Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
Carga axial OBJETIVOS DO CAPÍTULO Capítulo 1, desenvolvemos o método para determinar a tensão normal em elementos carregados axialmente. Neste capítulo, discutiremos como determinar a deformação desses elementos e desenvolveremos um método para determinar as reações nos apoios quando tais reações não puderem ser determinadas estritamente pelas equações de equilíbrio. Ta mbém discutiremos uma análise dos efeitos da tensão térmica, concentrações de tensão, deformações inelásticas e tensão residual. 4.1 Princípio de Saint-Venant Nos capítulos anteriores, desenvolvemos o conceito de tensão como um meio para medir a distribuição de força no interior de um corpo e o conceito de deformação como um meio para medir a deformação geométrica de um corpo. Também mostramos que a relação matemática entre tensão e deformação depende do tipo de material do qual o corpo é feito. Em particular, se o material se comportar de maneira linear elástica, a lei de Hooke será aplicável e haverá uma relação proporcional entre tensão e deformação. Com essa ideia em mente, considere o modo como uma barra retangular se deforma elasticamente quando submetida a uma força P aplicada ao longo do eixo de seu centroide (Figura 4.1a). Nesta figura, a barra está presa a um apoio em uma de suas extremidades, e a força é aplicada em um furo na outra extremidade. Devido ao carregamento, a barra deforma-se como indicam as distorções das linhas da grade desenhada sobre a barra, que antes eram horizontais e verticais. Observe a deformação localizada que ocorre em cada extremidade. Esse efeito tende a diminuir conforme as medições são feitas cada vez mais distante das extremidades. Além disso, as deformações vão se nivelando e tornam-se uniformes em toda a seção média da barra. Visto que a deformação está relacionada com a tensão no interior da barra, podemos afirmar que a tensão será distribuída mais uniformemente por toda a área da s ção transversal se um corte for feito em uma seção distante do ponto onde a carga externa é aplicada. Por exemplo, considere um perfil da variação da distribuide tensão que age nas seções a-a, b-b e e-c, cada uma mostrada na Figura 4.lb. Comparando as curvas, a tensão quase alcança um valor uniforme na seção e-c, que está suficientemente afastada da extremidade. Em outras palavras, a seção e-c está longe o suficiente do pont ? de aplicação de P, de tal modo que a deformação localizada provocada por P seja desprezível. A distância mínima em relação à extremidade da barra onde isso ocorre pode ser determinada por meio de uma análise matemática baseada na teoria da elasticidade. Todavia, como regra geral, que também se aplica a muitos outros casos de carregamento e geometria de elementos estruturais, podemos considerar que essa distância é, no mínimo, igual à maior dimensão da seção transversal carregada. Em consequência, no caso da barra na Figura 4.lb, a seção e-c deve estar localizada a uma distância no mínimo igual à largura (e não à espessura) da barra.* Essa regra se baseia na observação experimental do comportamento do material, e somente em casos especiais, como o que acabamos de discutir, ela foi validada matematicamente. Entretanto, devemos observar que essa regra não se aplica a todos os tipos de elementos e casos de carregamento. Por exemplo, elementos estruturais de paredes finas submetidos a carregamentos que provocam grandes deflexões podem criar tensões e deformações localizadas que têm influência a uma distância considerável do ponto de aplicação da carga. Observe, na Figura 4.1a, como o apoio impede a redução da largura da barra, o que deveria ocorrer devido ao alongamento lateral da barra - uma consequência do "efeito de Poisson", discutido na Seção 3.6. Contudo, por esse mesmo argumento, poderíamos demonstrar que a distribuição de tensão no apoio também se nivelará e se tornará uniforme em toda a seção transversal a uma curta distância do apoio; e mais, a amplitude da força resultante criada por essa distribuição de tensão deve ser também igual a P. O fato de a tensão e a deformação comportarem-se dessa maneira é denominado princípio de Saint-Venant, visto que foi observado pela primeira vez pelo cientista francês Barré de Saint-Venant, em 1855. Em essência, esse prirlcípio afirma que a tensão e a deformação produzidas em pontos de um corpo suficientemente distantes ' Quando a seção e-c está localizada dessa maneira, a teoria da elasticidade prevê que a tensão máxima será cr má x = 1,02 cr méd'
