Abordagem Topológica de Transições de Fase no Modelo de Ising

RELATÓRIO FINAL DE ATIVIDADES DO BOLSISTAPIBIC/CNPq, 2008.2-2009.1Instituição: UFPEAbordagem Topológica de Transições de Faseno Modelo de IsingEstudante: Jorge Armando Rehn Casierra(Bolsista do CNPq desde Março de 2008; atualmente (2009.2) cursa o sextoperíodo da graduação no Bacharelado em Física, é bolsista de renovação)Orientador: Maurício Domingues Coutinho FilhoProjeto de Pesquisa: Métodos de Física Estatística, Teoria de Campos e SimulaçãoNumérica em Sistemas de Matéria Condensada

IdentificaçãoNome do Orientador:Nome do Estudante:Área/Sub-área do projeto:Título do projeto:Título do subprojeto:Maurício Domingues Coutinho FilhoJorge Armando Rehn CasierraTeoria da Matéria CondensadaMétodos de Física Estatística, Teoria de Campos e SimulaçãoNumérica em Sistemas de Matéria CondensadaAbordagem Topológica de Transições de Fase no Modelo deIsingResumo do TrabalhoO trabalho visa abordar o problema das transições de fase sob o ponto de vista datopologia do espaço de configurações. Para tanto, um estudo prévio de conceitos importantesda mecânica estatística é feito. Logo em seguida é mencionado como o problema das transiçõesde fase é tratado, utilizando-se do aparato fornecido pela teoria da mecânica estatística,i.e. a abordagem clássica, baseada na visualização de percas de analiticidade nos potenciaistermodinâmicos fornecidos pela mecânica estatística. Por fim apresentamos os resultados doestudo realizado no modelo de Ising unidimensional.IntroduçãoEstudos mais recentes [1, 2, 3, 4, 5] revelaram que o problema das transições de fase pode serabordado desde um ponto de vista mais "profundo", que procura explicar a sua origem desdeum estudo topológico de certos subconjuntos do espaço de fase. Este trabalho visa estendertal teoria para sistemas ainda não tratados, cujo espaço de fase é discreto, tal como ocorre nomodelo de Ising, sobre o qual obtivemos uma enumeração exata de seus microestados, no casounidimensional, o que nos possibilitou o cálculo de certos invariantes topológicos sugeridos naliteratura para tal modelo específicamente [6].ObjetivosO trabalho visa criar uma nova perspectiva sobre transições de fase em modelos cujo espaçode configuração é discreto. A meta é estabelecer uma adaptação de uma teoria existente, querelaciona a existência de transições de fase em certos modelos, com mudanças da topologiade certos subconjuntos do espaço de configuração.A ênfase recai sobre o modelo Ising, para o qual algumas grandezas topológicas sãodefinidas e calculadas computacionalmente.Por ser o primeiro trabalho do aluno na área de mecânica estatística, uma série de conceitostécnicos prévios são desenvolvidos, a fim de possibilitar o entendimento da teoria posterior.Metodologia do TrabalhoO trabalho consistiu, numa primeira fase do aprendizado das teorias subjacentes básicas, amecânica estatística e certas áreas da topologia. Numa segunda fase diversos artigos científicosdo campo foram revistos, de modo a sugerir idéias para a abordagem do problema. Numa2

terceira fase, o problema principal foi estudado, a cadeia unidimensional de Ising, para o qualalguns resultados analíticos foram obtidos. Por fim os resultados foram implementados emprogramas de computador desenvolvidos pelo estudante, a fim de permitir cálculos numéricosdas grandezas definidas.Resultados e Discussão1 Mecânica EstatísticaA mecânica estatística [7, 8, 9, 10, 11] surgiu como uma tentativa de explicar a relaçãoentre os constituintes microscópicos da matéria e as propriedades macroscócipas da mesma.Tal relação é estabelecida a partir dos princípios da mecânica clássica, a qual supostamentegoverna o movimento das partes microscópicas da matéria. A mecânica clássica nos daria,a princípio, condições de descrever completamente o movimento de todo o sistema desdeque conheçamos as condições iniciais do problema. Esta abordagem se revela, no entanto,extremamente ilusória, pois mesmo uma pequena quantidade macroscópica de matéria, éconstituída de uma enorme quantidade de partes microscópicas (da ordem do n o de Avogrado).Deste modo uma determinação das condições iniciais do problema, e até mesmo a solução detodas as equações diferenciais do movimento, envolve uma soberba complexidade.É notório que tal quantidade enorme de graus de liberdade micróscopicos permite noentanto uma abordagem estatística exata. Isto é, mesmo que não possamos determinar exatamenteo comportamento de cada parte microscópica, a estatística nos garante que o sistemacomo um todo se comporta de uma forma bastante previsível, e isto é o suficiente, já que buscamosobter uma descrição das propriedades macroscópicas da matéria, as quais são de fatoresultantes de "comportamentos médios" das partes microscópicas. A raíz deste raciocínio seencontra em dois resultados muito importantes da estatística, a Lei dos Grandes Números, eo Teorema do Limite Central [12].Suponha que o sistema macroscópico em questão seja constituído deN graus de liberdademicroscópicos, descritos pelas coordenadas generalizadas q = (q 1 ,...,q N ), e vamos assumirque tal sistema constitua um sistema mecânico, de modo que ao introduzir os momentoscanônicos conjugados, p = (p 1 ,...,p N ), o sitema possua a função hamiltonianaH(q, p); entãoas equações de movimento do sistema são escritas como:∂H= q˙i ,∂p i∂H∂q i=−˙ p iPor tudo que foi comentado acima, a solução de todas estas equações é intratável (Né muito grande). Assim podemos tratar as coordenadas (q, p) como variáveis aleatórias, edesta forma introduzir uma medida no espaço amostral Γ ={(q, p)|q∈V}⊂R 2N , denominadoespaço de fase (V é o volume aonde as partículas encontram-se confinadas). Resta-nosportanto saber que tipo de medida sobre Γ nos daria resultados a serem confirmados experimentalmente.Neste relatório preocupamo-nos em descrever a mecânica estatística decorpos em equilíbrio, i.e. corpos cujas propriedades macroscópicas estão fixadas no decorrerdo tempo. Tomamos ainda como uma das nossas hipóteses de trabalho o fato de que aspropriedades macroscópicas observadas são médias de certas funções das variáveis aleatórias,f(q, p). A dinâmica, por outro lado, fornece um conjunto de transformações (parametrizadaspelo tempo) sobre o espaço de fase. Um teorema muito importante, o Teorema de Liouville3

