 200 GPa. A 40 mm B C D I fi, 20 mm 80 kN -l·. . ' - I ?lb 80 kN SOLUÇÃO I f' IS.._ -- • ----.----- ·--;,, ----"" 10 mm ----r-\ 00 mm I 800 mm -300 mm-1 7" Figura 4.27 Tensão normal max1ma. Por inspeção, a tensão normal máxima ocorre na menor seção transversal, onde o filete de rebaixo começa em B ou C. O fator de concentração de tensão é determinado pela Figura 4.23. Exige-se que r 6mm h = 20 mm = 0 '3' Assim, K = 1,6. A tensão máxima é, portanto, w = 40 mm =2 h 20 mm p [ 80(103) u máx = K A = 1,6 (O 02 m)(O 01 m) = 640 MPa J ' ' Resposta Observe que o material permanece elástico, visto que 640 MPa < ue = 700 MPa. Deslocamento. Aqui, desprezaremos as deformações localizadas ao redor da carga aplicada e na mudança repentina na seção transversal no filete de rebaixo (princípio de Saint Venant). Temos PL { 80(103) N(0,3 m) } 0 A/ D = 2.: AE = 2 (0,04 m)(0,01 m)[200(109) N/m2] + { 80(103)N(0,8 m) } (0,02 m)(O,Ol m)[200(109) N/m2] u A /D = 2,20 mm Resposta
. ::1 114 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS p . t * . (J : I E harn cp()( *4.8 Deformação axial inelástica Até aqui, consideramos somente carregamentos que provocam o comportamento elástico do material do elemento. Entretanto, às vezes, acontece de um elemento ser projetado de modo que o carregamento provoca o escoamento do material e, com isso, sua deformação permanente. Esses elementos costumam ser feitos de um metal de alta ductilidade, como aço recozido de baixo teor de carbono, cujo diagrama tensão -deformação é semelhante ao da Figura 3.6 e pode ser modelado como mostra a Figura 4.28b. Um material que exiba esse comportamento é denominado elástico peifeitamente plástico ou elastoplástico. Para ilustrar fisicamente como tal material se comporta, considere a barra na Figura 4.28a, que está sujeita à carga axial P. Se a carga provocar o desenvolvimento de uma tensão elástica u = u1 na barra, então, aplicando a Equação 4.6, o equilíbrio exige P = 1 u1dA = u1A. Além disso, a tensão u1 provoca uma deformação E1 na barra, como indica o diagrama tensão-deformação (Figura 4.28b ). Se, agora, P for aumentada para P , de p tal modo que provoque escoamento do material, isto é, u = u então, novamente, P = 1 u dA = u A. A carga e p e e P é denominada carga plástica, uma vez que representa p a carga máxima que pode ser suportada por um material elastoplástico. Para o caso em questão, as deformações não são definidas de maneira única. Ao contrário, no instante em que u e é atingida, em primeiro lugar, a barra é submetida à deformação por escoamento Ee (Figura 4.28b) e, em seguida, a barra continuará a escoar (ou alongar-se) de modo que serão geradas as deformações (a) . (J Figura 4.28 (b) E2, E3 etc. Visto que nosso "modelo" do material exibe comportamento de material perfeitamente plástico esse alongamento continuará indefinidamente, mesm sem nenhum aumento na carga. Contudo, na verdade após um pouco de escoamento, o material começará endurecer por deformação, de modo que a resistência extra que ele obtenha impedirá qualquer deformação adicional. O resultado é que qualquer projeto baseado nesse comportamento será seguro, pois o endurecimento por deformação proporciona ao material um potencial para suportar uma carga adicional, se necessário. Agora, considere o caso de uma barra que tenha um furo, como mostra a Figura 4.29a. À medida que o valor de P aumenta, ocorre uma concentração de tensão no material próximo ao furo, ao longo da seção a-a. Nesse ponto, a tensão alcançará um valor máximo u máx = u 1 e sofrerá uma deformação elástica correspondente E1 (Figura 4.29b ). As tensões e deformações correspondentes em outros pontos ao longo da seção transversal serão menores, como indica a distribuição de tensão mostra· da na Figura 4.29c. Como esperado, o equilíbrio exige P = 1 udA. Em outras palavras, P é geometricamente equivalente ao "volume" contido no interior da distribuição de tensão. Se, agora, aumentarmos a carga para o material começará a es P', de modo que u máx = u e ' coar para fora do furo, até que a condição de equilíbrio P' = 1 uAdA seja satisfeita (Figura 4.29d). Como a figura mostra, isso produz uma distribuição de tensão cujo "volume" é geometricamente maior que o mostrado na Figura 4.29c. Um aumento adicional na carga provocará, a certa altura, o escoamento de toda a seção transversal, até que nenhuma carga maior possa ser sustentada pela N a árc () CO!lll hlc /ll dnsll i)( 15 kN qu;Htd• do n:H l tiiiiSVt fcil;llll< ddcm li li p t (J IJe a a IJj t p (a) E e (b) E Figura 4.29 (JI IJj !Je · I "------------- I [---·-··-· l p P' Pp (c) (d) (e) !Je IJ, Íti'ip !:< ncho 0.0 Í'>'>o
