Transições de fase e o grupo de renormalização - Instituto de Física ...
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41(a)1M>0(b)M(T)/M s0.5H0M T c ,t −γ′ , T < T c .(2.7)Para sistemas Ising, observa-se γ ≈ γ ′ ≈ 1.23 − 1.25.Mais dois expoentes críticos po<strong>de</strong>m ser <strong>de</strong>finidos. Eles envolvem o comportamento da função correlação entre spins distantesentre si. Po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir a função correlação (conectada) da seguinte maneiraG (r) = 〈[S (r) − 〈S (r)〉] · [S (0) − 〈S (0)〉]〉 , (2.8)on<strong>de</strong> usamos a coor<strong>de</strong>nada contínua r para rotular a posição do spin. Note que os valores esperados 〈S (r)〉 = 〈S (0)〉 são nulospara T > T c e não nulos do contrário. Claramente, G (r) me<strong>de</strong> a correlação entre spins distantes <strong>de</strong> r e <strong>de</strong>ve ser uma função<strong>de</strong>crescente do módulo <strong>de</strong> r, pelo menos para |r| suficientemente gran<strong>de</strong>. Observa-se que, se T ≠ T c existe um comprimentocaracterístico ξ (T ), chamado <strong>de</strong> comprimento <strong>de</strong> correlação, que <strong>de</strong>termina a escala <strong>de</strong> <strong>de</strong>caimento <strong>de</strong> G (r) para longasdistâncias (d é a dimensionalida<strong>de</strong> do sistema, não do parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m)G (r) ∼ 1ξ d−2 e −r/ξ(T )(r/ξ) (d−1)/2 (r ≫ ξ) . (2.9)Dessa forma, spins separados <strong>de</strong> uma distância ≫ ξ estarão <strong>de</strong>scorrelacionados. Exatamente em T = T c , a função <strong>de</strong> correlaçãoobe<strong>de</strong>ce uma lei <strong>de</strong> potência1G (r) ∼ , (2.10)rd−2+η
que <strong>de</strong>fine o expoente crítico η, também chamado <strong>de</strong> dimensão anômala. A forma da função <strong>de</strong> correlação (2.10) também é válidasuficientemente próximo <strong>de</strong> T c se r ≪ ξ. A função <strong>de</strong> correlação po<strong>de</strong> ser medida através <strong>de</strong> experimentos <strong>de</strong> espalhamento<strong>de</strong> nêutrons. Para sistemas Ising, o valor <strong>de</strong> η ≈ 0.01 − 0.04. Seu pequeno valor faz com que ele seja extremamente difícil <strong>de</strong>ser <strong>de</strong>terminado. Observa-se também que5ξ (T ) ∼{ t −ν , T > T c ,t −ν′ , T < T c .(2.11)O expoente ν ≈ ν ′ ≈ 0.63 para sistemas Ising. Exatamente em T = T c o comprimento <strong>de</strong> correlação é infinito. A divergênciado comprimento <strong>de</strong> correlação é uma das características principais das transições <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m, pois ele não diverge nastransições <strong>de</strong> primeira or<strong>de</strong>m. Veremos mais adiante que isso está intimamente ligado ao fenômeno da universalida<strong>de</strong>.Definimos, portanto, 6 expoentes críticos diferentes. Veremos adiante que eles não são todos in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes e existem 4relações entre eles, <strong>de</strong> modo que há apenas 2 expoentes a <strong>de</strong>terminar. Em todos os casos acima, observa-se o mesmo valordos expoentes em diversos sistemas físicos. Estes parecem <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>r apenas do número <strong>de</strong> componentes do parâmetro <strong>de</strong>or<strong>de</strong>m e, como veremos, da dimensionalida<strong>de</strong> do sistema (todos os sistemas magnéticos acima são tri-dimensionais; entretanto,comportamento bi- ou uni-dimensional po<strong>de</strong> ser observado em sistemas fortemente anisotrópicos). O objetivo <strong>de</strong> uma teoriageral dos fenômenos críticos é enten<strong>de</strong>r a origem da universalida<strong>de</strong>, do que ela <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> e calcular os valores dos expoentescríticos.III.A SOLUÇÃO DE ONSAGERÉ interessante observar os resultados obtidos em um dos poucos sistemas em que existe solução exata: o mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Isingbi-dimensional, cuja solução por Onsager em 1944 (para H = 0) é um dos maiores feitos <strong>de</strong> física teórica do século XX. Nessecaso, obtemos⎧α = 0(log),β = 1/8,⎪⎨δ = 15,(3.1)γ = 7/4,⎪⎩ν = 1,η = 1/4.O expoente α = 0 significa que o calor específico diverge logaritmicamente, como indicado, pois( ) 1 − t−αlim= ln t.α→0 αÉ interessante notar que os expoentes críticos são todos números racionais. Isso não se repete (aparentemente) para outrossistemas.IV.A TRANSIÇÃO LÍQUIDO-GÁSOutra transição <strong>de</strong> <strong>fase</strong> importante é a transição líquido-gás. O diagrama <strong>de</strong> <strong>fase</strong>s típico <strong>de</strong> uma transição como essa é oda água (Fig. 2). No plano P − T (Fig. 2(a)), ao longo da linha <strong>de</strong> coexistência líquido-gás, para uma dada pressão e umadada temperatura, há vários volumes possíveis para o sistema (consi<strong>de</strong>rando N fixo), correspon<strong>de</strong>ntes às frações volumétricasvariáveis <strong>de</strong> líquido e gás. O que é importante notar é que a linha <strong>de</strong> transições <strong>de</strong> <strong>fase</strong> termina em um ponto bem <strong>de</strong>finido(T c , P c , V c ), chamado <strong>de</strong> ponto crítico, em que os volumes do gás e do líquido são idênticos. O entendimento po<strong>de</strong> ser maisaprofundado com a análise no plano P − V . O diagrama <strong>de</strong> <strong>fase</strong>s correspon<strong>de</strong>nte no plano P − V (Fig. 2(b)) mostra claramenteque, ao longo da linha <strong>de</strong> transições, existe uma diferença entre os volumes da água líquida e do vapor d’água para um númerofixo <strong>de</strong> moléculas, ou seja, uma diferença <strong>de</strong> volumes específicos ou <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s. Essa diferença, como já dito, se anula noponto crítico.Po<strong>de</strong>-se tomar a diferença entre a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> do gás ρ g (ou do líquido ρ l ) e ρ c = N/V c ao longo da linha <strong>de</strong> coexistência comoparâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m da transição. Ela diminui à medida que T → T c e é zero exatamente em T = T c . Dessa forma, as transiçõesao longo da linha são todas <strong>de</strong> primeira or<strong>de</strong>m, enquanto que exatamente em T = T c a transição é contínua. Isso é confirmadopela presença <strong>de</strong> calor latente ao longo da linha <strong>de</strong> coexistência, que se anula no ponto crítico.Vale ressaltar aqui que a evolução do sistema a partir <strong>de</strong> seu estado líquido até seu estado gasoso po<strong>de</strong> se dar continuamente,sem nenhuma transição <strong>de</strong> <strong>fase</strong>, como se po<strong>de</strong> observar no diagrama <strong>de</strong> <strong>fase</strong>s no plano P − T . Isso acontece porque não há
6Figura 2: Diagrama <strong>de</strong> <strong>fase</strong>s da água, nos planos (a) P − T e (b) P − V , mostrando a transição líquido-gás. A linha <strong>de</strong> transições <strong>de</strong> primeiraor<strong>de</strong>m termina num ponto crítico <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m (transição contínua).Quantida<strong>de</strong> física Índice d=2 (exato) d=3 Campo médio HeisenbergCalor específico α 0(log) 0.104 0(<strong>de</strong>scont.) -0.1Parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m β 1/8 0.325 1/2 0.33Susceptibilida<strong>de</strong> γ 7/4 1.234 1 1.33Parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m δ 15 5.2 3 4.2Comprimento <strong>de</strong> correlação ν 1 0.625 1/2 0.7Função <strong>de</strong> correlação η 1/4 0.024-0.028 0 0.067Tabela I: Valores dos expoentes críticos para a classe <strong>de</strong> universalida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Ising em d = 2 e d = 3.uma diferença <strong>de</strong> simetria entre essas duas <strong>fase</strong>s, ao contrário da <strong>fase</strong> sólida, em que há quebra da simetria <strong>de</strong> tranlação. Comojá foi dito, uma simetria ou está presente ou não está e não se po<strong>de</strong> ir <strong>de</strong> uma situação à outra “gradualmente”. Nesse sentido, atransição líquido-gás é diferente da transição ferromagnética.A maneira segundo a qual a diferença <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s vai a zero à medida que T c se aproxima <strong>de</strong>fine o expoente βρ l − ρ c ∝ ρ c − ρ g ∼ t β . (4.1)Analogamente, o calor específico a volume constante em V = V c diverge com a aproximação <strong>de</strong> T c , <strong>de</strong>finindo o expoente αO análogo da susceptibilida<strong>de</strong> magnética é a compressibilida<strong>de</strong> isotérmicaκ T = − 1 VC V (T ) ∼ t −α . (4.2)∂V∂P = − 1 V∂ 2 G∂P 2 . (4.3)Ela diverge no ponto crítico (note a tangente horizontal no ponto crítico no plano P − V ), <strong>de</strong>finindo o expoente γÉ interessante notar queC P − C V = −Tκ T ∼ t −γ . (4.4)( ) 2 ∂P ∂V∂T ∂P . (4.5)Portanto, a diferença entre C P e C V é proporcional à compressibilida<strong>de</strong>. Como o expoente γ > α, a divergência da compressibilida<strong>de</strong>é dominante e <strong>de</strong>termina a divergência <strong>de</strong> C P . Ao longo da isoterma crítica T = T c , temos queA função <strong>de</strong> correlação <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>-<strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>, é <strong>de</strong>finida comoρ l − ρ c ∼ (P − P c ) 1/δ . (4.6)G (r) = 1 〈[ρ (r) − ρ] [ρ (0) − ρ]〉 . (4.7)ρ2 A partir <strong>de</strong>la, <strong>de</strong>finem-se os expoentes restantes ν e η em total analogia com o caso ferromagnético (ver Seção II).O mais interessante é que os valores observados experimentalmente para os expoentes α, β, γ, δ, η e ν são os mesmos, <strong>de</strong>ntroda resolução experimental, que os observados em sistemas ferromagnéticos <strong>de</strong> simetria Ising. Isso sugere uma forte analogiaentre esses dois sistemas e uma universalida<strong>de</strong> ainda maior do que se pu<strong>de</strong>sse supor, pois engloba não apenas diferentes sistemasmagnéticos, mas até transições <strong>de</strong> <strong>fase</strong> diferentes.V. OUTRAS TRANSIÇÕES E UNIVERSALIDADEOutras transições <strong>de</strong> <strong>fase</strong> foram estudadas em seu comportamento crítico. Dignas <strong>de</strong> nota são a transição superfluida do4 He, transições antiferromagnéticas, transições <strong>de</strong> or<strong>de</strong>namento em ligas binárias, etc. Observa-se nelas também o fenômeno
da universalida<strong>de</strong>, ou seja, sistemas muito diferentes apresentam o mesmo comportamento crítico. Sabe-se hoje (e veremosadiante) que o comportamento crítico <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> apenas <strong>de</strong> algumas poucas proprieda<strong>de</strong>s da transição, como a dimensionalida<strong>de</strong>do sistema, o número <strong>de</strong> componentes do parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m e se as interações são <strong>de</strong> longo ou <strong>de</strong> curto alcance. Todos osoutros <strong>de</strong>talhes, como o tipo <strong>de</strong> re<strong>de</strong> cristalina, as interações microscópicas (<strong>de</strong>s<strong>de</strong> que sejam todas <strong>de</strong> igual alcance), e outrasnão afetam o comportamento crítico, ou seja, são irrelevantes para a <strong>de</strong>terminação dos valores dos expoentes críticos. Foi umdos gran<strong>de</strong>s triunfos do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong> explicar a origem <strong>de</strong>ssa universalida<strong>de</strong>.Os exemplos dos mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong> Heisenberg, XY e Ising é interessante como ilustração <strong>de</strong> três situações que diferem pelo número<strong>de</strong> componentes do parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m. Cada um <strong>de</strong>sses mo<strong>de</strong>los, em um dada dimensão, é caracterizado por um conjunto<strong>de</strong> expoentes críticos. O fato da transição líquido-gás ser <strong>de</strong>scrita por um escalar e, portanto, por um parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m comapenas uma componente explica, atavés do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong>, porque os expoentes críticos <strong>de</strong> Ising são os mesmos <strong>de</strong>ssatransição. Analogamente, a transição superfluida do 4 He (e também a supercondutora) é <strong>de</strong>scrita por um parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>mcomplexo, essencialmente o valor esperado do operador <strong>de</strong> <strong>de</strong>struição bosônico em k = 0Ψ = 〈b k=0 〉 . (5.1)Como ele tem duas componentes, segue que a transição superfluida tem os mesmos expoentes críticos que o mo<strong>de</strong>lo XY tridimensional.No jargão, diz-se que pertencem à mesma classe <strong>de</strong> universalida<strong>de</strong>.Vale a pena também chamar a atenção para o fato <strong>de</strong> que um outro tipo <strong>de</strong> transição <strong>de</strong> <strong>fase</strong> contínua tem atraído muito aatenção dos pesquisadores nos últimos anos. Trata-se da chamada transição <strong>de</strong> <strong>fase</strong> quântica. São transições <strong>de</strong> <strong>fase</strong> queacontecem em sistemas a T = 0 como função <strong>de</strong> um parâmetro externo como a pressão ou o campo magnético. Como osistema está em seu estado fundamental em T = 0, trata-se <strong>de</strong> transições entre estados fundamentais do sistema à medida queo parâmetro externo é variado. É claro que o zero absoluto <strong>de</strong> temperatura nunca é atingido, mas vimos que gran<strong>de</strong> parte dointeresse das transições contínuas está na vizinhança do ponto crítico e é esse que é estudado nas transições quânticas.Vale a pena tentar explicar a razão do nome. Uma das características mais importantes das chamadas transições contínuas térmicas(ou seja, aquelas que acontecem a uma temperatura finita) é a presença <strong>de</strong> um comprimento <strong>de</strong> correlação divergente. Issoquer dizer que os graus <strong>de</strong> liberda<strong>de</strong> importantes para a transição são aqueles correspon<strong>de</strong>ntes a comprimentos <strong>de</strong> onda longose, conseqüentemente, baixas energias. A uma temperatura finita, a ocupação <strong>de</strong>sses modos <strong>de</strong> baixas energias é essencialmenteclássica (Maxwell-Boltzmann). Já no caso das transições a T = 0, esses modos obe<strong>de</strong>cem a uma estatística intrinsecamentequântica (Bose-Einstein ou Fermi-Dirac), daí o nome da transição. As transições quânticas ainda não são totalmente compreendidase são objeto <strong>de</strong> intensa investigação.Finalmente, <strong>de</strong>ve-se mencionar a questão da <strong>de</strong>sor<strong>de</strong>m. A presença <strong>de</strong> <strong>de</strong>sor<strong>de</strong>m é quase sempre inevitável nos sistemas e suainfluência na natureza do comportamento crítico po<strong>de</strong> ser dramática. Em particular, alguns tipos <strong>de</strong> transição são geradas pela<strong>de</strong>sor<strong>de</strong>m. Um exemplo importante e central são os sistemas chamados <strong>de</strong> vidros <strong>de</strong> spin. Trata-se <strong>de</strong> sistemas magnéticos queapresentam o que parece ter todas as características <strong>de</strong> uma transição <strong>de</strong> <strong>fase</strong> contínua, mas em que os spins na <strong>fase</strong> “or<strong>de</strong>nada”não assumem nenhum padrão or<strong>de</strong>nado espacialmente, mas apenas “se congelam” numa configuração aleatória. O entendimento<strong>de</strong>sses sistemas também é bastantes controverso e eles representam um campo <strong>de</strong> fronteira na pesquisa em matéria con<strong>de</strong>nsada.7VI.A TEORIA DE WEISS DO FERROMAGNETISMOO estudo <strong>de</strong> fenômenos críticos é fortemente baseado no estudo <strong>de</strong> mo<strong>de</strong>los. Embora esses possam parecer supersimplificados,o fenômeno da universalida<strong>de</strong> sugere que não importa muito qual mo<strong>de</strong>lo é utilizado pois ele <strong>de</strong>verá levar aosexpoentes críticos corretos (claro, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que “não se jogue fora o bebê com o banho”). Ao final da análise, esperamos po<strong>de</strong>rjustificar a utilização <strong>de</strong> mo<strong>de</strong>los simplificados.O mo<strong>de</strong>lo mais importante que estudaremos é o mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising. Como dissemos, ele <strong>de</strong>ve ser capaz <strong>de</strong> <strong>de</strong>screver o comportamentocrítico <strong>de</strong> ferromagnetos uniaxiais (<strong>de</strong> “eixo fácil”), assim como o ponto crítico da transição líquido-gás. Vamosreescrevê-lo aqui, supondo apenas interação entre primeiros vizinhosH I = −J ∑ 〈i,j〉S i S j , (6.1)on<strong>de</strong> o símbolo 〈ij〉 indica primeiros vizinhos. Por simplicida<strong>de</strong>, omitimos o sub-índice z. Vamos tentar supor por enquantoque a re<strong>de</strong> é uma re<strong>de</strong> hiper-cúbica (quadrada em 2D, cúbica em 3D, etc.).Um importante tratamento do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising é a teoria <strong>de</strong> campo médio <strong>de</strong> Weiss. Cada spin da re<strong>de</strong> interage apenas comseus z = 2d primeiros vizinhos (não confundir com a direção z). A teoria <strong>de</strong> Weiss parte da suposição <strong>de</strong> que cada spin po<strong>de</strong>ser escrito como seu valor médio mais flutuações em torno da médiaS i = 〈S i 〉 + δS i . (6.2)
832(a) T>T cy=tanh(T cm/T)y=m32(b) T T c = zJ (uma solução estável em m = 0) e(b) T < T c (duas soluções estáveis com m ≠ 0 e uma instável em m = 0).Cada par <strong>de</strong> primeiros vizinhos i e j, portanto, interagirá através <strong>de</strong>S i S j = [〈S i 〉 + δS i ] [〈S j 〉 + δS j ] = 〈S i 〉 〈S j 〉 + δS i 〈S j 〉 + 〈S i 〉 δS j + O [ δS 2] , (6.3)e <strong>de</strong>sprezam-se os termos quadráticos na interação. Re-escrevendo a Eq. (6.3) em termos das variáveis <strong>de</strong> spin originaisS i S j ≈ − 〈S i 〉 〈S j 〉 + S i 〈S j 〉 + 〈S i 〉 S j .Vamos nos concentrar primeiramente no caso uniforme, em que 〈S j 〉 = m, in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte do sítio j. Nesse caso,H W= N Jz ∑2 m2 − h W S i , (6.4)ih W = zJm. (6.5)Fisicamente, a magnetização média dos vizinhos age como um campo magnético efetivo h W , chamado <strong>de</strong> campo efetivo <strong>de</strong>Weiss. Se existe um campo magnético externo H I → H I − h ∑ i S i, o campo <strong>de</strong> Weiss é acrescido <strong>de</strong>le h W = zJm + h. OHamiltoniano (6.4) é agora <strong>de</strong> trivial soluçãoZ (T, h) = Tr [ e ] −βHW = e −NβJzm2 /2 2 N cosh N (βh W ) , (6.6)f (T, h) = − 1Jzln Z (h) =βN 2 m2 − 1 β ln [2 cosh (βh W )] , (6.7)on<strong>de</strong> a segunda expressão nos dá a energia livre por spin, segundo a formulação usual <strong>de</strong> mecânica estatística. O próximo passoconsiste em achar a magnetização por sítiom (T, h) = 1 N∑i∂f (T, h)〈S i 〉 = − = tanh (βh W ) = tanh [βh + βzJm (T, h)] , (6.8)∂hque é uma equação auto-consistente para a magnetização m. Note que a mesma equação po<strong>de</strong> ser obtida, supondo m umparâmetro variacional e minimizando a energia livre em relação a m (ver adiante mais <strong>de</strong>talhes). O método mais fácil <strong>de</strong> solução<strong>de</strong>ssa equação é o método gráfico. Basta plotar as curvas y = m e y = tanh (βh + βzJm) como funções <strong>de</strong> m e procurarpela(s) interseção(ões), ver Fig. 3O caso h = 0 é bem simples. Se βzJ < 1, ou seja, T > zJ ≡ T c , a inclinação da tangente hiperbólica em m = 0 é menorque 1 e há apenas uma solução: m = 0. Essa solução é estável, no sentido <strong>de</strong> que é um mínimo da energia livre (prove isso). Já
9se βzJ > 1 ou T < T c , 3 soluções aparecem: a solução m = 0, que passa a ser instável, e duas soluções em m = ±m W ≠ 0,que são estáveis. Isso parece ter a fenomenologia correta <strong>de</strong> um ferromagneto. À medida que T → Tc − , as 3 soluções acima sejuntam em m = 0. Po<strong>de</strong>mos expandir a Eq. (6.8) para m pequeno, ainda em h = 0, usandoobtemosm (T, h = 0) ≈tanh x ≈ x − x33 , (6.9)√3 (T c − T )T c∼ t 1/2 . (6.10)Assim, a teoria <strong>de</strong> Weiss prevê β = 1/2. Analogamente, em T = T c (β = β c = 1/ (zJ)) para h e m pequenosm (T c , h) = tanh [β c h + m (T c , h)]m (T c , h) ≈ β c h + m (T c , h) − 1 3 [β ch + m (T c , h)] 3⇒ m (T c , h) ≈ (3β c h) 1/3 − β c h ≈ (3β c h) 1/3 ∼ h 1/3 . (6.11)Obtemos assim δ = 3 pela teoria <strong>de</strong> Weiss. A susceptibilida<strong>de</strong> é obtida diferenciando a Eq. (6.8) em relação a h e fazendoh = 0, sem esquecer da <strong>de</strong>pendência implícita <strong>de</strong> m com hPara T > T c , m = 0, e como β c − β ≈ β c tχ (T, h = 0) =χ =∂m∂h∣ =h=0β + β β cχcosh 2 (βm/β c ) ,ββ cβ c cosh 2 (βm/β c ) − β . (6.12)e γ = 1. Para T < T c , usando a Eq. (6.10)χ (T, h = 0) ≈ β ct , (6.13)cosh 2 (βm/β c ) ≈) 2 (1 + m2≈ 1 + m 2 ≈ 1 + 3t, (6.14)2e como β c − β ≈ −β c tχ (T, h = 0) ≈ββ cβ c (1 + 3t) − β ≈β2 c2β c t = β c2t , (6.15)que nos dá γ ′ = γ = 1. O cálculo do expoente do calor específico dá uma <strong>de</strong>scontinuida<strong>de</strong> em T c (α = 0) e é <strong>de</strong>ixado comoexercício. Assim, obtemos os 4 primeiros expoentes da Tabela I.Para obtermos os expoentes η e ν é preciso introduzir flutuações espaciais. Essas po<strong>de</strong>m ocorrer <strong>de</strong>vido a flutuações térmicasou <strong>de</strong>vido a um campo externo variável no espaçoH I → H I − ∑ ih i S i . (6.16)Nesse caso, <strong>de</strong>vemos admitir a possibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que 〈S j 〉 = m j varie no espaço. Assimeh iW = J⎛m i = tanh ⎝βJz∑m j + h i , (6.17)j=1z∑j=1m j + βh i⎞⎠ . (6.18)