86 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS p Carregamento distorce as linhas localizadas lin cxl a b da< c (a) Linhas localizadas longe da carga e do apoio permanecem retas Carregamento distorce as linhas localizadas perto do apoio p seção a-a seção b-b (b) seção e-c seção e-c (c) o I i usa Figma 4.1 da região da aplicação da carga serão iguais à tensão e à deformação produzidas por quaisquer carregamentos aplicados que tenham a mesma resultante estaticamente equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da mesma região. Por exemplo, se duas forças P/2 aplicadas simetricamente agirem sobre a barra (Figura 4.1c), a distribuição de tensão na seção e-c, que é suficientemente afastada dos efeitos localizados dessas cargas, será uniforme e, portanto, equivalente a u m éct = PIA como antes. Então, resumindo, não temos mais de considerar as distribuições de tensão um tanto complexas que podem realmente se desenvolver nos pontos de aplicação de carga ou em apoios, quando estudarmos a distribuição de tensão em um corpo em seções suficientemente afastadas dos pontos de aplicação de carga. O princípio de Saint -Venant afirma que os efeitos localizados causados por qualquer carga que age sobre um corpo serão dissipados ou atenuados em regiões suficientemente afastadas do ponto de aplicação da carga. Além do mais, a distribuição de tensão resultante nessas regiões será a mesma que a causada por qualquer outra carga estaticamente equivalente aplicada ao corpo dentro da mesma área localizada. 4.2 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Usando a lei de Hooke e as definições de tensão e deformação, desenvolveremos, agora, uma equação que pode ser usada para determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais. Para generalizar o desenvolvimento, considere a barra mostrada na Figura 4.2a, cuja área de seção transversal varia gradativamente ao longo de seu comprimento L. A barra está sujeita a cargas concentradas em suas extremidades e a uma carga externa variável distribuída ao longo de seu comprimento. Essa carga distribuída poderia, por exemplo, representar o peso de uma barra vertical ou forças de atrito que agem sobre a superfície da barra. Aqui, queremos determinar o deslocamento relativo 8 (delta) de uma das extremidades da barra em relação à outra extremidade, causada por esse carregamento. Na análise a seguir, desprezaremos as deformações localizadas que ocorrem em pontos de carregamento concentrado e nos locais em que a seção transversal muda repentinamente. Como observamos na Seção 4.1, esses efeitos ocorrem no interior de pequenas regiões do comprimento da barra e, portanto, terão somente um leve efeito sobre o resultado final. Na maioria dos casos, a barra se deformará uniformemente, de modo que a tensão normal será uniformemente distribuída na seção transversal. Usando o método das seções, isolamos um elemento diferencial da barra de comprimento dx e área de seção transversal A(x) em uma posição arbitrária x. O diagrama de corpo livre desse elemento é mostrado na Figura 4.2b. A força axial interna resultante é representada por P(x), já que o carregamento externo fará com que ela varie ao longo do comprimento da barra. Essa carga, P(x), deformará o elemento até a forma indicada pela tcgr da c ondl I ;I C ar hll l versa mod( exter gma !ante que a l=====x---- t r- dx------ I I I - -- -- : - - - - 1 I --- L ---4 (a) 8 Figma 4.2 P(x)P(x) d x-tl. da (b) , . .,.
