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Grafos e Árvores 435
Um subgrafo de um grafo consiste em um conjunto de nós e um conjunto de arcos
que são subconjuntos do conjunto original de nós e arcos, respectivamente, nos quais as
extremidades de um arco têm que ser os mesmos nós que no grafo original. Em outras
palavras, um subgrafo é um grafo obtido apagando-se parte do grafo original e deixando o
resto sem modificações. A Figura 6.10 mostra dois subgrafos do grafo da Figura 6.3. Note
que o grafo na Figura 6.10a é simples e completo.
a 1
2
a4
a 2
a 3
a 1
2
1
a 5 3
(a)
1
a 5 3
(b)
Figura 6.10
Um caminho do nó n 0 para o nó n k é uma sequência
n 0 , a 0 , n 1 , a 1 , … , n k−1 , a k−1 , n k
de nós e arcos em que, para cada i, as extremidades do arco a i são n i -n i+1 . No grafo da Figura
6.3, um caminho do nó 2 para o nó 4 consiste na sequência 2, a 1 , 1, a 2 , 2, a 4 , 3, a 6 , 4.
O comprimento de um caminho é o número de arcos que ele contém; se um arco for usado
mais de uma vez, ele é contado cada vez que é usado. O comprimento do caminho descrito
neste parágrafo do nó 2 para o nó 4 é 4.
Um grafo é conexo se existe um caminho de qualquer nó para qualquer outro. Ambos
os grafos na Figura 6.10 são conexos, mas o grafo na Figura 6.3 não é. Um ciclo em um grafo
é um caminho de algum nó n 0 para ele mesmo tal que nenhum arco aparece mais de uma
vez, n 0 é o único nó que aparece mais de uma vez, e n 0 aparece apenas nas extremidades.
(Nós e arcos podem ser repetidos em um caminho, mas não, com exceção do nó n 0 , em um
ciclo.) No grafo da Figura 6.3,
1, a 1 , 2, a 4 , 3, a 5 , 1
é um ciclo. Um grafo sem ciclos é dito acíclico.
PROBLEMA PRÁTICO 3 Considere o grafo criado no Problema Prático 1.
a. Encontre dois nós que não são adjacentes.
b. Encontre um nó adjacente a si mesmo.
c. Encontre um laço.
d. Encontre dois arcos paralelos.
e. Encontre o grau do nó 3.
f. Encontre um caminho de comprimento 5.
g. Encontre um ciclo.
h. Esse grafo é completo?
i. Esse grafo é conexo? ■