Vamos tentar uma abordagem no contínuo, em que as variações espaciais na escala do parâmetro <strong>de</strong> re<strong>de</strong> são muito pequenas.Nesse caso, i → x e⎛⎞z∑m (x) = tanh ⎝βJ m (x + δ j ) + βh (x) ⎠ , (6.19)on<strong>de</strong> os unitários δ j conectam o sítio i aos seus z primeiros vizinhos. Expandindo nas <strong>de</strong>rivadas espaciaisj=1m (x + δ j ) ≈ m (x) + δ jα ∇ α m (x) + 1 2 δ jαδ jβ ∇ α ∇ β m (x) + O ( δ 3) . (6.20)Os termos <strong>de</strong> primeira or<strong>de</strong>m em δ e os termos cruzados <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m se anulam por simetria na soma sobre primeirosvizinhos e obtemosz∑m (x + δ j ) ≈ zm (x) + δ 2 ∇ 2 m (x) ,don<strong>de</strong>j=1Expandindo para pequenos valores do argumentom (x) = tanh ( βJzm (x) + βJδ 2 ∇ 2 m (x) + βh (x) ) . (6.21)(βzJ − 1) m − 1 3 (βzJm)3 + βJδ 2 ∇ 2 m (x) + βh (x) = 0. (6.22)Vamos explorar essa equação mais tar<strong>de</strong> em conexão com a teoria <strong>de</strong> Landau (Seção IX).10VII.MODELO DE ISING DE ALCANCE INFINITOA teoria <strong>de</strong> campo médio <strong>de</strong> Weiss po<strong>de</strong> ser obtida rigorosamente em dois limites equivalentes:1. No limite que a dimensão da re<strong>de</strong> vai a infinito.2. No limite em que cada spin interage igualmente com todos os outros da re<strong>de</strong> (alcance infinito).Fica claro porque esses limites fazem a aproximação <strong>de</strong> campo médio exata. Em ambos os casos, cada spin vê um númeroinfinito <strong>de</strong> outros spins. Pelo teorema do limite central, as flutuações em torno da média <strong>de</strong> uma soma <strong>de</strong> N termos aleatórioscresce com √ N e, portanto, a variação relativa cai com N −1/2 , sendo <strong>de</strong>sprezível quando o número <strong>de</strong> termos vai a infinito. Éinteressante averiguar em <strong>de</strong>talhe como isso acontece no mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising. Vamos consi<strong>de</strong>rar o caso 2 acima. Nesse casoH I = − J2N∑S i S j − h ∑i,jiS i , (7.1)em que dividimos pelo número total <strong>de</strong> spins N para que Hamiltoniano seja extensivo (a soma tem N 2 termos) ou, equivalentemente,para que o campo efetivo <strong>de</strong> Weiss seja intensivo. A função partição éConsi<strong>de</strong>re agora a seguinte i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong>( ) βJexp2N x2 =Segue queZ (T, h) = Tr ( e −βHI ) .∫ ∞−∞√ (NβJ2π dy exp − NβJ )2 y2 + βJxy . (7.2){ ∫ ∞√ [NβJZ (T, h) = Tr−∞ 2π dy exp − NβJ2 y2 + β (Jy + h) ∑ ]}S ii∫ ∞√ [NβJ=−∞ 2π dy exp − NβJ ] { }∏2 y2 Tr exp [β (Jy + h) S i ]i∫ ∞√ [NβJ=−∞ 2π dy exp − NβJ ]2 y2 {2 cosh [β (Jy + h)]} N∫ ∞√NβJ=dy exp [−NβL (y)] , (7.3)2π−∞
11on<strong>de</strong>L (y) = J 2 y2 − 1 ln {2 cosh [β (Jy + h)]} . (7.4)βA integral na Eq. (7.3) po<strong>de</strong> ser calculada pelo método do ponto <strong>de</strong> sela no limite N → ∞. Para isso, precisamos achar o pontoy 0 <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada nula da função L (y). Derivando, obtemosy 0 = tanh [β (Jy 0 + h)] , (7.5)que é a equação da teoria <strong>de</strong> campo médio <strong>de</strong> Weiss, se i<strong>de</strong>ntificarmos y 0 → m. A temperatura crítica é T c = J (o reescalamentocom N no Hamiltoniano modifica ligeiramente a expressão <strong>de</strong> T c em relação à teoria da Seção VI). A expressão da funçãopartição é dada poron<strong>de</strong> y 0 é o ponto <strong>de</strong> mínimo global <strong>de</strong> L (y). A energia livre por spin éZ (T, h) ≈ exp [−NβL (y 0 )] , (7.6)f (T, h) ≈ L (y 0 ) . (7.7)Compare com a Eq. (6.7). Note, como antecipamos na Seção VI, que a teoria po<strong>de</strong> ser obtida por minimização em relação a m,tomado como parâmetro variacional. A magnetização por spin éque é o resultado antecipado. Os outros resultados são imediatos.m = − ∂f∂h = −∂L (y 0)= tanh [β (Jy 0 + h)] = y 0 , (7.8)∂hVIII.TEORIA DE VAN DER WAALS DA TRANSIÇÃO LÍQUIDO-GÁSA teoria <strong>de</strong> Van <strong>de</strong>r Waals para a transição líquido-gás tem o mesmo papel que a teoria <strong>de</strong> Weiss do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising. Ambasrepresentam teorias <strong>de</strong> campo médio para as respectivas transições. Vamos recordar os principais elementos da teoria <strong>de</strong> Van <strong>de</strong>rWaals.A equação <strong>de</strong> estado dos gases i<strong>de</strong>ais é uma boa aproximação para gases reais a altas temperaturas e baixas <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>sP = T v , (8.1)on<strong>de</strong> v = V/N é o volume específico (lembrando que usamos unida<strong>de</strong>s tais que k B = 1). Se nos referirmos à Fig. 2(b), veremosque a Eq. (8.1) aproxima bem as isotermas hiperbólicas a altas temperaturas. A baixas temperaturas, discrepâncias começam aaparecer. Van <strong>de</strong>r Waals propôs as seguintes modificações para a equação dos gases i<strong>de</strong>ais (elas po<strong>de</strong>m ser justificadas a partirda expansão virial: para maiores <strong>de</strong>talhes, ver Statistical Physics, L. D. Landau and E. M. Lifshitz, 3rd. Edition, Pergamon,Oxford, 1980, Cap. 76):1. Fazer v → v − b, <strong>de</strong>vido ao “volume excluído” resultante da repulsão <strong>de</strong> curto alcance entre os átomos.2. Adicionar um termo −a/v 2 ao lado direito da Eq. (8.1), <strong>de</strong>vido à atração <strong>de</strong> longo alcance entre os átomos (interação <strong>de</strong>Van <strong>de</strong>r Waals).A justificativa para o segundo termo vem <strong>de</strong> supor uma diminuição da energia livre por partícula, <strong>de</strong>vido à atração, proporcionalà <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> (“campo médio”): −∆f ∝ 1/v. Como P = −∂f/∂v, temos o segundo termo. A equação <strong>de</strong> Van <strong>de</strong>r Waals ficaentãoP =Tv − b − a v 2 . (8.2)Vamos analisar as conseqüências imediatas da equação <strong>de</strong> Van <strong>de</strong>r Waals. Ela fornece uma equação <strong>de</strong> terceiro grau em vv 2 (v − b) = T P v2 − a (P (v − b) ⇒ v3 − b + T )v 2 + a P P v − ab = 0. (8.3)PEssa equação tem, em geral, 3 soluções. Para temperaturas suficientemente altas, apenas uma solução é real, enquanto que paratemperaturas mais baixas, as 3 soluções são reais (ver Fig. 4). Quando há 3 soluções reais, na região entre a primeira e a segunda
1210T = 0.75 T cT = 0.875 T cT = T cT = 1.125 T cP/P c500.5 1 1.5 2 2.5 3V/V cFigura 4: Isotermas <strong>de</strong>rivadas da equação <strong>de</strong> Van <strong>de</strong>r Waals (8.2), para vários valores <strong>de</strong> T .a pressão aumenta com o aumento do volume. Isso implica uma compressibilida<strong>de</strong> negativa, o que é termodinamicamenteproibido. Obviamente, isso ocorre porque a função P (v) para T fixa <strong>de</strong>rivada da Eq. (8.2) é analítica e não é capaz <strong>de</strong> gerar ocomportamento não analítico da região <strong>de</strong> coexistência líquido-gás da Fig. 2(b). Isso po<strong>de</strong> ser remediado através da chamadaconstrução <strong>de</strong> Maxwell: a região <strong>de</strong> coexistência, em que P permanece constante entre v l e v g é <strong>de</strong>terminada <strong>de</strong> tal forma quea diferença entre o segmento horizontal e a equação <strong>de</strong> Van <strong>de</strong>r Waals tenha área total nula (contando a área abaixo do segmentohorizontal como sendo negativa). Essa construção po<strong>de</strong> ser justificada através da imposição do equilíbrio térmico, mecânico e<strong>de</strong> troca <strong>de</strong> partículas entre as <strong>fase</strong>s (ver Statistical Physics, L. D. Landau and E. M. Lifshitz, 3rd. Edition, Pergamon, Oxford,1980, Cap. 84).O ponto crítico da transição ocorre quando as 3 soluções reais coalescem numa só raiz tripla. Nesse caso, a Eq. (8.3) se reduza(v 3 − b + T )v 2 + a P P v − abP = (v − v c) 3 = 0. (8.4)Como isso ocorre em T c e P c , obtemosResolvendo as 3 equações para 3 incógnitas3v c = b + T cP c, 3v 2 c = a P c, v 3 c = abP c. (8.5)Uma das conseqüências <strong>de</strong> (8.6) é quev c = 3b, P c =a27b 2 , T c = 8a27b . (8.6)P c v cT c= 3 8 . (8.7)A concordância <strong>de</strong>ssa razão universal com a experiência não é <strong>de</strong> todo ruim, pois os valores ficam em torno <strong>de</strong> 0.3, o que ésurpreen<strong>de</strong>nte já que se trata <strong>de</strong> uma <strong>de</strong>scrição tão simples. Além disso, po<strong>de</strong>mos reescrever (8.2) em termos <strong>de</strong> quantida<strong>de</strong>sadimensionais¯P ≡ P P c, (8.8)¯T ≡ T T c, (8.9)¯v ≡ v v c, (8.10)
13e obtemos uma equação universal¯P =8 ¯T − . (8.11)3¯v − 13¯v2Essa é a chamada lei dos estados correspon<strong>de</strong>ntes.O comportamento crítico po<strong>de</strong> também ser extraído da equação <strong>de</strong> Van <strong>de</strong>r Waals. Expandindo (8.11) quando suas variáveissão próximas <strong>de</strong> 1 e <strong>de</strong>finindoobtemos¯T = 1 + t, (8.12)¯v = 1 + θ, (8.13)¯P = 1 + 4t − 6tθ − 3 2 θ3 , (8.14)on<strong>de</strong> levamos a expansão até O ( t 3/2) , supondo que θ g ∼ √ |t| como é o resultado <strong>de</strong> campo médio e como será mostrado aseguir. Note the t ≷ 0 se T ≷ T c . Os volumes do gás e do líquido coexistentes, θ g > 0 e θ l < 0, são obtidos pela construção <strong>de</strong>Maxwell para t < 0∮vdP = 0. (8.15)Po<strong>de</strong>mos ver que as isotermas obtidas a partir da Eq. (8.14), correspon<strong>de</strong>m a uma função ímpar <strong>de</strong> θ em relação ao ponto¯P 0 = 1 + 4t. Portanto, a construção <strong>de</strong> Maxwell fornece volumes θ g e θ l localizados simetricamente em relação a zero, ou seja,θ g = −θ l .Além dissodon<strong>de</strong>, usando (8.14),¯P (θ g ) = ¯P (θ l ) = ¯P (−θ g ) , (8.16)θ 2 g = −4t, (8.17)que nos dá o expoente β = 1/2 e confirma o comportamento <strong>de</strong> campo médio assumido no início. Na temperatura crítica t = 0e <strong>de</strong> (8.14)¯P − 1 = 3 2 θ3 ⇒ P − P c= 3 ( ) 3 v − vc, (8.18)P c 2 v cque nos dá δ = 3, também típico <strong>de</strong> campo médio. A divergência da compressibilida<strong>de</strong> isotérmica po<strong>de</strong> ser obtida <strong>de</strong>De (8.14),κ T = − 1 vTanto para T > T c (ao longo <strong>de</strong> θ = 0), quanto para T < T c (θ 2 g = −4t)∂v∂P = − 1 ∂θ. (8.19)v c P c ∂ ¯P∂ ¯P∂θ = −6t − 9 2 θ2 . (8.20)κ T ∼ t −1 , (8.21)que dá γ = γ ′ = 1, <strong>de</strong> novo confirmando a natureza <strong>de</strong> campo médio da teoria. O cálculo do calor específico requer suposiçõessobre a <strong>de</strong>pendência da entropia com a temperatura e vai além da mera equação <strong>de</strong> Van <strong>de</strong>r Waals, assim como os outrosexpoentes que dizem respeito às variações espaciais das correlações. Esses ficarão mais claros a partir da teoria mais geral <strong>de</strong>Landau.
14IX.TEORIA DE LANDAU DAS TRANSIÇÕES DE FASE CONTÍNUASA natureza das transições <strong>de</strong> <strong>fase</strong> contínuas é posta em bases mais sólidas e gerais pela teoria <strong>de</strong> Landau. A filosofia <strong>de</strong>ssateoria é escrever um funcional (funcional <strong>de</strong> Landau) do parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m, cujo mímino funcional nos dá o valor <strong>de</strong> equilíbriodo parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m e a energia livre do sistema. O funcional <strong>de</strong> Landau po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>duzido no caso <strong>de</strong> teorias <strong>de</strong> campo médioespecíficas, como a teoria <strong>de</strong> Weiss, Van <strong>de</strong>r Waals ou BCS da supercondutivida<strong>de</strong>. No caso geral, ele <strong>de</strong>ve ser encarado comouma <strong>de</strong>scrição dos graus <strong>de</strong> liberda<strong>de</strong> <strong>de</strong> longos comprimentos <strong>de</strong> onda <strong>de</strong> uma teoria, uma vez que a física <strong>de</strong> curto alcance(curtos comprimentos <strong>de</strong> onda) tenha sido “integrada”. Nesse sentido mais amplo, em que não estamos interessandos apenas naminimização do funcional mas incorporamos também suas flutuações, a teoria <strong>de</strong> Landau vai além da teoria <strong>de</strong> campo médio e<strong>de</strong>fine uma teoria <strong>de</strong> campos que servirá como base para os nossos <strong>de</strong>senvolvimentos futuros do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong>.O funcional <strong>de</strong> Landau é construído, supondo-se a proximida<strong>de</strong> do ponto crítico <strong>de</strong> tal modo que o parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m sejapequeno em algum sentido. Nesse caso, po<strong>de</strong>mos tentar expandir o funcional em potências do parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m e/ou <strong>de</strong> suas<strong>de</strong>rivadas. O funcional <strong>de</strong>ve ser consistente com as simetrias do problema. No caso, vamos supor por simplicida<strong>de</strong> que hajasimetria <strong>de</strong> rotação (tratamento do contínuo, em que <strong>de</strong>sprezamos efeitos <strong>de</strong> re<strong>de</strong>) e translação. A expansão se fará em termos<strong>de</strong> potências inteiras do parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m e <strong>de</strong> suas <strong>de</strong>rivadas, <strong>de</strong> forma a preservar a natureza analítica do funcional. Assim,para um parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m φ α , que supomos um vetor <strong>de</strong> n componentes, o funcional <strong>de</strong> Landau po<strong>de</strong> ser expandido como∫ { 1L {φ α , ∂ i φ α , ∂ i ∂ j φ α , ...} = dx2 φ (x) · [r− ▽ 2] φ (x) + u }4 [φ (x) · φ (x)]2 − h (x) · φ (x) + ... . (9.1)A expressão acima retém os termos principais para obtermos uma teoria compatível com as teorias das Seções anteriores, masem outras situações po<strong>de</strong> ser necessário manter outros termos. O último termo quebra a simetria <strong>de</strong> rotação e <strong>de</strong>ve ser encaradocomo análogo ao campo magnético. Vamos calcular a <strong>de</strong>rivada funcional <strong>de</strong> L com relação ao campo φ αδLδφ (x) = ( r − ▽ 2) φ (x) + u [φ (x) · φ (x)] φ (x) − h (x) = 0. (9.2)Essa é a mesma Eq. (6.22) que obtivemos na teoria <strong>de</strong> Weiss generalizada para situações com <strong>de</strong>pendência espacial (para o caso<strong>de</strong> um parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m escalar). O mínimo do funcional quando o campo aplicado é uniforme h (x) = he h ocorre para umparâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m uniformetal queque é o mínimo do potencialφ (x) = φ 0 e h , (9.3)rφ 0 + uφ 3 0 = h, (9.4)V (φ) = r 2 φ (x) · φ (x) + u 4 [φ (x) · φ (x)]2 − h (x) · φ (x) . (9.5)O caso h = 0 é instrutivo. Nesse caso, se r > 0, φ 0 = 0. Entretanto, se r < 0,φ 2 0 = − r u . (9.6)Note que necessariamente <strong>de</strong>vemos ter u > 0, do contrário o potencial (9.5) é ilimitado inferiormente. Está claro que para fazercontato com as teorias <strong>de</strong> campo médio anteriores, precisamos supor que (a > 0)r = at. (9.7)Dessa forma, da Eq. (9.6) segue que β = 1/2, como queremos. O potencial V (φ) para um parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m escalar e váriosvalores dos parâmetros r e h é mostrado na Fig. 5.Os outros expoentes também são imediatos. Fazendo r = 0 na Eq. (9.4), obtemose δ = 3. Inserindo φ 0 no funcional obtemos a (<strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong>) energia livre <strong>de</strong> Landauφ 0 = 1 u h1/3 , (9.8)f = L V = r 2 φ2 0 + u 4 φ4 0 − hφ 0. (9.9)
156(a)2(b)V(φ)4r > 0r < 0V(φ)1h < 0h > 0200-1 0 1φ-1 0 1φFigura 5: Potencial <strong>de</strong> Landau V (φ) (Eq. 9.5) para um parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m escalar e para (a) h = 0, r > 0 e r < 0 e (b) r < 0, h > 0 eh < 0.A susceptibilida<strong>de</strong> e o calor específico po<strong>de</strong>m ser obtidos das <strong>de</strong>rivadas segundas em relação a h e T (ou t) da energia livre. Osparâmetros r e u tem <strong>de</strong>pendências com h e t, mas a única <strong>de</strong>pendência importante é a <strong>de</strong> r com t: as outras são supostas suavese não críticas. Assim, para h = 0,{0 t > 0,f (t, h = 0) =(9.10)− a24u t2 t < 0,e o calor específico apresenta uma <strong>de</strong>scontinuida<strong>de</strong> em T cdando α = 0. Analogamente,c (t) ={− ∂f∂h = φ 0 − ∂f∂φ 0∂φ 0− ∂2 f∂h 2 = ∂φ 0∂h −já que ∂f/∂φ 0 = 0. Derivando (9.4) em relação a hAlém disso,e0 t > 0,a 22u T c t < 0,r ∂φ 0∂h + ∂φ 03uφ2 0∂h = 1 ⇒ ∂φ 0∂h = 1r + 3uφ 2 =0∂ 2 f∂φ 2 0(9.11)∂h , (9.12)( ) 2 ∂2 f ∂φ 0∂φ 0 ∂h ∂h − ∂2 f ∂φ0∂φ 2 , (9.13)0 ∂h{1att > 0,− 12att < 0.(9.14)∂ 2 f= −1, (9.15)∂φ 0 ∂h= r + 3uφ 2 0 ={at t > 0,−2at t < 0.(9.16)Assim{χ = − ∂2 f∂h 2 = 11r + 3uφ 2 = att > 0,0 − 12att < 0.(9.17)
Obtemos, portanto, γ = γ ′ = 1.Note que o funcional <strong>de</strong> Landau é perfeitamente analítico e as não-analiticida<strong>de</strong>s da transição <strong>de</strong> <strong>fase</strong> aparecem da condição<strong>de</strong> minimização.Vamos analisar agora as flutuações espaciais da teoria. Para isso, voltemos à Eq. (9.1), especializada para o caso <strong>de</strong> umparâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m uniforme. Po<strong>de</strong>mos expandir o integrando até or<strong>de</strong>m quadrática em torno do mínimo φ (x) = φ 0 + δ (x),supondo que o campo externo é nuloφ 2 (x) = [φ 0 + δ (x)] 2 = φ 2 0 + 2φ 0 δ (x) + δ 2 (x) , (9.18)φ (x) ▽ 2 φ (x) = φ 0 ▽ 2 δ (x) + δ (x) ▽ 2 δ (x) , (9.19)φ 4 (x) = [φ 0 + δ (x)] 4 = φ 4 0 + 4φ3 0 δ (x) + 6φ2 0 δ2 (x) + O [ δ 2 (x) ] , (9.20)<strong>de</strong> tal forma que L = ∫ dxf (x), on<strong>de</strong> (o termo <strong>de</strong> primeira or<strong>de</strong>m em δ é nulo no mínimo funcional)[(f (x) ≈ r 2 φ2 0 + u ) ]r − ▽24 φ4 0 + δ (x)+ 3uφ 0δ (x)2 2= f 0 (T ) + 1 2 δ (x) ( ξ −2 − ▽ 2) δ (x) , (9.21)16on<strong>de</strong>ξ −2 = r + 3uφ 2 0 = {r t > 0,−2r t < 0.(9.22)A razão para a <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> ξ ficará mais clara a seguir. Assim∫Z [T, j (x)] = e −f0(T ) +∫Dδ expdx[− 1 2 δ (x) ( ξ −2 − ▽ 2) ]δ (x) + j (x) δ (x) , (9.23)que <strong>de</strong>ve ser entendida como uma integral funcional sobre as flutuações δ (x) do parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m e on<strong>de</strong> introduzimos umtermo <strong>de</strong> fonte j (x) δ (x) que é útil para tomar <strong>de</strong>rivadas funcionais. A função <strong>de</strong> correlação do parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m éÉ fácil ver queδ ln Z [T, j (x)]=δj (0)δ 2 ln Z [T, j (x)]δj (x) δj (0) ∣ =j(x)=0G (x) ≡ 〈φ (x) φ (0)〉 − φ 2 0G (x) = 〈δ (x) δ (0)〉 . (9.24)1Tr [δ (0)] = 〈δ (0)〉 , (9.25)Z [T, j (x)]1Z [T, j (x)] Tr [δ (x) δ (0)] ∣∣∣∣j(x)=0−1Z 2 [T, j (x)] {Tr [δ (0)]}2 ∣∣∣∣j(x)=0(9.26)= 〈δ (x) δ (0)〉 = G (x) . (9.27)É conveniente trabalhar no espaço <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong>vido à invariância translacional do funcional (d é a dimensão do sistema)∫dkδ (x) ≡ eik·x (2π) d δ (k) , etc., (9.28)on<strong>de</strong> usaremos o mesmo símbolo para uma função e sua transformada <strong>de</strong> Fourier, a distinção ficando óbvia pelo argumento.Obtém-se∫ [dk 1 (L =ξ −2(2π) d + k 2) ]|δ (k)| 2 + j (−k) δ (k) , (9.29)2on<strong>de</strong> usamos que δ (−k) = δ ∗ (k) para δ (x) ∈ R. Segue que, para j = 0 (ver Seção XI)〈〈δ (k) δ (q)〉 = δ (d) (k + q) |δ (k)| 2〉 (9.30)
eO valor esperado acima provém <strong>de</strong> uma integral gaussiana simples eG (k) = 1(2π) d 〈|δ (k)| 2〉 . (9.31)G (k) =171ξ −2 + k 2 . (9.32)Esse é o resultado central procurado. Ele é conhecido pelo nome <strong>de</strong> função <strong>de</strong> correlação <strong>de</strong> Ornstein e Zernicke. Para analisá-lomelhor é importante transformar <strong>de</strong> volta para o espaço real∫dk e ik·xG (x) =(2π) d ξ −2 + k 2 . (9.33)A integral acima po<strong>de</strong> ser feita analiticamente (ver o livro do Gol<strong>de</strong>nfeld) e obtemos (para d ≥ 2)G (x) = π(1−d)/22 (1+d)/2 1)ξ d−2e −r/ξ(r/ξ) (d−1)/2 , T ≠ T c, (9.34)G (x) = Γ ( d−22 14π d/2 r d−2 , T = T c, (9.35)que é o resultado anunciado anteriormente nas Eqs. (2.9) e (2.10). Da comparação po<strong>de</strong>-se ver que a teoria <strong>de</strong> campo médio<strong>de</strong> Landau prevê η = 0. Além disso, confirmamos que o símbolo ξ é realmente o comprimento <strong>de</strong> correlação como <strong>de</strong>finidoanteriormente. De (9.22), obtemos finalmente que ν = 1/2. Isso completa a <strong>de</strong>terminação dos expoentes críticos <strong>de</strong> campomédio anunciados na Tabela I. É interessante notar e fica como exercício <strong>de</strong>rivar a função <strong>de</strong> correlação (9.33) diretamente daEq. (9.37) (ou equivalentemente <strong>de</strong> (6.22)) através <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivação funcionalδφ (x)G (x) = δh (0) ∣ , (9.36)h(x)=0(ver Eqs. (9.25-9.27)). Isso ilustra também porque G (x) é também chamada <strong>de</strong> função <strong>de</strong> Green.A. Derivação alternativaVamos re<strong>de</strong>rivar a expressão acima, usando <strong>de</strong>rivação funcional e gereralizando para o caso <strong>de</strong> um parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m realcom n componentes. Vamos primeiro re-escrever a equação <strong>de</strong> Landau em componentes(r − ▽2 ) [ n]∑φ i (x) + u φ 2 k (x) φ i (x) − h i (x) = 0 (9.37)e vamos <strong>de</strong>finirk=1k=1G ij (x) = δφ i (x)δh j (0) ∣ . (9.38)h(x)=0Derivando implicitamente a Eq. (9.37) em relação a h j (0) temos(r − ▽2 ) [ n][]∑n∑G ij (x) + u φ 2 k (x) G ij (x) + uφ i (x) 2 φ k (x) G kj (x) = δ ij δ (d) (x) . (9.39)Quando h (x) = 0, para T > T c , φ i = 0 enquanto que para T < T ck=1φ i (x) = φ 0 δ i,1 , (9.40)on<strong>de</strong> escolhemos arbitrariamente a direção i = 1 como sendo aquela em que parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m se congela. Assim(r + uφ20 + 2uφ 2 0 δ i,1 − ▽ 2) G ij (x) = δ ij δ (d) (x) . (9.41)
