Transformada Wavelet Haar - Rubén Panta Pazos
Transformada Wavelet Haar - Rubén Panta Pazos
Transformada Wavelet Haar - Rubén Panta Pazos
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
1<br />
<strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong><br />
Construção, transformada rápida,<br />
transformada inversa<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong><br />
rpazos@unisc.br<br />
31 de Outubro de 2008
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
TWD <strong>Haar</strong><br />
• Revisão da <strong>Transformada</strong> <strong>Haar</strong><br />
• Enfoque matricial<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
1<br />
• <strong>Transformada</strong> Rápida <strong>Haar</strong> (até nível n)<br />
• <strong>Transformada</strong> inversa<br />
• Aplicações
Review<br />
Matrix<br />
Fast <strong>Haar</strong><br />
Inverse<br />
Revisão da TDW <strong>Haar</strong><br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
1<br />
Como se define, como se constrói
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
• Tome-se como exemplo<br />
o seguinte sinal:<br />
( ) ⎨<br />
⎩ ⎧ 2 x<br />
f x =<br />
− 2 x + 2<br />
Sinal Discreto<br />
se<br />
se<br />
0<br />
1<br />
2<br />
≤<br />
≤<br />
x<br />
≤<br />
1<br />
2<br />
x ≤1<br />
• O sinal discreto é uma<br />
amostra de 8 elementos<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
x<br />
0,000000<br />
0,125000<br />
0,250000<br />
0,375000<br />
0,500000<br />
0,625000<br />
0,750000<br />
0,875000<br />
1,000000<br />
f(x)<br />
0,000000<br />
0,250000<br />
10,750000<br />
0,500000<br />
0,750000<br />
1,000000<br />
0,500000<br />
0,250000<br />
0,000000
Construção Constru ão do subsinal H + (f f )<br />
f2<br />
j−1<br />
+ f2<br />
j +<br />
x<br />
f(x)<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
0,000000<br />
0,125000<br />
0,250000<br />
0,375000<br />
0,500000<br />
0,625000<br />
0,750000<br />
0,875000<br />
1,000000<br />
0,000000<br />
0,250000<br />
0,500000<br />
0,750000<br />
1,000000<br />
0,750000<br />
0,500000<br />
0,250000<br />
0,000000<br />
2<br />
0,25000 + 0,5000<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
2<br />
( H f ) , j 1K4<br />
a =<br />
=<br />
0,53033<br />
1<br />
0,75000+<br />
1,00000<br />
= 1,237437<br />
2<br />
0,75000+<br />
0,50000<br />
= 0,883883<br />
2<br />
0,25000+<br />
0,00000<br />
= 0,176777<br />
2<br />
j
Construção Constru ão do subsinal H- (f f )<br />
f2<br />
j−1<br />
− f2<br />
j −<br />
x<br />
f(x)<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
0,000000<br />
0,125000<br />
0,250000<br />
0,375000<br />
0,500000<br />
0,625000<br />
0,750000<br />
0,875000<br />
1,000000<br />
0,000000<br />
0,250000<br />
0,500000<br />
0,750000<br />
1,000000<br />
0,750000<br />
0,500000<br />
0,250000<br />
0,000000<br />
2<br />
0,25000 −0,5000<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
2<br />
( H f ) , j 1K4<br />
a =<br />
=<br />
-0,176777<br />
1<br />
0,75000−1,00000<br />
= -0,176777<br />
2<br />
0,75000−0,50000<br />
= 0,176777<br />
2<br />
0,25000−0,00000<br />
= 0,176777<br />
2<br />
j
Gráficos Gr ficos quando nn = 32<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
• Na direita, o sinal original<br />
• Na esquerda, sua transformada <strong>Haar</strong><br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
1
Esquema de<br />
construção constru ão<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
• Para o subsinal H + (f),<br />
f<br />
2 j−1<br />
+ f2<br />
j +<br />
2<br />
( H f ) , j 1K4<br />
a =<br />
• Para o subsinal H - (f),<br />
f<br />
2 j−1<br />
− 2 j −<br />
2<br />
f<br />
j<br />
( H f ) , j 1K4<br />
a =<br />
j<br />
⎡s<br />
⎢<br />
⎢<br />
s<br />
⎢s<br />
⎢<br />
⎢s<br />
⎢s<br />
⎢<br />
⎢s<br />
⎢s<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
s<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
→<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
1<br />
3<br />
5<br />
7<br />
1<br />
3<br />
5<br />
7<br />
+ s<br />
2<br />
+ s<br />
2<br />
+ s<br />
2<br />
+ s<br />
2<br />
− s<br />
2<br />
− s<br />
2<br />
− s<br />
2<br />
− s<br />
2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
[ ] ⎡s<br />
2 2 1 ⎤<br />
2 2 ⋅⎢<br />
⎥<br />
⎣s2<br />
⎦<br />
[ ] ⎡s<br />
2 2 3 ⎤<br />
2 2 ⋅⎢<br />
⎥<br />
⎣s4<br />
⎦<br />
[ ] ⎡s<br />
2 2 5 ⎤<br />
2 2 ⋅⎢<br />
⎥<br />
⎣s6<br />
⎦<br />
⎡s<br />
2 2 7 ⎤<br />
2 2 ⋅⎢<br />
⎣s8<br />
[ ] ⎡s<br />
2 2 1 ⎤<br />
2 − 2 ⋅⎢<br />
⎥<br />
⎣s2<br />
⎦<br />
[ ] ⎡s<br />
2 2 3 ⎤<br />
2 − 2 ⋅⎢<br />
⎥<br />
⎣s4<br />
⎦<br />
[ ] ⎡s<br />
2 2 5 ⎤<br />
2 − 2 ⋅⎢<br />
⎥<br />
⎣s6<br />
⎦<br />
[ ] ⎡s<br />
2 2 7 ⎤<br />
2 − 2 ⋅⎢<br />
⎥<br />
⎣s8<br />
⎦<br />
[ ] ⎥<br />
1<br />
⎦
Review<br />
Matrix<br />
Fast <strong>Haar</strong><br />
Inverse<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
Esquema matricial<br />
Esboço do enfoque algébrico<br />
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
θ<br />
( θ ) sin ( θ )<br />
