Técnicas de Modelagem Matemática - Rubén Panta Pazos

Técnicas de Modelagem Matemática
Rubén Panta Pazos
rpazos@unisc.br
O problema de escolher um problema do mundo real para interpretar numa linguagem ou
enfoque matemáticos nem sempre é simples. O roteiro depois disso também varia conforme os
objetivos a serem atingidos com a modelagem matemática. As ferramentas empregadas para a
formulação matemática (e ainda a solução) do problema real denominam-se técnicas de modelagem
matemática.
Problema
real
Formulação
Interpretação
Formulação
matemática
Existem diversas técnicas, em diferentes níveis.
1. Formulação de problemas:
(a) Escolha de temas
(b) Coleta de dados
(c) Formulação de modelos
2. Regressão ou ajuste de curvas
(a) Ajuste linear
(b) Ajuste quadrático
3. Variações
(a) Variações discretas
(b) Variações contínuas
4. Equações de diferenças
5. Equações diferenciais ordinárias
6. Equações diferenciais parciais
7. Técnicas probabilísticas.
O Cálculo da raiz quadrada pelos Babilônios
Outras áreas
Resolução
multidisciplina
Com apenas poucos elementos, os babilônios puderam obter aproximações de � A mediante
seqüências de números racionais.
Dado um valor inicial inteiro (ou racional) x0 próximo a � A define-se a seqüência
de números mediante a fórmula recorrente
xn � 1 = 1
2� x A
n� x
, com n = 1, 2, ...
n�

Primeiro vamos supor que x0 < � A . Nesse caso, devemos ter
o que quer dizer que x 0 �� A� A
x 0
1 1
� , e multiplicando vezes A , obtem�se
� A x0 A A
�
� A x0 .
x0 � A
Figura 1. A aproximação x1 é a média aritmética de x0 e A/x0.
x1
Similar raciocínio será válido no caso que a valor inicial seja � A� x 0 , onde podemos provar que
A
�� A�x 0 x
. Duas idéias elementares no procedimento dos babilônios para determinar uma boa
0
aproximação de � A :
• Uso da média aritmética para determinar uma melhor estimativa;
• Procedimento iterativo para aperfeiçoar as aproximações.
Depois com a aparição do conceito do limite e de métodos numéricos para aproximar raízes de
equações não lineares justificou-se formalmente o cálculo da raiz quadrada desenvolvida pelos
babilônios, muitos séculos antes que a matemática grega chegasse a patamares de alto nível.
Cálculo da área de uma região geográfica
O problema de estimar em forma aproximada a área de uma região geográfica, como o espelho de
um lago ou um estado, pode ser resolvido mediante o procedimento seguinte:
• O mapa da região G obtém-se de um impresso ou ainda de um arquivo on-line, em qualquer
caso será preferível dispor de um arquivo gráfico *.jpg, de forma que seja possível ler as
coordenadas em pixeis.
• Dada a região G, escolhemos um conjunto finito de n pontos sobre a fronteira para serem
usados como vértices de uma região poligonal Gn, cuja área pode ser calculada de um modo
rápido.
• Quando desejarmos aproximar melhor, então devemos acrescentar o número d pontos sobre
a fronteira de forma tal que uma medida de tolerância seja atingida.
A
x 0
,