[8, 10], nos garante que se tomamos a medidadµ sobre Γ induzida pela medida de Lebesguesobre R 2N , então qualquer função integrável das variáveis aleatórias (q, p), que obedecema dinâmica hamiltoniana, possui a média constante ao longo do tempo. Este teorema nosgarante uma possível medida para descrever corpos em equilíbrio. Na verdade ele ainda nosfornece muitas outras medidas, pois seA(q, p) é uma integral do movimento, então sendodµcomo acima, temos queA(q, p)dµ também é uma medida aceitável para descrever corpos emequilíbrio.1.1 Um breve estudo das distribuições de equilíbrioSuponhamos que desejamos descrever estatisticamente um corpo em equilíbrio, constituídoporN graus de liberdade microscópicos, cuja energia total se conserve. A condição de quea energia é conservada e tem um valor E, nos diz que tal sistema está confinado a umavariedade do espaço de fase Γ E ={(q, p)∈Γ|H(q, p) =E}, e a escolha mais simples paraa medida sobre tal variedade é aquela induzida de Γ, i.e. seds(q, p) é um elemento devolume em Γ E , a medida procurada é do tipodµ((q, p)) = const.ds(q, p). Seja Ω Λ (E,N) =∫dqdp, segue que: ΩH(q, p)≤E′ Λ (E,N) = dΩ Λ(E,N)dE= ∫ dsΓ E |gradH| . Vemos portanto queq∈Λ Nenquanto Ω Λ (E,N) "conta" o n o de microestados com energia menor do que E, temos queparaδE suficientemente pequeno, segue que Ω ′ Λ (E,N)δE = Ω′ Λ(E,N)|gradH|dl "conta"o node microestados com energia E, ondedl é tal quedqdp =dsdl. Assim a medida normalizadapara a unidade sobre Γ E é:dµ(x) =ds(x)Ω ′ Λ (E,N)|gradH|,esta é a medida microcanônica (x = (q, p)). Vemos que de fato ela é uma distribuição deprobabilidades uniforme e condicional, dada a condição de que o sistema possui uma energiaE.A partir da distribuição microcanônica, Boltzmann foi capaz de deduzir uma lei muitointeressante. Ele percebeu que se tomamos um sistema Λ com energiaE, n o de partículasN, e volumeV , e nele separamos um subsistema Λ 1 cujo n o de partículasN 1 , e energiaE 1 ,podem ser alterados pela interação com o subsistema complementar Λ 2 , então assumindoque a energia de interação entre as partículas em Λ 1 , e aquelas em Λ 2 é muito menor quea energia destes sistemas,E 1 eE 2 , de modo que a energia total em Λ possa ser escritacom boa aproximação comoH 1 (x [1] ) +H 2 (x [2] ) (x [i] refere-se às coordenadas e momentosgeneralizados das partículas contidas no subsistema Λ i ,i∈{1, 2}), segue que se tomamos oslimitesE,N,V→∞ tal que E V →e, NV →n, come,n,N 1,E 1 ,V 1 finitos, então a densidadede probabilidade conjunta para um estado (E 1 ,N 1 ) do sistema Λ 1 é proporcional a:e −βH 1(x [1] )+βµN 1Se fixamos o n o de partículas em um sistema, e permitimos que a sua energia varie, porcontato com um "banho térmico" (este foi o papel do subsistema Λ 2 na discussão acima, queno limite tomado para todo o sistema, fez com que este também tivesse a sua energia, n ode partículas e volume indo ao infinito, com a condição de que a densidade de energia e departículas também permaneçam finitos, trata-se portanto de uma idealização matemática), oresultado acima nos diz que a densidade de probabilidade deve ser proporcional a:e −βH(x) .Normalizando para a unidade, teremos a seguinte densidade de probabilidade:4

f(x) = e−βH(x)Z Λ (β,N) , onde Z Λ(β,N) = ∫ e −βH(x) dx,esta é a densidade de probabilidade da medida canônica,Z Λ (β,N) é a função de partição,costuma receber a denotação pela letra Z devido a sua definição original, proposta por Planck,que lhe designara como a Zustandssumme (soma de estados). É possível demonstrar que oparâmetroβ é o mesmo para vários sistemas macroscópicos em contato com um mesmobanho térmico. Trata-se de uma propriedade que permanece constante entre diversos corposem equilíbrio. De fato, pode-se provar queβ deve ser proporcional ao inverso da temperaturaabsoluta do sistema. Isto é intuitivamente razoável, se percebermos que sistemas a altastemperaturas (e portantoβ pequeno) favorecem probabilisticamente estados de alta energia,o que já não ocorre para sistemas de baixa temperatura (e portantoβ grande).Ao permitir que tanto a energia como o n o de partículas do sistema variem, a distribuiçãode probabilidades então obtida, é denominada como a distribuição grã-canônica (com a devidanormalização para a unidade). O parâmetroµrecebe a designação de "potencial químico", edetermina se sistemas tem maior probabilidade de concentrar mais graus de liberdade (átomos,moléculas), ou não.Para cada uma destas distribuições de probabilidade, existem grandezas adequadas quefornecem a relação entre tais ensembles microscópicos, e as propriedades macroscópicas observadas.Vamos ver algumas destas, a saber, a entropia microcanônica e a energia livrede Helmholtz, costumeiramente denotados em geral como potenciais termodinâmicos. A importânciadestes na determinação de observáveis macroscópicos (quantidades termodinâmicas)será percebida através de princípios variacionais a serem estabelecidos.1.2 Relação entre a Mecânica Estatística e a TermodinâmicaToda a descrição introdutória realizada na seção anterior pode ser convenientementeunificada através do formalismo do cálculo variacional, adicionado de um elegante argumentointuitivo [13]. Como vimos, ao ignorarmos a forma exata da trajetória de fase do sistema,tivemos de considerar as coordenadas e momentos generalizados como variáveis aleatórias,sendo o espaço de fase Γ seu espaço amostral, digamos que a densidade de probabilidadesassociada sejaf(p, q). Tudo que sabemos sobre o sistema a priori está descrito em termosde quantidades macroscópicas que conseguimos medir. Façamos a 1 a hipótese de que taisvariáveis originam-se de valores médios de certas funçõesA j (p, q), com respeito a densidadesupracitada, i.e. estamos a medir os valores médios= ∫ Γ A j(p, q)f(p, q)dpdq. Nosperguntamos que tipo de densidade nos forneceria todos os valores observados para um corpoem equilíbrio. Esta pergunta foi respondida na seção anterior, quando apresentamos os trêsensembles principais da mecânica estatística. Mas aqui deduziremos todos eles com um únicoargumento.Quando conhecemos a densidade de probabilidade de uma variável aleatória, dizemos emgeral com que chance, i.e. com que certeza tal evento ocorrerá. Porém, conhecidas todas estascertezas, será que elas nos fornecem também uma forma de quantificar a nossa incerteza sobrea variável aleatória estudada? Esta pergunta foi respondida na afirmativa por Shannon, eledefiniu uma grandeza para quantificar tal incerteza. É possível estabeler uma série de axiomasque desejaríamos que tal grandeza satisfaça, aqui omitimos esta bela teoria [14], e damos adefinição da incerteza, ou entropia, associada a distribuiçãof(p, q):∫S =− f(p, q) ln(f(p, q))dpdq.Γ5

