PESQUISA OPERACIONAL - Unesp

Introdução________________________________________________________________________ 6 PROGRAMAÇÃO MISTA: que é uma forma de programação linear onde as variáveis podemassumir valores binários, inteiros e contínuos, este modelo também é definido comootimização combinatória, enquadrando-se em problemas de dificuldades não polinomiaisNP-HARD; PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR: modelo matemático onde a função objetivo, as restriçõesou ambas, apresentam não linearidade em seus coeficientes. PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO: é uma forma de programação linear e não linear ondese analisa múltiplas funções objetivos; GOAL PROGRAMMING: que é uma extensão dos modelos de programação multiobjetivo,contendo vários modelos específicos para cada problema de decisão;Outras técnicas de pesquisa operacional, tais como teoria de estoque, teoria dos jogos,teoria dos grafos e simulação, também tem sido aplicadas com sucesso a(em) diversos contextos.

Capítulo 22. ESTRUTURAÇÃO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS LINEARES ESTACIONÁRIOSO anexo A contempla a linguagem de modelagem GAMS. Abordando as principais funções e aestrutura dessa linguagem de modelagem, mostrando suas principais vantagens. O anexo Bcontempla as principais linguagens de modelagens, abordando as principais vantagens dalinguagem GAMS em relação às demais linguagens.Vamos iniciar a modelagem do problema do Giapetto pela linguagem GAMS. A linguagem GAMSrequer que o problema seja traduzido na forma algorítmica.1- Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira. Soldados e trens. Um soldado évendido por R$ 27,00 e usa R$ 10,00 de matéria prima. Cada soldado que é fabricadotem um custo adicional de R$ 14,00 relativo à mão de obra. Um trem é vendido por R$21,00 e gasta R$ 90,00. O custo de mão de obra adicional para cada trem é de R$10,00. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão de obra: Carpintaria eAcabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 para carpintaria.Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana,Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas avenda de soldados é de no máximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar seu lucrodiário. Formular o modelo matemático que poderia ser usado por Giapetto paramaximizar seu lucro semanal.1 passo: Modelar o problema. Vamos descrever as variáveis do problema, o que na linguagemGAMS é chamada de (SETS ) numa tradução pode-se chamar de índices ou conjuntos.Índices:Xi,j: Quantidade a ser produzida do produto i utilizando os recursos j. O GAMS é um softwareorientado ao objeto, logo temos que declarar esses objetos que no caso são os i produtos e os jrecursos.

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 9SímboloGLSignificadoDefine uma inequação de sinal maior ou igualDefine uma inequação de sinal de menor ou igualE Define uma equação (X= n)“ São fixadores de índices‘ Também é um fixador de índicesPRODSUMModelSolveDisplayExpressão para produto de uma sérieExpressão para somatórioDescreve o modelo estudadoDescreve a utilização de um solver específicoRecurso utilizado para calcular o primal e o dualA Tabela 2.2 mostra as funções padrão de GAMS.Tabela 2.2- Funções padrão em GAMSNome Descrição Definição Número de ArgumentosABS Valor absoluto |ARG| 1ARCTAN Arco Tangente Arctan (arg); resultado emradianos1CEIL Função teto Maior inteiro ≥ arg 1COS Cosseno Cos (arg) argumento emradianosERRORF Função erro Integral de distribuição normalpadrão11EXP Exponencial e arg 1FLOOR Função piso Maior inteiro ≤ arg 1

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 10Nome Descrição Definição Número de ArgumentosLOGLog10LogaritmonaturalLogaritmocomumLog do arg na base e 1Log de arg na base 10 1MAPVALFunçãoAtribuiu números a valores1mapeamentoespeciaisMAX Maior valor Max (arg1, arg2,...,argn) >1MIN Menor valor Min (arg1, arg2,..,argn) >1MOD Resto arg1-trunc(arg1/arg2) x arg3 2NormalRandômicaNúmero aleatório distribuído2*normalnormalmente com argumentoarg1 e desvio padrão arg2POWERPotência inteiraROUNDArredondamentoSIGNSinalSIN Seno Sem (arg); arg em radianosSQR Quadrado arg x arg 1SQRT Raiz quadrada 1TRUNC Truncamento Sign (arg) x floor (abs(arg)) 1UNIFORMRandômicaNúmero aleatório distribuído2*uniformeuniformemente entre arg1 e arg2A Figura 1.1 mostra os processos para obtenção do modelo do Giapetto em linguagem GAMS.Clicando em F9 é obtido a solução para este modelo. A solução ótima para este modelo seria.Produzir 20 soldados e 60 trens gerando um lucro máximo de R$ 180,00 reais. O GAMS oferecealgumas estatísticas referentes ao tamanho do modelo, como se pode ver abaixo no caso do

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 11modelo Giapetto. As contagens de “BLOCKS” se refere ao número de equações genéricas evariáveis. As contagens de “SINGLE” se refere as linhas e colunas individuais que estão sendogeradas na instancia particular do modelo. Para os modelos não lineares, são fornecidas outrasestatísticas para descrever o grau de não linearidade do problema (BROOKE et al., 1997).

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 12Figura 1.1- Modelo Giapetto em linguagem GAMS.2- O Senhor Martins é dono de uma oficina muito movimentada na cidade deGuaratinguetá- SP. Ele querendo maximizar seus retornos e também, visando àrealização de novos investimentos na sua oficina. Resolveu procurar você/SA, parafazer um planejamento da sua produção, visando à maximização do lucro, eidentificar possíveis áreas para realização de novos investimentos. Os dados daempresa estão logo abaixo:Tipo de MáquinaProduto1Produto 2 Produto 3 TempodisponívelTorno 5 3 5 400Fresa 8 4 0 500Furadeira 2 5 3 300Lucro 20 15 18Demanda Semanalmáxima40 50 20Uma oficina mecânica deseja alocar o tempo ocioso disponível em suas máquinas para aprodução de três produtos. A Tabela abaixo mostra as informações sobre as necessidades dehoras de máquina para produzir uma unidade de cada produto, assim como adisponibilidade das máquinas, o lucro dos produtos e a demanda máxima existente nomercado. Deseja-se o esquema semanal de produção de lucro máximo.Resolvendo o exemplo do senhor Martins.1 passo: Descrever os índices.i, j Os objetos são os i produtos e j recursos2 passo: Descrever os parâmetros.