18Como a matriz que multiplica G ij (x) é diagonal, sua inversa também é. Assim obtemos no espaço <strong>de</strong> FourierG ij (k) = δ ij [δ i,1 G l (k) + (1 − δ i,1 ) G t (k)] , (9.42)on<strong>de</strong>eG l (k) =G t (k) =ξ −2l= r + 3uφ 2 0 = {1ξ −2l+ k , 2 (9.43)1ξt −2 + k , 2 (9.44)r t > 0,−2r t < 0,{ξt −2 = r + uφ 2 0 = r t > 0,0 t < 0.(9.45)(9.46)O resultado para a função <strong>de</strong> correlação longitudinal é o mesmo obtido anteriormente no caso n = 1, mas a função <strong>de</strong> correlaçãotransversal é um resultado novo. Embora ξ l = ξ t para T > T c , o comprimento <strong>de</strong> correlação transversal é nulo para T < T c .Esse resultado, específico <strong>de</strong> parâmetros <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m contínuos (n > 1), reflete o fato <strong>de</strong> que as flutuações transversais do parâmetro<strong>de</strong> or<strong>de</strong>m com comprimentos <strong>de</strong> onda λ → ∞ têm energias nulas (teorema <strong>de</strong> Goldstone).X. FLUTUAÇÕES E CRITÉRIO DE GINZBURGPo<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>terminar a valida<strong>de</strong> da teoria <strong>de</strong> campo médio <strong>de</strong>ntro da própria teoria. Vamos fazer isso <strong>de</strong> duas maneiras. Vimosque a hipótese básica da teoria <strong>de</strong> campo médio está em <strong>de</strong>sprezar as flutuações em torno do valor médio do parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m.Po<strong>de</strong>mos usar a função <strong>de</strong> correlação para estimar essas flutuações. Sabemos queG (x) = 〈φ (x) φ (0)〉 − φ 2 0 (10.1)e que, pela Eq. (9.34), o comprimento <strong>de</strong> correlação ξ <strong>de</strong>termina a escala além da qual o parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m se <strong>de</strong>scorrelaciona.Assim, estimamos a variância <strong>de</strong> φ comoDevemos compará-la com φ 2 0 ∼ t e exigir que as flutuações sejam pequenasσ 2 φ ≈ G (|x| = ξ) ∼ ξ 2−d ∼ t (d−2)/2 . (10.2)σ 2 φφ 2 0∼ t (d−4)/2 ≪ 1. (10.3)Esse é o chamado critério <strong>de</strong> Ginzburg. Ele é extremamente importante porque ele <strong>de</strong>termina a região <strong>de</strong> valida<strong>de</strong> da teoria<strong>de</strong> Landau. Vejamos suas conseqüências. Para d > 4, o critério (10.3) é sempre satisfeito suficientemente próximo da transição(t ≪ 1). A teoria <strong>de</strong> Landau, portanto, <strong>de</strong>screve bem o comportamento crítico. Para d < 4, entretanto, a variação relativa doparâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m diverge à medida que nos aproximamos do ponto crítico. Isso mostra que a teoria <strong>de</strong> Landau é inválidacomo <strong>de</strong>scrição do comportamento crítico para d < 4. Os resultados da teoria, no entanto, po<strong>de</strong>m ainda ser utilizados parad < 4, fora da chamada região crítica, ou seja, parat (d−4)/2 ≫ 1. (10.4)É importante notar que ainda assim é possível satisfazer a condição <strong>de</strong> que φ 0 = √ −r/u = √ at/u ≪ 1, necessária para avalida<strong>de</strong> da expansão do funcional <strong>de</strong> Landau. A dimensão d uc = 4, acima da qual a teoria <strong>de</strong> Landau é válida mesmo na regiãocrítica é chamada <strong>de</strong> dimensão crítica superior. Nossa tarefa será tentar ir além da teoria <strong>de</strong> Landau em dimensões abaixo dadimensão crítica superior.A divergência das flutuações abaixo <strong>de</strong> 4 dimensões po<strong>de</strong> também confirmada através do cálculo das correções do calorespecífico <strong>de</strong>vido às flutuações. A correção à energia livre <strong>de</strong>vido às flutuações é obtida diretamente <strong>de</strong> (9.29) (ver Seção XI)∆f = − ln ( <strong>de</strong>tG −1) ∫ ( )−1/2 1 = −2 Tr ln G = −1 dk2 (2π) d ln 1ξ −2 + k 2 = 1 ∫dk2 (2π) d ln ( ãt + k 2) , (10.5)
on<strong>de</strong> ã po<strong>de</strong> ser obtido <strong>de</strong> (9.22). Note que estamos <strong>de</strong>sprezando a <strong>de</strong>pendência com β ≈ β c , que é uma quantida<strong>de</strong> não crítica.Assim∆C ∝ − ∂2 ∆f∂t 2∝ ã22∫ Λ019dk(2π) d 1(ξ −2 + k 2 ) 2 , (10.6)on<strong>de</strong> introduzimos um “cutoff” para vetores <strong>de</strong> onda gran<strong>de</strong>s, que reflete o parâmetro <strong>de</strong> re<strong>de</strong>. Para analisar essa integral, vamosescrever a variável <strong>de</strong> integração como uma quantida<strong>de</strong> adimensional q = ξk4−d ã2∆C ∝ ξ2∫ Λξ0dq 1(2π) d (1 + q 2 ) 2 . (10.7)Quando T → T c , o comprimento <strong>de</strong> correlação diverge e com ele o limite superior da integral em (10.7). O integrando nessaregião se comporta como∫ Λξq d−1q 4 dq ∼ (Λξ)d−4 , (10.8)que converge quanto ξ → ∞ se d < 4. Nesse caso,∆C ∝ ξ 4−d ∼ t −(4−d)/2 . (10.9)Vemos assim que as correções <strong>de</strong>vido às flutuações divergem na região crítica e mostram que as flutuações invalidam a teoria<strong>de</strong> Landau para d < 4. É interessante notar que, tomado como um mo<strong>de</strong>lo da transição, o mo<strong>de</strong>lo acima (chamado <strong>de</strong> mo<strong>de</strong>logaussiano, por incorporar apenas as flutuações quadráticas) fornece o expoente críticoα = 2 − d 2 . (10.10)Note que se d > 4, a integral não converge no limite superior, o que apenas nos diz que não po<strong>de</strong>mos fazer a troca <strong>de</strong> variáveisk → q = ξk. De fato, po<strong>de</strong>mos fazer ξ −2 = 0 em (10.6) e∫ Λ0k d−1k 4 dk ∼ kd−4∣ ∣ Λ 0 , (10.11)que converge no limite inferior se d > 4. É importante notar que a divergência <strong>de</strong> ∆C para d < 4 ocorre <strong>de</strong>vido ao limiteinferior da integral em (10.6), apesar <strong>de</strong> sua aparição no limite superior da integral re-escalada. Isso fica claro fazendo ξ −2 = 0em (10.6) e notando que a integral diverge no limite inferior. As flutuações divergentes são flutuações <strong>de</strong> longos comprimentos<strong>de</strong> onda.XI.INTEGRAÇÃO GAUSSIANAVamos fazer uma digressão matemática para estabelecer as fórmulas das integrais gaussianas, que aparecem freqüêntementeem nosso <strong>de</strong>senvolvimento. Consi<strong>de</strong>remos primeiramente uma variável apenas. Nesse caso∫ ∞ (I (a, j) = dx exp − a ) ∫ [∞−∞ 2 x2 + jx = dx exp − a (x − j ) ]2+ j2−∞ 2 a 2a∫ ∞ (= e j2 /2adx exp − a 2 x2) = e/2a√2π j2a . (11.1)Segue que∫ ∞−∞−∞Consi<strong>de</strong>re agora que há N coor<strong>de</strong>nadas x i e que(dxx 2 exp − a )∣2 x2 + jx = ∂2 I (a, j) ∣∣∣j=0∂j 2 = 1 √2πa a . (11.2)I [A ij , j i ] =∫ ∞N∏−∞ i=1dx i exp(− 1 )2 x iA ij x j + j i x i , (11.3)
on<strong>de</strong> A ij é uma matriz real simétrica positivo-<strong>de</strong>finida (seus autovalores são positivos) e on<strong>de</strong> usamos a convenção <strong>de</strong> Einstein<strong>de</strong> que índices repetidos são somados. Seja S ij a matriz ortogonal (S −1 = S T ) que diagonaliza A ijS ik A kl S −1lj= a i δ ij , (11.4)on<strong>de</strong> a i > 0 são os auto-valores <strong>de</strong> A ij . Se y i = S ij x j , então x i A ij x j = y i S ik A kl S −1lj y j = a i yi 2. Além disso, j ix i =j i Sij−1 y j ≡ h j y j , on<strong>de</strong> h i = S ij j j . Levando em conta que o Jacobiano da troca <strong>de</strong> variáveis x i → y i é <strong>de</strong>tS = 1, entãoI [A ij , j i ] =∫ ∞N∏−∞ i=1dy i exp(− 1 )2 a iyi 2 + h iy i√ N∏= e h2 i2π/2aiai=1i( = √∏ (2π)N ∑ NNi=1 a expi i=1⎛N∑= (2π)N/2 √ exp ⎝<strong>de</strong>tA⎛= (2π)N/2 √ exp ⎝ 1<strong>de</strong>tA 2i,j,k=1N∑j,k=1)h 2 i2a iS ij j j S ik j k2a i⎞⎠j j B jk j k⎞⎠ ,20on<strong>de</strong>AssimB jk =N∑i=1S ij S ika i=N∑i=1I [A ij , j i ] = (2π)N/2 √ exp ⎝ 1<strong>de</strong>tA 2( ) 1S −1jiS ik = A −1jka .i⎛N∑j,k=1j j A −1jk j k⎞⎠ . (11.5)Generalizando para integrais funcionais, on<strong>de</strong> i → x, etc., temos∫[Z [j (x)] = Dφ (x) exp − 1 ∫ ∫∫]dx dyφ (x) A (x, y) φ (y) + dxj (x) φ (x)2[ ∫ ∫]= [<strong>de</strong>tA (x, y)] −1/2 1exp dx dyj (x) A −1 (x, y) j (y) . (11.6)2Em (11.6), o <strong>de</strong>terminante geralmente é calculado <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> diagonalizado o “operador” A (x, y). O operador inverso <strong>de</strong>A (x, y)é, por <strong>de</strong>finição∫dzA −1 (x, z) A (z, y) = δ (d) (x − y) . (11.7)Note que, se <strong>de</strong>finimoson<strong>de</strong> O (x) é qualquer operador local, então∫ [ ∫ ∫ ]Dφ (x) O (x) exp −12 dx dyφ (x) A (x, y) φ (y)〈O (x)〉 ≡ ∫ [ ∫ ∫ ]Dφ (x) exp −1, (11.8)2 dx dyφ (x) A (x, y) φ (y)〈φ (x)〉 =δ ln Z [j (x)]δj (x)〈φ (x) φ (y)〉 con= δ2 ln Z [j (x)]δj (y) δj (x)∣ (11.9)j(x)=0 ∣ . (11.10)j(x)=0
21on<strong>de</strong> 〈AB〉 con≡ 〈AB〉 − 〈A〉 〈B〉. Segue que〈φ (x)〉 =∫dyA −1 (x, y) j (y) (11.11)〈φ (x) φ (y)〉 con= A −1 (x, y) . (11.12)XII.TEORIA DE ESCALAAntes do <strong>de</strong>senvolvimento da teoria do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong>, alguns pesquisadores perceberam que na região crítica asquantida<strong>de</strong>s físicas tinham um comportamento mais simples como função dos parâmetros externos, como temperatura e campomagnético no caso dos ferromagnetos. Um dos primeiros a notar essa simplificação foi Ben Widom 1,2 (outros também perceberam,como Patashinskii e Pokrovskii 3 ). Essa simplificação leva o nome <strong>de</strong> teoria <strong>de</strong> escala (ou <strong>de</strong> escalamento, “scalingtheory”). Uma das conseqüências mais importantes da teoria <strong>de</strong> escala é mostrar que os expoentes críticos não são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes,mas satisfazem algumas relações (leis <strong>de</strong> escala). Partindo <strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rações termodinâmicas, essas relações haviam sido<strong>de</strong>monstradas antes da teoria <strong>de</strong> escala como <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s. Por exemplo, mostrou-se queA teoria <strong>de</strong> escala <strong>de</strong>monstrou que elas eram satisfeitas como igualda<strong>de</strong>s, ou seja, queα + 2β + γ ≥ 2. (12.1)α + 2β + γ = 2. (12.2)A teoria do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong> irá <strong>de</strong>monstrar a valida<strong>de</strong> da teoria <strong>de</strong> escala.A teoria <strong>de</strong> escala po<strong>de</strong> ser escrita em várias formas. Vamos consi<strong>de</strong>rar primeiro a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia livre <strong>de</strong> um ferromagneto,na região crítica, como função <strong>de</strong> h e T , mais precisamente sua parte singular. A teoria <strong>de</strong> escala parte da suposiçãosimples (hipótese <strong>de</strong> escala) <strong>de</strong> que f <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> h e T numa combinação bem <strong>de</strong>finida( ) hf (T, h) = t 2−α Φt ∆ , (12.3)on<strong>de</strong> o expoente ∆ é chamado <strong>de</strong> “expoente do gap”. Os expoentes α e ∆ e a função Φ (chamada <strong>de</strong> função <strong>de</strong> escala) sãotodos universais (mas que variam com a dimensão e o número <strong>de</strong> componentes do parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m, ou seja, com a classe <strong>de</strong>universalida<strong>de</strong>). Vamos examinar as conseqüências da hipótese <strong>de</strong> escala.O calor específico é dado porC = −T ∂2 f∂T 2 ∼ f−∂2 ∂t 2 ∼ − ∂ ∂t[∼ − (2 − α) (1 − α) t −α Φ[( h(2 − α) t 1−α Φ)t ∆ − h∆ ( )] ht ∆+1 t2−α Φ ′ t( )( )∆h1−α h∆ ht ∆ − (2 − α) tt ∆+1 Φ′ t ∆−h∆ (1 − α − ∆) t −α−∆ Φ ′ ( ht ∆ )+ (h∆)2t 2(∆+1) t2−α Φ ′′ ( ht ∆ ) ]∼ − (2 − α) (1 − α) Φ (0) t −α , (12.4)em que fizemos h = 0 ao final. Obtemos assim a divergência esperada do calor específico com o expoente a<strong>de</strong>quado, que foi arazão para a escolha do coeficiente <strong>de</strong> Φ. Se agora <strong>de</strong>rivarmos em relação a h po<strong>de</strong>mos obter a magnetizaçãom = − ∂f( ) h∂h = t2−α−∆ Φ ′ t ∆ . (12.5)Tomando h → 0 <strong>de</strong>vemos obter a magnetização expontânea para T < T c (supomos que t = |T − T c | /T c acima). Assim,Assim, <strong>de</strong>duzimos quem ∼ Φ ′ (0) t 2−α−∆ ∼ t β . (12.6)β = 2 − α − ∆. (12.7)
Derivando (12.5) mais uma vez em relação a h obtemos a susceptibilida<strong>de</strong>χ = ∂m∂h ∣ = t 2−α−2∆ Φ ′′ (0) ∼ t −γ , (12.8)h=0don<strong>de</strong> se <strong>de</strong>duzPo<strong>de</strong>mos agora eliminar a variável <strong>de</strong>sconhecida ∆ <strong>de</strong> (12.7) e (12.9) para obterγ = 2∆ + α − 2. (12.9)α + 2β + γ = 2, (12.10)que é a relação <strong>de</strong> Rushbrooke (ou Essam-Fisher), já mencionada. Além disso, po<strong>de</strong>mos fazer t → 0 em (12.5) para obter aequação <strong>de</strong> estado no ponto crítico e com isso o expoente δ. Entretanto, parece haver um problema nesse caso, pois o argumento<strong>de</strong> Φ ten<strong>de</strong> ao infinito. Nesse ponto, precisamos perceber que, para que a equação não <strong>de</strong>penda <strong>de</strong> t ao final, é preciso quequando x → ∞<strong>de</strong> tal forma que os fatores <strong>de</strong> t se cancelem. Nesse caso,AssimDe (12.7), ∆ = 2 − α − β e <strong>de</strong> (12.2), α + β = 2 − γ − β, don<strong>de</strong>Finalmente, <strong>de</strong> (12.13) e (12.14)Φ (x) ∼ x (2−α−∆)/∆ , (12.11)m ∼ h (2−α−∆)/∆ ∼ h 1/δ . (12.12)δ (2 − α − ∆) = δβ = ∆. (12.13)∆ = β + γ. (12.14)βδ = β + γ, (12.15)que é a segunda igualda<strong>de</strong> <strong>de</strong> expoentes que obtemos.Para <strong>de</strong>rivarmos as outras leis <strong>de</strong> escala precisamos analisar a função <strong>de</strong> correlação. Sabemos que na região crítica, ela <strong>de</strong>pen<strong>de</strong><strong>de</strong> r e ξ. Assim a hipótese <strong>de</strong> escala po<strong>de</strong> ser escrita( ) rG (r) ∼ r −(d−2+η) Γ , (12.16)ξon<strong>de</strong> introduzimos uma nova função <strong>de</strong> escala Γ. Claramente, Γ (x) ∼ const. quando x → 0, a fim <strong>de</strong> recuperarmos a expressãocrítica da função <strong>de</strong> correlação. Para relacionar essa expressão com outros expoentes é preciso lembrar que a integral <strong>de</strong> G (r)sobre todo o espaço nos dá a susceptibilida<strong>de</strong>∫∫ ∞χ ∼ dxG (r) ∼ r d−1 drG (r) . (12.17)Assimχ ∼∫ ∞0r d−1 ( ) rr d−2+η Γ dr ∼ξ∫ ∞on<strong>de</strong> re-escalamos a variável <strong>de</strong> integração r = yξ. Como ξ ∼ t −νdon<strong>de</strong>0022( ) ∫ r ∞r 1−η Γ dr ∼ ξ 2−η y 1−η Γ (y) dy, (12.18)ξ 0∫ ∞χ ∼ t −(2−η)ν y 1−η Γ (y) dy ∼ t −γ , (12.19)0γ = ν (2 − η) . (12.20)
É importante frisar que essas leis <strong>de</strong> escala envolvendo os expoentes são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes da dimensão (embora os valores dosexpoentes variem com a dimensão). De fato, além <strong>de</strong> valerem em 3 dimensões, é fácil checar a partir da Tabela I que elastambém são válidas em 2 dimensões. Existe uma última lei <strong>de</strong> escala, entretanto, que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da dimensionalida<strong>de</strong> e tem, porisso, um status ligeiramente diferente. Ela parte da suposição (como sempre, a ser justificada mais adiante com o <strong>grupo</strong> <strong>de</strong><strong>renormalização</strong>) <strong>de</strong> que a divergência da <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia livre é uma conseqüência direta da divergência do comprimento<strong>de</strong> correlação. Na verda<strong>de</strong>, todas as divergências críticas têm essa origem. A <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia livre se relaciona com afunção partição através <strong>de</strong>f ∼ 1 ln Z (12.21)Ld e tem, portanto, dimensão <strong>de</strong> L −d já que Z é adimensional. Segue que a <strong>de</strong>pendência singular <strong>de</strong> f na região crítica serágovernada por ξ da seguinte formaPara h = 0, ξ ∼ t −ν , logof ∼ ξ −d . (12.22)f ∼ t νd ∼ t 2−α , (12.23)on<strong>de</strong>, na última passagem, utilizando a Eq. (12.3) para h = 0. Assim obtemos uma lei <strong>de</strong> hiper-escala (“hyperscaling law”)2 − α = νd, (12.24)que é a última relação procurada e que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> diretamente da dimensão d. Observe como também ela é obe<strong>de</strong>cida pelo mo<strong>de</strong>lo<strong>de</strong> Ising bi-dimensional. As leis <strong>de</strong> hiper-escala são obe<strong>de</strong>cidas por sistemas que se encontram abaixo <strong>de</strong> sua dimensão críticasuperior (d uc = 4 para as classes <strong>de</strong> universalida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Ising, XY e Heisenberg), mas são violadas acima <strong>de</strong>ssa dimensão. Comefeito, os expoentes <strong>de</strong> campo médio, que são sabidos exatos para d > 4, não obe<strong>de</strong>cem à Eq. (12.24) (α = 0, ν = 1/2 e dvariável) , exceto exatamente em d = 4. É interessante perguntar como e se a Eq. (12.3) é compatível com a hipótese subjacenteà lei <strong>de</strong> hiper-escala. A resposta é que ela é compatível sim, já que o próprio comprimento <strong>de</strong> correlação obe<strong>de</strong>ce a uma relação<strong>de</strong> escala como função <strong>de</strong> T e h( ) hξ ∼ t −ν Xt ∆ , (12.25)don<strong>de</strong> a Eq. (12.3) segue <strong>de</strong> (12.22) com Φ (x) = X −d (x).Um comentário adicional <strong>de</strong>ve ser feito. Já frisamos anteriormente que os expoentes que po<strong>de</strong>m ser <strong>de</strong>finidos acima e abaixodo ponto crítico (α e α ′ , γ e γ ′ e ν e ν ′ ) são na verda<strong>de</strong> iguais. Nós fomos um tanto <strong>de</strong>scuidados com a região acima e abaixo <strong>de</strong>T c na discussão acima e a priori <strong>de</strong>veríamos ter <strong>de</strong>finido funções <strong>de</strong> escala acima e abaixo <strong>de</strong> T c como, por exemplo, (usandoagora t = (T − T c ) /T c ){t 2−α Φ ( ) + hf (T, h) =(−t) 2−α (t , t > 0,∆Φ − h(12.26), t < 0.(−t) ∆ )Entretanto, po<strong>de</strong>-se mostrar que (ver Mo<strong>de</strong>rn Theory of Critical Phenomena, Shang-Keng Ma, Westview Press, Colorado, 2000,pp. 112-113), como não existe singularida<strong>de</strong> em f (T, h) em T = T c para h ≠ 0, as funções Φ + e Φ − po<strong>de</strong>m ser analiticamentecontinuadas uma na outra, permitindo provar que α = α ′ , γ = γ ′ e ν = ν ′ . Além disso, isso nos permite mostrar que a razão<strong>de</strong>ssas quantida<strong>de</strong>s físicas acima e abaixo <strong>de</strong> T c é universal.As 4 Eqs. (12.10), (12.15), (12.20) e (12.24) para os 6 expoentes críticos <strong>de</strong>finem uma teoria a 2 parâmetros in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes.Assim, com a <strong>de</strong>monstração a ser feita da valida<strong>de</strong> da teoria <strong>de</strong> escala pelo <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong>, tudo que restará será a<strong>de</strong>terminação <strong>de</strong> 2 entre os 6 expoentes.23A. Expoentes críticos e análise dimensionalÉ interessante se perguntar que tipo <strong>de</strong> informação a análise dimensional nos fornece no contexto <strong>de</strong> fenômenos críticos.Vamos consi<strong>de</strong>rar primeiramente a função <strong>de</strong> correlação críticaG (x) ∼1r d−2+η (T = T c ) . (12.27)
Vimos que a teoria <strong>de</strong> Landau nos forneceG Landau (x) ∼ 1r d−2 (T = T c ) . (12.28)O resultado da teoria <strong>de</strong> Landau po<strong>de</strong> ser intuído por análise dimensional. Com efeito, o funcional <strong>de</strong> Landau é uma quantida<strong>de</strong>adimensional, pois ele aparece num expoente no cálculo da função partição, como na Eq. (9.23). Portanto, do termo que envolveo Laplaciano, vemos queon<strong>de</strong> [O] <strong>de</strong>nota a dimensão o campo O. Da mesma maneira, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>duzir queDa própria <strong>de</strong>finição da função <strong>de</strong> correlação, esperamos portanto que[φ (x)] = L (2−d)/2 , (12.29)[r] = L −2 , (12.30)[u] = L d−4 . (12.31)[G] = L 2−d . (12.32)Realmente, da Eq. (9.33) ou da Eq. (9.41) esse é o resultado esperado. Assim, a <strong>de</strong>pendência obtida no ponto crítico (12.28) é amais natural. Entretanto, a <strong>de</strong>pendência realmente observada é a da Eq. (12.27), on<strong>de</strong> aparentemente há uma violação da análisedimensional (daí o nome dimensão anômala). A explicação <strong>de</strong>sse aparente paradoxo está em que outra escala <strong>de</strong> comprimento<strong>de</strong>ve necessariamente estar envolvida. Como o comprimento <strong>de</strong> correlação é infinito no ponto crítico, ele não po<strong>de</strong> fornecer aescala procurada. A única saída é apelar para um comprimento <strong>de</strong> onda microscópico, como o parâmetro <strong>de</strong> re<strong>de</strong>, que já entrouna teoria quando introduzimos o cutoff 1/Λ ≡ a. Assim, a Eq. (12.27) <strong>de</strong>ve na verda<strong>de</strong> ser escritaG (x) ∼aηr d−2+η (T = T c ) , (12.33)<strong>de</strong> tal forma que ela tenha a dimensão esperada. Vemos assim que as chamadas dimensões anômalas só po<strong>de</strong>m aparecer <strong>de</strong>vido auma combinação especial envolvendo um comprimento microscópico. Note que na região crítica po<strong>de</strong> haver uma larga separaçãoentre as escalas <strong>de</strong> a e ξ, <strong>de</strong> várias or<strong>de</strong>ns <strong>de</strong> gran<strong>de</strong>za. Normalmente em <strong>Física</strong>, quando há uma gran<strong>de</strong> separação <strong>de</strong> escalasas quantida<strong>de</strong>s físicas têm uma <strong>de</strong>pendência simples, pois geralmente po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>sprezar a menor <strong>de</strong>las. Entretanto, fenômenoscríticos fornecem um contra-exemplo importante <strong>de</strong>sse tipo <strong>de</strong> raciocínio, pois não po<strong>de</strong>mos simplesmente fazer a → 0 nateoria crítica. Na verda<strong>de</strong>, toda a riqueza e a própria existência <strong>de</strong> expoentes críticos não triviais provém justamente <strong>de</strong>ssaimpossibilida<strong>de</strong>.Note que ao <strong>de</strong>duzirmos as leis <strong>de</strong> hiper-escala, implicitamente utilizamos a análise dimensional ingênua (ver as Eqs. (12.21)e (12.22)), enquanto que não o fizemos em (12.16). Em fenômenos críticos, é necessário ficar atento para a possibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong>quantida<strong>de</strong>s físicas adquirirem dimensões anômalas. Saber se e quando uma <strong>de</strong>terminada quantida<strong>de</strong> adquire ou não dimensãoanômala é também uma pergunta respondida pela teoria do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong>.24XIII.TEORIA FENOMENOLÓGICA DE LANDAUO mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Landau foi motivado por nós através da teoria <strong>de</strong> campo médio. Além disso, vimos que era natural consi<strong>de</strong>rarflutuações em torno do campo médio como sendo governadas pela ação que é obtida da teoria <strong>de</strong> Landau através <strong>de</strong> sua expansãoaté or<strong>de</strong>m quadrática. A ação quadrática <strong>de</strong>fine o chamado mo<strong>de</strong>lo gaussiano, que serve <strong>de</strong> ponto <strong>de</strong> partida para nossaexponsição. Existe, entretanto, uma outra maneira <strong>de</strong> motivar o mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Landau que será ilustrativa e importante para nossos<strong>de</strong>senvolvimentos. Ela consiste na introdução <strong>de</strong> novas variáveis <strong>de</strong> configuração.Seja, por exemplo, o mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising. A generalização para parâmetros <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m com mais componentes é trivial. Sabemosque próximo do ponto crítico, o comprimento <strong>de</strong> correlação ξ é muito longo. Portanto, regiões R <strong>de</strong> dimensão linear menor queξ estarão fortemente correlacionadas, ou seja, o valor da variável <strong>de</strong> spin S i assumirá, com gran<strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong>, valores quenão variarão muito <strong>de</strong>ntro da região R. Isso nos motiva a introduzir variáveis <strong>de</strong> “grossa granulação” (“coarse-grained”) quenos darão o valor médio ou mais provável <strong>de</strong> S i para i ∈ R. Seja R (x) uma região hipercúbida <strong>de</strong> lado ba centrada em x, on<strong>de</strong>a é o parâmetro <strong>de</strong> re<strong>de</strong> e b é um número inteiro maior que 1. Então, <strong>de</strong>finimosφ (x) = F x ({S i }) , (13.1)on<strong>de</strong> F é uma função das variáveis S i tais que i ∈ R (x). Existe uma certa liberda<strong>de</strong> na <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> F . Uma escolha possível éa média em R (x)F 1x ({S i }) = 1 ∑b d S i . (13.2)i∈R(x)