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Carga axial<br />
OBJETIVOS DO CAPÍTULO<br />
Capítulo 1, desenvolvemos o método para determinar a tensão normal em elementos carregados axialmente.<br />
Neste capítulo, discutiremos como determinar a deformação desses elementos e desenvolveremos<br />
um método para determinar as reações nos apoios quando tais reações não puderem ser determinadas<br />
estritamente pelas equações de equilíbrio. Ta mbém discutiremos uma análise dos efeitos da tensão térmica,<br />
concentrações de tensão, deformações inelásticas e tensão residual.<br />
4.1 Princípio de Saint-Venant<br />
Nos capítulos anteriores, desenvolvemos o conceito<br />
de tensão como um meio para m<strong>ed</strong>ir a distribuição de<br />
força no interior de um corpo e o conceito de deformação<br />
como um meio para m<strong>ed</strong>ir a deformação geométrica<br />
de um corpo. Também mostramos que a relação<br />
matemática entre tensão e deformação depende do<br />
tipo de material do qual o corpo é feito. Em particular,<br />
se o material se comportar de maneira linear elástica, a<br />
lei de Hooke será aplicável e haverá uma relação proporcional<br />
entre tensão e deformação.<br />
Com essa ideia em mente, considere o modo como<br />
uma barra retangular se deforma elasticamente quando<br />
submetida a uma força P aplicada ao longo do eixo<br />
de seu centroide (Figura 4.1a). Nesta figura, a barra<br />
está presa a um apoio em uma de suas extremidades,<br />
e a força é aplicada em um furo na outra extremidade.<br />
Devido ao carregamento, a barra deforma-se como<br />
indicam as distorções das linhas da grade desenhada<br />
sobre a barra, que antes eram horizontais e verticais.<br />
Observe a deformação localizada que ocorre em cada<br />
extremidade. Esse efeito tende a diminuir conforme as<br />
m<strong>ed</strong>ições são feitas cada vez mais distante das extremidades.<br />
Além disso, as deformações vão se nivelando e<br />
tornam-se uniformes em toda a seção média da barra.<br />
Visto que a deformação está relacionada com a tensão<br />
no interior da barra, podemos afirmar que a tensão<br />
será distribuída mais uniformemente por toda a área da<br />
s ção transversal se um corte for feito em uma seção<br />
distante do ponto onde a carga externa é aplicada. Por<br />
exemplo, considere um perfil da variação da distribuide<br />
tensão que age nas seções a-a, b-b e e-c, cada<br />
uma mostrada na Figura 4.lb. Comparando as curvas,<br />
a tensão quase alcança um valor uniforme na seção e-c,<br />
que está suficientemente afastada da extremidade. Em<br />
outras palavras, a seção e-c está longe o suficiente do<br />
pont ? de aplicação de P, de tal modo que a deformação<br />
localizada provocada por P seja desprezível. A distância<br />
mínima em relação à extremidade da barra onde isso<br />
ocorre pode ser determinada por meio de uma análise<br />
matemática baseada na teoria da elasticidade.<br />
Todavia, como regra geral, que também se aplica a<br />
muitos outros casos de carregamento e geometria de<br />
elementos estruturais, podemos considerar que essa distância<br />
é, no mínimo, igual à maior dimensão da seção<br />
transversal carregada. Em consequência, no caso da barra<br />
na Figura 4.lb, a seção e-c deve estar localizada a uma<br />
distância no mínimo igual à largura (e não à espessura)<br />
da barra.* Essa regra se baseia na observação experimental<br />
do comportamento do material, e somente em casos<br />
especiais, como o que acabamos de discutir, ela foi validada<br />
matematicamente. Entretanto, devemos observar<br />
que essa regra não se aplica a todos os tipos de elementos<br />
e casos de carregamento. Por exemplo, elementos estruturais<br />
de par<strong>ed</strong>es finas submetidos a carregamentos<br />
que provocam grandes deflexões podem criar tensões e<br />
deformações localizadas que têm influência a uma distância<br />
considerável do ponto de aplicação da carga.<br />
Observe, na Figura 4.1a, como o apoio imp<strong>ed</strong>e a<br />
r<strong>ed</strong>ução da largura da barra, o que deveria ocorrer<br />
devido ao alongamento lateral da barra - uma consequência<br />
do "efeito de Poisson", discutido na Seção<br />
3.6. Contudo, por esse mesmo argumento, poderíamos<br />
demonstrar que a distribuição de tensão no apoio também<br />
se nivelará e se tornará uniforme em toda a seção<br />
transversal a uma curta distância do apoio; e mais, a<br />
amplitude da força resultante criada por essa distribuição<br />
de tensão deve ser também igual a P.<br />
O fato de a tensão e a deformação comportarem-se<br />
dessa maneira é denominado princípio de Saint-Venant,<br />
visto que foi observado pela primeira vez pelo cientista<br />
francês Barré de Saint-Venant, em 1855. Em essência,<br />
esse prirlcípio afirma que a tensão e a deformação produzidas<br />
em pontos de um corpo suficientemente distantes<br />
' Quando a seção e-c está localizada dessa maneira, a teoria da<br />
elasticidade prevê que a tensão máxima será cr má x = 1,02 cr<br />
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