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 13Ri, j: Consumo unitários por produto i de cada recurso j.Aj: Quantidade disponível do recurso j.Di: Demanda máxima por produto i.Li: Lucro unitário por produto i.3 passo: Descrever as variáveis de decisão.Xi: Define a produção do produto i.Z: Expressão da função objetivo.4 passo: Descrever as equações.Margem: Define o lucro máximoConsumoj: Define o consumo por produto i do recurso j.Dprodutosi: Define a demanda máxima por produto i.5 passo: Construção do modelo matemático.Max Z sujeito a :consumoDprodutosXI,J 0jniiL .Xnii XRiii, j.X Dii Aj

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 14

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 15Figura 1.2: Modelo matemático exemplo 2 em linguagem GAMS.Solução ótima: Produzir 40 unidades do produto 1, 32 unidades do produto 2 e 20 unidades doproduto 3. Gerando um lucro máximo de R$ 1.640,00.Solução Dual: Produto 1 R$ 14,00, produto 3 R$ 9,00 e Furadeira R$ 3,00. Interpretaçãoeconômica do dual. Se a oficina aumentasse a demanda do produto 1 em uma unidade o lucroaumentaria em R$ 14,00. Se a usina aumentasse a demanda em uma unidade do produto 2, olucro aumentaria em R$ 9,00. Se o tempo disponível de utilização da furadeira fosse aumentadaem uma hora o lucro aumentaria em R$ 3,00.Desenvolva e otimize os modelos dos problemas descritos a seguir utilizando-se dosoftware GAMS.1 – Uma indústria fabrica dois tipos de papel e para isso utiliza somente uma máquina. Devido acertas restrições de matéria prima, não se pode diariamente produzir mais do que 4 tons depapel do tipo A, nem mais do que 6 tons do tipo B. Requer-se 1 hora da máquina para produzir 1ton. de papel do tipo A e 1 hora para produzir 1 ton. de papel do tipo B. O lucro por ton.produzida é de R$ 2,00 para o papel do tipo A e de R$ 5,00 para o papel do tipo B. O tempo deutilização da máquina é de 8 horas/dia. Elaborar o plano ótimo de produção.2 – Uma pequena indústria usa três tipos de matérias primas, P, Q, R para a fabricação de doisprodutos A e B. As matérias primas em disponibilidade na fábrica são:20 unidades de P;12 unidades de Q; e16 unidades de R.Por razões tecnológicas, uma unidade do produto A necessita respectivamente de 2, 2 e 4unidades de matérias primas P, Q e R. Para o produto B esses coeficientes técnicos são 4, 2 e 0,respectivamente. O fabricante sabe que o lucro na produção de A é de 0,5 unidades monetárias ede B é de 1 unidade monetária. Qual o lucro máximo e quais as quantidades produzidas dasmercadorias A e B para se obter o lucro máximo?

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 163 – Uma companhia de investimento dispõe de R$ 100.000,00 para investir em ações e letrasimobiliárias.Sua política de aplicação consiste em:Empregar, no máximo, 50% do disponível em ações; eEmpregar, no máximo, 60% do disponível em letras imobiliárias.Através de uma pesquisa de mercado, a companhia verificou que deveria empregar, no máximo,40% do disponível, na diferença entre o dobro da quantidade investida em ações e a quantidadeinvestida em letras; e empregar, no máximo, 1% do disponível na soma da oitava parte investidaem ações com a quinta parte investida em letras.As ações produzem uma rentabilidade de 5% ao mês e as letras 4% ao mês. Qual o investimentoótimo?4 – Uma fábrica de canetas quer saber do Departamento de Engenharia quantas canetas de cadatipo (standard, luxo e esferográfica) deverão ser produzidas, para que o lucro da empresa sejamáximo.INFORMAÇÕES:a) Do departamento de ProduçãoProduções máximas mensais possíveis para cada um dos tipos de canetas (isto é,produzir-se só um tipo):Standard 15.000Luxo 10.000Esferográfica 20.000b) Do Departamento de VendasMáximo de vendas mensais para cada um dos tipos:Standard 12.000Luxo 8.000Esferográfica 30.000c) Do Departamento de ContabilidadeLucro unitário para cada tipo:

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 17Standard R$ 0,70Luxo R$ 0,50Esferográfica R$ 0,305 – Uma fábrica de automóveis e caminhões possui os seguintes departamentos;1. Estamparia de pranchas metálicas;2. Montagem de motores;3. Montagem de automóveis; e4. Montagem de caminhões.O departamento 1 deve estampar, no mínimo por mês, as pranchas necessárias para 25.000automóveis ou 35.000 caminhões, ou as correspondentes combinações de automóveis ecaminhões.O departamento 2 deve no mínimo por mês, montar 33.333 motores de automóveis e 16.667motores de caminhões ou as correspondentes combinações de motores de automóvel ecaminhão.O departamento 3 pode montar e terminar 40.000 automóveis e o departamento 4, mensalmente25.000 caminhões (ambos utilizando sua capacidade máxima).Com o constante aumento do combustível, a fábrica sabe que o prejuízo na fabricação de umautomóvel é de R$ 500,00 e na fabricação de um caminhão é de R$ 200,00. Qual a quantidade deautomóveis e caminhões a ser produzida a fim de que a fábrica tenha o menor prejuízo possível,dadas as condições atuais do mercado?6 – Uma indústria de aparelhos eletrodomésticos tem equipamento para produzir geladeiras,máquinas de lavar e fogões.O regime de operação da indústria é de 45 horas semanais. Seu equipamento pode fabricar, porhora, 50 geladeiras ou 25 máquinas de lavar ou 75 fogões.Uma pesquisa de mercado revelou que a demanda semanal é de 1.000 geladeiras, 500 máquinasde lavar e 1.500 fogões.

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 18A geladeira proporciona, por cada unidade vendida, um lucro de R$ 40,00; a máquina de lavar R$120,00 e o fogão um lucro de R$ 30,00.Qual seria o modelo matemático da indústria que permitiria o lucro máximo semanal ?7 – Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizersomente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar uma unidade de sapato e umaunidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couroé de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo émaximizar seu lucro por hora.8 – Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Elenecessita transportar 200 caixas com laranjas, tendo um lucro de 20 u.m. por caixa, pelo menos100 caixas com pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa e no máximo 200 caixas com tangerinas a30 u.m de lucro por caixa. Construir o modelo matemático que permita ao vendedor carregar ocaminhão de modo a obter o lucro máximo.9 – Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores,enquanto o programa “B” com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atençãode 10.000 telespectadores. NO decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de nomínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música.Quantas vezes por semana cada programa devem ser levadas ao ar para obter o número máximode telespectadores? Construa o modelo do sistema.10 – Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividadesprodutivas.