Essa escolha não preserva a normalização original dos spins S i = ±1. De maneira geral, a fim <strong>de</strong> se “controlar” (não <strong>de</strong>ixar queela divirja ou se anule) a normalização das novas variáveis φ (x), usa-seF 2x ({S i }) = ζ (b)b dOutra possibilida<strong>de</strong> é a chamada “regra da maioria”⎛F 3x (x) = sgn ⎝ ∑∑i∈R(x)i∈R(x)25S i . (13.3)S i⎞⎠ , (13.4)que preserva a normalização original. Se o número <strong>de</strong> spins em R (x) é par é preciso uma regra para “quebra <strong>de</strong> empates”, emque a soma dos spins na região dá zero. Uma possibilida<strong>de</strong> é tomar o valor <strong>de</strong> um dos spins da região tomado aleatoriamente, ouentão, tomar o valor <strong>de</strong> um spin numa posição fixa na célula (no canto [1, 1, · · · 1], por exemplo). O importante é perceber queexiste uma gran<strong>de</strong> arbitrarieda<strong>de</strong> na escolha da função F x . Uma vez feita essa escolha, <strong>de</strong>finimos a ação com granulação grossa(“coarse-grained action”) ou ação efetiva L [φ (x)] como sendo{e −βL[φ(x)] = Tr Si e ∏ }−βHI[Si] δ [φ (x) − F x ({S i })] , (13.5)xon<strong>de</strong> o sub-índice do traço <strong>de</strong>nota a variável sobre a qual a soma é feita. Claramente, a nova ação L [φ (x)] tem configurações<strong>de</strong>finidas numa re<strong>de</strong> cujo parâmetro <strong>de</strong> re<strong>de</strong> é agora ba > a. A função partição é dada porZ = Tr φ(x){e −βL[φ(x)]} , (13.6)que é idêntica à função partição obtida através do traço sobre os spins com o Hamiltoniano original, como po<strong>de</strong> ser facilmentecomprovado da Eq. (13.5) e das proprieda<strong>de</strong>s da função <strong>de</strong>lta. Assim, o funcional <strong>de</strong> Landau po<strong>de</strong> ser entendido a partir dasuposição <strong>de</strong> que a ação efetiva L [φ (x)] tem uma expansão, próximo o suficiente do ponto crítico, da forma que postulamosna teoria <strong>de</strong> Landau. Nesse caso, o status da teoria <strong>de</strong> Landau fica claro. Trata-se <strong>de</strong> uma aproximação em que calculamos afunção partição através da ação efetiva L [φ (x)] pelo método do ponto <strong>de</strong> sela. A teoria das flutuações que <strong>de</strong>finimos (mo<strong>de</strong>logaussiano), por outro lado, po<strong>de</strong> ser compreendida como <strong>de</strong>rivada da expansão da ação efetiva em torno do ponto <strong>de</strong> mínimoaté or<strong>de</strong>m quadrática. No entanto, a teoria completa, que <strong>de</strong>ve <strong>de</strong>screver corretamente a transição <strong>de</strong> <strong>fase</strong> contínua, inclusive osexpoentes críticos, provém <strong>de</strong> um traço completo sobre a ação efetiva <strong>de</strong> Landau, que re-escrevemos aqui∫ { 1L [φ (x)] = dx2 φ (x) [ r − ▽ 2] φ (x) + u }4 [φ (x)]4 − h (x) φ (x) . (13.7)Essa ação <strong>de</strong>fine uma teoria <strong>de</strong> campos em dimensão d que é equivalente a uma teoria quântica <strong>de</strong> campos em d − 1 dimensõesespacias mais uma dimensão temporal no espaço Eucli<strong>de</strong>ano (em que o tempo entra simetricamente em relação às outras dimensõesespaciais, diferentemente do espaço <strong>de</strong> Minkowski, em que a “assinatura” da dimensão temporal tem sinal trocado). Essateoria é uma teoria “interagente” no sentido <strong>de</strong> que o termo quártico em u introduz interações entre os modos livres do mo<strong>de</strong>logaussiano, <strong>de</strong>scrito essencialmente por uma teoria em u = 0, e que é exatamente solúvel (ver Seções IX e X).Outra maneira <strong>de</strong> <strong>de</strong>finirmos a teoria efetiva é no espaço <strong>de</strong> momentos. Essa forma será especialmente importante maisadiante. Nesse caso, <strong>de</strong>finimos as transformadas <strong>de</strong> Fourier como antes e escrevemos⎧ ⎫⎨ ∏⎬e −βL[φ(k)] = Tr Si⎩ e−βHI[Si] δ [φ (k) − F k ({S i })]⎭ , (13.8)on<strong>de</strong>|k|>ΛF k ({S i }) = 1 ∑e −ik·Ri S i . (13.9)NNote que nesse caso, introduzimos um corte nas somas sobre momentos Λ, que é o cutoff natural da teoria. Para que a transformada<strong>de</strong> Fourier faça sentido, é preciso trabalhar com “spins” que assumam qualquer valor real ∈ (−∞, ∞). Para isso,geralmente é preciso adicionar ao Hamiltoniano original, uma “função peso” que “controle” o tamanho <strong>de</strong> S i . Uma possibilida<strong>de</strong>que é muito usada é um termo quárticoH I [S i ] → H I [S i ] + ∑ iiu4 S4 i , (13.10)
que tem uma inspiração parecida com o termo quártico do funcional <strong>de</strong> Landau. O cutoff Λ na Eq. (13.8) “soma” sobre asconfigurações <strong>de</strong> curtos comprimentos <strong>de</strong> onda (λ < 2π/Λ) <strong>de</strong> tal forma que a ação efetiva L [φ (k)] é <strong>de</strong>finida para modos|k| < ΛZ = Tr φ(k),|k| 1. Isso po<strong>de</strong> ser feitoatravés <strong>de</strong> qualquer uma das prescrições <strong>de</strong>scritas na Seção XIII. Por exemplo, po<strong>de</strong>mos usar a média na região R (x)⎧ ⎡⎤⎫⎨e −βL′ [φ ′ (x)] ∏ = Trφ(y)⎩ e−βL[φ(y)] δ ⎣φ ′ (x) − 1 ∑ ⎬b d φ (y) ⎦⎭ , (14.1)xy∈R(x)Como explicado antes, existe uma gran<strong>de</strong> arbitrarieda<strong>de</strong> na <strong>de</strong>finição <strong>de</strong>ssa função <strong>de</strong> “granulação”. É importante que ela nãoviole nenhuma simetria do problema e que represente uma espécie <strong>de</strong> média do parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m numa região <strong>de</strong> dimensãolinear ba. Estamos também assumindo que o parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m assume valores no intervalo (−∞, ∞). A nova teoria é escritaem termos <strong>de</strong> “variáveis <strong>de</strong> bloco” φ ′ (x), sendo que a nova re<strong>de</strong> é <strong>de</strong>finida nos pontos espaciais x = (n 1 ba, n 2 ba, · · · , n d ba).Gostaríamos <strong>de</strong> <strong>de</strong>finir uma teoria numa re<strong>de</strong> igual à re<strong>de</strong> original. Para isso, fazemos uma mudança na escala <strong>de</strong> comprimentox → x ′ = x/b, (14.2)
<strong>de</strong> tal forma que a re<strong>de</strong> dos pontos x ′ continua a ter o parâmetro <strong>de</strong> re<strong>de</strong> anterior. Se a re<strong>de</strong> inicial tinha um total <strong>de</strong> N sítios,a nova re<strong>de</strong> tem N/b d sítios. Além disso, para compensar a “perda <strong>de</strong> resolução” muitas vezes é importante também re-escalaro novo parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m por um fator Λ φ b(você po<strong>de</strong> imaginar que o novo campo precisa ser “intensificado” para que o nãohaja perda <strong>de</strong> qualida<strong>de</strong> na “imagem”). Esse fator <strong>de</strong> re-escalamento já apareceu anteoriormente na Seção XIII (Eq. (13.3)),on<strong>de</strong> dissemos que ele é importante para “controlar” a distribuição das variáveis com nova granulação. Esse fator <strong>de</strong>verá serescolhido apropriadamente, como veremos a seguir. Assim, o novo campo é re<strong>de</strong>finido segundoφ ′ (x) → Λ φ b φ (x′ ) = Λ φ bφ (x/b) , (14.3)on<strong>de</strong> revertemos para a notação anterior do parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m. Note que nem sempre esse fator é necessário ou sequerapropriado. Em particular, no caso do uso da regra da maioria (13.4) os novos spins têm o mesmo tamanho que os spinsoriginais e não se <strong>de</strong>ve re-escalá-los. Ao final, a nova teoria está <strong>de</strong>finida em termos das mesmas variáveis <strong>de</strong> configuraçãoφ (x ′ ) numa re<strong>de</strong> <strong>de</strong> mesmo parâmetro <strong>de</strong> re<strong>de</strong> a. Entretanto, a nova teoria <strong>de</strong>screve a física numa escala <strong>de</strong> comprimento maior.Escalas <strong>de</strong> comprimento l na nova teoria correspon<strong>de</strong>m a comprimentos bl na teoria anterior.Vamos fazer agora a suposição <strong>de</strong> que a nova teoria também tem a forma <strong>de</strong> Landau. Entretanto, os parâmetros da nova teoriaserão diferentes∫ { 1L ′ [φ (x ′ )] = dx ′ 2 φ (x′ ) [ r ′ − ▽ ′2] }φ (x ′ ) + u′4 [φ (x′ )] 4 − h ′ φ (x ′ ) . (14.4)Assim, o procedimento <strong>de</strong>scrito acima, <strong>de</strong>fine um mapeamento no espaço <strong>de</strong> funcionais <strong>de</strong> Landau(r, u, h) → R b (r, u, h) = (r ′ , u ′ , h ′ ) . (14.5)Essa transformação é um exemplo <strong>de</strong> uma transformação do Grupo <strong>de</strong> Renormalização. No caso em que os spins são reescaladoscomo na Eq. (14.3), o <strong>grupo</strong> é chamado <strong>de</strong> linear. Ele é um <strong>grupo</strong> (mais corretamente um semi-<strong>grupo</strong>, porque nãoexiste uma inversa) porque po<strong>de</strong>mos compor duas transformações para obter uma terceiraR b ′R b = R b′ b. (14.6)Na verda<strong>de</strong>, o mapeamento gera outros termos não presentes na ação inicial, ou seja, a forma <strong>de</strong> Landau não é preservadaexatamente pelas transformações. Por enquanto, no entanto, vamos ignorar essas diferenças e voltaremos a elas mais tar<strong>de</strong>.Veja que a função partição calculada com a ação original ou com a ação transformada <strong>de</strong>ve ser a mesma (essa proprieda<strong>de</strong> éàs vezes chamada <strong>de</strong> unitarieda<strong>de</strong>)Z (r, u, h) = Tr φ(x){e −βL[φ(x)]} {= Z (r ′ , u ′ , h ′ ) = Tr φ(x′ ) e −βL′ [φ(x ′ )] } . (14.7)Como a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia livre é dada poron<strong>de</strong> N é o número total <strong>de</strong> sítios e N ′ = N/b d , segue quef = − T ln Z, (14.8)Nf (r ′ , u ′ , h ′ ) = b d f (r, u, h) . (14.9)Vamos examinar as conseqüências das hipóteses acima. Suponhamos que escolhemos (r, u, h) na ação original <strong>de</strong> tal formaque o sistema esteja muito próximo do ponto crítico. Em variáveis físicas, sabemos que num sistema ferromagnético, temos aonosso dispor apenas a temperatura e o campo magnético. O ponto crítico correspon<strong>de</strong> a T = T c , ou t = 0 e h = 0. Assim, aregião próxima ao ponto crítico correspon<strong>de</strong> a t ≪ 1 e h ≪ 1. A nova ação efetiva L ′ correspon<strong>de</strong> a um sistema com outrosvalores dos parâmetros <strong>de</strong> Landau (r ′ , u ′ , h ′ ), ou equivalentemente, t ′ e h ′ . Isso é intuitivo pois, o comprimento <strong>de</strong> correlaçãoξ da ação original é encolhido na <strong>de</strong>scrição da nova ação ξ ′ = ξ/b, já que re-escalamos os comprimentos pelo fator b. Umcomprimento <strong>de</strong> correlação menor correspon<strong>de</strong> a um sistema “mais longe do ponto crítico” e, portanto, com valores diferentesdos parâmetros físicos tais que |t ′ | > |t| e |h ′ | > |h|. Assim, po<strong>de</strong>mos escrevert ′ = R b t = f b1 (t) , (14.10)h ′ = R b h = f b2 (h) . (14.11)O ponto crítico é caracterizado por ξ → ∞, <strong>de</strong> tal forma que os parâmetros da teoria não mudam. Em termos das variáveis físicast e h isso implica que f b1 (0) = 0 e f b2 (0) = 0. Dizemos que o ponto crítico é um ponto fixo do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong>.Fisicamente, o ponto crítico é caracterizado pela invariância <strong>de</strong> escala (não existe uma escala <strong>de</strong> comprimento característica).27
29Fazendo h = 0 por simplicida<strong>de</strong>(b 2d φ r)G (r, t) = Gb , tbdt . (14.28)No ponto crítico, po<strong>de</strong>mos fazer t = 0 e b = b 0 r, <strong>de</strong> tal forma que( )G (r, t = 0) = b −2d φ0 r −2d φ 1G , 0 . (14.29)b 0Comparando com a expressão esperadaobtemos1G (r, t = 0) ∼ , (14.30)rd−2+η Além disso, se escolhermos b dt t = b 0 e lembrando que d t = 1/ν segue que b = b ν 0 t−ν e2d φ = d − 2 + η. (14.31)1( rG (r, t) =b d−2+η G b , tb1/ν) (14.32)(1rb−ν)=(t/b 0 ) G 0−ν(d−2+η) t −ν , b 0(14.33)(= b−ν(d−2+η) r) ( d+2−η rb−ν)G00r d+2−η t −ν t −ν , b 0(14.34)1( r)=r d+2−η Γ t −ν , (14.35)que tem a forma (12.16) se usarmos que ξ ∼ t −ν e don<strong>de</strong> <strong>de</strong>duzimos queΓ (x) = ( b −ν0 x) d+2−ηG(b−ν0 x, b 0). (14.36)Assim, <strong>de</strong>duzimos todas as relações da teoria <strong>de</strong> escala, das quais as 4 relações entre expoentes críticos po<strong>de</strong>m ser <strong>de</strong>rivadas.Portanto, a origem da teoria <strong>de</strong> escala vem da possibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> re-escalamento expresso nas Eqs. (14.18-14.20), que formam abase do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong>.XV.SOLUÇÃO EXATA DO MODELO DE ISING UNIDIMENSIONALVamos aplicar as idéias do GR ao mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising uni-dimensional. Antes, vamos resolver exatamente o mo<strong>de</strong>lo para obtermosum termo <strong>de</strong> comparação. Embora essa mo<strong>de</strong>lo não apresente uma transição <strong>de</strong> <strong>fase</strong> a temperatura finita como <strong>de</strong>sejaríamos,ainda assim ele serve <strong>de</strong> guia fácil para a introdução do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong>. O mo<strong>de</strong>lo é <strong>de</strong>finido comoS 1=±1S L=±1H I = −JL∑L∑S i S i+1 − h S i . (15.1)i=1Vamos supor, por simplicida<strong>de</strong>, condições periódicas <strong>de</strong> contorno, tais que S L+1 = S 1 , ou seja, a re<strong>de</strong> tem uma geometria <strong>de</strong>anel. A função partição do mo<strong>de</strong>lo po<strong>de</strong> ser escrita comoZ (T, J, h) = Tr { e } −βHI =∑ ∑ {[· · · e KS1S2+H(S1+S2)/2] [ e KS2S3+H(S2+S3)/2] [· · · e KSLS1+H(SL+S1)/2]} ,(15.2)on<strong>de</strong> K = βJ e H = βh. Percebe-se claramente que temos uma estrutura <strong>de</strong> produto <strong>de</strong> L matrizes idênticas()eT =K+H e −Ke −K e K−H , (15.3)i=1
on<strong>de</strong> os elementos da matriz são rotulados pelos valores possíveis dos spins. A matriz T é conhecida como matriz <strong>de</strong> transferência,pois ela “transfere” o efeito <strong>de</strong> um sítio ao próximo. Ela tem uma gran<strong>de</strong> importância em vários contextos <strong>de</strong> físicaestatística. Assim, a função partição po<strong>de</strong> ser imediatamente escrita como o traço (por causa das condições periódicas <strong>de</strong> contorno)da matriz transferência elevada à potência LZ (T, J, h) = Tr ( T L) . (15.4)O traço acima po<strong>de</strong> ser facilmente calculado após a diagonalização <strong>de</strong> T que é uma matriz simétrica e, portanto, po<strong>de</strong> serdiagonalizada por uma transformação ortogonal. Chamando os auto-valores (reais) <strong>de</strong> T <strong>de</strong> t 1 e t 2 , po<strong>de</strong>mos escreverZ (T, J, h) = t L 1 + tL 2 . (15.5)30Os auto-valores <strong>de</strong> T são( )t 1,2 = e K cosh H ±√sinh 2 H + e −4K . (15.6)No limite termodinâmico L → ∞, po<strong>de</strong>mos escreverZ (T, J, h) = t L 1[1 +( ) ] L t2→ t L [1 1 + e−αL ] , (15.7)t 1on<strong>de</strong> α = ln (t 1 /t 2 ) > 0, já que t 1 > t 2 . Vemos assim que a função partição é <strong>de</strong>terminada exclusivamente pelo maior autovalorda matriz <strong>de</strong> transferência. Finalmente, obtemos a energia livre por spinf (T, J, h) = lim[− T ]()L→∞ L ln Z (T, J, h) = −T ln t 1 = −J − T ln cosh H +√sinh 2 H + e −4K , (15.8)que é o resultado procurado.Várias quantida<strong>de</strong>s importantes po<strong>de</strong>m ser calculadas. Quando h = 0, temosf (T, J, h) = −J − T ln ( 1 + e −2K) , (15.9)don<strong>de</strong> a entropia por spin és (T ) = − ∂f∂T = ln ( 1 + e −2K) ( )+e−2K 2J1 + e −2K , (15.10)Tenquanto que o calor específico éQuando T → 0,c (T ) = T ∂s∂T = 1c (T ) =( JT)+e 2K) 2−11 + e 2K ( 2JT)=( ( 2J 2J1 + e 2K T (1 + e 2K ) 2 T) 2 ( ) Jsech 2 . (15.11)T( 2Jc (T ) →T) 2e −2J/T → 0. (15.12)A magnetização por spin é dada porm (T, h) = − ∂f∂h = − 1 Tsinh H + √sinh H cosh H∂f∂H = sinh 2 H+e√−4Kcosh H + sinh 2 H + e =−4Ksinh H. (15.13)√sinh 2 H + e−4K Note que m (T, h → 0) → 0, mostrando que não há magnetização espontânea em qualquer temperatura T ≠ 0, como jáhavíamos antecipado. Entretanto, quando T → 0m (T → 0, h) → sinh H = sgn (H) , (15.14)|sinh H|
mostrando que há magnetização (saturada) em T = 0. Po<strong>de</strong>mos dizer, portanto, que o mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising unidimensional temT c = 0. Note como a não analiticida<strong>de</strong> da magnetização aparece em h = 0, por causa do limite termodinâmico. Finalmente, asusceptibilida<strong>de</strong> magnética é dada porχ (T ) = ∂m∂h ∣ = 1 e −4K cosh Hh=0T(sinh 2 H + e −4K) 3/2= e2J/T∣ T , (15.15)h=0que diverge exponencialmente quando T → 0. Assim, vemos que embora possamos falar <strong>de</strong> uma transição <strong>de</strong> <strong>fase</strong> a T c = 0, ocomportamento crítico é diferente do convencional, pois as divergências são exponenciais. Essa é uma característica da chamadadimensão crítica inferior, que é a dimensão limítrofe abaixo da qual não há transição <strong>de</strong> <strong>fase</strong> em uma temperatura finita. Adimensão crítica inferior da classe <strong>de</strong> universalida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Ising é d l = 1.Queremos agora calcular a função <strong>de</strong> correlação. Tomemos primeiramente o valor médio <strong>de</strong> um spin qualquer S i , que sabemosser igual à expressão na Eq. (15.13). Po<strong>de</strong>mos escrever〈S i 〉 = 1 Z= 1 Z= 1 Z∑S 1=±1∑S 1=±1∑S 1=±1· · ·· · ·· · ·∑S L=±1∑S L=±1∑S L=±1{TS1S 2T S2S 3· · · T Si−1S iS i T SiS i+1· · · T SLS 1}⎛⎝ ∑⎛S ′ i =±1 ⎞⎝ ∑S ′ i =±1 ⎞⎠ { [T S1S 2T S2S 3· · · T Si−1S i δSiSi ′ S ] }i TS ′i S i+1 · · · T SLS 1⎠ { T S1S 2T S2S 3· · · T Si−1S i[σ 3 S iS ′ i31]T S ′i S i+1 · · · T SLS 1}, (15.16)on<strong>de</strong> σ 3 ij é a matriz <strong>de</strong> Pauli σ 3 =Segue que()1 0. (15.17)0 −1〈S i 〉 = 1 Z Tr { T i−1 σ 3 T L−i+1}on<strong>de</strong> usamos a proprieda<strong>de</strong> cíclica do traço. Analogamente (r > 0)= 1 Z Tr { σ 3 T L} , (15.18)〈S i S i+r 〉 = 1 Z Tr { T i−1 σ 3 T r σ 3 T L−i−r+1}= 1 Z Tr { σ 3 T r σ 3 T L−r} . (15.19)As expressões (15.18) e (15.19) po<strong>de</strong>m sTer calculadas após a transformação ortogonal que diagonaliza T. Nesse caso, precisamosencontrar a matriz em que σ 3 se transforma. Se S é a transformação ortogonal, <strong>de</strong>finimos( )Sσ 3 S −1 a b= , (15.20)c d<strong>de</strong> tal forma que〈S i 〉 = 1 Z Tr {() (a b t L 1 0c d 0 t L 2)}= atL 1 + dtL 2t L 1 + tL 2→ a, (15.21)
32on<strong>de</strong> tomamos o limite L → ∞ na última passagem. Analogamente{( ) ( ) (〈S i S i+r 〉 = 1 Z Tr a b t r 1 0c d 0 t r 2{( ) (= 1 Z Tr at r 1 btr 2ct r 1 dt r 2O valor da função correlação conectada é= 1 Z Tr () (a bc dat L−r1 bt L−r2ct L−r1 dt L−r2)}a 2 t L 1 + bctr 2 tL−r 1 abt r 1 tL−r 2 + bdt L 2act L 1 + cdtr 2 tL−r 2 + d 2 t L 21 bct r 1 tL−r)+ d 2 t L 2t L−r1 00 t L−r2= a2 t L 1 + bc ( t r 2 tL−r 1 + t r 1 tL−r 2t L 1 + tL 2( ) r→ a 2 t2+ bc . (15.22)t 1G (r) = 〈S i S i+r 〉 − 〈S i 〉 〈S i+r 〉 = bc))}(t2t 1) r= bce −r/ξ , (15.23)on<strong>de</strong>ξ =1ln (pt 1 /t 2 ) , (15.24)que nos dá uma expressão exata para o comprimento <strong>de</strong> correlação. Usando as expressões anteriores para os auto-valores damatriz <strong>de</strong> transferência em h = 0( ) ( )1 + eξ −1 −2KJ= ln1 − e −2K = ln coth . (15.25)TNo limite em que T → 0,ξ ≈ e2J/T2→ ∞. (15.26)Vemos novamente que a divergência <strong>de</strong> ξ é exponencial à medida que a temperatura <strong>de</strong>cresce, característica da dimensão críticainferior.XVI.APLICAÇÃO DO GRUPO DE RENORMALIZAÇÃO AO MODELO DE ISING UNI-DIMENSIONALDevido à simplicida<strong>de</strong> do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising uni-dimensional, a transformação do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong> po<strong>de</strong> ser obtidaexatamente. Isso não acontecerá em mo<strong>de</strong>los mais complexos. É importante ter em mente também que o mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Isinguni-dimensional não tem uma transição <strong>de</strong> <strong>fase</strong> em temperatura finita, pois encontra-se em sua dimensão crítica inferior. Comovimos, T c = 0 e as divergências são tipicamente exponenciais. A generalização dos conceitos relativos a transições <strong>de</strong> <strong>fase</strong> atemperatura finita tem que ser feita com cuidado, como veremos. Mais <strong>de</strong>talhes sobre as aplicações <strong>de</strong>ssa Seção e a respeito <strong>de</strong>outros mo<strong>de</strong>los uni-dimensionais po<strong>de</strong>m ser encontrados na Ref. 5.A idéia é usar variáveis <strong>de</strong> bloco correspon<strong>de</strong>ntes a blocos <strong>de</strong> 2 spins. Se há inicialmente L spins, faremos uma soma parcialsobre blocos <strong>de</strong> 2 spins ficando ao final com um número L/2 <strong>de</strong> blocos. Essa tarefa é enormemente facilitada pelo uso da matrix<strong>de</strong> transferência. AssimZ (T, h) = TrT L = Tr ( T 2) L/2. (16.1)Assim, vemos que a nova matriz <strong>de</strong> transferência das variáveis <strong>de</strong> bloco é simplesmente o quadrado da matriz T dos spinsoriginais, Eq. (15.3). Definimos, por conveniência, as variáveis auxiliaresu ≡ e −K = e −βJ ∈ [0, 1) , (16.2)v ≡ e −H = e −βh ∈ [0, 1) , (16.3)
on<strong>de</strong> restringiremos a discussão a h > 0 <strong>de</strong>vido à simetria h → −h. Nesse caso( ) (1T = uvuuv ⇒ T 2 u=2 + 1u 2 vv + 1 2 vuv + 1 vu 2 + v2u 2 )33. (16.4)Queremos que o sistema mantenha a mesma forma que ele tinha inicialmente. Assim, impomos que( ) ()T ′ = C ′ 1u ′ vu ′ u ′u ′ =2 + 1u 2 vv + 1 2 vv′uv + 1 ′ vu 2 , (16.5)+ v2u 2on<strong>de</strong> somos obrigado a introduzir uma nova constante C ′ (inicialmente, C = 1), pois a Eq. (16.5) correspon<strong>de</strong> a 3 equações eprecisamos <strong>de</strong> 3 incógnitas. Resolvendo as 3 equações acima obtemosv ′ =u ′ =C ′ =(u 4 + v 2) 1/2( )u4 + 1 1/2, (16.6)v( 2 )v +1 1/2v( )u4 + 1u+ v 2 + 1 1/4, (16.7)4 v(2 v + 1 ) 1/2 (u 4 + 1 vu 4 + v2 + 1 ) 1/4v 2 . (16.8)Note que nesse caso, os spins mantém seus dois valores originais. É facil ver que essas equações tem um ponto fixo no plano(u, v) emu ∗ = 0, (16.9)v ∗ = 1, (16.10)que correspon<strong>de</strong> a J/T = ∞ e h = 0. Claramente, esse é o ponto crítico a temperatura zero. Outro ponto fixo ocorre emu ∗∗ = 1, (16.11)v ∗∗ = qualquer, (16.12)correspon<strong>de</strong>nte a J/T = 0 e h qualquer. Esse é o ponto fixo <strong>de</strong> alta temperatura, correspon<strong>de</strong>nte ao estado paramagnético fortemente<strong>de</strong>sor<strong>de</strong>nado. O primeiro ponto fixo (u ∗ , v ∗ ) é instável, pois pontos ligeiramente afastados <strong>de</strong>le ten<strong>de</strong>m a se distanciaremin<strong>de</strong>finidamente <strong>de</strong>le sob o fluxo do GR.Vamos analisar a vizinhança do ponto (0, 1). Fazendo u ≪ 1 e v = 1−w, on<strong>de</strong> w ≪ 1, po<strong>de</strong>mos linearizar as Eqs. (16.6-16.7)para obter√(1 − w) 2 + u 4v ′ ≡ 1 − w ′ =≈ (1 − 2w) √(1 1/2 (1 + 2w) −1/2 ≈ 1 − 2w, (16.13)− w) −2 + u 4⇒ w ′ = 2w, (16.14)eu ′ =√1 − w + (1 − w) −1[ ( )]2 + O w2 1/2[u 4 + u −4 + (1 − w) 2 + (1 − w) −2] ≈ 1/4[u 4 + u −4 + 2 + O (w 2 )] ≈ √ 2u ( 1 + O ( u 4)) , (16.15)1/4⇒ u ′ = √ 2u. (16.16)Assim, em termos das variáveis u e w, obtemos (lembrando que b = 2)Λ u 2 = √ 2, (16.17)Λ w 2 = 2, (16.18)