Em seguida estabelecemos a seguinte hipótese crucial para o desenvolvimento da mecânicaestatística:O estado de equilíbrio de um sistema macroscópico, sobre o qual conhecemoso valor de alguns observáveis termodinâmicos, é aquele descrito pela densidadef(p, q) tal que a entropia é máxima, desde que os vínculos estabelecidos pelosobserváveis termodinâmicos conhecidos sejam satisfeitos.Agora possuímos um critério variacional para obter a densidade de probabilidades desejada.Este critério possui um apelo intuitivo muito claro: se a densidade não maximizassea entropia, então saberíamos alguma informação a mais sobre o sistema, quando na verdadetudo que sabemos é aquilo descrito pelas nossas observações macroscópicas.Desejamos maximizarS definido acima, desde que os vínculos= ∫ Γ A j(p, q)f(p, q)dpdq,j =1,...,L e ∫ Γf(p, q)dpdq = 1 sejam satisfeitos; podemos interpretar a condição de normalizaçãocomo sendo mais uma funçãoA 0 = 1, tal que= 1. Utilizamos o método dosmultiplicadores de Lagrange, e tomamos a função auxiliar:∫Y =S =−Γ⎛f(p, q) ⎝ln(f(p, q)) +uma variaçãoδf, nos fornece a variação em Y:⎛∫δY =− δf⎝ln(f) + 1 +Γ⎞L∑ L∑λ j A j (p, q) ⎠dpdq + λ j ,j=0 j=0L∑j=0λ j A j⎞⎠dpdq,e assim a condição de extremização éδY = 0 =⇒ ln(f) + 1 + ∑ Lj=0 λ j A j = 0 e portanto:f(p, q) = 1 Z exp(−∑ Lj=1 λ j A j (p, q)), ondeZ =e 1+λ 0= ∫ LΓ e−∑ j=1 λ jA j (p,q) dpdqNote agora que 1 ∂ZZ∂λ j=−. Enquanto isso, a partir dos valores médios,também é possível obter os multiplicadores de lagrange, primeiramente note que se substituímosa densidade de probabilidade recém obtida em nossa definição original de entropia,obteremos que: S = ∑ Lj=1 λ j + lnZ, relação conhecida como a transformada de∂SLegendre. Disto segue que∂ =λ jO mais interessante de toda a discussão acima é que agora podemos analisar caso a caso osensembles que obtemos conforme impomos os víncúlos adequados. Por exemplo, se impormosunicamente a condição de normalização da densidade de probabilidade, a distribuição entãoobtida pelos argumentos acima deve ser uma distribuição uniforme, i.e. se o sistema possuiW estados acessíveis temos que as probabilidades dos diversos estados possíveis sãop i = 1 W ,e a entropia seráS=− ∑ Wi=1 W −1 lnW −1 = lnW, coincidindo com a definição de entropiamicrocanônica, proposta originalmente por Boltzmann (a constante de boltzmann vale 1,devido a definição original que demos para a entropia). Enquanto isto, se monitoramos aquantidade de energia do sistema, é claro que estamos medindo o valor médio da funçãohamitoniana do sistema. Pelo que vimos acima este vínculo estabelece que a densidade deprobabilidade é dada por: f(p, q) = 1 Z e−βH(p,q) , assim reobtemos o ensemble canônico, eo multiplicador de Lagrangeβ tem o significado físico de temperatura inversa; a função6

de partição éZ = ∫ Γ e−βH(p,q) dpdq. A relação entre a energia média (energia interna dosistema), e a temperatura do sistema, como foi visto acima, nos dá a equação de estado:=− ∂ lnZ∂β; enquanto que a transformada de Legendre nos dá:S = lnZ +β,uma bem conhecida relação da termodinâmica entre a entropia canônica e a energia livre deHelmholtz definida porF =−β −1 lnZ. Por fim a última relação desenvolvida acima, nosdemonstra que a definição usual de temperatura absoluta a partir da entropia termodinâmica( dSdE = 1 T), coincide com esta relação, lembrando queβ é a temperatura inversa do sistema:∂S∂E =β.Notamos agora que o ensemble canônico está relacionado com o microcanônico de umaforma bastante peculiar. Com efeito, sendoW(E), o n o de microestados com energiaE,vemos que o ensemble canônico nos diz que a densidade de probabilidade de o sitema possuiruma energiaE, é dada porp(E) = W (E)Z βe −βE , logo a função de partição canônica será dadaporZ β = ∫ ∞0W(E)e −βE dE. Portanto a função de partição canônica é a transformada deLaplace da distribuição microcanônica. Veja ainda notoriamente que se o integrando for umafunção extremamente concentrada em torno de um valor máximoW(Ē)e−βĒ, então a funçãode partição vale aproximadamenteZ β ≈W(Ē)e−βĒ, logoF =−β −1 lnZ β ≈Ē−β−1S(Ē),o que seria a transformada de Legendre, caso a entropia microcânonica coincidisse com aentropia canônica. Veremos mais adiante, ao discutir transições de fase, que este nem sempreé o caso. Porém para sistemas onde os diferentes graus de liberdade estão suficientemente nãocorrelacionados, de modo que o Teorema do Limite Central seja válido, existe um teoremafundamental da mecânica estatística que garante a equivalência entre tais ensembles [13],o Teorema de Van Hove, diz que para sistemas com interação de curto alcance, e com ashipóteses do Teorema do Limite Central, vale que no limite termodinâmico todos os ensemblessão equivalentes, i.e. um dado observável macroscópico previsto por qualquer ensemble deveter sempre o mesmo valor. Note como o problema da inequivalência de ensembles é importantedo ponto de vista experimental, pois dependendo do modo como uma medição é realizada(quais vínculos são estabelecidos, qual dos ensembles é estabelecido), podemos ter diferentesvalores para a grandeza observada no mesmo tipo de sistema.Para finalizar esta discussão introdutória da mecânica estatística, faremos uma pequenaobservação sobre a entropia microcanônica, pois este fato será utilizado posteriormente noscálculos realizados. Vimos que a entropia microcanônica podia ser definida como função daenergiaE, se pudermos "contar" todos os estados possíveis com esta energia. Se houveremW(E) estados, entãoS(E) = lnW(E). Utilizaremos as mesmas notações da seção 1.1. Noteentão que:W(E) = Ω ′ Λ (E,N)δE≤ Ω Λ(E,N)≤Ω ′ Λ (E,N)E,a primeira desigualdade é clara, a última desigualdade é válida para todo E suficientementegrande se assumimos por exemplo que Ω Λ (E,N) é exponencialmente crescente emE, em geralisto é verdadeiro para a grande maioria dos sistemas, e a taxa de crescimento é proporcional aonúmero de graus de liberdade N (logo a entropia é proporcional a N). Tomando o logaritmo,estas desigualdades determinam cotas superiores para a entropia:S = ln(W(E))≤ln(Ω Λ (E,N))≤ln(Ω ′ Λ (E,N)E),tomamos a diferença entre o último e primeiro membros, obtendo ln( EδE) e aplicamos o limitetermodinâmicoN→∞. Portanto esta diferença, que assume um valor fixo, pode ser desprezadaem relação a entropia que é proporcional a N. Portanto no limite termodinâmico,7

