Transformada Wavelet Haar - Rubén Panta Pazos

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
Transformada Wavelet Haar
Construção, transformada rápida,
transformada inversa
Rubén Panta Pazos
rpazos@unisc.br
31 de Outubro de 2008

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
TWD Haar
• Revisão da Transformada Haar
• Enfoque matricial
Rubén Panta Pazos: Transformada Wavelet Haar,
construção, transformada rápida, transformada inversa
1
• Transformada Rápida Haar (até nível n)
• Transformada inversa
• Aplicações

Review
Matrix
Fast Haar
Inverse
Revisão da TDW Haar
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
Como se define, como se constrói

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Tome-se como exemplo
o seguinte sinal:
( ) ⎨
⎩ ⎧ 2 x
f x =
− 2 x + 2
Sinal Discreto
se
se
0
1
2
≤
≤
x
≤
1
2
x ≤1
• O sinal discreto é uma
amostra de 8 elementos
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construção, transformada rápida, transformada inversa
x
0,000000
0,125000
0,250000
0,375000
0,500000
0,625000
0,750000
0,875000
1,000000
f(x)
0,000000
0,250000
10,750000
0,500000
0,750000
1,000000
0,500000
0,250000
0,000000

Construção Constru ão do subsinal H + (f f )
f2
j−1
+ f2
j +
x
f(x)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
0,000000
0,125000
0,250000
0,375000
0,500000
0,625000
0,750000
0,875000
1,000000
0,000000
0,250000
0,500000
0,750000
1,000000
0,750000
0,500000
0,250000
0,000000
2
0,25000 + 0,5000
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construção, transformada rápida, transformada inversa
2
( H f ) , j 1K4
a =
=
0,53033
1
0,75000+
1,00000
= 1,237437
2
0,75000+
0,50000
= 0,883883
2
0,25000+
0,00000
= 0,176777
2
j

Construção Constru ão do subsinal H- (f f )
f2
j−1
− f2
j −
x
f(x)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
0,000000
0,125000
0,250000
0,375000
0,500000
0,625000
0,750000
0,875000
1,000000
0,000000
0,250000
0,500000
0,750000
1,000000
0,750000
0,500000
0,250000
0,000000
2
0,25000 −0,5000
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construção, transformada rápida, transformada inversa
2
( H f ) , j 1K4
a =
=
-0,176777
1
0,75000−1,00000
= -0,176777
2
0,75000−0,50000
= 0,176777
2
0,25000−0,00000
= 0,176777
2
j

Gráficos Gr ficos quando nn = 32
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Na direita, o sinal original
• Na esquerda, sua transformada Haar
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Esquema de
construção constru ão
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Para o subsinal H + (f),
f
2 j−1
+ f2
j +
2
( H f ) , j 1K4
a =
• Para o subsinal H - (f),
f
2 j−1
− 2 j −
2
f
j
( H f ) , j 1K4
a =
j
⎡s
⎢
⎢
s
⎢s
⎢
⎢s
⎢s
⎢
⎢s
⎢s
⎢
⎢⎣
s
1
2
3
4
5
6
7
8
→
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construção, transformada rápida, transformada inversa
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
s
s
s
s
s
s
s
s
1
3
5
7
1
3
5
7
+ s
2
+ s
2
+ s
2
+ s
2
− s
2
− s
2
− s
2
− s
2
2
4
6
8
2
4
6
8
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
[ ] ⎡s
2 2 1 ⎤
2 2 ⋅⎢
⎥
⎣s2
⎦
[ ] ⎡s
2 2 3 ⎤
2 2 ⋅⎢
⎥
⎣s4
⎦
[ ] ⎡s
2 2 5 ⎤
2 2 ⋅⎢
⎥
⎣s6
⎦
⎡s
2 2 7 ⎤
2 2 ⋅⎢
⎣s8
[ ] ⎡s
2 2 1 ⎤
2 − 2 ⋅⎢
⎥
⎣s2
⎦
[ ] ⎡s
2 2 3 ⎤
2 − 2 ⋅⎢
⎥
⎣s4
⎦
[ ] ⎡s
2 2 5 ⎤
2 − 2 ⋅⎢
⎥
⎣s6
⎦
[ ] ⎡s
2 2 7 ⎤
2 − 2 ⋅⎢
⎥
⎣s8
⎦
[ ] ⎥
1
⎦