34don<strong>de</strong>d u = ln Λu 2ln 2 = 1 2 , (16.19)d w = ln Λw 2ln 2= 1. (16.20)Vemos assim que as dimensões procuradas são todas maiores que zero, o que implica que o ponto fixo (u ∗ = 0, v ∗ = 1) é instável,pois as perturbações em torno <strong>de</strong>le crescem com o fluxo do GR. A partir <strong>de</strong>ssas dimensões e dos resultados da Seção XIVpo<strong>de</strong>mos calcular os expoentes críticos em termos das variáveis u e v, que não são as variáveis originais. Uma aplicação cegadas relações entre os expoentes e as dimensões nos dá (lembrando que u está ligado à temperatura e w, através <strong>de</strong> v, está ligadoao campo magnético)ν = 1d u= 2, (16.21)∆ = d w= 2,d u(16.22)α = 2 − νd = 0, (16.23)β = 2 − α − ∆ = 0, (16.24)γ = 2∆ + α − 2 = 2, (16.25)δ = ∆ β= ∞, (16.26)η = 2 − γ ν= 1. (16.27)Vamos examinar um pouco mais <strong>de</strong>talhadamente esses valores. Vários <strong>de</strong>les são obtidos a partir da função partição. Usando oresultado exato, Eq. (15.8), po<strong>de</strong>mos escrever a parte singular da energia livre para u ≪ 1 e v = 1 − w com w ≪ 1⎧⎨ (1f s = −T ln v + 1 ) [ (1+ v − 1 ) ] ⎫21/2⎬ + u 4⎩2v 4 v⎭≈ −T ln{1 + [ w 2 + u 4] } 1/2≈ −T [ w 2 + u 4] 1/2[ ] 1/2≈ −T u 2 1 + w2u( 4 w)= u 2 Φu 2 , (16.28)on<strong>de</strong> usamos que, na região crítica, w é da mesma or<strong>de</strong>m que u 2 (ver Eqs. (16.19-16.20)) e que T ∼ 1/ ln u ∼ u 0 na precisãoem que trabalhamos. A forma (16.28) é do tipo usado na teoria <strong>de</strong> escala (14.23) on<strong>de</strong>Φ (x) = √ 1 + x 2 , (16.29)e on<strong>de</strong> α = 0 e ∆ = 2, como tínhamos obtido nas Eqs. (16.22) e (16.23). Note que são as variáveisu = e −J/T , (16.30)w = 1 − e −h/T ≈ h T , (16.31)que aparecem na forma <strong>de</strong> escala, o que é peculiar ao caso da dimensão crítica inferior. Da forma (16.28), seguem os expoentesβ, γ e δ, ver Seção XII. Note que α = 0 é compatível com a não divergência do calor específico quando T → 0, β = 0 écompatível com o salto do parâmetro <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m entre T = 0 e T ≠ 0 e 1/δ = 0 é compatível com o salto da magnetização <strong>de</strong>h < 0 para h > 0 em T = 0. O valor γ = 2 nos dáque é compatível com a Eq. (15.15) (com precisão logarítmica).χ ∼ 1 u 2 ∼ e2J/T , (16.32)
35Figura 6: Mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising na re<strong>de</strong> triangular. Cada triângulo hachurado azul forma um bloco <strong>de</strong> 3 spins. A re<strong>de</strong> <strong>de</strong> blocos tem parâmetro <strong>de</strong>re<strong>de</strong> igual a √ 3 vezes o parâmetro original.Os expoentes ν e η estão ligados à função <strong>de</strong> correlação. Da Eq. (15.23) e dos valores <strong>de</strong> t 1,2 com h = 0obtemoson<strong>de</strong>t 1,2 = e K ± e −K = u −1 ± u, (16.33)t 1t 2= 1 − u21 + u 2 ≈ 1 − 2u2 , (16.34)⇒ G (r) ∼ ( 1 − 2u 2) r∼ e −r/ξ , (16.35)ξ ∼ 12u 2 ∼ e2J/T , (16.36)como já havia sido obtido e que nos dá ν = 2 em termos da variável u, como antecipado na Eq. (16.21). Além disso, comparandocom a Eq. (12.16), vemos que a ausência <strong>de</strong> um pré-fator da exponencial <strong>de</strong> G (r) com comportamento <strong>de</strong> lei <strong>de</strong> potência nosdá d − 2 + η = η − 1 = 0, que finalmente nos leva η = 1, como obtido na Eq. (16.27). Vemos assim que, propriamentereinterpretadas em termos da variável exponencial u = e −J/T , as relações da teoria <strong>de</strong> escala e suas conseqüências po<strong>de</strong>m seraplicadas à dimensão crítica inferior.XVII.APLICAÇÃO DO GRUPO DE RENORMALIZAÇÃO AO MODELO DE ISING BI-DIMENSIONALVamos mostrar agora uma aplicação do GR ao mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising bi-dimensional. Nesse caso, a transformação do GR nãopo<strong>de</strong> ser obtida exatamente. Entretanto, o mo<strong>de</strong>lo agora é mais não trivial, pois tem uma transição <strong>de</strong> <strong>fase</strong> “regular” a umatemperatura crítica finita T c ≠ 0 e a aplicação torna-se muito mais interessante. Além disso, temos a solução exata <strong>de</strong> Onsagerque serve como termo <strong>de</strong> comparação para a precisão do método. Vários GR’s diferentes foram testados para os mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong>Ising bi-dimensionais, 6 em re<strong>de</strong>s quadradas 7–9 e triangulares. 10–12 Nosso tratamento é baseado na Ref. 11.Consi<strong>de</strong>re o mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising com interações entre primeiros vizinhos na re<strong>de</strong> triangular com N sítios. Vamos formar blocos<strong>de</strong> 3 spins, localizados nos vértices dos triângulos que formam a re<strong>de</strong> (ver figura 6). A nova re<strong>de</strong> <strong>de</strong> blocos também será umare<strong>de</strong> triangular com N/3 sítios. Seu novo parâmetro <strong>de</strong> re<strong>de</strong> é √ 3 vezes o parâmetro inicial (tomado como igual a 1). Assim,b = √ 3. Nosso <strong>grupo</strong> será <strong>de</strong>finido a partir da regra da maioriaS I = sgn (S I1 + S I2 + S I3 ) , (17.1)on<strong>de</strong> S Ii são os 3 spins que formam o bloco I e S I é o spin <strong>de</strong> bloco da nova re<strong>de</strong> (usaremos sub-índice maiúsculo I, J, etc.para os spins <strong>de</strong> bloco). Note que a regra da maioria nesse caso não produz “empates”, pois o número <strong>de</strong> spins por bloco é ímpar.
37Figura 7: Acoplamentos entre dois blocos adjacentes I e J em primeira or<strong>de</strong>m em teoria <strong>de</strong> perturbação (ligações em vermelho).don<strong>de</strong>Assim,Z 0 = Z N/3b. (17.11)−βH ′ [S I ] = N 3 ln Z b + ln 〈 e V 〉 0 . (17.12)Precisamos agora calcular ln 〈 e 〉 V . Para isso, vamos fazer teoria <strong>de</strong> perturbação em V . Uma alternativa um pouco mais0complicada é calcular exatamente o valor esperado acima consi<strong>de</strong>rando um cluster <strong>de</strong> 2 blocos <strong>de</strong> spin adjacentes I e J e igualaro resultado ae K′ S IS J= 〈 e V 〉 0 . (17.13)Vamos nos concentrar apenas no cálculo perturbativo. Nesse caso,〈eV 〉 0 = 1 + 〈V 〉 0 + O ( V 2) , (17.14)ln 〈 e V 〉 0 = 〈V 〉 0 + O ( V 2) , (17.15)on<strong>de</strong> usamos que ln (1 + x) = x + O ( x 2) . É fácil ver que em 〈V 〉 0só há acoplamentos entre blocos vizinhos (ver figura 7).Consi<strong>de</strong>re um par I e J <strong>de</strong>sses blocos. Os únicos termos <strong>de</strong> 〈V 〉 0relevantes são〈V 〉 0= 〈KS J3 (S I1 + S I2 )〉 0= 2K 〈S J3 S I1 〉 0, (17.16)on<strong>de</strong>, no último passo, utilizamos a simetria do problema. Como o Hamiltoniano H 0 não acopla os blocos, segue que〈S J3 S I1 〉 0= 〈S J3 〉 0〈S I1 〉 0. (17.17)O cálculo restante é fácil. Temos que〈S I1 〉 0= 1 }Tr SIi{S I1 e K(SI1SI2+SI1SI3+SI2SI3) P [S I , S Ii ] .Z b(17.18)Fixando S I = 1, temos as 4 primeiras configurações da Tabela II, don<strong>de</strong>〈S I1 〉 0= 1 Z b{e 3K + (1 + 1 − 1) e −K}= e3K + e −Ke 3K + 3e −K (S I = 1) . (17.19)Analogamente, para S I = −1, consi<strong>de</strong>rando as outras 4 configurações da Tabela II temos〈S I1 〉 0= 1 Z b{−e 3K + (1 − 1 − 1) e −K}= − e3K + e −Ke 3K + 3e −K (S I = −1) . (17.20)
38Portanto, po<strong>de</strong>mos escrever <strong>de</strong> maneira gerale das Eqs. (17.16) e (17.17)e 3K + e −K〈S I1 〉 0= S Ie 3K , (17.21)+ 3e−K 〈V 〉 0= K ′ S I S J , (17.22)on<strong>de</strong>Da Eq. (17.12) segue que nessa or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> aproximação( eK ′ 3K + e −K ) 2= 2Ke 3K + 3e −K ≡ f t (K) . (17.23)−βH ′ = N 3 ln ( e 3K + 3e −K) + K ′ ∑ 〈IJ〉S I S J . (17.24)Essa é a transformação completa do GR que procurávamos. Percebe-se que há um termo in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte dos spins <strong>de</strong> blocos, queé importante para o cálculo da função partição ou da energia livre (correspon<strong>de</strong>nte ao termo C ′ no mo<strong>de</strong>lo uni-dimensional). Osegundo termo nos mostra como a constante <strong>de</strong> acoplamento entre primeiros vizinhos se transforma.Vamos agora procurar os pontos fixos da transformação do GR. Chamando-os <strong>de</strong> K ∗ , temos que K ∗ = f t (K ∗ ), don<strong>de</strong>obtemos imediatamente os dois pontos fixos Kp ∗ = 0 e Kf ∗ = ∞, correspon<strong>de</strong>ntes às <strong>fase</strong>s paramagnética e ferromagnética,respectivamente. Além <strong>de</strong>sses, existe um terceiro ponto fixo não triviale 3K∗ + e −K∗ + 1= e4K∗e 3K∗ + 3e −K∗ e 4K∗ + 3 = √ 1 ⇒ e 4K∗ = 1 + 2 √ 2 ⇒ K ∗ = 1 (1 2 4 ln + 2 √ )2 ≈ 0.34. (17.25)Compare esse valor com o valor exato K c = (ln 3) /4 = 0.27. Linearizando em torno <strong>de</strong>sse ponto fixo da maneira usual(f t ′ (K∗ ) = 1 + 2 8 − 5 √ )2 K ∗ ≈ 1.62 = Λ t(1) √3. (17.26)Essa <strong>de</strong>rivada está ligada ao auto-valor da temperatura Λ t √3. Ele não está tão longe do valor exato 1.73, em vista da simplicida<strong>de</strong>da aproximação. O cálculo em segunda or<strong>de</strong>m fornece Λ t(2) √3≈ 1.77.Po<strong>de</strong>mos também estimar o auto-valor do campo magnético. Para isso, basta um cálculo perturbativo em h, pois o ponto fixoé h ∗ = 0. Po<strong>de</strong>mos incluir o termo do campo magnético em H 0H 0 → H 0 − h ∑ ∑S Ii . (17.27)I iO Hamiltoniano transformado receberá uma contribuição semelhanteH ′ → H ′ 0 − h ′ ∑ IS I , (17.28)on<strong>de</strong> chamamos <strong>de</strong> H ′ 0 o Hamiltoniano transformado na ausência <strong>de</strong> campo magnético. AssimExpandindo em h e h ′ ,e P −β(H′ 0 −h′ SI) I= Z 0〈e βh P P 〉I i SIi e V . (17.29)0e −βH′ 0Usando agora a Eq. (17.8) temos finalmente(h ′ ∑ Ih ′ ∑ IS I)S I = h= hZ 0〈e V ∑ I〉∑S Ii . (17.30)i0〈eV ∑ I∑i S Ii〉0〈e V 〉 0. (17.31)
39Vamos trabalhar em or<strong>de</strong>m 0 na perturbação. Nesse caso,h ∑ 〈 ∑ ′ S I = hII〉∑S Ii . (17.32)i 0O traço do lado direito é fácil <strong>de</strong> calcular. Temos, usando a Eq. (17.21),〈 〉 ∑ e 3K + e −KS Ii = 3 〈S I1 〉 0= 3S Ie 3K , (17.33)+ 3e−K ique nos dáCalculando no ponto fixo K ∗ ,0h ′ = 3h e3K + e −Ke 3K + 3e −K ≡ f h (K) h. (17.34)Λ h(0) √3= f h (K ∗ ) = 3 √2≈ 2.12. (17.35)Compare com o valor exato 2.80. O cálculo em primeira or<strong>de</strong>m fornece Λ h(1) √3≈ 3.06 e em segunda or<strong>de</strong>m Λ h(2) √3≈ 2.76.XVIII.OUTROS RESULTADOS E OPERADORES IRRELEVANTESOs resultados apresentados na Seção XVII são bastante primitivos. Entretanto, cálculos bastante mais acurados po<strong>de</strong>m serfeitos. Em primeiro lugar, po<strong>de</strong>-se esten<strong>de</strong>r a teoria <strong>de</strong> perturbação para or<strong>de</strong>ns superiores, como já mencionado naquela Seção.Alternativamente, um outro método po<strong>de</strong>roso consiste em encontrar numericamente a transformação para o Hamiltoniano renormalizado,analisando-se pequenos aglomerados com um número finito <strong>de</strong> spins (aproximação <strong>de</strong> aglomerados). Em ambosos casos, a principal modificação encontrada com relação aos resultados da Seção XVII consiste no aparecimento <strong>de</strong> novosacoplamentos entre spins que não estavam presentes no Hamiltoniano original. O GR gera, em princípio, um númeroinfinito <strong>de</strong> novos termos (consistentes com a simetria do sistema original) envolvendo acoplamentos entre pares <strong>de</strong> spins comseparações arbitrárias (segundos vizinhos, terceiros vizinhos, etc.) e também termos <strong>de</strong> interação entre 3 ou mais spins. É porisso que <strong>de</strong>vemos encarar o fluxo do GR como um fluxo num espaço <strong>de</strong> Hamiltonianos <strong>de</strong> dimensão infinita, cujos eixossão os coeficientes dos vários termos passíveis <strong>de</strong> serem gerados e consistentes com as simetrias do problema. Note que essesnovos termos foram ignorados por Kadanoff em seu tratamento original, que introduziu o conceito fundamental <strong>de</strong> variáveis <strong>de</strong>bloco. Embora um gran<strong>de</strong> número <strong>de</strong>sses novos termos possa ser levado em conta num cálculo numérico, po<strong>de</strong>-se questionar autilida<strong>de</strong> do método, que aparentemente se torna infinitamente complicado. Entretanto, vamos mostrar que, embora importantespara a obtenção <strong>de</strong> valores numéricos precisos, a influência <strong>de</strong>sses infinitos termos po<strong>de</strong> ser muito bem controlada.Como exemplo, tomemos os resultados em segunda or<strong>de</strong>m em teoria <strong>de</strong> perturbação para h = 0 para a re<strong>de</strong> triangular. 11 Emsegunda or<strong>de</strong>m em teoria <strong>de</strong> perturbação, acoplamentos entre segundos (L) e terceiros vizinhos (M) são geradosK ′ = f 1 (K, L, M) , (18.1)L ′ = f 2 (K, L, M) , (18.2)M ′ = f 3 (K, L, M) . (18.3)Note que uma aplicação consistente <strong>de</strong>ve incluir o efeito da presença <strong>de</strong> L e M no Hamiltoniano original, pois uma segundaiteração do GR já contará com esses termos como sendo não nulos. Os resultados da análise das Eqs. (18.1-18.3) fornecem umponto fixo trivial não trivial emK ∗ = 0.28, (18.4)L ∗ = −0.014, (18.5)M ∗ = −0.015. (18.6)A primeira coisa a notar é o pequeno valor dos acoplamentos adicionais no ponto fixo, indicando sua importância secundária.Além disso, calculando as <strong>de</strong>rivadas no ponto fixo (na verda<strong>de</strong>, as <strong>de</strong>rivadas cruzadas são não nulas e é necessário encontrar seus
40auto-valores; discutiremos isso mais adiante) obtém-se, respectivamenteΛ t(2) √3= 1.78, (18.7)Λ 2(2) √3= 0.23, (18.8)Λ 3(2) √3= −0.12. (18.9)∣∣O ponto importante a ser notado aqui é que, excetuando-se o acoplamento <strong>de</strong> primeiros vizinhos, os outros dois tem ∣Λ i √ ∣∣3< 1,ou seja, sob a iteração sucessiva do GR, os pequenos <strong>de</strong>svios em relação ao ponto fixo <strong>de</strong>sses acoplamentos <strong>de</strong>caem rapidamentea zero (chamando-os coletivamente <strong>de</strong> g i )R l b (g i ) = ( Λ i b) lgi → 0, (18.10)quando l → ∞. Equivalentemente, os acoplamentos em questão tem dimensão negativa d i < 0R l b (g i ) = b ldi g i → 0. (18.11)Esses acoplamentos com dimenão negativa, por diminuirem sob a iteração do GR, são chamados <strong>de</strong> operadores ou variáveisirrelevantes e, em contrapartida, aqueles que têm dimensão positiva são chamados <strong>de</strong> relevantes. No caso do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising,apenas o “operador <strong>de</strong> temperatura” (K) e o campo magnético externo (h) são relevantes. Referindo-nos à discussão geral daSeção XIV, po<strong>de</strong>mos escrever a transformação da energia livre sob o GR na presença <strong>de</strong> várias variáveis irrelevantes comoAssim como antes, po<strong>de</strong>mos tomar b = b 0 t −1/dt eb d f (t, h, g 1 , g 2 , . . .) = f ( tb dt , hb d h, g 1 b d1 , g 2 b d2 , . . . ) . (18.12)f (t, h, g 1 , g 2 , . . .) = td/dtb d f0≈ tνdb d f0= t νd Φ(b dt(b dt0 , bd h00 , bd h0)h, b d1t d h/d t 0 g 1t |d1|/dt , b d20 g 2t |d2|/dt , . . .(18.13))ht ∆ , 0, 0, . . . , (18.14)( ht ∆ ), (18.15)para t suficientemente pequeno. As mesmas consi<strong>de</strong>rações se aplicam às outras formas <strong>de</strong> escala. Portanto, mesmo no caso emque o Hamiltoniano não mantém sua forma original simples sob a transformação do GR, a presença <strong>de</strong> um número gran<strong>de</strong> <strong>de</strong>variáveis irrelevantes não altera a forma <strong>de</strong> escala assintótica, em que aparecem apenas as variáveis relevantes. Todos os estudosfeitos, numéricos ou analíticos, confirmam a existência <strong>de</strong> apenas duas variáveis relevantes, essencialmente t e h, no fluxo do GRda classe <strong>de</strong> universalida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Ising. Isso é compatível com a existência <strong>de</strong> apenas dois parâmetros que precisam ser ajustadospara colocar o sistema no seu ponto crítico, a saber, a temperatura e o campo magnético externo. Esse <strong>de</strong>talhe final fornece ajustificativa geral da teoria <strong>de</strong> escala em todos os seus pontos (existe um importante <strong>de</strong>talhe, a ser visto mais adiante, referenteaos chamados operadores perigosamente irrelevantes).Retornando ao mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising na re<strong>de</strong> triangular, cálculos na aproximação <strong>de</strong> aglomerados fornecem valores para o pontofixo e as <strong>de</strong>rivadas em crescente grau <strong>de</strong> precisão à medida que o aglomerado cresce. Os cálculos mais precisos reportados naRef. 10, feitos num aglomerado <strong>de</strong> 7 triângulos fornecem os seguintes valores para os auto-valores relevantesΛ t(7cl) √3≈ 1.7590, (18.16)Λ h(7cl) √3≈ 2.8024, (18.17)que <strong>de</strong>vem ser comparados com os valores exatos Λ t √3= 1.73205 e Λ h √3= 2.80092. A concordância é excelente.Para a re<strong>de</strong> quadrada, os resultados na aproximação <strong>de</strong> aglomerados <strong>de</strong> 16 spins, separados em 4 quadrados <strong>de</strong> 4 spins cadaum, fornecem acoplamentos entre primeiros e segundos vizinhos e acoplamentos entre 4 spins, K 1 , K 2 e K 3 , respectivamente,tais que o ponto crítico se localiza em 7,8K ∗(4cl)1 = 0.307, (18.18)K ∗(4cl)2 = 0.084, (18.19)K ∗(4cl)3 = −0.004, (18.20)
mais uma vez confirmando a predominância dos acoplamentos entre primeiros vizinhos. Os 3 auto-valores da matriz <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivadassãoΛ t(4cl)2 = 1.914, (18.21)Λ 2(4cl)2 = 0.248, (18.22)Λ 3(4cl)2 = 0.137, (18.23)confirmando que, para h = 0, há apenas uma variável relevante. O expoente ν obtido a partir <strong>de</strong> (18.21) é 0.937 (ν = 1 dasolução <strong>de</strong> Onsager ou Λ t 2 = 2). Na presença <strong>de</strong> um campo magnético, o expoente do gap ∆ também foi calculado nessa41aproximação e obteve-se 9 ∆ (4cl) = 1.9519, (18.24)a ser comparado com o resultado exato ∆ = 15/8 = 1.875.XIX.CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE OS FLUXOS DO GRAtravés <strong>de</strong> exemplos resolvidos e <strong>de</strong> resultados numéricos, pu<strong>de</strong>mos obter uma idéia geral sobre a natureza das transformaçõesgeradas pelo GR. Vamos agora tentar sistematizar o que nós já apren<strong>de</strong>mos.Vimos que, <strong>de</strong> modo geral, uma transformação do GR gera um Hamiltoniano <strong>de</strong> forma arbitrária, contendo em princípio umnúmero infinito <strong>de</strong> termos. O único requisito <strong>de</strong>sses termos é que tenham uma natureza local, isto é, possam ser escrito comouma soma extensiva sobre x (por todo o sistema) <strong>de</strong> termos que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>m apenas <strong>de</strong> uma vizinhança limitada do ponto x (nocaso Ising que tratamos, isso significava termos gerais com a forma <strong>de</strong> produtos <strong>de</strong> spins numa região compacta do espaço), eque não violem simetrias básicas do sistema. Assim, em princípio, todos os termos compatíveis com essas “regras” são geradospor uma transformação do GR. Mesmo que o Hamiltoniano inicial não contenha todos esses termos, algumas poucas iteraçõesdo GR acabarão por gerar rapidamente um número infinito <strong>de</strong>sses termos. A iteração do GR po<strong>de</strong> então ser vista como umatrajetória nesse “espaço <strong>de</strong> Hamiltonianos”, cujos eixos são os vários coeficientes dos possíveis termos gerados. É útil escrevercoletivamente K ≡ (K 1 , K 2 , K 3 , . . .), on<strong>de</strong> os vários K i são os coeficientes dos vários termos do Hamiltoniano (vamos usarK 2 = h, correspon<strong>de</strong>nte ao campo magnético). No caso do GR que <strong>de</strong>finimos, em termos <strong>de</strong> um re-escalamento finito poruma contante fixa b, os pontos <strong>de</strong>ssa trajetória são discretos K ( b l) ≡ K l . Mas po<strong>de</strong>mos imaginar que exista uma continuaçãoanalítica para um fluxo contínuo nesse espaço, caso em que teríamos uma trajetória contínua K (b) , b ∈ R. Alternativamente,para b muito gran<strong>de</strong>, a separação entre os pontos da trajetória é tão pequena em termos relativos que po<strong>de</strong>mos fazer um tratamentocontínuo. Falamos, portanto, do fluxo do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong> como o conjunto <strong>de</strong> todas as trajetórias possíveis geradaspelo GR, a partir <strong>de</strong> todas as “condições iniciais” (ou seja, <strong>de</strong> todos os Hamiltonianos iniciais) possíveis.Depois <strong>de</strong> um número infinito <strong>de</strong> iterações, geralmente ten<strong>de</strong>-se a um ponto fixo K (b → ∞) → K ∗ . A possibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> haverciclos limites ou comportamento caótico parece não se realizar, embora haja alguns exemplos um pouco artificiais com essescomportamentos. Devemos sempre lembrar que a cada iteração ξ → ξ ′ = ξ/b, ou seja, o comprimento <strong>de</strong> correlação diminui<strong>de</strong> um fator <strong>de</strong> b. Assim, o ponto fixo correspon<strong>de</strong> a ξ ∗ = ξ ∗ /b, cujas únicas soluções são ξ = 0 ou ξ = ∞. O primeiro casocorrespon<strong>de</strong>rá a uma <strong>fase</strong> termodinâmica estável do sistema com comprimento <strong>de</strong> correlação finito, enquanto o segundo casocorrespon<strong>de</strong> a um ponto crítico, como já vimos.Se começarmos a iterar o GR para um Hamiltoniano inicial que difere ligeiramente <strong>de</strong> um ponto fixo K = K ∗ + δK, háduas possibilida<strong>de</strong>s: ou a trajetória levará o Hamiltoniano <strong>de</strong> volta ao ponto fixo ou ela irá se afastar cada vez mais do pontofixo, indo terminar em um outro ponto fixo. Assim, po<strong>de</strong>mos caracterizar os pontos fixos como instáveis ou estáveis em relaçãoa pequenos <strong>de</strong>svios a partir <strong>de</strong>le. Na verda<strong>de</strong>, po<strong>de</strong> haver direções estáveis e direções instáveis nas proximida<strong>de</strong>s dos pontosfixos. A situação lembra em vários aspectos a análise <strong>de</strong> estabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> pontos <strong>de</strong> equilíbrio <strong>de</strong> potenciais na Mecânica. Maisprecisamente a situação correspon<strong>de</strong> a uma dinâmica puramente dissipativa, <strong>de</strong>scrita por um sistema <strong>de</strong> equações dinâmicas dotipodK 1dldK 2dl.= β 1 (K) , (19.1)= β 2 (K) , (19.2). ., (19.3)em que po<strong>de</strong>mos encarar a variável l = ln b, como uma variável “temporal” da dinâmica.