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 19A (Arrendamento) – Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana de açúcar, auma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 300,00 por alqueirepor ano.P (Pecuária) – Usar outra parte para criação de gado de corte. A recuperação das pastagensrequer adubação (100 kg / Alq) e irrigação (100.000 l de água / Alq) por ano. O lucro estimadonessa atividade é de $ 400,00 / Alq no ano.S (Plantio de Soja) – Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kgpor alqueire de adubos e 200.000 l de água / Alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessaatividade é de $ 500,00 por alqueire no ano.Disponibilidade de recursos por ano:12.750.000 l de água;14.000 kg de adubo; e100 alqueires de terra.Quanto alqueire deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno?

Capítulo 33. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS LINEARES PRÁTICOS POR MEIO DO GAMSÉ comum durante o desenvolvimento de modelos matemáticos nos depararmos com problemas onde hálimites de demanda para determinados produtos. Como exemplo, iremos modelar um problema emlinguagem GAMS. Os dados estão dispostos abaixo. O Quadro 3.1 refere-se aos recursos disponíveis nafazenda para realização das atividades leiteiras e de corte.AbreviaturaATQuadro 3.1- Recursos disponíveisRESTRIÇÕESÁrea total disponível para a atividade leiteira – ha/anoTR Custo da terra (devendo ser considerado o custo de oportunidade e o custo de manutenção –adubação, reforma de pasto, limpeza e destoca) – R$/anoBEMIEQREALCusto e despesas com benfeitorias (considerando-se a depreciação, o custo de oportunidade eo custo de manutenção) – R$/anoCusto e despesas com máquinas e implementos (considerando-se a depreciação, o custo deoportunidade e o custo de manutenção) – R$/anoCusto e despesas com equipamentos (considerando-se a depreciação, o custo deoportunidade e o custo de manutenção) – R$/anoCusto e despesas com reprodutores (considerando-se a depreciação e o custo deoportunidade) – R$/anoCusto e despesas com alimentação (considerando-se o gasto com concentrados, suplementose forrageiras e o custo alternativo) – R$/anoPV Custo e despesas com produtos veterinários (considerando-se o gasto e o custo alternativo) –R$/anoIA Custo e despesas com inseminação artificial (considerando-se o gasto e o custo alternativo) –R$/anoTEDAMKMOCusto e despesas com transferência de embriões (considerando-se o gasto e o custoalternativo) – R$/anoGastos com despesas administrativas (considerando-se também o custo alternativo) – R$/anoGastos com marketing e propaganda (considerando-se também o custo alternativo) – R$/anoCusto e despesas com mão-de-obra (considerando-se o gasto efetivo, os encargos pagos e ocusto alternativo) – R$/anoA Tabela 3.1 mostra os recursos disponíveis e o consumo por categoria de animal para o ano de 2004.

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 21Tabela 3.1- Consumo anual por animal.RestriçõesRECURSOSDISPONÍVEISUnidadesRECURSOS CONSUMIDOS PORCATEGORIABezerras Bezerros Novilhas Vacas TouroAT 196,50 ha/ano 0,09 0,09 0,25 0,35 0,42TR 39.493,39 R$/ano 43,37 32,81 66,12 88,78 1535,85BE 9.894,38 R$/ano 4,07 3,08 3,16 68,26 10,99MI 51.601,87 R$/ano 70,83 53,59 45,25 276,01 57,34EQ 13.605,94 R$/ano 3,73 2,83 2,17 99,14 15,12RE 2.432,04 R$/ano 10,35 7,83 6,59 0,94 0,00AL 235.063,69 R$/ano 161,32 122,07 393,56 1239,10 261,18PV 19.243,82 R$/ano 42,26 31,98 27,62 73,10 21,38IA 3.923,65 R$/ano 16,69 12,63 10,64 1,52 0,00TE 7.240,00 R$/ano 30,81 23,31 19,63 2,81 0,00DA 35.535,30 R$/ano 34,14 25,83 19,83 214,86 78,97MK 18.089,05 R$/ano 69,52 52,60 51,92 5,61 80,40MO 51.729,07 R$/ano 42,60 32,23 28,87 316,79 114,95RO Orçamento disponível: R$ 487.852,20Essa Tabela foi obtida por meio de rateio, considerando o consumo efetivo de recursos e o tempo depermanência de cada categoria animal na propriedade. Para garantir a sustentabilidade econômica daprodução de leite e da produção animais da Fazenda , foram inseridas restrições adicionais asquantidades máximas e mínimas que cada categoria animal deveria possuir, conforme apresentado naTabela 3,2. Esses valores são baseados na taxa de lotação histórica da fazenda no ano de 2003.Tabela 3.2- Categorias de animaisCategoria Qtde Máxima Qtde MínimaX 1 95 39X 2 135 53X 3 170 60X 4 200 100X 5 12 -O orçamento disponível é de R$ 487.852,20. O objetivo é maximizar a quantidade de animais. Formule omodelo utilizando-se da linguagem GAMS.

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 22Índices:i associado às categorias de animais (Bezerras, Bezerros, Novilhas, Vacas e Touros).j associado às categorias dos recursos (AT, TR, BE, MI, EQ, RE, AL, PV, IA, TE, DA, MK, MO,RO).Parâmetros:Pj: associado ao índice j define os limites máximos de cada recurso.Ri, j: associado ao consumo unitário do recurso j por categoria de animal i.Variáveis:Xi: Quantidade por categoria de animal.Z: Associada ao cálculo da função objetivo.Equações:Animais define a função objetivoAJ: Calcula o quanto a ser utilizado do recurso j por categoria de animal i.maxbezerrai: máximo de bezerras.minbezerrai: mínimo de bezerras.maxbezerrosi: máximo de bezerros.minbezerrosi: mínimo de bezerros.maxnovilhasi: máximo de novilhas.minnovilhasi: mínimo de novilhas.maxvacasi: máximo de vacasminvacasi: mínimo de vacas.mintouroi: mínimo de touro.maxtouroi: máximo de touro.Vamos introduzir outro comando na linguagem GAMS denominado SCALAR neste caso esse comando vairepresentar uma constante que não está ligado a nenhum índice.

animais Z sujeito a :nimaxbezerraminbezerramaxbezerrominbezerromaxnovilhasminnovilhasmaxvacasminvacasmaxtouromintouroXi, jRi, j. X 0Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 23iiiiiiiii X Xi X X X X X Xini PjX X Xi"bezerras"bezerros"vacas""vacas""touro""touro""bezerras"bezerros"novilhas""novilhas" 200 100 12 9" 95" 39" 135" 53 170 60Para este modelo temos um problema de programação inteira. Este assunto será discutido nos próximoscapítulos. Portanto, resolveremos o mesmo por meio da otimização linear contínua.A Figura 3.1 mostra o modelo em linguagem GAMS. A solução ótima não inteira seria: bezerras= 39,bezerros= 132,33, novilhas= 132,172, vacas= 127,773 e touro= 8,71. Utilizando 486.350,05 doorçamento.

