Antiderivadas e Integração Indefinida Objetivo Ilustração

Objetivo
Antiderivadas e Integração Indefinida
Rubén Panta Pazos
rpazos@unisc.br
www.rpanta.com
O alvo desta folha de trabalho é apresentar o conceito de antiderivadas e integral indefinida de
uma função.
Ilustração
Questão:
Encontre a função f( x ) de forma que f '( x ) = 2 x − 2 e f( 1 ) = 5.
Solução:
Por inspeção, qualquer função da forma
f( x ) = − 2 x + c ------- (i),
sendo c uma constante, é tal que f '( x ) = 2 x − 2, o que é solicitado.
Além disso, deve acontecer que f( 1) = 5, (i) e assim
do qual resulta que c = 6.
Conclui-se que
f( x ) = − 2 x + 6
x 2
x 2
5 = − 2 ( 1 ) + c,
1 2
Na verdade, a expressão (i) define uma família de curvas (parábolas) possuindo a mesma função
derivada, obtidas por translação vertical de y = − 2 x, numa distância c unidades para cima
se c é positiva, ou para baixo se c é negativa. No gráfico seguinte, se da a família de parábolas
indicada, com a curva que satisfaz f( 1 ) = 5 , em cor preto.
> plot([seq(x^2-2*x+c,c=[-1,0,1,2,3,4,5,6])],x=-1..2,
color=[red,green,blue,cyan,coral,magenta,tan,black]);
x 2

Noção de antiderivada
Dada uma função f( x ) , denomina-se à função F( x ) uma anti-derivada ou primitiva de f( x ) se
satisfaz a propriedade que F '( x ) = f( x ) , e se escreve
⌠
⎮ f( x) dx
= F( x) + c,
⌡
para denotar a integral indefinida, que é uma família infinita de funções obtidas variando a
constante de integração c.
d
Como [ ] =
dx
x2
⌠
2 x, segue-se que ⎮2 x dx
= x +
⌡
2
c.
d
Igualmente [ ] =
dx
x3 3 x 2 ⌠
, e em forma consequente ⎮3 x d =
⌡
2 x x +
3
c.
⌠
Desta forma ⎮x d =
⌡
2 x
x +
3
d ⎡
c , pois ⎢
x ⎤
⎢
⎥ =
3 dx
⎣ ⎦
3
1
3 3 =
d
[ ]
dx
x3
1
3 = ( 3 x2 ) x 2 .

O comando de integração de Maple: int
A sintaxe do comando de Maple int para realizar uma integração indefinida é similar ao
comando de derivação diff.
> int(3*x^2+2*x-1/x,x);
> int(exp(-x),x);
> int(cos(2*x),x);
x 3
+ −
1
2
x 2
( )
−e −x
ln( x)
sin( 2 x )
Para gerar uma tabela de potências de x, será útil abrir a livraria de Álgebra Linear
> with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and
unprotected
> matrix([seq([Int(x^k,x), int(x^k,x)],k=0..5)]);
⎡ ⌠ ⎤
⎢ ⎮1 dx
x ⎥
⎢ ⌡ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⌠ x ⎥
⎢ ⎮x dx
⎥
⎢ ⌡ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
2
2
⌠
⎮x d
⌡
2 x
x
3
3
⌠
⎮x d
⌡
3 x
x
4
4
⌠
⎮x d
⌡
4 x
x
5
5
⌠
⎮x d
⌡
5 x
x
6
6
Neste caso Maple faz a diferença entre Int (inicial com majúscula) e int (todas com
minúsculas). No primeiro caso, fornece a simbologia da matemática.
> A:=Int(x*exp(-x^2),x); value(A);
>
Santa Cruz do Sul, 07 de Setembro de 2009.
⌠ )
A := ⎮
⎮x e( d
⌡
−x2
x
− 1 )
e(
2 −x2