Vimos anteriormente que po<strong>de</strong>mos analisar o fluxo do GR linearizando as equações <strong>de</strong> transformação em torno <strong>de</strong> um pontofixo. Suponhamos quee vamos linearizar em torno <strong>de</strong> K ∗ . Escrevendo K i = K ∗ i + δK i e K ′ i = K∗ i + δK′ iK 1 ′ = f 1 (K) , (19.4)K 2 ′ = f 2 (K) , (19.5)......, (19.6)42δK ′ i = f i (K ∗ + δK) − f i (K ∗ ) = ∑ j∂f i (K)∂K j∣ ∣∣∣KδK j = ∑∗jM ij δK j . (19.7)De modo geral, a iteração “mistura” os vários coeficientes. É interessante tentar “diagonalizar” a matriz <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivadas M ij .Entretanto, como M ij não é, <strong>de</strong> maneira geral, uma matriz simétrica, não há garantias <strong>de</strong> que a matriz seja diagonalizável,ou seja, que haja uma transformação linear ortogonal que traga a matriz para uma forma diagonal. Portanto, precisaremosdistinguir, no caso genérico, entre auto-vetores à direita e à esquerda (vamos supor que os auto-valores sejam reais). Sejam e i Dos autovetores à direita e e j E os autovetores à esquerda e Λi D e Λi E seus respectivos auto-valores tais queem notação matricial usual. Tomando a transposta da Eq. (19.9) temosM · e i D = Λ i De i D, (19.8)e j E · M = Λj E ej E , (19.9)M T · e j E = Λj E ej E . (19.10)Comparando as equações seculares correspon<strong>de</strong>ntes a (19.8) e (19.10) e lembrando que o <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> uma matriz é o mesmoque o <strong>de</strong> sua transposta, segue que os auto-valores à esquerda são os mesmos que os à direita Λ i D = Λi E ≡ Λi , embora os autovetorescorrespon<strong>de</strong>ntes possam diferir. Entretanto, po<strong>de</strong>mos generalizar a ortogonalida<strong>de</strong> entre auto-vetores correspon<strong>de</strong>ntes aauto-valores diferentes. Tomando o produto escalar pela esquerda <strong>de</strong> e j E com a Eq. (19.8) e pela direita <strong>de</strong> ei D com a Eq. (19.9)obtemosSubtraindo (19.12) <strong>de</strong> (19.11)e j E · M · ei D = Λ i e j E · ei D, (19.11)e j E · M · ei D = Λ j e j E · ei D. (19.12)(Λ i − Λ j) e j E · ei D = 0, (19.13)don<strong>de</strong> vemos que e j E · ei D = 0 se i ≠ j. Logo, po<strong>de</strong>mos escreverδK = ∑ ih i e i D , (19.14)h i = e i E · δK, (19.15)e analogamente para δK ′ , tal que∑h ′ ie i D = δK ′ = M · δK = ∑iih i Λ i e i D ⇒ h ′ i = Λ i h i . (19.16)Já vimos que para uma transformação que envolve o parâmetro <strong>de</strong> re-escalamento b, a proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong> semi-<strong>grupo</strong> do GR impõequeΛ i = b di ⇒ h ′ i = b di h i , (19.17)on<strong>de</strong> d i é a dimensão do parâmetro h i . O coeficiente h i é chamado <strong>de</strong> campo <strong>de</strong> escala. Ele aparece como coeficiente <strong>de</strong> umacombinação linear <strong>de</strong> operadores obtida a partir <strong>de</strong> (19.14-19.15).Os auto-vetores po<strong>de</strong>m ser classificados segundo o sinal <strong>de</strong> suas dimensões:
43Figura 8: Representação esquemática do fluxo do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong>. Existem nesse caso dois pontos fixos: um trivial (ξ = 0) em K ∗e um ponto fixo crítico Kc ∗ com ξ = ∞. Pontos na superfície crítica (ver<strong>de</strong>) são todos levados ao ponto fixo Kc ∗ e têm ξ = ∞. A direção azulque leva <strong>de</strong> Kc ∗ a K ∗ representa uma direção relevante na vizinhança <strong>de</strong> Kc ∗ . A trajetória em vermelho representa um sistema ligeiramentenão-crítico. O transiente permanece por muitas iterações próximo à superfície crítica e é governado por Kc∗ mas acaba por finalmente se<strong>de</strong>sviar em direção a K ∗ .1. Se d i > 0, o auto-vetor é chamado <strong>de</strong> relevante. Nesse caso, ∣ ∣ Λi ∣ ∣ > 1 e o campo <strong>de</strong> escala correspon<strong>de</strong>nte cresce sob aiteração do GR.2. Se d i < 0, o auto-vetor é chamado <strong>de</strong> irrelevante. Nesse caso, ∣ ∣ Λi ∣ ∣ < 1 e o campo <strong>de</strong> escala <strong>de</strong>cresce sob o fluxo do GR.3. O caso d i = 0, implica que em or<strong>de</strong>m linear o campo correspon<strong>de</strong>nte não muda sob o fluxo do GR. O operador é chamado<strong>de</strong> marginal.É importante lembrar que a classificação em termos <strong>de</strong> relevância diz respeito à vizinhança <strong>de</strong> um ponto fixo dado. Um mesmooperador po<strong>de</strong> ser relevante num ponto fixo e irrelevante em outro. Depois <strong>de</strong> várias iterações, se permanecermos na regiãolinear, o efeito dos operadores irrelevantes <strong>de</strong>saparece e os operadores relevantes se tornarão dominantes. Se os coeficientesiniciais dos operadores relevantes forem diferentes <strong>de</strong> zero, o fluxo se distanciará do ponto fixo. Caso esses coeficientes sejamzero (e não haja operadores marginais), o fluxo trará o Hamiltoniano <strong>de</strong> volta ao ponto fixo. O número <strong>de</strong> auto-valores relevantes<strong>de</strong> um ponto fixo é chamado <strong>de</strong> sua codimensão. Uma das proprieda<strong>de</strong>s mais importantes dos pontos fixos <strong>de</strong> várias teorias,como a classe <strong>de</strong> universalida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Ising, é que a codimensão dos pontos fixos críticos é um número finito pequeno (2 no casoIsing).As direções correspon<strong>de</strong>ntes aos campos <strong>de</strong> escala irrelevantes <strong>de</strong> um ponto fixo crítico geram a chamada superfície crítica.Todos os pontos da superfície crítica são levados ao ponto fixo crítico. Segue que todos os Hamiltonianos na superfície críticatêm ξ = ∞. Se o sistema começar o fluxo muito próximo da superfície crítica, ou seja, se os campos <strong>de</strong> escala relevantes forempequenos, o fluxo se <strong>de</strong>senrolará próximo à superfície crítica por um longo “tempo” (ou seja, por muitas iterações) e o fluxoserá durante esse transiente indistinguível <strong>de</strong> um fluxo na superfície crítica. Ao final, os campos <strong>de</strong> escala relevantes crescerãoo suficiente para que o fluxo se distancie significativamente da superfície crítica e se <strong>de</strong>svie do ponto fixo crítico (ver figura 8).Nesse caso, dizemos que o fluxo é governado pelo ponto fixo crítico, pois vimos na Seção XVIII que todos os expoentes daregião crítica correspon<strong>de</strong>nte a esse ponto fixo são obtidos a partir das dimensões dos operadores relevantes.Pontos fixos completamente estáveis, ou seja, que não têm direções relevantes representam <strong>fase</strong>s termodinâmicas do sistema.Todos os Hamiltonianos na sua vizinhança são levados a ele e estão na mesma <strong>fase</strong> do sistema. O conjunto <strong>de</strong> todos os pontosno espaço <strong>de</strong> Hamiltonianos que são levados a um ponto fixo é chamado <strong>de</strong> sua bacia <strong>de</strong> atração.Já vimos que a classe <strong>de</strong> universalida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Ising apresenta 2 operadores relevantes, um associado à temperatura reduzida te outro associado ao campo magnético h. Fisicamente, precisamos ajustar 2 parâmetros externos, a temperatura e o campo
44Figura 9: Corte no espaço <strong>de</strong> parâmetros <strong>de</strong> um Hamiltoniano geral no plano K 1, K 2 (acoplamentos entre primeiros e segundos vizinhos,respectivamente). O ponto fixo crítico (K1 ∗ , K2 ∗ ) é a interseção entre a superfície crítica (curva azul, direção irrelevante) e a direção relevante(curva ver<strong>de</strong>). As linhas vermelhas representam fluxos quaisquer. Todos os ponto na curva azul são atraídos para o ponto crítico. Osoutros pontos estão na bacia <strong>de</strong> atração dos pontos fixos <strong>de</strong> alta temperatura (<strong>fase</strong> paramagnética) K 1 = K 2 = 0 e <strong>de</strong> baixa temperaturaK 1 = K 2 = ∞ (<strong>fase</strong> ferromagnética). A bolinha amarela marca o ponto crítico do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising com interação entre primeiros vizinhosapenas, em que K 2 = 0 e a bolinha vinho marca o ponto crítico do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising com interaão entre segundos vizinhos apenas, on<strong>de</strong>K 1 = 0.magnético para colocarmos o sistema no ponto crítico. Sistemas diferentes correspon<strong>de</strong>rão a Hamiltonianos iniciais diferentes.Se todos pertencerem à mesma classe <strong>de</strong> universalida<strong>de</strong> e forem ajustados aos seus pontos críticos respectivos, eles correspon<strong>de</strong>rãoa pontos diferentes na superfície crítica. Pequenos <strong>de</strong>svios do ponto crítico serão governados por um mesmo ponto fixo e,portanto, terão os mesmos expoentes críticos. Essa é a origem do fenômeno da universalida<strong>de</strong>.Pontos tri-críticos (como no problema da lista) são caracterizados pela presença <strong>de</strong> 3 direções relevantes, pois é necessárioajustar 3 parâmetros externos para atingirmos o ponto crítico.Vimos na Seção XVIII que o ponto fixo crítico do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising bi-dimensional é caracterizado por vários operadores Ki ∗.Po<strong>de</strong>mos exemplificar melhor as consi<strong>de</strong>rações acima se fizermos um corte no plano (K 1 , K 2 ), on<strong>de</strong> K 1 e K 2 correspon<strong>de</strong>m aacoplamentos entre primeiros e segundos vizinhos. Nesse caso, o ponto fixo crítico correspon<strong>de</strong> a K1 ∗ e K∗ 2 (ver figura 9). Asuperfície crítica é a linha azul da figura. Todos os pontos nessa linha estão na bacia <strong>de</strong> atração do ponto fixo crítico. A linha ver<strong>de</strong>representa a direção relevante, que leva aos pontos fixos estáveis <strong>de</strong> alta e baixa temperaturas (K 1 = K 2 = 0 e K 1 = K 2 = ∞,respectivamente). Existe uma outra direção relevante, ao longo do eixo h, que sai do plano da figura. O ponto representado pelabolinha amarela, com K 2 = 0 representa o mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising com interação entre primeiros vizinhos apenas, no seu ponto crítico.Já o ponto em vinho, com K 1 = 0 representa o mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising com interação entre segundos vizinhos apenas, também no seuponto crítico. Apesar <strong>de</strong> serem mo<strong>de</strong>los diferentes, ambos tem o mesmo comportamento crítico, governado pelo mesmo pontofixo crítico (K1 ∗, K∗ 2 ), assim como todos os mo<strong>de</strong>los com ambos os acoplamentos no Hamiltoniano original pertencentes à linhaazul da figura. Eis aí o fenômeno da universalida<strong>de</strong> e sua tradução em termos do fluxo do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong>.Vamos agora <strong>de</strong>screver o fluxo global do GR para o mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising bi-dimensional no plano (K 1 ≡ K, h). Ele po<strong>de</strong> serobtido em primeira or<strong>de</strong>m em teoria <strong>de</strong> perturbação a partir das equações <strong>de</strong> transformação da Seção XVII adicionadas doresultado para a transformação do campo magnético em primeira or<strong>de</strong>m, que po<strong>de</strong> ser obtido a partir da Ref. 11, a saber()h ′ = 3 e3K + e −K 16Ke 2Ke 3K + 3e −K 1 +(e 3K + 3e −K ) 2 h. (19.18)Além do ponto fixo crítico em C = (K ∗ ≈ 0.34, h ∗ = 0), obtemos os pontos fixos paramagnético P = (K ∗ P = 0, h∗ = 0) eferromagnético F = (K ∗ F = ∞, h∗ = 0). A análise que fizemos esclareceu a estrutura do fluxo na vizinhança do ponto fixocrítico, que é instável em relação a quaisquer perturbações no plano (K, h). Os pontos fixos estáveis P e F são estáveis nadireção h = 0, mas instáveis quanto a <strong>de</strong>svios <strong>de</strong> h em relacão a zero. A estrutura global está mostrada na figura 10.A estrutura do fluxo nas proximida<strong>de</strong>s dos pontos P e F po<strong>de</strong> ser analisada por linearização das Eqs. <strong>de</strong> transformação (17.23)
45Figura 10: Fluxo do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong> para o mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising bidimensional no plano (K, h), on<strong>de</strong> K = βJ é o acoplamento entreprimeiros vizinhos e h é o campo magnético aplicado. O ponto fixo crítico C = (K ∗ , h = 0) (ponto vermelho) é completamente instável noplano. Os pontos fixos paramagnético P = (K ∗ P = 0, h ∗ = 0) (ponto azul) e ferromagnético F = (K ∗ F = ∞, h ∗ = 0) (ponto ver<strong>de</strong>) sãoestáveis na linha h = 0 mas instáveis com respeito a um campo magnético não nulo. Nesse caso, o fluxo leva o sistema aos pontos fixos emamarelo.e (19.18). Obtemos que em Penquanto que em FΛ t P = 0.5, (19.19)Λ h P = 1.5, (19.20)Λ t F= 2, (19.21)Λ h F = 3. (19.22)Devemos notar que a direção K (temperatura) é irrelevante nos dois pontos fixos, apesar <strong>de</strong> Λ t F > 1, como mostrado na figura 10.Isso porque, no caso singular <strong>de</strong> F , KF ∗ = ∞ e um auto-valor maior que 1 implica que os <strong>de</strong>svios em relação a K F ∗ = ∞, ouseja, valores finitos <strong>de</strong> K, ten<strong>de</strong>m a crescer sob o GR e, portanto, a se aproximar <strong>de</strong> KF ∗ = ∞. Além disso, os auto-valores docampo magnético são ambos maiores que 1, apontando a relevância das perturbações em relação a h = 0.A linha h = 0 para K > K ∗ correspon<strong>de</strong> à linha <strong>de</strong> coexistência entre as <strong>fase</strong>s ferromagnéticas com magnetizações invertidasuma em relação à outra. Já vimos que essa é uma linha <strong>de</strong> transições <strong>de</strong> primeira or<strong>de</strong>m. Nesse caso, uma análise geral mostraque, em torno do ponto fixo correspon<strong>de</strong>nte (F no caso), Λ h = b d , como mostraremos a seguir. Consi<strong>de</strong>remos a maneira comoa magnetização por spin do sistema se transforma sob o GR∂f (h)m (h) = − ∂h ∣ (19.23)h=0 += −b −d ∂f (h′ )∣(19.24)∂h∣h=0 +∣−d ∂h′ ∂f (h ′ ) ∣∣∣h= −b∂h ∂h ′ (19.25)′ =0 += Λ b (h)b d m (h ′ ) , (19.26)
on<strong>de</strong>Λ b (h) = ∂h′∂hi=0∣∣h=0 +46, (19.27)e escrevemos as quantida<strong>de</strong>s físicas em termos do campos <strong>de</strong> escala, <strong>de</strong>notados coletivamente por h. Iterando l vezes o GR[ ( l∏) ]Λb h(i) (m (h) =b d m h (l+1)) . (19.28)Tomando l → ∞, alcançamos o ponto fixo em cuja bacia <strong>de</strong> atração encontra-se o sistema examinado. Suponhamos que esseponto fixo seja o ponto F , <strong>de</strong> tal forma que o sistema esteja em seu estado ferromagnético com quebra espontânea <strong>de</strong> simetria(T < T c , h = 0). Nesse caso, m ( h (∞)) = 1 e[ ( l∏) ]Λb h(i)m (h) =b d ≠ 0. (19.29)Para que o produtório acima seja finito <strong>de</strong>ve-se teri=0(Λ )b h(i) (limi→∞ b d = 1 ⇒ Λ b h (∞)) = Λ h bF = bd , (19.30)em conformida<strong>de</strong> com a Eq. (19.22). É interessante notar que, <strong>de</strong> maneira geral, po<strong>de</strong>-se mostrar que d i ≤ d, <strong>de</strong> tal forma que oauto-valor acima, característico <strong>de</strong> linhas <strong>de</strong> transição <strong>de</strong> <strong>fase</strong> <strong>de</strong> primeira or<strong>de</strong>m, satura a <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>. Além disso, a fórmula(19.29) po<strong>de</strong> ser usada ao longo da trajetória para calcular a magnetização espontânea do sistema.XX.GRUPO DE RENORMALIZAÇÃO DO MODELO GAUSSIANONosso objetivo agora é <strong>de</strong>finir o <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong> no espaço k, que nos permitirá posteriormente obter a expansão emɛ. Como problema preliminar mais simples faremos a análise do mo<strong>de</strong>lo gaussiano, que é um mo<strong>de</strong>lo não-interagente, com ncomponentes. Ele correspon<strong>de</strong>, como já vimos, ao mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Landau com u = 0∫ [ 1L = d d x2 φ i (x) ( r − ▽ 2) ]φ i (x) − h i φ i (x) , (20.1)on<strong>de</strong> a soma sobre os componentes i = 1, 2, . . . , n será mantida implícita. No espaço k, a ação fica∫ Λd d [k 1 (L =r + k2 ) ]0 (2π) d |φ i (k)| 2 − h i φ i (0) δ (d) (0) , (20.2)2on<strong>de</strong> introduzimos a notação∫ Λ2Λ 1d d ∫k(2π) d ≡d d k(2π) d Θ (|k| − Λ 1) Θ (Λ 2 − |k|) , (20.3)e tomamos o “cutoff” ultravioleta em k como sendo Λ. A soma parcial do GR consistirá em somar sobre os modos k tais queΛ/b < |k| < Λ, com b > 1. Vamos então separar os modos <strong>de</strong> spins <strong>de</strong> acordo com o valor <strong>de</strong> seus vetores <strong>de</strong> onda e re-<strong>de</strong>finir˜φ i (k) = φ i (k) , para Λ b< |k| < Λ, (20.4)mantendo a nomenclatura inalterada para os modos com |k| < Λ/b. A ação po<strong>de</strong> ser separada em dois termos envolvendovariáveis “rápidas” (˜φ i (k)) e “lentas” (φ i (k))L = L 0l + L 0r , (20.5)∫ Λ/bd d [k 1 (L 0l =r + k2 ) ]0 (2π) d |φ i (k)| 2 − h i φ i (0) δ (d) (0) , (20.6)2∫ Λd d [k 1 (L 0r =r + k2 ) ∣ ∣˜φi (k)∣Λ/b (2π) d ∣ 2] . (20.7)2
O primeiro passo do GR consiste em integrar sobre os modos rápidos∫Z (r, h) = DφD ˜φe −(L 0l+L 0r)∫∏=dφ i (k) e −L 0lon<strong>de</strong>0
48XXI.EXPOENTES GAUSSIANOS E OPERADORES PERIGOSAMENTE IRRELEVANTESOs valores <strong>de</strong> d r = d t e <strong>de</strong> d h po<strong>de</strong>m ser usados para obter os vários expoentes críticos, assumindo que a forma <strong>de</strong> escalausual da energia livre e da função <strong>de</strong> correlação <strong>de</strong> dois pontos seja válida. Obtemosν = 1 d t= 1 2 , (21.1)∆ = d hd t= 2 + d4 , (21.2)α = 2 − dν = 2 − d 2 , (21.3)β = 2 − α − ∆ = d − 24 , (21.4)γ = ∆ − β = 1, (21.5)δ = ∆ β = d + 2d − 2 , (21.6)η = 2 − γ ν= 0. (21.7)Quando <strong>de</strong>vemos esperar que o comportamento crítico seja dado pela teoria gaussiana? Nossa análise da Seção X sugere quea teoria <strong>de</strong> Landau <strong>de</strong>screva o comportamento crítico acima da dimensão crítica superior d uc = 4, pois vimos que a influênciadas flutuações é <strong>de</strong>sprezível na região crítica se d > 4 (critério <strong>de</strong> Ginzburg). A análise dos expoentes obtidos assumindoa teoria <strong>de</strong> Landau mais flutuações gaussianas nos dá todos os expoentes <strong>de</strong> campo médio usuais, exceto α = 2 − d/2 (verSeção X, especialmente a Eq. (10.10)). Ou seja, as flutuações não modificam os expoentes <strong>de</strong> campo médio, exceto talvezα. Na verda<strong>de</strong>, nem mesmo α é modificado, já que em d = 4, obtemos α = 0, que é o expoente <strong>de</strong> campo médio usual,enquanto que se d > 4, a contribuição das flutuações gaussianas dá α < 0. Como α < 0 indica um comportamento menossingular do calor específico, em relação ao valor da teoria <strong>de</strong> Landau pura (α = 0), a contribuição das flutuações gaussianas ésub-dominante e, portanto, <strong>de</strong>sprezível. Portanto, <strong>de</strong>veríamos esperar obter, para o comportamento crítico acima da dimensão 4,todos os expoentes <strong>de</strong> campo médio. Comparando agora os expoentes <strong>de</strong> campo médio, com os expoentes da teoria gaussiana,observamos que, embora os expoentes ν, γ e η sejam iguais, os expoentes α, β e δ apenas concordam com os valores <strong>de</strong> campomédio (α = 0, β = 1/2 e δ = 3) em d = d uc = 4, mas dão valores incorretos para d > 4. Isso sugere que a teoria gaussianapo<strong>de</strong> nos dar o comportamento correto acima <strong>de</strong> d = 4, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que possamos explicar a discrepância em α, β e δ.Por que a teoria gaussiana po<strong>de</strong> <strong>de</strong>screver o comportamento crítico acima <strong>de</strong> d = 4? Vamos relembrar o resultado daSeção XIII, Eq. (13.18), que nos diz que à medida que t → 0, o termo quártico efetivog ∝ t (d−4)/2 u → 0 se d > 4. (21.8)Isso é confirmado pela análise do termo quártico sob o GR. Com efeito, <strong>de</strong>vemos fazer no termo quártico as mesmas transformaçõesfeitas acima, ou seja, re-escalar distâncias x → x ′ = x/b (ou k → k ′ = bk) e o campoφ i(b −1 k ′) ≡ b 1+d/2 φ ′ i (k′ ) , (21.9)φ i (bx ′ ) ≡ b 1−d/2 φ ′ i (x ′ ) , (21.10)on<strong>de</strong> o fator multiplicativo do campo expresso no espaço real é diferente daquele do campo no espaço k, refletindo o fator <strong>de</strong>d d x (ou d d k) que relaciona um e outro. Assim∫d d x u [φ24 i (x) ] ∫2→ b d d d x ′ u [ 4 b4−2d φ ′2i (x ′ ) ] ∫2= b4−dd d x ′ u [φ′24 i (x ′ ) ] 2, (21.11)Isso mostra que⇒ u ′ = b 4−d u. (21.12)d u = 4 − d < 0 se d > 4. (21.13)O termo quártico é realmente irrelevante se d > 4 e a teoria gaussiana <strong>de</strong>veria dar o comportamento crítico em dimensõessuperiores a 4.O que há <strong>de</strong> errado no cálculo dos expoentes α, β e δ? A teoria <strong>de</strong> escala <strong>de</strong>rivada do fluxo do GR <strong>de</strong>monstrada na Seção XVIIInos mostra como lidar com a presença <strong>de</strong> operadores irrelevantes. Vamos particularizar aquela análise para o o caso aqui tratado,