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 24Figura 3.1- Modelo agricultura em GAMS.Os ‘e as “ (estes pontos ‘ “) são indexadores de índices na linguagem GAMS.Exemplo 4: Alocação de tarefas.Uma empresa de correios deseja estabelecer o número de funcionários de horários integral que devecontratar para iniciar suas atividades. Para fazê-lo, recebeu uma matriz da empresa com o númeromínimo de funcionários por dia da semana. Estas informações se encontram na Tabela 3.3. O

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 25sindicato dos empregados de franqueadores dos correios mantém um acordo sindical quedetermina que cada empregado deve trabalhar cinco dias consecutivos e folgar em seguida doisdias, e que as franquias devem ter apenas empregados com horário integral. Desenvolva e otimize omodelo de maneira a determinar o número total de empregados que a franquia deve contratar e onúmero de empregados por dia, utilizando a linguagem de modelagem GAMS.Tabela 3.3- Dados do problema da empresa correios.Dia da semanaNúmero de funcionáriosDomingo 11Segunda-feira 18Terça-feira 12Quarta-feira 15Quinta-feira 14Sexta-feira 14Sábado 16Índices:n: associado ao número de funcionárioss: associado aos dias da semana.Parâmetros:Alocaçãos,n: associado ao número de funcionários n requeridos no dia da semana s.Funcionáriosn: associado ao número mínimo de funcionários n para trabalhar no dia da semana s.Variáveis:Z associada à função objetivo.Xs: número de funcionários i contratados no dia da semana s.Equações:Func: calcula a função objetivo.Alocadosn: calcula o número de funcionários alocados em cada dia da semana s.A Figura 3.2 mostra o resumo do modelo no GAMS. A solução ótima para o problema é contratar 22,6666funcionários no total, sendo que seria contratado 5 funcionários no domingo, 1,666 na segunda, 4.667 naterça, 7,667 na quinta e 3.667 no sábado. Os totais de empregados disponíveis por dia da semana estãodispostos abaixo, sendo N1 número de funcionários que iniciam a atividade no domingo e N7 o númerode funcionários que iniciam a atividade no sábado. N1= 16.333, N2= 18, N3= 15, N4= 15, N5= 19 e N6=14e N7= 16

func. Zsujeito a :alocadosXs,n 0Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 26nnsXssalocacaos,n. Xs funcionariosnFigura 3.2- Modelo correios pelo GAMS.Exemplo de decisão entre fazer ou comprar:A turbo motores LTDA, uma fábrica de motores especiais, recebeu recentemente R$ 100.000,00 empedidos de seus três tipos de motores. Cada motor necessita de um determinado número de horas detrabalho no setor de montagem e acabamento. A turbo motores deseja determinar quantos motoresdevem ser produzidos em sua fábrica e quantos devem ser produzidos de forma terceirizada para

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 27atender à demanda de pedidos. A Tabela 3.4 mostra as informações referentes a esta empresa.Tabela 3.4- Dados da empresa turbo motores.Modelo 1 2 3 DisponibilidadeDemanda 3000 unid 2500 unid 550 unidMontagem 1 h/unid 2h/unid 0,5 h/unid 6000 hAcabamento 2.5 h/unid 1h/unid 4h/unid 10000hCusto deproduçãoR$ 50 R$ 90 R$ 120Terceirização R$ 65 R$ 92 R$ 140Índices:p: associado à produção.j: associado aos recursos.Parâmetros:Aj: associado à disponibilidade dos recursos j.Produzirp,: associado ao consumo da recurso j pelo produto p.Custop: associado ao custo de produção do produto p.cust: associado ao custo de terceirização t.demandap,: associado a decisão unitária de produção e terceirização.demandasp: associado a demanda do produto p que pode ser fabricado ou terceirizado.Variáveis.Z relacionado à função objetivo.Mincp,: quantidade a ser produzida e terceirizada do produto p visando a obtenção do menor custo.Produzidop: quantidade a ser fabricada do produto p.Terceirizadop: quantidade a ser terceirizada do produto p.Equações:Customin: calcula o custo mínimo.Consumop: calcula o consumo do recurso j pelo produto p.Decisãop,t: calcula a decisão entre produzir e terceirizar.

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 28Modelo matemático:customin. ZSujeito a :consumo ..produzidojpppproduzidoproduzirp, j terceirzado.custo.produzido demandasminc, produzido, terceirizado 0ppppt Apterceirizadojp.custA figura 3.3 resume o desenvolvimento desse modelo em GAMS.

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 29Figura 3.3- Modelo de decisão de compra ou terceirização em GAMSSolução ótima: Produzir P1=3.000; P2= 500; P3= 500, terceirizando a produção de P2= 2.000. Gerando umlucro máximo= R$ 43.900,00.

Capítulo 44. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DINÂMICOSA maioria dos problemas de otimização práticos são multiperíodo ou dinâmicos, e neste caso omodelo matemático torna-se mais complexo. Resolvamos o problema de estoque:Uma empresa de barcos precisa determinar quantos veleiros devem ser produzidos durantecada um dos 4 próximos trimestres. A demanda de cada um dos trimestres é: primeirotrimestre, 40 veleiros; segundo trimestre, 60 veleiros, terceiro trimestre, 75 veleiros, quartotrimestre, 25 veleiros. A empresa quer atender a demanda prontamente. No início doprimeiro trimestre, a empresa tem 10 veleiros em estoque. No início de cada trimestre, aempresa precisa decidir quantos veleiros devem ser produzidos durante o trimestre. Porsimplicidade, assume-se que os veleiros são fabricados durante um trimestre podem serusados para atender a demanda deste trimestre. Durante cada trimestre, a empresa podeproduzir até 40 veleiros com sua mão de obra regular a um custo de R$ 400,00 por veleiros.Tendo de trabalhar com horas extras durante o trimestre, a empresa pode produzir veleirosa mais a um custo total de R$ 450,00 por barco. No final de cada trimestre após ter ocorridoa produção e a demanda do trimestre ter sido atendida, um custo de transporte ouarmazenagem de R$ 20,00 por barco ocorre. Desenvolva o modelo matemático por meio dosoftware GAMS.Solução:Índices:i: associado ao produto veleiro.t: associado aos trimestres.Na linguagem GAMS há outra função chamada alias, esta função permite a inclusão de subíndicesno modelo matemático. Neste caso vamos criar 2 subíndices, associados ao índice principal tt,textra: associado à produção utilizando horas extras no trimestre t.t,stoks: associado ao estoque do produto veleiro no trimestre t.

