Gabarito da Prova 1 - Plato

FGE 0211d - FISICA III diurnoP1 – 29 de agosto de 2007Esta prova tem duração de 100 minutosÉ proibido o uso de calculadorasResolva cada questão em sua folha própria1) (2,5) Um anel de raio R está uniformemente eletrizado com carga Q Coulombs,positiva. Um fio semi-infinito eletrizado com densidade linear de carga constante λCoulombs/metro, positiva, situa-se ao longo do eixo de simetria do anel, com suaextremidade à distência z = a do plano do anel. Determine:a) (1,5) o vetor campo elétrico criado pelo anel em qualquer ponto do fio;b) (1,0) a força (vetor!) que o fio exerce sobre o anel.aRzRoteiro de solução:a)b)( θ)1 λaR d zdE =2 23/24πε0 ⎡⎣z+ R ⎤⎦Qλa=2πR 1 QR2πz 1 Q z E = k =2 23/22 23/2 k4πε0 2πR⎡z + R ⎤ 4πε0⎣ ⎦⎡⎣z + R ⎤⎦ Fanel−fio =−Ffio−anel 1 Qz d F =− dq Ezk =−( λ dz) k2 23/24πε0 ⎡⎣z+ R ⎤⎦ λQ ∞z λQ1 F =− k dz2 23/22 21/24πε∫=−k04a ⎡z + R ⎤ πε0⎣ ⎦⎡⎣a + R ⎤⎦

3) (2,5) Considere duas cargas de valores -q e 2q separadas por uma distancia d.Tomando a origem do sistema de coordenadas na carga negativa,(1,5) (a) mostre que o potencial a distancias muito maiores que d é a soma dopotencial de uma carga puntiforma e de um dipolo. Determine o valor da carga e omomento de dipolo.(1,0) (b) Calcule o campo elétrico.Roteiro de solução:Sugestão: para r>>d a distância da carga positiva é r – dcosθ.a)4)'2 2 2r r d rd= + −2 cosθr d'r r d= −cosθ1 ⎛ 2qq⎞V()r = ⎜ − ⎟4πε0 ⎝r−dcosθr ⎠−11 d cosθ( r−dcosθ) ≈ +2r r−q 2q ⎛2qdcosθr⎞V()r = + +⎜ 2 ⎟4πε 0r 4πε 0r ⎝ 4πε0rr⎠ Q ⎛ p.r ⎞V()r = +⎜ 3 ⎟4πε0r⎝4πε0r⎠Q=q p = 2qdb) E =−∇V()r Qr p p.rE = − +4πε r 4πε r 4πεr3 350 0 0r

4) (1,0) (a) Ache a energia potencial de uma carga positiva Q sob a ação de duas outrascargas positivas de igual valor q separadas por uma distância d.(1,5) (b) Mostre que o ponto médio entre as duas cargas é um ponto de equilíbrioestável para deslocamentos na direção das cargas e instável na direçãoperpendicular.Roteiro de solução:a)qQ ⎛1 1 ⎞Ur () = ⎜ + ⎟4πε⎝ x d − x⎠0b)dU qQ ⎛ 1 1 ⎞= − +22dx 4πε⎜0x ( d x)⎟⎝ − ⎠que se anula para x = d/2, que é o ponto de equilíbrio.2dU qQ ⎛ 2 1 ⎞= + > 02 33dx 4πε⎜0x ( d x)⎟⎝ − ⎠portanto, aquele equilíbrio é estável.Para deslocamentos perpendiculares, é fácil ver que a forçavai afastar a carga Q da posição de equilíbrio.