49em que assumiremos que o termo quártico é o único termo irrelevante. Tomando b = b 0 t −1/dt()f (t, h, u) = td/dtb d f b dt0 , hbd h0 , b du0t d h/d t 0 . (21.14)ut|du|/dtUsualmente, simplesmente assumimos que a função f (t, h, u) é finita em f (t, h, 0) e assim otemos a equação <strong>de</strong> escala na suaforma habitual. Entretanto, po<strong>de</strong> acontecer <strong>de</strong> a função f (t, h, u) ser singular quando u → 0. Vamos supor que, quando u → 0,g (t, h)f (t, h, u) →u µ , (21.15)on<strong>de</strong> µ > 0. Nesse caso, não po<strong>de</strong>mos simplesmente ignorar a presença do operador irrelevante. No limite em que t → 0, aEq. (21.14) nos dá(f (t, h, u) = td/dtb d f b dt00 , bd h0h, b dut d h/d t0 ut|du|/dt )→ td/dtb d 0(g b dt0 , bd h h0 t d h /d t)b duµ0 u µ t |du|µ/dt = t d/dt−|du|µ/dt Φque é uma forma modificada da relação <strong>de</strong> escala usual. Usando que d t = 2 e |d u | = d − 4 para d > 4, obtemos2 − α = d − µ |d u|d t=( ht d h/d t), (21.16)d − µ (d − 4). (21.17)2Assim, vemos que o valor do expoente α é radicalmente modificado se a energia livre for uma função singular do parâmetroirrelevante. Dizemos, nesse caso, que u é uma variável perigosamente irrelevante.Devemos nos perguntar, portanto, se essa <strong>de</strong>pendência singular realmente ocorre e se ela leva a que os expoentes críticos domo<strong>de</strong>lo gaussiano concor<strong>de</strong>m com a teoria <strong>de</strong> campo <strong>de</strong> Landau para d > 4. A resposta é sim e a razão é a seguinte. A primeiradica sobre o que acontece vem <strong>de</strong> percebermos que os expoentes β e δ só são <strong>de</strong>finidos no estado or<strong>de</strong>nado, para T < T c .Consi<strong>de</strong>remos agora a teoria <strong>de</strong> Landau no estado or<strong>de</strong>nado. Sabemos que, nesse caso, a equação <strong>de</strong> estado é dada pela Eq. (9.4)da Seção IXe a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia livre é então obtida a partir do valor <strong>de</strong> φ 0 acima e da Eq. (9.9)on<strong>de</strong> <strong>de</strong>vemos lembrar que r ∝ t < 0. Escrevendorφ 0 + uφ 3 0 = h, (21.18)f (r, h, u) = r 2 φ2 0 + u 4 φ4 0 − hφ 0 , (21.19)φ 0 ≡(−u) r ( ) 1/2 1/3 hφ0 ≡ ˜φ0 , (21.20)ue levando em (21.18) obtemos˜φ 3 0 − (|r| 3/2u 1/2 hφ 3 0 − φ 0 = u1/2 h, (21.21)3/2|r|) 2/3˜φ0 = 1, (21.22)don<strong>de</strong> <strong>de</strong>duzimos que ambos os parâmetros re-escalados φ 0 e ˜φ 0 são funções apenas da razão u 1/2 h/ |r| 3/2φ 0 =( |r|uLevando agora esse resultado na Eq. (21.19), obtemos) ( )1/2u 1/2 ( ( )1/3h h uφ 0 = ˜φ0|r| u) 1/2 h. (21.23)3/2 |r| 3/2f (r, h, u) = − |r| |r|2 u φ2 0 + u 4[= |r|2u|r| 2 ( |r|u 2 φ4 0 − h u− 1 2 φ2 0 + 1 4 φ4 0 − u1/2 h|r| 3/2 φ 0( )= |r|2u F u 1/2 h=|r| 3/2( h4u) 1/2φ 0 , (21.24)](21.25)) 1/3˜F(u 1/2 h|r| 3/2 ). (21.26)
A Eq. (21.26) mostra que a <strong>de</strong>pendência com o parâmetro u é uma <strong>de</strong>pendência singular, embora ligeiramente mais complicadaque a da Eq. (21.15). Fisicamente, o que acontece é que o parâmetro u é essencial para manter a estabilida<strong>de</strong> da teoria <strong>de</strong> Landauquando r < 0 e ele não po<strong>de</strong> ser simplesmente posto igual a zero. Usando agora o re-escalamento dos parâmetros da teoria,temos (fazendo r ∝ t)(f (t, h, u) = td/dtb d f b dt00 , bd h0= b2dt−d−du0 t (d−|du|)/dth, b dut d h/d t0 ut|du|/dt )Dessa expressão, i<strong>de</strong>ntificamos imediatamente (lembrando que d h = 1 + d/2)Além disso, refazendo a análise da Seção XII, obtemos tambémuF(50(21.27))b (du+2d h−3d t)/20 u 1/2 h. (21.28)t (d h−|d u|/2)/d t≡ t 2−α Φ ′ ( ht ∆ ). (21.29)α = 2 − d − |d u|d t= 0, (21.30)∆ = 2d h − |d u |2d t= 3 2 . (21.31)β = 2 − α − ∆ = 1 2 , (21.32)γ = ∆ − β = 1, (21.33)δ = ∆ β= 3, (21.34)que concordam perfeitamente com os expoentes <strong>de</strong> campo médio. A análise da função <strong>de</strong> correlação também forneceν = 1 d t= 1 2 , (21.35)η = 2 − γ ν= 0. (21.36)Portanto, levando em conta a <strong>de</strong>pendência singular da <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia livre com o parâmetro irrelevante u, obtemos ostodos os expoentes corretamente, justificando assim a <strong>de</strong>scrição gaussiana acima da dimensão crítica superior 4. A análise acimamostra que o GR não resolve completamente o problema. Às vezes é necessário obter mais informações sobre a física do sistemaantes <strong>de</strong> <strong>de</strong>duzirmos todo o comportamento crítico através do GR.XXII.GRUPO DE RENORMALIZAÇÃO DO MODELO DE LANDAU E EXPANSÃO EM ɛA análise das Seções XX e XXI mostrou que o termo quártico é irrelevante acima e relevante abaixo <strong>de</strong> 4 dimensões. Assim,a introdução da perturbação quártica no mo<strong>de</strong>lo gaussiano é inócua para d > 4 mas introduz uma direção relevante no espaço<strong>de</strong> Hamiltonianos para d < 4. Como a dimensão 4 é a dimensão limítrofe, isso sugere que, se pu<strong>de</strong>rmos fazer uma continuaçãoanalítica na dimensionalida<strong>de</strong>, ao cruzarmos d = 4 algo bastante drástico <strong>de</strong>ve ocorrer. Por outro lado, se houver uma <strong>de</strong>pendênciacontínua com a dimensionalida<strong>de</strong>, po<strong>de</strong>-se imaginar que a teoria em, digamos, d = 3.99 dimensões seja razoavelmentecontrolável ou, pelo menos, mais controlável que em d = 3. Essa é a idéia por trás da expansão em ɛ ≡ 4 − d. Existe assim umaesperança <strong>de</strong> que, ao obtermos as quantida<strong>de</strong>s relevantes, como por exemplo os expoentes críticos, como uma série <strong>de</strong> potênciasem ɛ, talvez a extrapolação ɛ → 1 seja capaz <strong>de</strong> fornecer resultados bons para d = 3. Realmente, como vamos ver mais adiante,logo abaixo <strong>de</strong> d = 4, o ponto fixo crítico gaussiano se <strong>de</strong>sdobra em 2 novos pontos fixos, um gaussiano com codimensão 3 (e,portanto, incapaz <strong>de</strong> <strong>de</strong>screver o ponto crítico procurado) e um outro não-gaussiano com a codimensão correta 2. Esse último,chamado <strong>de</strong> ponto fixo <strong>de</strong> Wilson-Fisher, permanece arbitrariamente próximo do gaussiano para ɛ pequenor ∗ ∼ O (ɛ) , (22.1)u ∗ ∼ O (ɛ) . (22.2)Logo, uma análise perturbativa em u po<strong>de</strong> ser feita nas proximida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>sse ponto fixo. Essa é a estratégia que iremos seguir. Aexpansão em ɛ e a <strong>de</strong>scoberta <strong>de</strong>sse ponto fixo não-trivial foi feita por K. G. Wilson e M. E. Fisher na Ref. 13.
Os passos que <strong>de</strong>vemos seguir são essencialmente os mesmos usados no caso gaussiano, exceto que, na presença do termoquártico e em vista do exposto acima, iremos prosseguir em teoria <strong>de</strong> perturbação em u. Assim, o hamiltoniano original é51∫L =[ 1d d x2 φ i (x) ( r − ▽ 2) φ i (x) + u [φ24 i (x) ] ]2, (22.3)on<strong>de</strong> omitiremos o campo magnético inicialmente, por simplicida<strong>de</strong>. No espaço k, a ação fica L = L 0 +L 1 , on<strong>de</strong> L 0 é o mesmoda Eq. (20.2), enquanto queL 1 = u 4∫ Λ04∏m=1d d k m(2π) d (2π)d δ (d) (k 1 + k 2 + k 3 + k 4 ) φ i (k 1 ) φ i (k 2 ) φ j (k 3 ) φ j (k 4 ) . (22.4)Note a estrutura dos sub-índices i, j. Devemos agora separar os modos lentos φ i (k) , com |k| < Λ, dos modos rápidos ˜φ i (k)pertencentes à “casca <strong>de</strong> momentos” Λ/b < |k| < Λ, com b > 1. Na parte quadrática, há um completo <strong>de</strong>sacoplamento entreesses dois tipos <strong>de</strong> modos, como já foi mostrado na Seção XX, Eqs. (20.5-20.7). A parte quártica (Eq. (22.4)), entretanto, geraacoplamentos entre os modos. Logo, po<strong>de</strong>mos escreverL[φ i , ˜φ]] [i = L 0l [φ i ] + L 0r[˜φi + L 1 φ i , ˜φ]i , (22.5)∫Z (r, u) = DφD ˜φe −(L 0l+L 0r+L 1)(22.6)∫ ∫= Dφe −L 0lD ˜φe −L0r e −L1 (22.7)on<strong>de</strong> usamos a <strong>de</strong>finição da Eq. (20.11) e〈O〉 eφ ≡∫= Z r (r) Dφe −L 0l〈e−L 1〉eφ , (22.8)∫ ∫D−L ˜φe 0rO D−L ˜φe 0rO∫ =, (22.9)D ˜φe−L 0r Z r (r)Como antes, vamos simplesmente ignorar a contribuição <strong>de</strong> Z r (r), que é apenas uma constante não-singular. Note a similarida<strong>de</strong>com a formulação da Seção XVII, Eqs. (17.8-17.9). O objetivo agora é calcular (perturbativamente) o traço parcial da Eq. (22.8),re-escalar os momentos como na Eq. (22.48) <strong>de</strong> forma a recuperar o “cutoff” Λ, re-escalar os campos como na Eq. (22.49) paramanter invariante o termo do Laplaciano e “ler” na ação final a expressão dos parâmetros renormalizados.Vamos <strong>de</strong>finir〈 〉e −∆L[φi] ≡ e −L1[φi,e φ i] . (22.10)φ ePara separarmos em L 1[φ i , ˜φ i]os modos lentos e rápidos, <strong>de</strong>vemos fazer a substituição∫ Λ0d d ∫k Λ/bm(2π) d φ d d ∫k Λmi (k m ) −→0 (2π) d φ d d k mi (k m ) + ˜φΛ/b (2π) d i (k m ) (22.11)nas quatro integrações da Eq. (22.4). A ação ∆L, po<strong>de</strong> ser obtida através da chamada expansão em cumulantes{ ∞}∑ 1−∆L = ln〈(−L 1[φ i ,p!˜φ]) p 〉ieφ=p=0∞∑ (−1) pp=1p!(22.12)〈 [L p 1 φ i , ˜φ]〉 ci , (22.13)φ eon<strong>de</strong> o super-escrito c <strong>de</strong>nota um cumulante. Os primeiros cumulantes (os únicos que calcularemos aqui) po<strong>de</strong>m ser obtidosfacilmente da expansão do logaritmoln (1 + x) = x − x22 + x33 + O ( x 4) . (22.14)
52Obtém-se〈L 1[φ i , ˜φ i]〉 ce φ=〈 [L 2 1 φ i , ˜φ]〉 ci =φ e〈L 1[φ i , ˜φ i]〉〈L 2 1eφ(22.15)[φ i , ˜φ i]〉e φ − 〈L 1[φ i , ˜φ i]〉 2e φ, (22.16)don<strong>de</strong>∆L =〈L 1[φ i , ˜φ]〉i − 1 { 〈L 2 1eφ 2[φ i , ˜φ i]〉e φ − 〈L 1[φ i , ˜φ i]〉 2e φ}+ O ( u 2) . (22.17)(Observação: O cumulante <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m geral, po<strong>de</strong> ser obtido iterando-se e invertendo-se as expressões〈M p 〉 = ∑ ∏〈M nα 〉 c , (22.18)P αon<strong>de</strong> ∑ P é uma soma sobre todas as partições <strong>de</strong> M p em fatores M nα tais que ∑ α n α = p. Por exemplo,〈M〉 = 〈M〉 c , (22.19)〈M2 〉 = 〈 M 2〉 c+ 〈M〉 c 〈M〉 c = 〈 M 2〉 c+ 〈M〉 2 , (22.20)〈M3 〉 = 〈 M 3〉 c+ 3 〈M〉〈M2 〉 c+ 〈M〉3(22.21)= 〈 M 3〉 c+ 3 〈M〉〈M2 〉 − 2 〈M〉 3 , (22.22)etc.)Veremos que, para um cálculo <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m ɛ dos expoentes, os cumulantes da Eq. (22.17) serão suficientes. A substituição(22.11) na Eq. (22.4) gerará todas as combinações <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m quártica possíveis, que po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>screver esquematicamente comoφφφφ, ˜φφφφ, ˜φ˜φφφ, ˜φ˜φ˜φφ, ˜φ˜φ˜φ˜φ. (22.23)O cálculo do traço <strong>de</strong>sses produtos <strong>de</strong> operadores é enormemente facilitado pelo teorema <strong>de</strong> Wick. Note que o traço é feito sobreos campos ˜φ (ver Eq. (22.9)) on<strong>de</strong>L 0r[˜φi]=∫ ΛΛ/bd d k(2π) d [ 12O teorema <strong>de</strong> Wick nos dá a prescrição para o cálculo <strong>de</strong>〈˜φi1 (k 1 ) ˜φ i2 (k 2 ) ˜φ i3 (k 3 ) ˜φ i4 (k 4 ) . . . ˜φ iN (k N )〉(r + k2 ) ∣ ∣ ∣˜φi (k)∣∣ 2] . (22.24)Primeiramente, <strong>de</strong>vemos obter o valor para N = 2, chamado <strong>de</strong> uma “contração” entre dois operadores,〈˜φi1 (k 1 ) ˜φ i2 (k 2 )〉e φ = δ i 1i 2δ (d) (k 1 + k 2 ) (2π)dr + k 2 1eφ . (22.25)≡ δ i1i 2δ (d) (k 1 + k 2 ) (2π) d G (0) (k 1 ) . (22.26)A partir <strong>de</strong>sse resultado, po<strong>de</strong>mos escrever o resultado para qualquer N: o traço em (22.25) é nulo se N é ímpar e, se N é par, éigual à soma sobre os produtos <strong>de</strong> todas as contrações possíveis <strong>de</strong> pares <strong>de</strong> operadores <strong>de</strong> (22.25). Por exemplo〈˜φi1 (k 1 ) ˜φ i2 (k 2 ) ˜φ i3 (k 3 ) ˜φ i4 (k 4 )〉 〈˜φi1 = (k 1 ) ˜φ〉i2 (k 2 )〈˜φi3 (k 3 ) ˜φ i4 (k 4 )〉(22.27)eφ eφeφ+〈˜φi1 (k 1 ) ˜φ i3 (k 3 )〉 〈˜φi2 (k 2 ) ˜φ i4 (k 4 )〉(22.28)eφeφ+〈˜φi1 (k 1 ) ˜φ i4 (k 4 )〉 〈˜φi2 (k 2 ) ˜φ i3 (k 3 )〉. (22.29)eφA prova do teorema <strong>de</strong> Wick po<strong>de</strong> ser obtida a partir das expressões (11.6) e (11.8) da Seção XI, que po<strong>de</strong>m ser re-escritas nonosso contexto aqui como〈 [∫]〉 ∫ [ ∫ ∫Dφ (x) exp −12 dx dyφ (x) G (0)−1 (x, y) φ (y) + ∫ dxj (x) φ (x) ]exp dxj (x) φ (x) = ∫ [ ∫ ∫Dφ (x) exp −12 dx dyφ (x) G(0)−1(x, y) φ (y) ] , (22.30)[ ∫ ∫]1= exp dx dyj (x) G (0) (x, y) j (y) . (22.31)2eφ
53Figura 11: Representação esquemática dos elementos dos diagramas <strong>de</strong> Feynman para a expansão perturbativa em u. Cada linha pontilhadarepresenta um termo quártico. A ele <strong>de</strong>ve-se associar um fator <strong>de</strong> u/4. A soma total dos momentos k 1 + k 2 + k 3 + k 4 = 0 e os sub-índices seconservam nos extremos da linha pontilhada. Cada linha contínua representa um operador “lento” φ i (k) e cada linha tracejada uma contração<strong>de</strong> operadores “rápidos” e φ i (k), cujo valor é (2π) d G (0) (k). Todas as combinações <strong>de</strong> linhas contínuas e tracejadas são possíveis para cadatermo <strong>de</strong> interação, como exemplificado na figura (numeradas <strong>de</strong> 1 a 6) e na Eq. (22.23).Figura 12: Representação esquemática da conservação <strong>de</strong> “momentos” em uma linha <strong>de</strong> interação. A diferença entre os momentos final einicial em uma extremida<strong>de</strong> (q = k 1 − k 3) é “transferida” para a outra extremida<strong>de</strong> (q = k 4 − k 2).Expandindo as exponenciais dos dois lados da expressão acima e igualando os coeficientes das potências <strong>de</strong> j (x), obtemos oteorema <strong>de</strong> Wick.O teorema <strong>de</strong> Wick aplicado ao cálculo dos traços que aparecem na expansão em cumulantes da Eq. (22.17) po<strong>de</strong> ser postoem forma diagramática <strong>de</strong> maneira simples. Associamos linhas contínuas aos campos não traçados φ i (k), linhas tracejadas àscontrações <strong>de</strong> campos rápidos ˜φ i (k) e cada termo quártico (22.4) será <strong>de</strong>notado por uma linha pontilhada. Cada extremo dalinha pontilhada tem uma linha chegando e outra saindo, ambas com o mesmo sub-índice <strong>de</strong> componente, ver a Eq. (22.4) e afigura 11. Cada uma das 4 linhas que se ligam às extremida<strong>de</strong>s das linhas pontilhadas <strong>de</strong> interação quártica po<strong>de</strong> ser contínuaou tracejada. Todas as possibilida<strong>de</strong>s são mostradas na figura 11. A cada linha, contínua ou tracejada, associamos um vetor <strong>de</strong>onda (“momento”) k e os momentos são conservados nas interações: k 1 + k 2 + k 3 + k 4 = 0 (ver figura 12). Isso é facilitadoassociando-se direções e momentos às linhas pontilhadas <strong>de</strong> tal forma que a diferença entre os momentos das linhas <strong>de</strong> umaextremida<strong>de</strong> (q) seja “transferida” à outra extremida<strong>de</strong>, ver figura 12.Vamos exemplificar esses diagramas com o cálculo do cumulante <strong>de</strong> primeira or<strong>de</strong>m, Eq. (22.15). Devido ao teorema <strong>de</strong>Wick, os termos ˜φφφφ e ˜φ˜φ˜φφ não contribuem, pois têm um número ímpar <strong>de</strong> termos a serem contraídos. A contração <strong>de</strong>
termos em ˜φ˜φ˜φ˜φ nos dá uma constante, que temos <strong>de</strong>sprezado todo o tempo. O termo φφφφ não tem nenhum campo rápido eseu valor esperado é igual a ele próprio. Ele dará origem ao termo quártico habitual entre os campos lentos, só que com o cutoffdiminuído∫u Λ/b404∏m=1d d k m(2π) d (2π)d δ (d) (k 1 + k 2 + k 3 + k 4 ) φ i (k 1 ) φ i (k 2 ) φ j (k 3 ) φ j (k 4 ) . (22.32)As únicas contribuições não triviais virão dos termos com dois campos lentos e dois rápidos dos tipos (recuperando os subíndices)˜φ i ˜φi φ j φ j e ˜φ i φ i ˜φj φ j . Após as contrações, eles darão origem a termos quadráticos nos campos lentos〈˜φi ˜φi φ j φ j〉eφ ∝ φ jφ j , (22.33)〈˜φi φ i ˜φj φ j〉eφ ∝ φ jφ j , (22.34)que por sua vez irão modificar o termo quadrático da ação original. Assim, por exemplo, o termo54∫u Λ ∫ Λ ∫ Λ/b4 Λ/b Λ/b 03∏m=1d d k m〈˜φi(2π) d (k 1 ) ˜φ〉i (k 2 ) φ j (k 3 ) φ j (−k 1 − k 2 − k 3 )eφ(22.35)dá origem an u 4[ ∫ ΛΛ/b] ∫d d kΛ/b(2π) d G(0) (k)0d d k(2π) d |φ j (k)| 2 . (22.36)O fator <strong>de</strong> n vem da soma sobre i. Existem 2 termos como esse, vindos da contração dos ˜φ i e dos ˜φ j , portanto <strong>de</strong>vemosmultiplicar a expressão (22.36) por um fator <strong>de</strong> 2[ ∫ ]n u Λ∫d d kΛ/bd d k2 Λ/b (2π) d G(0) (k)0 (2π) d |φ j (k)| 2 . (22.37)Analogamente, po<strong>de</strong>mos contrair um ˜φ i com um ˜φ j e teremos um termo[ ∫ ]4 × u Λ∫d d kΛ/bd d k4 Λ/b (2π) d G(0) (k)0 (2π) d |φ j (k)| 2 , (22.38)on<strong>de</strong> o fator <strong>de</strong> n está ausente e <strong>de</strong>vemos multiplicá-lo por um fator <strong>de</strong> 4, pois há 4 maneiras diferentes <strong>de</strong> contrair um ˜φ i comum ˜φ j . Assim, a contribuição total para o termo quadrático é∫ Λ/b0d d k ∆r (1)(2π) d |φ j (k)| 2 , (22.39)2on<strong>de</strong>∆r (1) = (n + 2) u[ ∫ ΛΛ/b]d d k(2π) d G(0) (k) , (22.40)que representa uma adição ao parâmetro r em primeira or<strong>de</strong>m em u. A representação diagramática dos dois termos, Eqs. (22.37)e (22.38) é mostrada na figura 13. Diagramaticamente, cada laço (“loop”) <strong>de</strong> linha tracejada dá origem a um fator <strong>de</strong> n.Em primeira or<strong>de</strong>m, apenas o parâmetro r é afetado. Entretanto, a fim <strong>de</strong> acharmos o ponto fixo não-trivial, é necessário prosseguire calcular o cumulante <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m em u. Os diagramas agora possuirão duas linhas pontilhadas, correspon<strong>de</strong>ndoa duas inserções do termo quártico. Vamos usar o fato <strong>de</strong> que, no cálculo <strong>de</strong> cumulantes, não <strong>de</strong>vemos incluir diagramas <strong>de</strong>sconectados,ou seja, aqueles formados por partes <strong>de</strong>sconectadas entre si, um teorema conhecido como “linked cluster theorem”.Assim, po<strong>de</strong>mos encontrar todos os diagramas conectados <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m combinando duas linhas pontilhadas <strong>de</strong> interaçãoquártica <strong>de</strong> todos os 6 tipos mostrados na figura 11 através <strong>de</strong> contrações <strong>de</strong> linhas tracejadas. O número <strong>de</strong> diagramas agora éconsi<strong>de</strong>ravelmente maior.