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Dinâmicos____________________________________ 31Parâmetros:Demandat: associado à demanda requerida do produto i para cada trimestre t.Producaot: associado à produção máxima para o produto i para cada trimestre t.Mt,i: associado à produção do produto i usando a mão de obra normal no trimestre t.Extratextra,i: associado à produção do produto i utilizando horas extras no trimestre t.Estocagemstoks,i: associado à estocagem do produto i no trimestre t.I0t,i,: associado ao estoque inicial do produto i no trimestre t.Contrt: controle de estoque inicial.Variáveis:Z função objetivo.produtoextrat,i: produção do produto i com mão de obra extra no trimestre t.produtoestoquet,i: estoque do produto i no trimestre t.Equações:Mincusto: calcula o custo mínimo da função objetivo.Limitet: calcula a produção do produto i no trimestre t.fabricaot: calcula o limite fabricado em horas disponíveis.calculoestoquet: calcula a capacidade de estoque no trimestre t.Z sujeito a :limitefabricacaocalculoestoqueit,i. produtoestoqueprodutostprodutot,iti.Mprodutoitt,iprodutot,it-1,i, produtoextrait,itextra, it,i producaoprodutoestoque demandat,iiprodutoextraprodutoextratt,i, produtoestoquettextra,it,iI0t,i.extrat,iproduto 0textra,iA Figura 4.1 mostra este modelo em linguagem GAMS.iit,istoks, iprodutoestoqueiprodutoest0quest-1,iprodutoextra demandat,i I0stoks,it,i.estocagemtstoks,i

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Dinâmicos____________________________________ 32

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Dinâmicos____________________________________ 33Figura 4.1- Modelo dinâmico de estoque em linguagem GAMS.Solução ótima: produção utilizando horas normais: t1=40; t2= 40; t3= 40 e t4= 25.Produção utilizando horas extras: t2= 10; t3= 35.Estoques: t1= 10. Custo mínimo R$ 7.840,00Exemplo 2: Fluxo de caixa multiperíodo.Uma empresa está construindo um novo restaurante que integrará a sua cadeia no próximoano. Para tal, necessita de um total de R$ 500.000,00 que será pago à construtora em duasparcelas de R$ 150.000,00 ao final do 2º e 5º meses, e uma parcela de R$ 200.000,00 ao

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Dinâmicos____________________________________ 34término da construção no fim do 7º mês. A empresa dispõe de 4 tipos de investimentos quepodem ser utilizados a fim de gerar caixa para quitar a construção de maneira a reduzir anecessidade total de caixa. Informações:InvestimentoAplicaçãoMeses de duraçãoRetorno ao final dodisponível noda aplicaçãoinvestimentoinício dos mesesTipo A 1,2,3,4,5,6,7 1 1.5%Tipo B 1,3,5 2 3.2%Tipo C 1,4 3 4.5%Tipo D 1 7 9%Solução:Índices:j: associado aos tipos de investimento.m: associado aos meses.a: associado às aplicações disponíveis.Parâmetros:Investimentosj, a, m: associado a alocado do disponível a no tipo de investimento j no mês m.Dm: associado à parcela a ser paga no mês m.Variáveis:Z associada à função objetivo.Utilizadoj, a: associada ao valor aplicado no tipo de investimento j do disponível a.Equações:Aplicações: calcula a função objetivo.Cálculom: calcula o valor aplicado em cada tipo de investimento.

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Dinâmicos____________________________________ 35Aplicações.. Min Zsujeito a :nj,aInvestimentosUtilizadoj,a 0j,a,m UtilizadoA.Utilizadoj,a1 UtilizadoB Dm1 UtilizadoC1 UtilizadoDA Figura 4.2 contempla o modelo fluxo de caixa em linguagem GAMS.1Figura 4.2- Modelo fluxo de caixa em linguagem GAMS.

Capítulo 55. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS INTEIROSSupondo que a empresa X, tenha uma disponibilidade máxima de R$ 650 reais para realizarvários investimentos. A taxa mínima de atratividade requerida por esta empresa é 10%,para cada um dos projetos. Os projetos 1 a 6 são mutuamente excludentes, ou seja, a escolhade um elimina os outros 5.Após a realização dos cálculos obtiveram os seguintes resultadosProjetoInvestimento Inicial/(UM 1.000,00)Valor Presente p/ I=10% p/UM 1.000,001 R$ 150,00 R$ 500,002 R$ 160,00 R$ 515,003 R$ 170,00 R$ 555,004 R$ 210,00 R$ 530,005 R$ 180,00 R$ 565,006 R$ 240,00 R$ 595,007 R$ 200,00 R$ 500,008 R$ 150,00 R$ 400,009 R$ 70,00 R$ 30,0010 R$ 250,00 R$ 350,0011 R$ 150,00 R$ 300,00Selecionar o portfólio de projetos que maximize o valor presente desta empresa. Os recursosdisponíveis são de R$ 650.Solução:Índices:p: associado aos projetos disponíveis.Parâmetros:Investimentop: capital disponível para investir no projeto p.