a entropia também pode ser calculada por qualquer um dos dois demais membros da desigualdadeacima. Em cálculos computacionais é muito útil calcular a entropia pela expressãoS(E) = ln(Ω Λ (E,N)). Mais adiante neste relatório, demonstraremos a enumeração exataobtida para o modelo de Ising unidimensional, e com isso calcularemos a entropia microcanônicadeste modelo, utilizando essa última fórmula.2 Transições de FaseA teoria das transições de fase [15] é uma espetacular aplicação da mecânica estatística,pois lida com fenômenos presentes em muitos campos diferentes da física, desde o ferverde uma água, a criação de um imã magnético, ou a formação de uma estrela, todos estesfenômenos são descritos por meio de certos modelos simplificados, utilizando-se a mecânicaestatística. Uma discussão pormenorizada de tal teoria não se faz possível no presente tratado.Mas podemos, pelo menos, descrever a ponta deste enorme iceberg, com base no formalismointroduzido anteriormente.Vimos que cada variável macroscópica está associada a uma variável intensiva (o seumultiplicador de Lagrange). No ensemble canônico, por exemplo, a energia interna estáconjugada a temperatura. Por outro lado, a variável macroscópica também está associada asua respectiva variável extensiva, a energia interna no ensemble canônico, nada mais é do quea média do hamiltoniano, a sua variável extensiva associada. Se a distribuição desta variávelextensiva satisfaz as condições do Teorema do Limite Central, então temos a garantia deque no limite termodinâmico, a média correspondente está bem definida, pois a distribuiçãose aproxima a de uma normal, com variância inversamente proporcional ao n o de graus deliberdade. No entanto, existem situações em que a medida que se varia o parâmetro intensivo,as correlações entre diferentes graus de liberdade se intensificam, de modo que o teorema dolimite central deixa de ser válido. Na prática a distribuição da variável extensiva pode seconcentrar em torno de dois ou mais valores, e isto é macroscopicamente visto como umacoexistência de várias fases distintas do sistema, estamos então presenciando uma transiçãode fase de primeira ordem, ou descontínua.As observações experimentais de transições de fase geralmente se traduzem matematicamentepela perda de analiticidade nos potenciais termodinâmicos (apenas no limite termodinâmico,para os ensembles (grã)canônico; enquanto que no microcanônico, é possívelencontrar modelos, para os quais tais percas de analiticidade aparecem mesmo para sistemasde tamanho finito [16, 17, 18, 19, 20]). Aqui reencontramos o problema da inequivalência deensembles, equanto os potenciais termodinâmicos associados aos ensembles (grã)canônico desistemas finitos sempre serão funções analíticas, conforme provado em [21], este não precisaser o caso para o ensemble microcanônico. Muito trabalho foi realizado neste campo, noque diz respeito a previsão da ocorrência, ou não, de transições de fase em certas classesde sistemas, sem a necessidade de computar um potencial termodinâmico. Trata-se de umabusca por condições necessárias e suficientes para a transição de fase. Neste sentido temoso teorema de Mermin-Wagner e suas generalizações [22, 23, 24], ou ainda critérios que permitemidentificar a existência de uma transição de fase tais como o argumento de Peierls [25],em cadeias de spin discreto, ou o limite de Fröhlich-Simon-Spencer [26]. Existem tambémteoremas que garantem a não existência de transição de fase em certos modelos unidimensionais,[27, 28]. Todos estes resultados referem-se a classes específicas de sistemas, e nãoexplicam qual possível mecanismo estaria por trás do aparecimento de pontos não analíticos8

dos potenciais termodinâmicos. Um resultado muito famoso de Yang e Lee [29], relaciona adistribuição dos zeros da função de partição grã-canônica, no plano complexo, com as nãoanaliticidades da função termodinâmica correspondente.O estudo topológico das transições de fase surgiu ao fim da década de 90, a partir daformulação geométrica da dinâmica hamiltoniana no espaço de fase, uma boa referência parao estudo desta teoria é o livro [2], e os reviews [1, 30]. Foi observado que as superfíciesequipotenciais no espaço de fase apresentam uma mudança na sua topologia no momento datransição de fase. E de fato foi provado que para certas classes de sistema, uma condiçãonecessária para ocorrer uma transição de fase é que a topologia de tais superfícies equipotenciaisse altere. Fazemos a seguir uma série de definições topológicas convenientes para adescrição resumida desta teoria.3 Topologia do Espaço de FaseUm estudo pormenorizado de topologia não é possível neste relatório, um bom livrointrodutório é o [31]. Podemos pelo menos citar que os axiomas fundamentais da topologia,definem o conceito de espaço topológico, e são utilizados para definir um dos conceitosmais importantes da topologia, o de funções contínuas entre espaços topológicos. Este é umconceito muito importante, pois, em primeiro lugar, ele fornece uma relação de equivalênciano conjunto de todos os espaços topológicos, o conceito de homeomorfismo (dois espaços sãohomeomorfos se existir uma bijeção contínua, de inversa contínua entre eles, esta bijeção écostumeiramente vizualizada como uma "deformação" desde um espaço até o outro); e emsegundo lugar, a topologia se propõe a estudar aquelas propriedades de espaços topológicosque são compartilhadas entre espaços homeomorfos, denominados de invariantes topológicos.A topologia é um campo muito importante da matemática, e se faz muito presente no folclorematemático; a construção desta teoria possibilitou a resolução de problemas famosos,tais como as sete pontes de Königsberg, o teorema das quatro cores, o lema de Jordan, arelação de Euler entre vértices, arestas e faces de poliedros. Este último problema conduziu adefinição do invariante topológico que mais adiante calcularemos no modelo de Ising, a saber,a característica de Euler. Uma definição geral e precisa da característica de Euler necessitariado desenvolvimento da teoria de homologia, uma aplicação da álgebra à topologia. Para osnossos propósitos (o de estudar a cadeia de Ising 1D), é suficiente definir a característica deEuler para complexos celulares com celulas de dimensão não maior do que 1. Podemos dizerque estes objetos são os familiares grafos, um conjunto de vértices e arestas. Pois bem, acaracterística de Eulerχpara um grafoGcom n o de vértices|V|, e de arestas|A|, é dadaporχ=|V|−|A|. Esta definição é a única definição da topologia utilizada para o estudotopológico do Ising 1D.Por outro lado existe uma teoria muito sofisticada de aplicação de conceitos topológicospara o problema das transições de fase. Esta teoria se baseia na teoria de Morse [32], quepodemos denominar como uma fusão da topologia e da análise. A principal definição nateoria de Morse, é a de função de Morse, basicamente, podemos dizer que tratam-se defunções de valores reais definidas sobre variedades diferenciáveis, cujos pontos críticos (i.e. ospontos onde a primeira derivada é nula) são não degenerados (i.e. a hessiana calculada noponto crítico é invertível, ou seja, não possui autovalores nulos). Esta definição tem comoconsequência fundamental, o fato de que o conjunto de pontos críticos de uma função deMorse é um conjunto discreto (com respeito a mesma métrica da variedade em questão).9