Review
Matrix
Fast Haar
Inverse
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Esquema matricial
Esboço do enfoque algébrico
1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
θ
( θ ) sin ( θ )
( ) ( ) ⎥ ⎡ cos
⎤
⎢
⎣−
sin θ cos θ ⎦
Matriz Ortogonal
• Uma matriz K se diz
ortogonal se K K K KT
= I
• Exemplo: Em
M2x2(R), considere-se
a matriz de rotação
R A
transposta :
( θ ) sin(
θ )
t
Rθ ( ) ( ) ⎥ ⎡cos − ⎤
⎢
⎣ sin θ cos θ ⎦
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=
⎡
⎢
⎣
1
0
1
0
1
⎤
⎥
⎦

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Para um sinal de 8
impulsos constrói-se
a matriz Haar 8 X 8.
• Características:
det(H8) = 1
cond(H8) = 2
norm(H8) = 1
trace(H8) = 0
• É matriz esparsa.
• É matriz ortogonal.
Matriz Haar(8) Haar(8)
⎡1
⎢
⎤
⎢
⎥
⎢
2 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎢
⎥
⎦
⎥
2
1
2 0 0 0 0 0 0
2
1
0 0
2 2
1
2 0 0 0 0
2
1
0 0 0 0
2 2 2 0 0
1
0 0 0 0 0 0
2 2
1
2 2
1 1
2 − 2 0 0 0 0 0 0
2 2
1 1
0 0 2 − 2 0 0 0 0
2 2
1 1
0 0 0 0 2 − 2 0 0
2 2
1 1
0 0 0 0 0 0 2 −
2 2 2
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construção, transformada rápida, transformada inversa
1
12

Autovalores da Matriz Haar(8)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Autovalores
1,0000
0 ,5000+0,8660 I
–0,5000+0,8660 I
–1.0000
–0,5000–0,8660 I
0,5000–0,8660 I
Multiplicidade
2
1
1
2
1
1
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construção, transformada rápida, transformada inversa
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Visualizando a Matriz Haar (8)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Na figura da direita, uma
representação gráfica de
Haar(8), onde as alturas
são os valores do elemento
da matriz.
• A metade superior (linhas
superiores) é positiva.
• Em cor azul, quando os
valores são negativos.
• Pode desenvolver-se em
quaisquer sistema de
computação algébrica ou
folha eletrônica.
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construção, transformada rápida, transformada inversa
1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Dois enfoques
• Existe um esquema algorítmico: lifting scheme.
• Outro é de tipo matricial.
a 1
d 1
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1

Review
Matrix
Fast Haar
Inverse
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
Transformada rápida r pida de Haar
Diversos níveis de compactação

Aplicando DWT Haar ao subsinal a1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
( ) 8
H ⊕
I o H
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4
4

Transformada rápida r pida
de Haar até at o 2 o nível vel
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Como algoritmo ou
como produto matricial
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1

Transformada rápida r pida
de Haar até at o 3 o nível vel
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Como algoritmo ou
como produto matricial
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Review
Matrix
Fast Haar
Inverse
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
Transformada inversa Haar
A forma de reconstruir um sinal

Transformada inversa Nível N vel 1:
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
índice ndice ímpares mpares
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construção, transformada rápida, transformada inversa
1
• Este esquema ilustra a reconstrução dos componentes ímpares
do sinal.
s1
s
s
s
3
5
7

Transformada inversa Nível N vel 1:
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
índices ndices pares
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construção, transformada rápida, transformada inversa
1
• Este esquema ilustra a reconstrução das componentes pares
do sinal.
s
s
s
s
2
4
6
8

Apelando à Matriz Inversa
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Pelo fato que toda
matriz Haar é uma
matriz ortogonal,
tem-se: H H H H HT
= I
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Review
Matrix
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Fast Haar
Inverse
1
UNISC
Programa de Pós-Graduação de Sistemas e Processos Industriais
Departamento de Matemática
Professor : Rubén Panta Pazos
Realizado em : Santa Cruz do Sul - RS - 2008
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