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Inteiros______________________________________ 38VPLp: Valor presente do projeto p.Variáveis:Z: Função objetivoMAXVPLp: associado à escolha do projeto p.Modelo matemático:Max Z sujeito a :6pMAXVPLMAXVPLMaxVPLpnppMAXVPL.Investimentop 10,1p.VPLpp 650

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Inteiros______________________________________ 39Figura 5.1- Modelo MIP1 em GAMS.Solução ótima: Investir nos projetos: P1, P7, P8 e P11. Gerando um VPL máximo R$ 1.700,00.Exemplo 2:Uma indústria quer se expandir, construindo nova Fábrica ou em Itajubá ou emGuaratinguetá. Também será considerada a construção de um novo Depósito na cidade quefor selecionada para receber a nova Fábrica. O Valor Presente Líquido de cada alternativaestá na Tabela 5.1. A última coluna dá o Capital Requerido para os investimentos, sendo ocapital total disponível $25 milhões. Achar a combinação viável de alternativas queMaximize o Valor Presente Líquido Total.Tabela 5.1- Dados para a construção da nova Fábrica.Decisão Sim ou Não VPLCapitalRequerido1 Fábrica em Itajubá 7.000.000 20.000.0002 Fábrica em Guaratinguetá 5.000.000 15.000.0003 Depósito em Itajubá 4.000.000 12.000.0004 Depósito em Guaratinguetá 3.000.000 10.000.000

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Inteiros______________________________________ 41Figura 5.2- Modelo MIP2 em linguagem GAMS.Solução ótima: Construir tudo em Guaratinguetá. Gerando um VPL máximo de R$ 8.000.000,00.Repare que utilizamos o solver MIP (CPLEX 12.1.0), sendo este solver o mais adequado pararesolver problemas mistos, binários e inteiros.

Capítulo 66. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE REDESDe forma geral, modelos de rede são utilizados em casos especiais de otimização linear que sãomais bem analisados por meio de uma representação gráfica.Modelos de rede são diagramas compostos por uma coleção de vértices ou nós ligados entre sipor um conjunto de arcos, conforme mostra a Figura 6.1. Os nós são os círculos e os arcos são asretas de ligação.Figura 6.1- Componentes de uma rede.Os problemas modelados como redes geralmente apresentam números associados aos nós e aosarcos. Em problemas de transporte modelados como redes, por exemplo, os números associadosaos nós podem representar a quantidade de produtos ofertados ou demanda pelo nó, ao passoque os valores dos arcos podem refletir os custos de transporte (ou tempo, ou à distância) entreum nó e o outro. Diversos problemas de tomada de decisão práticos estão categorizados comoproblemas de Rede. Entre eles pode-se citar: Problemas de transporte; Escala de Produção; Rede de Distribuição; Problemas de MenorCaminho; Problemas de fluxo máximo; Problemas de caminho crítico; Problemas deárvores geradoras mínimas.A Figura 6.2 contempla um exemplo de redes em problemas de transporte.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 43Figura 6.2- Exemplo de problemas de transporte.Exemplo 1:Uma empresa fabricante de bicicletas possui três fábricas localizadas no Rio, em São Paulo eem Belo Horizonte. A produção da empresa deve ser entregue em Recife, Salvador e Manaus.Considerando os custos de transporte unitários, a capacidade de produção das fábricas e ademanda dos centros consumidores ilustrados na Tabela a seguir.Determine quanto deve ser produzido e entregue por fábrica em cada centro consumidor, deforma a minimizar os custos de transporte.Fábrica/Recife Salvador Manaus CapacidadeConsumidorRio 25 20 30 2000SP 30 25 25 3000BH 20 15 23 1500Demanda 2000 2000 1000Solução:Índices:i: associado às fábricasj: associado aos destinos.Parâmetros:Custoi, j: associado ao envio da fábrica i para o destino j.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 44Capacidadei: associado à capacidade máxima de armazenagem da fábrica i.Demandasj: associado à demanda requerida pelo destino j.Variáveis:Z: função objetivo.Mincustoi, j: associada à quantidade enviada da fábrica i para o destino j ao menor custo.MODELO MATEMÁTICO:Z sujeito a :jini,jenvioenvioenvioi, jenvioi, ji, j 0i, j.custoi, j capacidade DemandaA Figura 6.3 mostra este modelo em GAMS.ji

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 45Figura 6.3: Modelo Rede 1.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 46Este modelo pode ser representado por um formato de rede conforme contemplado pela Figura6.4.Figura 6.4- Modelo de rede do exemplo 1.Em modelos de transporte as equações devem estar equilibradas, isto é, oferta total= demandatotal. Entretanto, podemos adotar um fluxo de balanceamento.Hipótese do ProblemaTipo de RestriçãoOferta > DemandaEntradas-Saídas ≥ Oferta ou demanda do nóOferta < DemandaEntradas- Saídas ≤ Oferta ou Demanda do nóOferta= DemandaEntradas-Saídas= Oferta ou demanda do nóNeste caso a oferta é maior que a demanda.A Figura 6.5 contempla este exemplo modelado em linguagem GAMS.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 47Figura 6.5- Exemplo de modelo de rede em transportes.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 486.2 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE REDES EM PROBLEMASDE ESCALA DE PRODUÇÃOUma empresa fornece motores para um grande número de equipes de fórmula 1. Acompanhia detém uma série de contratos de entregas futuras programadas para o próximoano. As entregas deverão ocorrer trimestralmente, de acordo com as necessidades dasequipes. A Tabela a seguir resume por trimestre as entregas programadas, a capacidademáxima de produção e o custo unitário de produção. As entregas são feitas no final dotrimestre e os motores podem ser armazenados por quantos trimestres forem necessáriosao custo de 0,015 milhão de reais por trimestre. A diretoria deseja minimizar os custostotais de produção (produção + armazenagem). Quantos e quando os motores pedidosdevem ser produzidos e entregues?PedidosCapacidade de Custos unitários em milhares deTrimestreContratadosProduçãoreais1 10 25 1,082 15 35 1,113 25 30 1,14 20 10 1,13Para resolver este problema como um problema de transporte, precisamos primeiramentedeterminar quais serão as fontes, os destinos e as variáveis de decisão.Solução:Índices:i: associado à produção dos motores.j: associado à entrega dos motores.t: associado aos trimestres.Parâmetros:Custoi, t: associado ao custo de produção.Capacidadei: capacidade máxima de produção.Contratosj, t: associado à demanda dos motores em cada trimestre.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 49Demandasj, i, t: associado à entrega do motor produzido no trimestre t a ser entregue nostrimestres.capacidadesp11i, t: associado à entrega dos motores produzidos no trimestre t.estoquest: associado ao custo de estoque no trimestre t.estoquessi, t: associado ao estoque no trimestre t.Variáveis:Z: função objetivo.Envioi, t: quantidade a ser enviada do motor produzido no trimestre t.Stokt: associada à ociosidade no trimestre t.Z sujeito a :tintenviostokenvioenviostoktni,ti, jenvioti, ti, t 0 30 0i, t.custo.capacidade.demandasi,ti, tj, i, tntstokntstok contratost.estoquest.estoquessj, tti, t capacidadei

