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72Capítulo 77. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIANeste tópico vamos comentar sobre problemas de dificuldade polinomial (P) e problemas dedificuldade não polinomiais (NP).Problemas polinomiais são problemas cujos algoritmos conhecidos fornecem soluções quepodem ser obtidas por meio de uma função polinomial de n tamanho de entrada, ou seja: f (n) =O(n k ) sendo que(k) uma constante. Problemas NP são problemas cujos algoritmos de soluçãoconhecidos são baseados em enumeração, seja ela implícita ou não. De maneira geral, o númerode combinações possíveis é assustadoramente grande, fazendo com que os algoritmosenumerativos não consigam resolver problemas com grande número de entradas em tempohábil. São denominados algoritmos de tempo exponencial e, é nestes contextos que se encaixamos problemas de otimização combinatória. Os problemas NP podem ser classificado, conforme(COLIN, 2007): Problemas NP - Completos: são problemas que possuem uma forte evidência da nãoexistência de um algoritmo cujo tempo de solução seja uma função polinomial dotamanho da entrada. São considerados os mais difíceis da classe NP, e, se algum deles forresolvido em tempo polinomial, então todos os problemas NP também serão.Quando se sabe que um problema de otimização é NP - difícil, tem-se a certeza de que nemsempre a solução ótima será encontrada. Portanto, tem se aplicado métodos heurísticos, comopor exemplo, algoritmos genéticos, colônias de formigas, busca tabu, dentre outras. Abaixoencontra-se o modelo do problema do Caixeiro-Viajante (CV), sendo este modelo de otimizaçãocombinatória.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________73Min Zsujeito a :i1j1unni u nxSão subrotasXXXi,ji,ji,jjnn i1 j1Restrição de saídaRestrição de chegadai, j0,1,u 0jCi,j. Xi,j n -1 (i j; i2, 3,...,n; j 2,3,..., n)As restrições de saída e de chegada são binárias, e garantem que cada um dos xij seja 0 ou 1. Asrestrições de saída garantem que para cada cidade haverá apenas uma rota de saída e,analogamente uma chegada para as restrições de chegada.As restrições de subrotas ou subcircuitos garantem que a solução ótima não contenhasubcircuitos.Exemplo1:PARASede P1 P2 P3 P4DESede 5 3.8 2.2 2.4P1 5 2.6 3.1 5.1P2 3.8 2.6 1.6 2.8P3 2.2 3.1 1.6 2.3P4 2.4 5.1 2.8 2.3A Figura 7.1 mostra a solução deste problema por meio da linguagem GAMS.
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Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________73Min Zsujeito a :i1j1unni u nxSão subrotasXXXi,ji,ji,jjnn i1 j1Restrição de saídaRestrição de chegadai, j0,1,u 0jCi,j. Xi,j n -1 (i j; i2, 3,...,n; j 2,3,..., n)As restrições de saída e de chegada são binárias, e garantem que cada um dos xij seja 0 ou 1. Asrestrições de saída garantem que para cada cidade haverá apenas uma rota de saída e,analogamente uma chegada para as restrições de chegada.As restrições de subrotas ou subcircuitos garantem que a solução ótima não contenhasubcircuitos.Exemplo1:PARASede P1 P2 P3 P4DESede 5 3.8 2.2 2.4P1 5 2.6 3.1 5.1P2 3.8 2.6 1.6 2.8P3 2.2 3.1 1.6 2.3P4 2.4 5.1 2.8 2.3A Figura 7.1 mostra a solução deste problema por meio da linguagem GAMS.
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