Método de Cramer Introdução - Rubén Panta Pazos

Introdução
Seja o conjunto de equações lineares
Método de Cramer
Rubén Panta Pazos
rpazos@unisc.br , rpp@impa.br
e consideremos o determinante da matriz do sistema
Multiplicando este determinante por x, e usando a propriedade dos determinantes de que a
multiplicação por umaa constante é equivalente a multiplicar cada elemento de uma das colunas por
a constante, isto é
Outra propriedade dos determinantes permite adicionar o produto de uma constante vezes cad
elemento de uma coluna aos correspondents elementos de outra coluna sem que mude o valor do
determinante, por isso podemos somar y vezes a coluna segunda e z vezes a coluna terceira à
primeira coluna sem que varie o determinante anterior,
Se todos os elementos d1, d2, d3 são nulos, then a última expressão é reduzida a x D = 0, de forma
que o sistema possui soluções não degeneradas (i.e., soluções diferentes de (0, 0, 0)) só se D = 0
(Em cujo caso existe uma família de soluções). Se d ≠ 0 e D = 0, o sistema não possui solução única.
Se pelo contrário d ≠ 0 e D ≠ 0 , então as soluções são dadas por

d1
d2
d3
x =
b
b
b
1
2
3
D
c
c
c
1
2
3
,
e em
forma análog
a
a1
a2
a3
y =
d
d
d
1
2
3
D
c
c
c
1
2
3
e
a1
a2
a3
z =
.
Com certeza, o método anterior, conhecido como regra de Cramer extende-se a um sistema de n
equações lineares com n incógnitas.
Ilustração
> with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and
unprotected
Problema. Resolva o sistema de equações lineares seguinte:
2 x + y − 3 z = −1
− x + 3 y + 2 z = 12
3 x + y − 3 z = 0
> A:= matrix([[2,1,-3],[-1,3,2],[3,1,-3]]);
> B:=[-1,12,0];
⎡ 2 1 -3⎤
⎢ ⎥
A := ⎢-1
3 2⎥
⎢ ⎥
⎣ 3 1 -3⎦
B := [ -1, 12, 0]
Define-se o determinante da matriz do sistema.
> Delta[A]:=det(A);
∆ A
:= 11
Agora definem-se os três determinantes que resultam de susbtituir a coluna n-ésima (n = 1, 2 ou 3)
da matriz do sistema pelo vetor coluna dos termos independentes (vetor B)
> Delta[x]:=det(augment(B,submatrix(A,1..3,[2,3])));
∆ x
:= 11
> Delta[y]:=det(swapcol(augment(B,(submatrix(A,1..3,[1,3]))),1,2)
);
:= 33
> Delta[z]:=det(augment(B,submatrix(A,1..3,[1,2])));
A solução do sistema é consequentemente:
> x0:=Delta[x]/Delta[A];
> y0:=Delta[y]/Delta[A];
∆ y
∆ z
:= 22
x0 := 1
y0 := 3
b
b
b
1
2
3
D
d
d
d
1
2
3

z0:=Delta[z]/Delta[A];
z0 := 2
Santa Cruz do Sul, 12 de Agosoto de 2005.
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comando Maple significado
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augment(U,V) : matriz aumentada de U e V, tendo estas matrizes igual número de linhas.
det(U) : calcula o determinante da matriz quadrada U.
⎡a
b⎤
matrix([[ a,b ],[ c,d ]]): gera a matriz ⎢ ⎥ .
⎣c
d ⎦
submatrix(A,r1..r3,[i,j]): submatriz da matriz A das linhas r1 até r3, e cujas colunas são i e j.
swapcol(A, c1, c2): troca as coluna c1 e c2 na matriz A.
swaprow(A, r1, r2): troca as linhas r1 e r2 na matriz A.