A teoria de Morse se utiliza das funções de Morse definidas sobre uma variedade, para oestudo da topologia deste domínio. As funções de Morse, e a ordenação dos reais, fornecemuma maneira de "fatiar" a variedadeM em pedaços sucessívos, a saber, os conjuntos de nível:f −1 (a) =x∈M :f(x) =a. Tais conjuntos são denominados críticos, seafor um valor críticoparaf, i.e. existe algum ponto crítico desta função, tal que o valor desta função em tal pontocrítico éa.Os principais resultados da teoria de Morse são os seguintes:1. Se o intervalo [a,b] não contém valores críticos, entãof −1 (v) são todos espaços homeomorfosparav∈ [a,b]2. Se o intervalo [a,b] contém valores críticos, a topologia def −1 ([a,v]) muda conformev assume valores críticos, e modifica-se de uma maneira especificada pelo formato daHessiana, através de cada ponto crítico.A aplicação desta teoria para as transições de fase, envolve a hipótese de que a funçãohamiltoniana é uma função de Morse definida sobre o espaço de fase. Esta hipótese podeparecer muito forte, no entanto, existe um resultado que garante que as funções de Morsesão densas sobre o conjunto de todas as funções de valores reais, definidas sobre variedadesdiferenciáveis. Desta forma, se a função hamiltoniana não for uma função de Morse, umaperturbação a tornaria (e muito possivelmente também destruiria a sua simetria, tornandoos cálculos muito mais fastidiosos). Deste modo, os espaços analisados são os conjuntosH −1 (−∞,E], conforme varia-se a energia, monitoram-se certos invariantes topológicos destesespaços, os quais mudam conforme a topologia muda.Um dos principais resultados desta teoria, envolve a descrição da entropia microcanônicaem termos de invariantes topológicos [2], para certos tipos de sistema: com interação de curtoalcance e potencial não confinante. Com isso é provado, em tal classe de sistemas, que umacondição necessária para ocorrência de transições de fase é a de que a topologia dos conjuntosacima definidos mude. Uma série de modelos foi estudada utilizando-se desta teoria em [33].Nota-se porém que na prática, o critério topológico de necessidade acima referido revelasede difícil aplicabilidade, pois as mudanças topológicas acima referidas tornam-se cada vezmais frequentes, conforme o limite termodinâmico é tomado. Neste sentido, outro resultadoque especifica uma condição topológica necessária para a ocorrência de transições de fase,foi obtido em [34], o qual de certa forma nos diz para quais mudanças topológicas devemosolhar, se estamos em busca da transição de fase. Em [34] define-se a grandeza geométricadenominada densidade jacobiana, que é uma função da energia do sistema, e prova-se que seo potencial é de curto alcance, não confinante e é uma função de Morse, então a divergênciada densidade jacobiana é necessária para a ocorrência da transição de fase. Portanto, detodos os pontos críticos do potencial, devemos olhar apenas para aqueles em que a densidadejacobiana diverge.No entanto esta teoria está bem posta para hamiltonianos cujo espaço de fase é contínuo.A proposta deste projeto é vislumbrar a possibilidade de aplicação desta teoria para o modelode Ising, com espaço de fase discreto! Esta abordagem se revelou muito desafiadora comoveremos a seguir, e na verdade verificou-se ser mais conveniente estudar a topologia de cadaconfiguração da rede cristalina, do que propriamente a topologia do espaço de fase em questão,sobre o qual a teoria de Morse usual não é aplicável. Notou-se no entanto que a característicade Euler permanece tendo um comportamento semelhante à entropia do sistema.10

1. Se−•••−, então 2N − − 2 = 2N −− +N +−2. Se +•••+, então 2N − = 2N −− +N +−3. Se +•••−−•••+ , então 2N −− 1 = 2N −− +N +−Agora podemos escrever a energia do modelo de Ising como:H =−J(N ++ +N −− −N +− )−h(N + −N − )pois ∑ i σ i =N + −N − , e ∑ σ iσ j =N ++ +N −− −N +− . O n o de variáveis na expressãopara energia pode ser reduzido somente ao n o de sítios da cadeia, ao n o de spins up, e aon o de domínios, utilizando todas as relações obtidas acima. Este fato será convenientementeutilizado na seção seguinte, pois fixaremos estes três valores, e enumeraremos as configuraçõesexistentes, desta forma obtendo a distribuição microcanônica. Surpreendentemente a energiase escreve em termos destes três valores segundo a mesma expressão, independente dos trêscasos mencionados acima:H(N,N + ,D) = (h−J)N− 2hN + + 2JD−J4.1 Enumeração do modelo de Ising 1-DVamos estudar a cadeia linear sem impor condição de contorno periódica. Vimos que a energiade uma dada configuração depende portanto dos parâmetrosN,D eN + . Vamos determinarquantas configurações distintas podemos obter, uma vez que fixemos tais parâmetros (e comisso, fixemos a energia). É conveniente dividir o estudo das enumerações em três casos:1 o CASO:D=1. Forçosamente devemos ter que ouN + = 0, ouN + =N. Portanto existemduas configurações,w=2.2 o CASO:D=2k,k>0. Aqui existem, a princípio duas escolhas que podemos fazer parao primeiro sítio, ou este pertence a um domínio up, ou este pertence a um domínio down.Seja qual for a escolha feita, vemos que k domínios possuirão spin up, e os demais kpossuirão spin down.Isto nos mostra portanto que pelo menos temos as seguintes restrições sobre o número despins upN + ≥k=D/2,N − =N−N + ≥k=D/2, caso contrário algum domínio estariavazio, o que é um absurdo.Sabendo queN + satisfaz a restrição acima, nos perguntamos quantas configurações distintasexistem. Pode-se ver de imediato que tal pergunta equivale a saber de quantas maneirasdistintas o seguinte sistema de equações pode ser resolvido:{u1 + ... + u k = N + −kd 1 + ... + d k = N − −k =N−N + −k ,ondeu j ,d j ∈ N∪{0},∀j, representam o número de spins up e down noj-ésimo domínio,respectivamente.É fácil mostrar (veja o apêndice) que o n o de soluções distintas para tal equação é dadopor: ( )( )N+ − 1 N− − 1l =k− 1 k− 112

Como observamos ao princípio, temos duas possibilidades, ou o primeiro sítio é up, ou édown. Isto demonstra que o n o total de configurações distintas é:( )( )N+ − 1 N− − 1w = 2l = 2k− 1 k− 13 o CASO:D=2k + 1,k>0. Temos duas possibilidades, se o primeiro domínio da cadeiaé up, o último também será, e então haverãok + 1 domínios up,kdomínios down. Digamosque este é o caso 3-a. Vamos denotar a situação análoga inversa de 3-b.Na situação 3-a vemos que existem as restrições:N + ≥k + 1 = (D + 1)/2,N−N + ≥k =(D− 1)/2. Na situação 3-b as restrições:N + ≥k = (D− 1)/2,N−N + ≥k + 1 = (D + 1)/2.Responder quantas configurações distintas existem na situação 3-a equivale a responderquantas soluções distintas o seguinte sistema possui:{u1 + ... + u k+1 = N + −k− 1d 1 + ... + d k = N − −k =N−N + −k ,ondeu j ,d j ∈ N∪{0},∀j, novamente representam o número de spins up e down noj-ésimodomínio, respectivamente.Segue do apêndice que o n o de soluções é dado por:( )( )N+ − 1 N− − 1l a =k k− 1Similarmente no caso 3-b obteríamos que o n o de configurações é:( )( )N+ − 1 N− − 1l b =k− 1 kVale ressaltar neste momento que a enumeração acima realizada, não foi encontrada emnenhuma referência a respeito do modelo de Ising 1D, muito embora tenha sido de enormesimplicidade a sua dedução. Ela nos permite neste momento, entre várias outras coisas,calcular a entropia microcanônica (canônica), conforme prometido anteriormente. O gráficoencontra-se ilustrado na Fig. 1 (2). Para o cálculo da entropia microcanônica em funçãoda energia, utilizamos o seguinte algoritmo: Dado um valorE para a energia, verificamostodos os valores deN + ,N +− , tais que a energia associada a tais configurações seja menor doque o valorE. Utilizando a enumeração realizada, somamos todas as multiplicidades de taisconfigurações. Calculando o logaritmo desta soma, obtemos a entropia do sistema em funçãoda energiaE. Este procedimento claramente nos fornece uma curva monótona crescente, talque acima de um valor energético máximo para o sistema, a entropia é constante e igual aologaritmo da quantidade total de configurações na cadeia de Ising (2 N ). Os resultados obtidoscomputacionalmente por tal algoritmo demonstram exatamente este comportamento, sendoportanto uma comprovação da exatidão da enumeração acima realizada [Fig. 1]. Utilizandoeste algoritmo, podemos ainda plotar a entropia canônica [Fig. 2], de um modo muito simples:sabemos a energia (canônica) e a temperatura estão relacionadas porE=− ∂∂β ln(Z N).Eliminamos a energia em favor da temperatura, e com isso obtemos a curva da entropia versustemperatura. Podemos observar que por trás desta dedução está a hipótese de que para talmodelo existe uma equivalência entre os ensembles canônico, e microcanônico, pois estamospressupondo que a energia em ambos os ensembles é a mesma. A curva para tal entropia é13