( ) ( ) ⎥ ⎡ cos<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣−<br />
sin θ cos θ ⎦<br />
Matriz Ortogonal<br />
• Uma matriz K se diz<br />
ortogonal se K K K KT<br />
= I<br />
• Exemplo: Em<br />
M2x2(R), considere-se<br />
a matriz de rotação<br />
R A<br />
transposta :<br />
( θ ) sin(<br />
θ )<br />
t<br />
Rθ ( ) ( ) ⎥ ⎡cos − ⎤<br />
⎢<br />
⎣ sin θ cos θ ⎦<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
=<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
• Para um sinal de 8<br />
impulsos constrói-se<br />
a matriz <strong>Haar</strong> 8 X 8.<br />
• Características:<br />
det(H8) = 1<br />
cond(H8) = 2<br />
norm(H8) = 1<br />
trace(H8) = 0<br />
• É matriz esparsa.<br />
• É matriz ortogonal.<br />
Matriz <strong>Haar</strong>(8) <strong>Haar</strong>(8)<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
2 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎥<br />
2<br />
1<br />
2 0 0 0 0 0 0<br />
2<br />
1<br />
0 0<br />
2 2<br />
1<br />
2 0 0 0 0<br />
2<br />
1<br />
0 0 0 0<br />
2 2 2 0 0<br />
1<br />
0 0 0 0 0 0<br />
2 2<br />
1<br />
2 2<br />
1 1<br />
2 − 2 0 0 0 0 0 0<br />
2 2<br />
1 1<br />
0 0 2 − 2 0 0 0 0<br />
2 2<br />
1 1<br />
0 0 0 0 2 − 2 0 0<br />
2 2<br />
1 1<br />
0 0 0 0 0 0 2 −<br />
2 2 2<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
1<br />
12
Autovalores da Matriz <strong>Haar</strong>(8)<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
Autovalores<br />
1,0000<br />
0 ,5000+0,8660 I<br />
–0,5000+0,8660 I<br />
–1.0000<br />
–0,5000–0,8660 I<br />
0,5000–0,8660 I<br />
Multiplicidade<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
1
Visualizando a Matriz <strong>Haar</strong> (8)<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
• Na figura da direita, uma<br />
representação gráfica de<br />
<strong>Haar</strong>(8), onde as alturas<br />
são os valores do elemento<br />
da matriz.<br />
• A metade superior (linhas<br />
superiores) é positiva.<br />
• Em cor azul, quando os<br />
valores são negativos.<br />
• Pode desenvolver-se em<br />
quaisquer sistema de<br />
computação algébrica ou<br />
folha eletrônica.<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
Dois enfoques<br />
• Existe um esquema algorítmico: lifting scheme.<br />
• Outro é de tipo matricial.<br />
a 1<br />
d 1<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
1
Review<br />
Matrix<br />
Fast <strong>Haar</strong><br />
Inverse<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
1<br />
<strong>Transformada</strong> rápida r pida de <strong>Haar</strong><br />
Diversos níveis de compactação
Aplicando DWT <strong>Haar</strong> ao subsinal a1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
1<br />
( ) 8<br />
H ⊕<br />
I o H<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
4<br />
4
<strong>Transformada</strong> rápida r pida<br />
de <strong>Haar</strong> até at o 2 o nível vel<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
• Como algoritmo ou<br />
como produto matricial<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
1
<strong>Transformada</strong> rápida r pida<br />
de <strong>Haar</strong> até at o 3 o nível vel<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
• Como algoritmo ou<br />
como produto matricial<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
1
Review<br />
Matrix<br />
Fast <strong>Haar</strong><br />
Inverse<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
1<br />
<strong>Transformada</strong> inversa <strong>Haar</strong><br />
A forma de reconstruir um sinal
<strong>Transformada</strong> inversa Nível N vel 1:<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
índice ndice ímpares mpares<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
1<br />
• Este esquema ilustra a reconstrução dos componentes ímpares<br />
do sinal.<br />
s1<br />
s<br />
s<br />
s<br />
3<br />
5<br />
7
<strong>Transformada</strong> inversa Nível N vel 1:<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
índices ndices pares<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
1<br />
• Este esquema ilustra a reconstrução das componentes pares<br />
do sinal.<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8
Apelando à Matriz Inversa<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
• Pelo fato que toda<br />
matriz <strong>Haar</strong> é uma<br />
matriz ortogonal,<br />
tem-se: H H H H HT<br />
= I<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa<br />
1
Review<br />
Matrix<br />
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011<br />
Fast <strong>Haar</strong><br />
Inverse<br />
1<br />
UNISC<br />
Programa de Pós-Graduação de Sistemas e Processos Industriais<br />
Departamento de Matemática<br />
Professor : <strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong><br />
Realizado em : Santa Cruz do Sul - RS - 2008<br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong>: <strong>Transformada</strong> <strong>Wavelet</strong> <strong>Haar</strong>,<br />
construção, transformada rápida, transformada inversa