55Figura 13: Representação diagramática dos dois termos que contribuem para o cumulante <strong>de</strong> primeira or<strong>de</strong>m, Eqs. (22.37) e (22.38), respectivamente.Note que o primeiro termo escala com um fator <strong>de</strong> n, que vem do laço (“loop”) tracejado.Figura 14: Diagrama conectado <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m gerado por uma interação do tipo 2 com outra interação do mesmo tipo (ver figura 11).Uma interação do tipo 1 (ver figura 11) não po<strong>de</strong> ser conectada com nenhuma outra interação <strong>de</strong> forma a gerar um diagramaconectado. Uma interação do tipo 2, com apenas uma “perna” tracejada, só po<strong>de</strong> ser combinada com uma interação com umnúmero ímpar <strong>de</strong> “pernas”, como é o caso das interações do tipo 2 ou 5 (teorema <strong>de</strong> Wick). Na figura 14, mostramos o únicodiagrama do tipo 2-2 e na figura 15 os 2 diagramas 2-5. O diagrama da figura 14 tem 6 “pernas” contínuas e representa umtermo <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m 6, envolvendo o produto <strong>de</strong> 6 campos “lentos”, ausente na ação inicial mas gerado pelo GR em segunda or<strong>de</strong>mem teoria <strong>de</strong> perturbação em u. Po<strong>de</strong>-se mostrar que esse termo é irrelevante nos pontos fixos <strong>de</strong> interesse e só afeta a posição<strong>de</strong>sses em O ( ɛ 2) , por isso vamos ignorá-lo. Os 2 diagramas da figura 15 têm 4 “pernas” contínuas e são uma correção ao termoquártico, proporcional a u 2 . Entretanto, eles são i<strong>de</strong>nticamente nulos. Isso porque, <strong>de</strong>vido à conservação <strong>de</strong> momentos nas linhaspontilhadas, a linha contínua externa da direita tem o mesmo momento que a linha tracejada horizontal interna com sub-índicei. Como a primeira <strong>de</strong>ve ter |k| < Λ/b (modo “lento”) e a outra <strong>de</strong>ve ter Λ < |k| < Λ/b (modo “rápido”), segue que o valor dosdiagramas é zero.Prosseguindo, po<strong>de</strong>mos combinar interações do tipo 3 com interações do tipo 3, 4 e 6. Há um diagrama do tipo 3-3 (figura 16),um do tipo 3-4 (figura 17) e dois do tipo 3-6 (figura 18). Os diagramas 3-3 e 3-4 renormalizam o termo quártico e farão parteda contribuição mais importante, como veremos. Os diagramas 3-6 renormalizam o termo quadrático em segunda or<strong>de</strong>m em u.Eles não contribuem nem para a <strong>de</strong>terminação do ponto fixo não trivial nem para os expoentes críticos em or<strong>de</strong>m ɛ (lembre-seque mostraremos que u ∗ ∼ O (ɛ)), por isso iremos ignorá-los.Diagramas conectados adicionais são gerados pela combinação <strong>de</strong> interações do tipo 4 com interações do tipo 4 ou 6. Odiagrama do tipo 4-4 é mostrado na figura 19, enquanto que os dois diagramas do tipo 4-6 são mostrados na figura 20. O primeirorenormaliza o termo quártico e é importante. Para os outros dois valem as consi<strong>de</strong>rações feitas a respeito dos diagramas do tipo3-6.Finalmente, restam os diagramas gerados a partir da combinação das linhas <strong>de</strong> interação do tipo 5 com outra linha <strong>de</strong> interaçãodo mesmo tipo. Quatro diagramas conectados diferentes são gerados (figura 21). Todos eles contribuiriam para a <strong>renormalização</strong>do termo quadrático em segunda or<strong>de</strong>m em u. Entretanto, a consi<strong>de</strong>ração da conservação <strong>de</strong> momentos nos mesmos mol<strong>de</strong>s queaquela feita a respeito dos diagramas da figura 15 leva à conclusão <strong>de</strong> que esses diagramas também se anulam.Esses são todos os diagramas em O ( u 2) . Resumindo, os diagramas não-nulos que contribuem para o cumulante <strong>de</strong> segundaor<strong>de</strong>m são: (i) um diagrama do tipo 2-2 para a interação sêxtupla, que é irrelevante nos pontos fixos gaussiano e <strong>de</strong> Wilson-Fisher; (ii) um diagrama do tipo 3-3, um diagrama do tipo 3-4 e um diagrama do tipo 4-4 para o termo quártico e (iii) umdiagrama do tipo 3-6 e um diagrama do tipo 4-6 para o termo quadrático, mas que não contribuem para o cálculo em O (ɛ).Passemos agora para o cálculo dos diagramas do item (ii) acima.
56Figura 15: Diagramas conectados <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m gerados por uma interação do tipo 2 com uma interação do tipo 5 (ver figura 11).Figura 16: Diagrama conectado <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m gerado por uma interação do tipo 3 com outra interação do mesmo tipo (ver figura 11).O diagrama da figura 16 tem um laço e é <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m n. Além disso, levando em conta que há 2 tipos <strong>de</strong> interações do tipo 3(tomando como linhas tracejadas aquelas que saem <strong>de</strong> uma ou outra extremida<strong>de</strong> da linha pontilhada) e que para cada par <strong>de</strong>contrações <strong>de</strong> linhas tracejadas há duas maneiras <strong>de</strong> fazê-las, são geradas 2 × 2 × 2 = 8 combinações, e o diagrama tem um fatormultiplicativo <strong>de</strong> 8n. Seu valor numérico é(Γ (2)u) 2∫ Λ33 (k 1 − k 3 ) =4 Λ/bd d p(2π) d G(0) (p) G (0) (p − k 1 + k 3 ) , (22.41)Figura 17: Diagrama conectado <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m gerado por uma interação do tipo 3 com uma interação do tipo 4 (ver figura 11).
57Figura 18: Diagramas conectados <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m gerados por uma interação do tipo 3 com uma interação do tipo 6 (ver figura 11).Figura 19: Diagrama conectado <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m gerado por uma interação do tipo 4 com outra interação do mesmo tipo (ver figura 11).Figura 20: Diagramas conectados <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m gerados por uma interação do tipo 4 com uma interação do tipo 6 (ver figura 11).
58Figura 21: Diagramas conectados <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m gerado por uma interação do tipo 5 com outra interação do mesmo tipo (ver figura 11).on<strong>de</strong> q = k 1 − k 3 é o momento transferido na interação, como <strong>de</strong>finido na figura 12. O termo acima nos dá uma interaçãoquártica “não-local” por causa da <strong>de</strong>pendência com os momentos externos k 1 e k 3 . Entretanto, essa <strong>de</strong>pendência é irrelevantenos pontos fixos <strong>de</strong> interesse, como po<strong>de</strong> ser mostrado a posteriori. Por isso, vamos ignorar essa <strong>de</strong>pendência e fazer q = 0(Γ (2) u) 2∫ Λ33 ≈ 4 Λ/bd d p[ ] 2 ( u) 2∫ Λ(2π) d G (0) (p) =4 Λ/bd d p 1(2π) d (r + |p| 2) 2 . (22.42)Analogamente, o diagrama da figura 17 envolve uma interação do tipo 3 com outra do tipo 4. Esse diagrama não contém nenhumlaço <strong>de</strong> linhas tracejadas e por isso escala com n 0 . Enquanto existem 2 tipos <strong>de</strong> interações do tipo 3 é fácil ver que existem 4 tipos<strong>de</strong> interações do tipo 4 (correspon<strong>de</strong>ndo às 4 escolhas diferentes com uma linha tracejada em cada extremo da linha pontilhada).Levando em conta que cada contração <strong>de</strong> 2 linhas tracejadas <strong>de</strong> uma interação com 2 linhas tracejadas da outra interação po<strong>de</strong>ser feita <strong>de</strong> 2 maneiras diferentes e que existe uma contribuição em que a linha <strong>de</strong> interação da direita é do tipo 3 e a da esquerdado tipo 4 e outra em que a da esquerda é do tipo 4 e a da direita do tipo 2, o fator multiplicativo será 2 × 4 × 2 × 2 = 32. O valornumérico do diagrama é o mesmo que o outro, Eq. (22.42), on<strong>de</strong> fazemos a mesma aproximação <strong>de</strong> <strong>de</strong>sprezar a <strong>de</strong>pendênciacom os momentos externos. Finalmente, o diagrama da figura 19 escala com n 0 e tem fator multiplicativo 4 × 4 × 2 = 32.Colecionando todas as contribuições (não esquecendo o termo −1/2 da Eq. (22.17))∆u (2)4= − 1 2 8 (n + 8) ( u4) 2∫ ΛΛ/bd d ∫p 1Λ(2π) d (r + |p| 2) 2 = −u2 4 (n + 8)Λ/bd d p(2π) d 1(r + |p| 2) 2 , (22.43)∫ Λ∆u (2) = −u 2 d d p 1(n + 8)Λ/b (2π) d (r + |p| 2) 2 . (22.44)
59Ao final, até a segunda or<strong>de</strong>m em teoria <strong>de</strong> perturbação, teremos uma nova ação renormalizada dada porL ′ = L ′ 0 + L′ 1∫ , (22.45)Λ/b[L ′ 0 = d d k r + ∆r (1) + ∆r (2) + k 2]0 (2π) d |φ j (k)| 2 , (22.46)2[ ]u + ∆uL ′ (2) ∫ Λ/b 3∏ d d k m1 =4 0 (2π) d φ i (k 1 ) φ i (k 2 ) φ j (k 3 ) φ j (−k 1 − k 2 − k 3 ) . (22.47)m=1Agora, re-<strong>de</strong>finimos as distâncias ou, equivalentemente, os vetores <strong>de</strong> ondak ′ = bk ⇒ d d k = b −d d d k, (22.48)<strong>de</strong> tal forma que o cutoff original é recuperado e re-escalamos o spin <strong>de</strong> forma a preservar a forma do termo do LaplacianoComo o termo do Laplaciano só é modificado em O ( u 2)φ i(b −1 k ′) ≡ zφ ′ i (k′ ) . (22.49)z 2 b −d−2 [ 1 + O ( u 2)] = 1 ⇒ z = b 1+d/2+O(u2 ) . (22.50)Como u ∗ ∼ O (ɛ) po<strong>de</strong>mos fazer z = b 1+d/2 se quisermos calcular tudo até O (ɛ). Usando esse valor <strong>de</strong> z, obtemos osparâmetros transformadoson<strong>de</strong>r ′ = b −d z 2 [ r + ∆r (1) + ∆r (2)] = b 2 [ r + (n + 2) I 1 (r, d, b, Λ) u + O ( u 2)] , (22.51)u ′ = b −3d z 4 [ u + ∆u (2)] = b 4−d u [ 1 − (n + 8) I 2 (r, d, b, Λ) u + O ( u 2)] , (22.52)I 1,2 (r, d, b, Λ) =∫ ΛΛ/bd d p(2π) d 1(r + |p| 2) 1,2 . (22.53)Vamos proce<strong>de</strong>r sob a hipótese <strong>de</strong> que r ∗ ∼ O (ɛ) e u ∗ ∼ O (ɛ) e mostrar que os resultados assim obtidos são consistentes.Nesse caso, o ponto fixo não trivial é tal quer ∗ = b 2 [ r ∗ + (n + 2) I 1 (r ∗ , 4 − ɛ, b, Λ) u ∗ + O ( u ∗2)] , (22.54)u ∗ = b ɛ u ∗ [ 1 − (n + 8) I 2 (r ∗ , 4 − ɛ, b, Λ) u ∗ + O ( u ∗2)] , (22.55)ou(1 − 1 b 2 )r ∗ = − (n + 2) I 1 (r ∗ , 4 − ɛ, b, Λ) u ∗ + O ( u ∗2) , (22.56)b −ɛ = 1 − ɛ ln b + O ( ɛ 2) = 1 − (n + 8) I 2 (r ∗ , 4 − ɛ, b, Λ) u ∗ + O ( u ∗2) . (22.57)É evi<strong>de</strong>nte que precisamos da integral da Eq. (22.53) para r = ɛ = 0 (m = 1, 2)I m (0, 4, b, Λ) ==∫ ΛΛ/b∫ ΛΛ/bd 4 p(2π) 4 1|p| 2m (22.58)S 4(2π) 4{dpp 2m−3 =Λ 2( )16π 1 −12 b , m = 1218πln b, m = 22(22.59)on<strong>de</strong> usamos queS d = 2πd/2Γ (d/2)(22.60)
é a superfície da esfera em d dimensões, o que dá S 4 = 2π 2 . Levando o resultado (22.59) nas Eqs. (22.56-22.57) encontramoso ponto fixo <strong>de</strong> Wilson-Fisher em or<strong>de</strong>m ɛu ∗ = 8π2 ɛ,n + 8(22.61)r ∗ = − n + 22 (n + 8) Λ2 ɛ, (22.62)que in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> b como esperado e confirma a hipótese <strong>de</strong> que ambos os valores são O (ɛ).Claramente, o ponto fixo gaussiano é também um ponto fixo da transformação (22.51-22.52). Calculando a matriz das<strong>de</strong>rivadas no ponto fixo gaussiano( ) (δr g=δu gon<strong>de</strong> δr g = r e δu g = u. Os auto-valores são(b 2 (n + 2) Λ216π b 2 − 1 ) ) (2O ( ɛ 2) b ɛ60)δr g, (22.63)δu gΛ g 1 = b2 ⇒ d g 1 = 2, (22.64)Λ g 2 = bɛ ⇒ d g 2 = ɛ, (22.65)ambos positivos. Portanto, ele é duplamente instável no plano (r, u), enquanto que o ponto crítico correspon<strong>de</strong> a um ponto fixoinstável apenas nas direções r e h (codimensão 2).O cálculo análogo no ponto fixo <strong>de</strong> Wilson-Fisher nos dá∂r ′∂r ∣ = b 2 [ 1 − (n + 2) I 2 (0, 4, b, Λ) u ∗ + O ( ɛ 2)] [= b 2 1 − n + 2r∗ ,un + 8 (ln b) ɛ + O ( ɛ 2)] n+22−≈ b n+8 ɛ+O(ɛ2 ) ,(22.66)∗∂r ′∂u ∣ = (n + 2) b 2 I 1 (0, 4, b, Λ) = (n + 2) Λ2 (b 2r∗ ,u16π 2 − 1 ) + O (ɛ) , (22.67)∗∂u ′∂r ∣ = O ( ɛ 2) , (22.68)r∗ ,u ∗∂u ′∂u ∣ = b ɛ [ 1 − 2 (n + 8) I 2 (0, 4, b, Λ) u ∗ + O ( ɛ 2)] = b ɛ [ 1 − 2ɛ ln b + O ( ɛ 2)] ≈ b −ɛ+O(ɛ2 ) . (22.69)r∗ ,u ∗O fluxo do GR no regime linear em torno do ponto fixo <strong>de</strong> Wilson-Fisher é dado por (δr W F = r − r ∗ e δu W F = u = u ∗ )( ) (n+22−δr W F b n+8 ɛ+O(ɛ2 )((n + 2)Λ 2=16π b 2 − 1 ) ) ( )+ O (ɛ)2δu W F O ( δr W Fɛ 2) b −ɛ+O(ɛ2 ). (22.70)δu W FOs auto-valores sãoΛ W 1 Fn+22−= b n+8 ɛ ⇒ d W 1 F = 2 − n + 2 ɛ,n + 8(22.71)Λ W 2 F = b −ɛ ⇒ d W 2 F = −ɛ, (22.72)e o auto-vetor 2 é irrelevante! Mostramos assim, até or<strong>de</strong>m ɛ, que o ponto fixo <strong>de</strong> Wilson-Fisher tem codimensão 2, como<strong>de</strong>sejado. Os auto-vetores à direita po<strong>de</strong>m também ser obtidos. O auto-vetor correspon<strong>de</strong>nte à direção relevante Λ 1 é(O ( ɛ 2) ((n + 2) Λ216π b 2 − 1 ) ) ( ) ( )( )+ O (ɛ)2O ( ɛ 2)x 1 01 − b 2 = ⇒ v W F 11 =+ O (ɛ)y 1 0O ( ɛ 2) . (22.73)A direção irrelevante é((b 2 − 1 + O (ɛ) (n + 2) Λ216π b 2 − 1 ) ) ( )+ O (ɛ)2O ( ɛ 2) O ( ɛ 2) x 2=y 2()(0⇒ v2 W F =0− (n + 2) Λ216π 21). (22.74)
61Figura 22: Fluxo global do <strong>grupo</strong> <strong>de</strong> <strong>renormalização</strong> mostrando os pontos fixos gaussianos (azul) e <strong>de</strong> Wilson-Fisher (vermelho), bem comoas direções relevantes e irrelevantes a partir <strong>de</strong> cada um <strong>de</strong>les.O cálculo análogo no ponto fixo gaussiano dá para as duas direções relevantes o mesmo resultado que o ponto fixo <strong>de</strong> Wilson-Fisher( ) ()v g 1 = 1O ( ɛ 2) v g 2 = − (n + 2) Λ216π 2. (22.75)1Com isso, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>senhar o fluxo global do GR.O auto-valor na direção do campo magnético h é dado em or<strong>de</strong>m mais baixa pelo mesmo resultado do ponto fixo gaussianod h = 1 + d/2 = 3 − ɛ/2. Assim, obtemosν = 1 = 1 [1 + n + 2 ]d 1 2 2 (n + 8) ɛ , (22.76)∆ = d hd 1= 1 2[3 + n − 1 ]n + 8 ɛ , (22.77)α = 2 − dν =4 − n ɛ,2 (n + 8)(22.78)β = 2 − α − ∆ = 1 2 − 3ɛ,2 (n + 8)(22.79)γ = ∆ − β = 1 + n + 2 ɛ,2 (n + 8)(22.80)δ = ∆ β= 3 + ɛ, (22.81)η = 2 − γ ν = n + 22 (n + 8) 2 ɛ2 . (22.82)O expoente η é ∼ O ( ɛ 2) e sua obtenção requer um cálculo mais complexo, que não faremos aqui. A expansão em ɛ já foilevada até O ( ɛ 3) (O ( ɛ 4) para η) 14 . A convergência é não-uniforme e provavelmente a série é apenas assintótica. Os resultadosobtidos, bem como outros obtidos com técnicas alternativas são mostrados na Tabela III.∗ Electronic address: emiranda@ifi.unicamp.br
62Expoente O (ɛ)[1] O `ɛ 2´[1] O `ɛ 3´[1] Padé-Borel GR em d = 3 Expansão <strong>de</strong> altas temperaturasγ(n = 1) 1.167 1.244 1.19 1.235±0.004 1.241±0.002 1.245±0.003ν(n = 1) 0.589 0.634 0.606 0.628±0.02 0.630±0.0015 0.638±0.002η(n = 1) 0.019 0.037 0.029 0.0333±0.0001 0.031±0.001 0.041±0.01γ(n = 3) 1.227 1.346 1.325 1.375±0.020η(n = 3) 0.021 0.039 0.032 0.043±0.014Tabela III: Expoentes críticos do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising tri-dimensional. As 3 primeiras colunas dão o expoente na expansão em ɛ em sucessivasor<strong>de</strong>ns <strong>de</strong> aproximação ([1] O cálculo <strong>de</strong> η é sempre uma or<strong>de</strong>m superior ao indicado) 14 . A quarta coluna (Padé-Borel) dá o valor obtidoatravés <strong>de</strong> técnicas <strong>de</strong> ressomação da série em todas as or<strong>de</strong>ns 15 . A quinta coluna dá o cálculo em dimensão fixa d = 3 em série perturbativaem u. A última coluna dá o valor obtido através <strong>de</strong> expansões <strong>de</strong> altas temperaturas 14 .1 B. Widom, J. Chem. Phys. 43, 3892 (1965).2 B. Widom, J. Chem. Phys. 43, 3898 (1965).3 A. Z. Patashinskii and V. L. Pokrovskii, Sov. Phys. JETP 19, 667 (1964).4 L. P. Kadanoff, Physics 2, 263 (1966).5 D. R. Nelson and M. E. Fisher, Ann. Phys. (NY) 91, 226 (1975).6 K. G. Wilson, Rev. Mod. Phys. 47, 773 (1975).7 M. Nauenberg and B. Nienhuis, Phys. Rev. Lett. 33, 944 (1974).8 M. Nauenberg and B. Nienhuis, Phys. Rev. Lett. 33, 1598 (1974).9 B. Nienhuis and M. Nauenberg, Phys. Rev. B 11 (1975).10 T. Niemeijer and J. M. J. van Leeuwen, Phys. Rev. Lett. 31, 1411 (1973).11 T. Niemeijer and J. M. J. van Leeuwen, Physica 71, 17 (1974).12 T. Niemeijer and J. M. J. van Leeuwen, in Phase Transitions and Critical Phenomena, edited by C. Domb and M. S. Green (Aca<strong>de</strong>micPress, London, 1976), vol. 6, chap. 7, p. 425.13 K. G. Wilson and M. E. Fisher, Phys. Rev. Lett. 28, 240 (1972).14 E. Brézin, J. C. Le Guillou, and J. Zinn-Justin, in Phase Transitions and Critical Phenomena, edited by C. Domb and M. S. Green (Aca<strong>de</strong>micPress, London, 1976), vol. 6, chap. 3, p. 125.15 G. Parisi, J. Stat. Phys. 23, 49 (1980).