comparada com a curva exata para a entropia canônica [Fig. 2]. A concordância dos resultadosnos levam a concluir de imediato dois resultados: (I) A enumeração realizada é exata;(II) A equivalência de ensembles pressuposta é de fato uma hipótese razoável.4.2 Transição de Fase no Ising 1DNa próxima seção discutiremos a topologia da cadeia de Ising unidimensional, e definiremosum invariante a característica de Euler associada a spins up, a qual possui um valor bemdefinido para cada configuração dos spins ao longo da cadeia. Será então necessário procederde modo a calcular uma característica de Euler média, a qual nos dá o comportamentoesperado deste observável. Para isso nos utilizaremos tanto da medida microcanônica, comoda medida canônica. A medida canônica requer um conhecimento da função de partiçãodo modelo de Ising 1D. Nesta seção deduziremos uma expressão fechada para tal função departição, e aproveitaremos a oportunidade para fazer uma rápida discussão da transição defase no modelo de Ising 1D.A função de partição de uma cadeia de Ising unidimensional comN sítios é dada por:Z N = ∑ σ 1... ∑ σ Ne βJ∑ N−1i=1 σ iσ i+1 +βh ∑ Ni=1 σ iZ N = ∑ ±1N−1 ∏e βJσ ∏ Niσ i+1e βhσ ii=1 i=1Z N = cosh(βJ) N−1 cosh(βh) N∑ N−1 ∏ N∏(1 +σ i σ i+1 tanh(βJ)) (1 +σ i tanh(βh))±1 i=1 i=1onde utilizamos o fato de quee ±x = cosh(x)(1±tanh(x)). DefinaZ ′ (N) como a seguintegrandeza:Z ′ (N) = 1 ∑ N−1 ∏2 N (1 +σ N tanh(βh)) (1 +σ i σ i+1 tanh(βJ))(1 +σ i tanh(βh))±1i=1a fim de obter uma recorrência, descreveremosZ ′ (N) em termos de duas parcelas, uma naqualσ N = +1,Z ′ +(N), e outra ondeσ N =−1,Z ′ −(N). Desta forma, obviamenteZ ′ (N) =Z ′ +(N) +Z ′ −(N), e além disso:Z +(N) ′ = (1 + tanh(βh)) 1±1 (1 +σ N−1 tanh(βh))(1 +σ N−1 tanh(βJ))×× ∏ N−2i=1 (1 +σ iσ i+1 tanh(βJ))(1 +σ i tanh(βh))2 N ∑Z ′ +(N) = 1 2 [(1+tanh(βh))(1+tanh(βJ))Z′ +(N−1)+(1+tanh(βh))(1−tanh(βJ))Z ′ −(N−1)]e similarmente também temos a seguinte relação de recorrência:Z ′ −(N) = 1 2 [(1−tanh(βh))(1−tanh(βJ))Z′ +(N−1)+(1−tanh(βh))(1+tanh(βJ))Z ′ −(N−1)]podemos expressar esse sistema de equações em termos da seguinte equação matricial:[ ]Z′+ (N)Z −(N)′ = 1 [ ][ ](1 + tanh(βh))(1 + tanh(βJ)) (1 + tanh(βh))(1−tanh(βJ)) Z′+ (N− 1)2 (1−tanh(βh))(1−tanh(βJ)) (1−tanh(βh))(1 + tanh(βJ)) Z −(N− ′ 1)14

e então iteramos esta equação, ou, por indução, segue que:[Z′+ (N)Z ′ −(N)]= 1[(1 + tanh(βh))(1 + tanh(βJ)) (1 + tanh(βh))(1−tanh(βJ))2 N−1 (1−tanh(βh))(1−tanh(βJ)) (1−tanh(βh))(1 + tanh(βJ))] N−1 [10]onde notamos queZ +(1) ′ = 1,Z −(1) ′ = 0. A matriz obtida na relação de recorrência édenominada como a matriz de transferência:[ ](1 + tanh(βh))(1 + tanh(βJ)) (1 + tanh(βh))(1−tanh(βJ))M(βJ,βh) = 1 2(1−tanh(βh))(1−tanh(βJ))(1−tanh(βh))(1 + tanh(βJ))vemos portanto que[Z ′ (N) =Z +(N) ′ +Z −(N) ′ =1 1] [ Z ′ +(N)Z ′ −(N)][=1 1]M N−1 [10]tal produto "sanduíche", nos dá como resultado a soma dos elementos na primeira coluna namatriz do meio do "sanduíche". Esta assimetria provém do fato de não impormos condições decontorno. Se impusermos condições de contorno periódicas, temos uma expressão simétricaparaZ ′ (N), em termos do traço daN-ésima potência da matriz de transferência. Com efeito,denotemos a primeira (segunda) linha da matriz de transferência por +1 (−1), e similarmentepara as colunas. Assim vale por exemplo queM +1,−1 é o elemento na 1 a linha, 2 a coluna.Com tal notação, olhamos novamente para a soma de partição, desta vez com condição decontorno periódica, i.e.σ N+1 =σ 1 :Z N = [cosh(βJ) cosh(βh)] N∑ N∏(1 +σ i σ i+1 tanh(βJ))(1 +σ i tanh(βh))±1i=1= [2 cosh(βJ) cosh(βh)] N∑ Ni=1±1∏M σi ,σ i+1e agora fica fácil de ver que tal soma de produtos representa o traço da matrizM N . Portanto,seλ 1 eλ 2 são os autovalores da matriz de transferência, segue que a função de partição domodelo de Ising unidimensional, com condições de contorno periódicas é dada por:Z N = [2 cosh(βJ) cosh(βh)] N (λ N 1 +λ N 2 ).Podemos calcular as singularidades da energia livre de Helmholtz por sítio no limite termodinâmico:1−βF = limN→∞N ln(Z N) = ln[2 cosh(βJ) cosh(βh)] + ln(λ 1 ),onde admitimos sem perda de generalidade queλ 1 >λ 2 . Este autovalor pode ser calculadosem grandes dificuldades, e vale:λ 1 = 1 + tanh(βJ) + [(1 + tanh(βJ))2 − 4 tanh(βJ)(1−tanh(βh) 2 )] 1/2,2e entãoF pode ser reescrito como:( )F =−β −1 ln e βJ cosh(βh) +√e 2βJ sinh 2 (βh) +e −2βJ .15