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114 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS<br />
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*4.8 Deformação axial inelástica<br />
Até aqui, consideramos somente carregamentos<br />
que provocam o comportamento elástico do material<br />
do elemento. Entretanto, às vezes, acontece de um<br />
elemento ser projetado de modo que o carregamento<br />
provoca o escoamento do material e, com isso, sua deformação<br />
permanente. Esses elementos costumam ser<br />
feitos de um metal de alta ductilidade, como aço recozido<br />
de baixo teor de carbono, cujo diagrama tensão<br />
-deformação é semelhante ao da Figura 3.6 e pode ser<br />
modelado como mostra a Figura 4.28b. Um material<br />
que exiba esse comportamento é denominado elástico<br />
peifeitamente plástico ou elastoplástico.<br />
Para ilustrar fisicamente como tal material se comporta,<br />
considere a barra na Figura 4.28a, que está sujeita<br />
à carga axial P. Se a carga provocar o desenvolvimento<br />
de uma tensão elástica u = u1 na barra, então, aplicando<br />
a Equação 4.6, o equilíbrio exige P = 1 u1dA = u1A.<br />
Além disso, a tensão u1 provoca uma deformação E1<br />
na barra, como indica o diagrama tensão-deformação<br />
(Figura 4.28b ). Se, agora, P for aumentada para P , de<br />
p<br />
tal modo que provoque escoamento do material, isto é,<br />
u = u então, novamente, P = 1 u dA = u A. A carga<br />
e p<br />
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P é denominada carga plástica, uma vez que representa<br />
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a carga máxima que pode ser suportada por um material<br />
elastoplástico. Para o caso em questão, as deformações<br />
não são definidas de maneira única. Ao contrário, no<br />
instante em que u e é atingida, em primeiro lugar, a barra<br />
é submetida à deformação por escoamento Ee (Figura<br />
4.28b) e, em seguida, a barra continuará a escoar (ou<br />
alongar-se) de modo que serão geradas as deformações<br />
(a)<br />
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Figura 4.28<br />
(b)<br />
E2, E3 etc. Visto que nosso "modelo" do material exibe<br />
comportamento de material perfeitamente plástico<br />
esse alongamento continuará indefinidamente, mesm<br />
sem nenhum aumento na carga. Contudo, na verdade<br />
após um pouco de escoamento, o material começará <br />
endurecer por deformação, de modo que a resistência<br />
extra que ele obtenha imp<strong>ed</strong>irá qualquer deformação<br />
adicional. O resultado é que qualquer projeto baseado<br />
nesse comportamento será seguro, pois o endurecimento<br />
por deformação proporciona ao material um potencial<br />
para suportar uma carga adicional, se necessário.<br />
Agora, considere o caso de uma barra que tenha um<br />
furo, como mostra a Figura 4.29a. À m<strong>ed</strong>ida que o valor<br />
de P aumenta, ocorre uma concentração de tensão no<br />
material próximo ao furo, ao longo da seção a-a. Nesse<br />
ponto, a tensão alcançará um valor máximo u máx = u 1 e<br />
sofrerá uma deformação elástica correspondente E1 (Figura<br />
4.29b ). As tensões e deformações correspondentes<br />
em outros pontos ao longo da seção transversal serão<br />
menores, como indica a distribuição de tensão mostra·<br />
da na Figura 4.29c. Como esperado, o equilíbrio exige<br />
P = 1 udA. Em outras palavras, P é geometricamente<br />
equivalente ao "volume" contido no interior da distribuição<br />
de tensão. Se, agora, aumentarmos a carga para<br />
o material começará a es<br />
P', de modo que u máx = u e<br />
'<br />
coar para fora do furo, até que a condição de equilíbrio<br />
P' = 1 uAdA seja satisfeita (Figura 4.29d). Como a figura<br />
mostra, isso produz uma distribuição de tensão cujo<br />
"volume" é geometricamente maior que o mostrado na<br />
Figura 4.29c. Um aumento adicional na carga provocará,<br />
a certa altura, o escoamento de toda a seção transversal,<br />
até que nenhuma carga maior possa ser sustentada pela<br />
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