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$"% &'(() * '+,,-
• Haar fez contribuições na análise abordando
sistemas de funções ortogonais, equações
diferenciais parciais, aproximações de
Chebyshev e inequações funcionais.
• É melhor lembrado pelo seu trabalho na
análise de grupos, introduzindo uma medida
sobre os grupos, denominada medida de Haar.
• A. Haar fiz a descoberta das funções Haar
em torno a 1909, muito antes que foram
descobertas as wavelets.
• A construção dessas funções gerou uma
base completa (ortonormal).
#

ψ
1
se
1
( x)
= −1
se < x ≤
0
caso
0 ≤ x ≤
2
1
contrário
2
1
2
!
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ψ
α ,
β
( ) ( α
x = ψ 2 x − β )
(

1
0
@0A
( x)
g(
x)
dx e f f f
f g = f , =
B % 2
1
0
1
0
ψ
ψ
( ) α , β
x ψ ( x)
dx = 0,
se ( α,
β ) ≠ ( 0,
0)
α , β
( ) γ , δ
x ψ ( x)
dx = 0,
se ( α,
β ) ≠ ( γ , δ )
< 4 ."
+

4 ." 0 E

f
! " "
t
3
( t)
= + cos(
3t
)
e
−0.
25t
2
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'( J
'

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',

L K
x f(x)
0,000000 0,000000
0,125000 0,437500
0,250000 0,750000
0,375000 0,937500
0,500000 1,000000
0,625000 0,937500
0,750000 0,750000
0,875000 0,437500
1,000000 0,000000
f
2
f
2 j−1
+ 2 j +
0,437500 + 0,750000
2
=
0,839689
0,937500 + 1,000000
= 1,370019
2
0,937500 + 0,750000
2
0,437500 + 0,000000
2
( H f ) , j = 1 4
j
= 1,193243
=
0,309359
'#

L K
x f(x)
0,000000 0,000000
0,125000 0,437500
0,250000 0,750000
0,375000 0,937500
0,500000 1,000000
0,625000 0,937500
0,750000 0,750000
0,875000 0,437500
1,000000 0,000000
f
2
f
2 j−1
− 2 j −
0,437500 − 0,750000
2
=
0,937500 −1,000000
=
2
0,937500 − 0,750000
2
0,437500 − 0,000000
2
( H f ) , j = 1 4
j
=
=
-0,220971
-0,044194
0,044194
0,309359
')

L K
x f(x) ( Hf )(x)
0,000000 0,000000 0,000000
0,125000 0,437500 0,839689
0,250000 0,750000 1,370019
0,375000 0,937500 1,193243
0,500000 1,000000 0,309359
0,625000 0,937500 -0,220971
0,750000 0,750000 -0,044194
0,875000 0,437500 0,044194
1,000000 0,000000 0,309359
f 2 j−
1 + f2
j +
2
( H f ) j
f2 j−1
− f2
j −
2
( H f ) j
'

N; ! " "
( $)*
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$ 6,
+ *
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'(

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E
( f )
=
n
i=
1
$ " "
% M
.
O "
f
2
i
'+

L;" " <
< $ " ! "
f(x)
0,000000
0,437500
0,750000
0,937500
1,000000
0,937500
0,750000
0,437500
0,000000
( Hf )(x)
0,000000
0,839689
1,370019
1,193243
0,309359
-0,220971
-0,044194
0,132583
0,309359
E( f )
0,000000
0,191406
0,562500
0,878906
1,000000
0,878906
0,562500
0,191406
0,000000
E( Hf )
0,000000
0,705078
1,876953
1,423828
0,095703
0,048828
0,001953
0,017578
0,095703
EA( f )
0,000000
0,191406
0,753906
1,632813
2,632813
3,511719
4,074219
4,265625
4,265625
EA( Hf )
0,000000
0,705078
2,582031
4,005859
4,101563
4,150391
4,152344
4,169922
4,265625

O L . <
+ *
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'

K " L "
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+
0 12

B "C B4
B " "
J M
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A
D
j
j
=
H
=
H
+
j
−
j
f
f
f j−
f j +
+ 2 1 2
2
( H f ) j
f j−
f j −
− 2 1 2
2
( H f ) j
,

$" P; B4
Domínio :
Partição : x
[ 0,
1]
= 0 <
Sinal Discreta : S =
0
x
1
<
x
{ S j = 1,
, n }
j
3
<
n
= 1
#

K " L "
Q
;"
B4 0
% "
"%
5 "
$ ;
J."
;"
"
9 ."
)

Programa de Pós-Graduação de Sistemas e Processos Industriais
Departamento de Matemática
Professor : Rubén Panta Pazos
Realizado em : Santa Cruz do Sul - RS - 2006