Aqui já podemos perceber que a energia livre por sítio é uma função analítica para todovalor real positivo deβ, logo o sistema não pode apresentar transição de fase neste domínio.Clamamos no entanto que tal modelo apresenta magnetização espontânea emT = 0, deacordo com o argumento de Peierls [25]. Para isso calculamos a magnetização do material:M =− ∂F∂h =e βJ sinh(βh)√e 2βJ sinh 2 βh+e −2βJ,notamos que se fazemos primeiramente a temperatura ir a zero, e depois fazemos o limite docampo nulo, obtemos uma magnetização remanescente não nula do material, a saber:lim limM=±1,h→0T→0 tendo o mesmo sinal que o campo antes de fazermos a temperatura do sistema se anular.4.3 Topologia da cadeia de IsingPara cada configuração da rede de Ising, podemos destacar aqueles vértices ocupados porspins up, e aquelas ligações entre vizinhos imediatos do tipo up-up. Este procedimento nosfornece um grafo, sob o qual calculamos a característica de Euler, com respeito aos spins up,correspondente. Este mesmo procedimento poderia ser realizado com os spins down, entãoobteríamos a característica de Euler com respeito aos spins down. Podemos então introduzira medida microcanônica, ou a canônica a fim de computar uma característica de Euler médiapara o modelo de Ising. Isto foi feito em [6], para a rede de Ising bidimensional utilizandosimulação Monte Carlo. Aqui faremos o cálculo da mesma grandeza, porém utilizando aenumeração exata obtida na última seção para a rede de Ising 1D.Note que a característica de Euler, com respeito aos spins up, é dada por,χ + =N + −N ++ ,e portanto:1. Se +•••+, entãoχ + = N +−2+ 1 = D+122. Se−•••−, entãoχ + = N +−2= D−123. Se +•••−−•••+ , entãoχ + = N +−+12= D 2Enquanto que a característica de Euler, com respeito aos spins down, é dada por,χ − =N − −N −− , e portanto:1. Se +•••+, entãoχ − = N +−2= D−122. Se−•••−, entãoχ − = N +−2+ 1 = D+123. Se +•••−−•••+ , entãoχ − = N +−+12= D 2Com isso computamos a característica de Euler (acumulada) média, como função da energia,no ensemble microcanônico da seguinte forma, fixada a energia E, verificamos todasaquelas configurações cuja energia é menor do que E (por isso o termo "acumulada"), etomamos a média destas, com respeito a medida microcanônica (distribuição de probabilidadesuniforme). Ou seja, tal média é dada pela equação:16

χ + (E) =∑σ:H(σ)≤Eχ + (σ)P(σ),ondeP(σ) é a probabilidade de que a configuraçãoσ ocorra, a qual no ensemble microcanônicoé dada porP(σ) = 1 , para o modelo de Ising comN sítios.2N Por outro lado a característica de Euler média com respeito a temperatura inversa é obtidautilizando-se a medida canônica. Neste caso os autores do artigo [6], conjecturaram, que seantes de uma certa temperatura inversa (β c ) a característica de Euler for sempre positiva,e se a partir de talβ c ela anular-se, então o sistema exibe uma transição de fase naquelatemperatura. A equação que fornece esta média é a seguinte:χ + (β) = ∑ σχ + (σ)P β (σ),onde agora a soma é sobre todas as configurações da cadeia, e a probabilidade é a probabilidadecanônica, a saber:P β (σ) = e−βH(σ)Z(β,N) .0,700,350,00-0,35S/Nln( +)/Nln(2)0,80,60,40,2S/Ns+/Nln(2)-0,70-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0E/N0,00 1 2 3 4 5TFigura 1: Logaritmo da Característica de Eulere Entropia microcanônica por sítio versusenergia por sítio, no Ising 1D, paraN =1000,J = 1,h = 0.Figura 2: Característica de Euler e Entropiacanônica por sítio versus temperatura absoluta,no Ising 1D, paraN = 1000,J = 1,h = 0.Assim são obtidos computacionalmente os seguintes resultados: O logaritmo da característicade Euler média, por sítio, com respeito ao Ensemble microcanônico [Fig. 1]; a característicade Euler média com respeito ao Ensemble canônico, versus temperatura absoluta[Fig. 2](a constante de Boltzmann foi colocada como unitária, por isso podemos interpretara temperatura com unidades de energia). Em cada figura colocamos também as respectivasentropias para efeito de comparação (os algoritmos utilizados para o cálculo de tais curvasforam descritos ao fim da seção 4.1). Deve-se ressaltar que a entropia canônica por sítioplotadaS/N [Fig. 2], foi obtida a partir da enumeração realizada. Como comprovação daexatidão do resultado obtido, plotamos na mesma figura o gráfico da entropia canônica porsítio, a campo nulo (h = 0), no limite termodinâmico: s = lim N→∞ S/N, obtida desde afórmula analítica exata, a saber:s(T) = limN→∞1N∂∂T[ 1N)]β ln(Z = ln(2) + ln(cosh( J T ))−J T tanh(J T )17

ConclusõesO estudo da topologia no Ising 1D nos conduziu a um resultado em acordo com a conjecturado artigo [6], vemos que a característica de Euler média, no ensemble canônico, é tal que elanão se anula para nenhum valor finito deβ, e seu valor tende assintoticamente para zeroquandoβ vai a infinito, ou seja quando a temperatura é nula. Precisamente aquilo que ocorreno Ising 1D, o qual só possui transição de fase aT = 0.Notemos no entanto que esta abordagem se distancia um tanto da pretensão inicial, quebuscava olhar para a topologia do espaço de fase. Esta revelou-se completamente ineficaz nasituação atual pois toda a teoria de Morse usual não está definida no espaço de fase de Ising.É de se esperar que possamos aplicar a mesma abordagem acima realizada para outrosmodelos discretos. No entanto notamos que tal teoria ainda encontra-se muito situada nocampo especulativo, existem conjecturas, mas pouco foi demonstrado. No modelo de Isingem particular, pudemos ver que a característica de Euler é essencialmente igual ao númerode paredes da cadeia, assim é possível compreender, pelo menos intuitivamente, a conjecturarealizada em [6], pois se este valor médio vai a zero, significaria portanto que a cadeia nãoapresenta mais paredes, i.e., existe uma tendência de os spins da cadeia se alinharem, exibindoportanto magnetização espontânea.Sem dúvidas ainda existe muito a ser estudado, no que se refere à relação entre a topologiade tais sistemas discretos e suas transições de fase. Este é um campo ainda em aberto.Outros modelos discretos de distribuição de spins, para os quais o cálculo da distribuiçãomicrocanônica seja possível, também são sucetíveis ao mesmo tipo de abordagem. Estesresultados seriam úteis pelo fato de demonstrarem até que ponto a conjectura feita é válida, eentão uma tentativa de demonstração desta seria o próximo passo, naquela classe de sistemasonde verificou-se a sua validade.AUm probleminha combinatórioO PROBLEMA: Suponha que nos seja fornecida uma equaçãox 1 +... +x n =y, ondex 1 ,...,x n ,y∈N∪{0}. Queremos determinar, nestas condições, quantas soluções distintasexistem para tal equação.A SOLUÇÃO: Podemos fazer uma analogia muito simples entre a equação dada e umarranjo de "pontos"e "barras". Dada a equação, tomemos, y "pontos"•, e n-1 "barras"|. Porexemplo, se a equação forx 1 +x 2 +x 3 = 5, tomamos 5 pontos•••••, e 2 barras ||. Cadaarranjo (levando em conta a ordem) destes 7 objetos está em correspondência biunívoca comuma solução da equação dada. Por exemplo, o arranjo•••|••|, corresponde a soluçãox 1 = 3,x 2 = 2,x 3 = 0; enquanto que a soluçãox 1 = 1,x 2 = 3,x 3 = 1, corresponde ao arranjo•|•••|•.Com esta analogia o problema se resume a contar quantos arranjos distintos de tais pontose barras existem. Este é simplesmente o n o de permutações dey+n−1 objetos, sendoy en−1deles repetidos. Portanto o n o (y +n−1)!de soluções distintas da equação dada él= =( )y!(n−1)!y +n−1y18

