Técnicas de Modelagem Matemática - Rubén Panta Pazos
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<strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> Mo<strong>de</strong>lagem <strong>Matemática</strong><br />
<strong>Rubén</strong> <strong>Panta</strong> <strong>Pazos</strong><br />
rpazos@unisc.br<br />
O problema <strong>de</strong> escolher um problema do mundo real para interpretar numa linguagem ou<br />
enfoque matemáticos nem sempre é simples. O roteiro <strong>de</strong>pois disso também varia conforme os<br />
objetivos a serem atingidos com a mo<strong>de</strong>lagem matemática. As ferramentas empregadas para a<br />
formulação matemática (e ainda a solução) do problema real <strong>de</strong>nominam-se técnicas <strong>de</strong> mo<strong>de</strong>lagem<br />
matemática.<br />
Problema<br />
real<br />
Formulação<br />
Interpretação<br />
Formulação<br />
matemática<br />
Existem diversas técnicas, em diferentes níveis.<br />
1. Formulação <strong>de</strong> problemas:<br />
(a) Escolha <strong>de</strong> temas<br />
(b) Coleta <strong>de</strong> dados<br />
(c) Formulação <strong>de</strong> mo<strong>de</strong>los<br />
2. Regressão ou ajuste <strong>de</strong> curvas<br />
(a) Ajuste linear<br />
(b) Ajuste quadrático<br />
3. Variações<br />
(a) Variações discretas<br />
(b) Variações contínuas<br />
4. Equações <strong>de</strong> diferenças<br />
5. Equações diferenciais ordinárias<br />
6. Equações diferenciais parciais<br />
7. <strong>Técnicas</strong> probabilísticas.<br />
O Cálculo da raiz quadrada pelos Babilônios<br />
Outras áreas<br />
Resolução<br />
multidisciplina<br />
Com apenas poucos elementos, os babilônios pu<strong>de</strong>ram obter aproximações <strong>de</strong> � A mediante<br />
seqüências <strong>de</strong> números racionais.<br />
Dado um valor inicial inteiro (ou racional) x0 próximo a � A <strong>de</strong>fine-se a seqüência<br />
<strong>de</strong> números mediante a fórmula recorrente<br />
xn � 1 = 1<br />
2� x A<br />
n� x<br />
, com n = 1, 2, ...<br />
n�
Primeiro vamos supor que x0 < � A . Nesse caso, <strong>de</strong>vemos ter<br />
o que quer dizer que x 0 �� A� A<br />
x 0<br />
1 1<br />
� , e multiplicando vezes A , obtem�se<br />
� A x0 A A<br />
�<br />
� A x0 .<br />
x0 � A<br />
Figura 1. A aproximação x1 é a média aritmética <strong>de</strong> x0 e A/x0.<br />
x1<br />
Similar raciocínio será válido no caso que a valor inicial seja � A� x 0 , on<strong>de</strong> po<strong>de</strong>mos provar que<br />
A<br />
�� A�x 0 x<br />
. Duas idéias elementares no procedimento dos babilônios para <strong>de</strong>terminar uma boa<br />
0<br />
aproximação <strong>de</strong> � A :<br />
• Uso da média aritmética para <strong>de</strong>terminar uma melhor estimativa;<br />
• Procedimento iterativo para aperfeiçoar as aproximações.<br />
Depois com a aparição do conceito do limite e <strong>de</strong> métodos numéricos para aproximar raízes <strong>de</strong><br />
equações não lineares justificou-se formalmente o cálculo da raiz quadrada <strong>de</strong>senvolvida pelos<br />
babilônios, muitos séculos antes que a matemática grega chegasse a patamares <strong>de</strong> alto nível.<br />
Cálculo da área <strong>de</strong> uma região geográfica<br />
O problema <strong>de</strong> estimar em forma aproximada a área <strong>de</strong> uma região geográfica, como o espelho <strong>de</strong><br />
um lago ou um estado, po<strong>de</strong> ser resolvido mediante o procedimento seguinte:<br />
• O mapa da região G obtém-se <strong>de</strong> um impresso ou ainda <strong>de</strong> um arquivo on-line, em qualquer<br />
caso será preferível dispor <strong>de</strong> um arquivo gráfico *.jpg, <strong>de</strong> forma que seja possível ler as<br />
coor<strong>de</strong>nadas em pixeis.<br />
• Dada a região G, escolhemos um conjunto finito <strong>de</strong> n pontos sobre a fronteira para serem<br />
usados como vértices <strong>de</strong> uma região poligonal Gn, cuja área po<strong>de</strong> ser calculada <strong>de</strong> um modo<br />
rápido.<br />
• Quando <strong>de</strong>sejarmos aproximar melhor, então <strong>de</strong>vemos acrescentar o número d pontos sobre<br />
a fronteira <strong>de</strong> forma tal que uma medida <strong>de</strong> tolerância seja atingida.<br />
A<br />
x 0<br />
,