BDificuldades EncontradasA principal dificuldade do trabalho foi estabelecer o invariante topológico a ser calculadono modelo de Ising. Por este ser um modelo discreto, não existe a possibilidade de utilizar-seda Teoria de Morse usual. Várias possibilidades foram vislumbradas, porém muitos fracassosdesanimadores também ocorreram. Imaginou-se em um momento, após a enumeração do Ising1D, que a mesma abordagem poderia ser utilizada para o caso bidimensional. No entantoapós semanas de intenso estudo, verificou-se que a complexidade do caso 2-D é colossal, comrelação ao caso unidimensional, trivialmente tratado neste projeto. O estudante tambémteve de aprender a a utilizar softwares de computação algébrica, bem como a linguagem doLATEX, com o qual o presente relatório foi inteiramente escrito. Estes aprendizados serão, semdúvida alguma, de grande benefício para todo o restante da futura carreira como pesquisador.Convém ressaltar aqui, a ajuda e companheirismo do Prof. orientador Maurício D. CoutinhoFilho, e de seu aluno de doutorado, Fernando A. Nóbrega Santos, os quais foram grandesconselheiros e amigos durante toda a execução do projeto.CAtividades Paralelas Desenvolvidas pelo BolsistaForam cursadas as seguintes disciplinas (notas) durante o primeiro semestre de 2009:Estrutura da Matéria 1 (8,7), Mecânica Geral 3 (9,65), Física Matemática 1 (10), Eletromagnetismo1 (10), Iniciação Científica 2 (10), Introdução às Eq. Diferenciais Parciais (10). Nofim do 1 o semestre de 2009, correspondente ao 5 o período do estudante, a sua média geralera de 9,59. O estudante também participou do curso de verão do IMPA, durante Janeiroe Fevereiro, no qual assistiu os seguinte cursos (nota): Introdução à Álgebra Linear (A),Introdução à Probabilidade (A+).Referências[1] Casetti, L., M. Pettini, and E. G. D. Cohen, Geometric approach to Hamiltonian dynamics andstatistical mechanics, Phys. Rep. 337, 237 (2000).[2] Pettini, M., Geometry and Topology in Hamiltonian Dynamics and Statistical Mechanics, InterdisciplinaryApplied Mathematics Vol. 33 (Springer, New York, 2007).[3] R. Franzosi and M. Pettini, Phys. Rev. Lett. 92, 060601 (2004).[4] R. Franzosi, M. Pettini, and L. Spinelli, Nucl. Phys. B782, 189 (2007).[5] L. Caiani, L. Casetti, C. Clementi, and M. Pettini, Phys. Rev. Lett. 79, 4361 (1997).[6] Blanchard, P., Dobrovolny, C, Gandolfo, D., Ruiz, J, On the mean Euler characteristic and meanBetti’s numbers of the Ising model with arbitrary spin, J. Stat. Mech., 03, PO3011 (2006).[7] Huang, K., Statistical Mechanics, (2ed, Wiley, 1987).[8] Landau and Lifshitz, Course of Theoretical Physics, Vol.5, Statistical Physics Part 1, (3ed, Elsevier,1980).[9] Atlee Jackson, E., Equillibrium Statistical Mechanics, (1ed, Dover, 1968).[10] Martin-Löf, A., Statistical Mechanics and the Foundations of Thermodynamics, (1ed, LectureNotes in Physics, 1940).[11] Maurício D. Coutinho Filho, Mecânica Estatística: Notas de Aula.[12] Barry James, Probabilidade: um curso em nível intermediário, (3ed, IMPA, 2008).19

[13] Ph. Chomaz and F. Gulminelli, Phase Transitions in finite systems, (Lecture Notes GANIL,2002).[14] Robert B. Ash, Information Theory, (1ed, Dover, 1965).[15] Stanley, H. E., Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, (Clarendon Press,Oxford, 1971).[16] Casetti, L. and M. Kastner, Nonanalyticities of entropy functions of finite and infinite systems,Phys. Rev. Lett.97, 100602 (2006).[17] Dunkel, J., and S. Hilbert, Phase transitions in small systems: Microcanonical vs. canonicalensembles, Physica A 370, 390 (2006).[18] Hilbert, S. and J. Dunkel, Nonanalytic microscopic phase transitions and temperature oscillationsin the microcanonical ensemble: An exactly solvable one-dimensional model for evaporation, Phys.Rev. E74,011120 (2006).[19] Kastner, M., and O. Schnetz, On the mean-field spherical model, J. Stat. Phys. 122, 1195 (2006).[20] Kastner, M., S. Schreiber, and O. Schnetz, Phase transitions from saddles of the potential energylandscape, Phys. Rev. Lett. 99, 050601 (2007).[21] Griffiths, R.B., "Rigorous results and theorems", in Phase Transitions and Critical Phenomena,edited by C. Domb and M.S. Green (Academic, London, Vol. 1, Chap. 2, 1972).[22] Mermin, N.D. and H. Wagner, Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or twodimensionalisotropic Heisenberg model, Phys. Rev. Lett.17, 1133 (1966).[23] Fröhlich, J., and C. Pfister, On the absence of spontaneous symmetry breaking and of crystallineordering in two dimensional systems, Commun. Math. Phys. 81, 277 (1981).[24] Fannes, M., P. Vanheuverzwijn, and A. Verbeure, Quantum energy-entropy inequalities: a newmethod for proving the absence of symmetry breaking, J. Math. Phys. 25, 76 (1984).[25] Peierls, R., On Ising’s model of ferromagnetism, Proc. Cambridge Philos. Soc. 32, 477 (1936).[26] Fröhlich, J., B. Simon, T. Spencer, Infrared bounds, phase transitions and continuos symmetrybreaking, Commun. Math. Phys. 50, 79 (1976).[27] van Hove, L., Sur l’integrale de configuration pour les systèmes de particules á une dimension,Physica (Amsterdam), 16, 137 (1950).[28] Cuesta, J.A., and A. Sánchez, General non-existence theorem for phase transitions in onedimensionalsystems with short-range interactions, and physical examples of such transitions,J. Stat. Phys. 115, 869 (2004).[29] Lee, T.D. and C.N.Yang, Statistical Theory of equations of state and phase transitions. I. Theoryof condesation, Phys. Rev.87, 404 (1952).[30] Kastner, M., Phase transitions and configuration space topology, Rev. Mod. Phys.80, 167 (2008).[31] Henle, M. A Combinatorial Introduction to Topology, (1ed, Dover, 1994).[32] Milnor, J., Morse Theory, Annals of Mathematical Studies Vol. 51 (Princeton University Press,Princeton, 1963).[33] F. A. N. Santos, M. D. Coutinho-Filho, Topology, symmetry, phase transitions and noncolinearspin structures (Preprint, UFPE, 2009).[34] Kastner, M. and O. Schnetz, Phase Transitions Induced by Saddle Points of Vanishing Curvature,Phys. Rev. Lett. 100, 160601 (2008).[35] L.Onsager, Phys.Rev.65, 117 (1944).20