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 50

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 51Figura 6.6 - Exemplo de modelos de produção.6.3 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE REDE DE DISTRIBUIÇÃOProblemas que consideram múltiplas fontes, centros consumidores e locais intermediários poronde os produtos simplesmente passam são denominados de problemas de rede de distribuição.Os problemas de transporte podem ser vistos como uma simplificação do problema de rede dedistribuição de custo mínimo, onde as localizações intermediárias não existem.Exemplo 1:Uma montadora de tratores está iniciando as suas operações no país, construindo duasfábricas: uma na Bahia e outra em São Paulo. A montadora está estudando a forma dedistribuição de seus carros para as diversas revendas, localizadas nos estados de Goiás, Riode Janeiro, Minas Gerais, Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul, que minimize o custototal de distribuição. As capacidades instaladas de cada uma das fábricas, as demandas dasrevendas, bem como os custos unitários de transporte entre fábricas e revendas estãoevidenciadas na rede abaixo:

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 52Figura 6.7- Diagrama de Rede do exemplo 1.Neste problema a oferta é maior que a demanda e, portanto, adota-se que as entradas- saídas ≤oferta do nó.Solução:Índices:i: associado aos nós de oferta.j: associado aos nós de demanda.Parâmetros:Capacidadei: associado à capacidade máxima dos nós de oferta.Demandaj: associado à demanda máxima do destino j.Custoi, j: associado ao custo de envio da origem i para o destino j.Redei j: associado à distribuição da origem i para o destino j.Redesi, j: associado à distribuição da rede.Variáveis:Z: função Objetivo.Envioi, j: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 53Modelo:Zsujeito a :jienvio ni,jenvioenvioi, jenvioi, ji, j 0i, j. rede. redes.custoi, ji, ji, j capacidade DemandaijA Figura 6.8 mostra esse modelo em linguagem GAMS. Solução ótima:Origem/Destino SC MG GO RJ RS PRBA 200 150 150SP 100 200 300D 50 250Custo mínimo R$ 28.000,00

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 54Figura 6.8- Modelo distribuição em GAMS.A variável D é uma adição de uma origem fictícia, pois a demanda é maior que a oferta e, emmodelos de transporte a oferta total = demanda total. A leitura é a seguinte: não foram enviadas50 e 250 unidades para SC e RS respectivamente.6.4 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMAS DO MENOR CAMINHOO problema do menor caminho representa um caso especial de problemas de redes, em que osarcos significam a distância entre dois pontos (vértices ou nós). Quando desejamos achar a rotaque une estes pontos com distância mínima entre as possíveis rotas, temos um problema do tipodo menor caminho.Em problemas do menor caminho haverá sempre dois tipos de vértices especiais chamados deorigem e destino. Entre estes nós há nós intermediários, que podem representar cidades queconectam rodovias, subestações em problemas de distribuição de energia, e assim por diante.Exemplo 2:A fábrica de artigos e decoração Águia, localizada em Lambari, Minas Gerais, deve entregaruma grande quantidade de peças na cidade de Baependi, localizada no mesmo estado. Aempresa quer saber qual o caminho que seu caminhão de entregas deve percorrer para

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 55minimizar a distância total percorrida. A Figura 6.9 mostra as cidades e as respectivasdistâncias.Figura 6.9- Mapa rodoviário que liga as cidades de Lambari a BaependiSolução:Índices:i: associado aos nós de oferta.j: associado aos nós de demanda.Parâmetros:Distânciai, j: associado à distância da origem i para o destino j.Circuitoi, j: associado à rede entre a origem i para o destino j.Circuito2i, j: associado à rede entre a origem i para o destino j.Circuito3i, j: associado à rede entre a origem i para o destino j.Circuito4i, j: associado à rede entre a origem i para o destino j.Cicloi, j: associado à rede entre a origem i=lambari para o destino j.Ciclosi, j: associado à rede para o destino final.Nosi: associado ao nó especial da origem.Nosj: associado ao nó especial do destino final.Variáveis:Z: função Objetivo.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 56Envioi, j: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.Modelo:Zsujeito a :jiiiiienvio ni,jenvioenvioenvioenvioenvioenvioi, jenvioi, ji, ji, ji, ji, ji, j. ciclo. ciclo. circuito. circuito2. circuito3. circuito40;1i, j.distanciai, ji, j Nos Nosi, ji, ji, ji, ji, j 0ij 0 0 0A Figura 6.10 mostra esse modelo em GAMS.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 57Figura 6.10- Problema do menor caminho em GAMS.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 586.5 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMAS DE FLUXO MÁXIMOO tipo de problema de fluxo máximo é utilizado quando queremos maximizar a quantidade defluxo de um ponto de origem para um ponto de destino, sujeitos a restrições de capacidade defluxo nos arcos.Estes problemas geralmente envolvem um fluxo de materiais como água, óleo, gás, energia pormeio de uma rede de tubos ou cabos, porém, também podem representar o fluxo mínimo decarros em uma malha rodoviária, de produtos em linha de produção, e assim por diante.Exemplo:Uma empresa distribuidora de gás deseja determinar a quantidade máxima de metroscúbicos por segundo de gás que pode bombear da estação de campos para o centroconsumidor do Rio de Janeiro, por meio da rede de gasodutos. A Figura 6.11 ilustra aestrutura da rede de distribuição e apresenta a capacidade de fluxo máximo nos trechos emmetros cúbicos por segundo.Figura 6.11- Rede de gasodutos que ligam campos ao Rio de Janeiro.Solução:Índices:i: associado aos nós de oferta.ii: associado aos nós de destino.Parâmetros:

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 59Capacidadei, ii: associado à capacidade máxima de fluxo de cada nó.Circuitoi,ii: associado ao circuito do nó A.Circuito2i,ii: associado ao circuito do nó 1.Circuito3i, ii associado ao circuito do nó 2.Circuito4i, ii: associado ao circuito do nó 3.Circuito5i, ii: associado ao circuito do nó 4.Circuito6i, ii: associado ao circuito do nó B.Variáveis:Z: função Objetivo.Envioi, ii: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.Z enviosujeito a :envioi, iii, iii, iii, iii, iii, iienvioi, iienvioenvioenvioenvioenvioenvioi, ii"b", "a" capacidadei, iii, iii, iii, iii, iii, ii .circuito.circuito2.circuito3.circuito4.circuito5.circuitoi,iii,iii,iii,iii,iii,iii, ii 0 0 0 0 0 0A Figura 6.12 contempla esse modelo em linguagem GAMS.


Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 61Figura 6.12: Modelo fluxo máximo em GAMS.Solução ótima:Origem/destino A 1 2 3 4 BA 40 201 20 202 203 204 40B 60Fluxo máximo BA= 60.6.6 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMAS DE ESCALA DE PRODUCAO COMOMODELOS DE REDE POR MEIO DO GAMSO caso dos problemas de escala de produção pode ser visto como problemas de transporte naforma tradicional.Exemplo:A fábrica de eletrodomésticos Galáctica deseja realizar o escalonamento de sua produção deliquidificadores para os próximos quatro meses. A fábrica pode produzir mensalmente, emjornada normal, 150.000 unidades a um custo unitário de R$ 15. Por meio do pagamento dehoras extras, a capacidade mensal de produção da fábrica pode ser aumentada em 50.000liquidificadores, a um custo de produção unitário de R$ 22 (somente aos adicionais). Existe apossibilidade de armazenagem ilimitada de unidades de um mês para o outro a um custounitário mensal de R$ 3. Sabendo que as demandas de liquidificadores para os próximos

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 62quatro meses são de 120.000, 200.000, 120.000 e 180.000, resolva o problema utilizando-seda linguagem GAMS.Do nó Para o nó Custo1 A 151 E 02 A 223 B 153 E 04 E 04 B 225 C 155 E 06 C 226 E 0T D 15T E 08 D 228 E 0A B 3A C 3C D 3Os nós ímpares são os nós de produção sem horas extras. As letras a, b, c e d referem-se àdemanda por mês, o nó E é um nó fictício utilizado para equilibrar a oferta com a demanda.Solução:Índices:i: associado aos nós de oferta.j: associado aos nós de destino.Parâmetros:

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 63Custoi ,j: associado ao custo entre os nós de saída com os nós de entrada.Cicloi,j: associado ao circuito entre os nós com o nó fictício.Circuitoi, j: associado ao circuito do nó A.Circuito2i, j: associado ao circuito do nó 1.Circuito3i, j associado ao circuito do nó b.Circuito4i, j: associado ao circuito do nó c.Circuito5i, j: associado ao circuito do nó e.Variáveis:Z: função Objetivo.Envioi, ii: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.Z enviosujeito a :jenvioenvioenvioenvioenvioenvioenvioi, ji, ji, ji, ji, ji, ji, ji, j .custo.cicloi, ji, j.circuito.circuito2.circuito3.circuito4.circuito5 demandai, ji, ji, ji, ji, j 120000 200000 120000 180000 180000iA Figura 6.13 contempla este modelo em linguagem GAMS.



Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 66Figura 6.13: Modelo de escala de produção formulado em GAMS.A Tabela abaixo apresenta um plano de manutenção de uma estufa dinâmica da Pintura aPó LTDA. Uma das aplicações desse tipo de estufa é curar a tinta pó (de alta resistência) queé aplicada em peças metálicas. Por meio de um processo eletromagnético, o pó de tinta ficaimpregnado na peça, que é levada para dentro da estufa. Quando a peça entra na estufa auma temperatura de aproximadamente 200 graus, a tinta derrete e fica impregnada napeça, num processo denominado cura da tinta. Em casos de produção de alto volume depeças pequenas e médias, produtos são fixados em gancheiras, que são transportados portrilhos que passam dentro da estufa aquecida.Atividade Descrição PredecessorimediatoTempo [hs]A Desligar e desaquecer a estufa - 6B Avaliar rolamentos danificados - 4C Trocar rolamentos danificados B, A 7D Avaliar e trocar resistências danificadas A 8E Limpar estufa internamente D 10F Lubrificar trilho com grafite C 2G Fazer inspeção final E, F 1H Religar estufa G 2Figura 6.14- Atividades de um projeto de manutenção

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 67As atividades A e B não possuem atividades precedentes e, portanto, não há arestas de entrada. Aatividade C possui arestas como predecessores imediatos, as atividades A e B. A atividade Dpossui como predecessor apenas a atividade A. As outras atividades são introduzidas na rede damesma forma. Os números na construção da rede, algumas regras são levadas em consideração. O tamanho da aresta não tem associação com as atividades; As atividades iniciadas no final da aresta não podem ser iniciadas antes das atividades quesão iniciadas no inicio da arestas; As atividades são representadas exclusivamente pelo seu início e término (evento inicial efinal); Nós não podem ser duplicados; Dois nós só podem ser conectados por uma única aresta;OBS: A função objetivo neste caso é o tempo total, logo é definida por H+2, ou seja, o horário detérmino da última atividade. Com relação às atividades A e B, como não há nenhuma atividadepredecessora tem-se A=B= 0. Sobre a modelagem das atividades que possuem predecessoras,como por exemplo, a atividade C, que tem a atividade A e B como predecessoras, tem-se:C A 6C B 4ou C A 6ou C B 4A figura 6.15 mostra a modelagem em GAMS


Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 69Figura 6.15- Modelo CPM EM GAMSExercícios para diversão.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 701) Análise a rede abaixo e faça o que é pedido.Considere que os números indicados em cada aresta significam o número de quilômetrosnecessários para um automóvel percorrer a estrada entre duas cidades indicadas pelo nósextremos das arestas observadas. Monte o modelo e determine a rota que um automóvel deveseguir para sair de Chapecó e chegar a porto alegre, percorrendo a menor quantidade dequilômetros possível.2) Considere a reconstrução de um armazém que será feito. As atividades associadas sãoapresentados na Tabela a seguir:AtividadeDescriçãoPredecessorimediatoTempo[dias]A Demolir o armazém - 2B Comprar materiais para atividade de - 1alvenariaC Separar material reutilizável A 1D Escavação de fundações A 2E Preparação do acesso ao depósito A 1F Fazer lista de outros materiais necessários C 1

Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 71G Fazer fundações de concreto B, D 2H Fazer acesso E 1I Levantar paredes de alvenaria B, G 8J Nivelar chão e fazer o contra piso F, G 2K Instalar fiação e sistema elétrico F, I 1L Acabar paredes K, M, N 5M Fazer telhado F, I 1N Acabar piso de concreto J 5O Montar calhas e tubulações de escoamento F, M 1P Limpar H, L, O 1Crie a rede associada ao projeto de reconstrução e indique qual o menor tempo para realizaçãodo projeto. Qual é o caminho crítico?3) A pessoa responsável pelo plano de atividade do armazém cometeu dois pequenos erros.Ela introduziu duas relações da precedência imediata redundantes. Isso é uma falhaconceitual e acontece nos planos de atividades mal feitos. Quais são as duas relações deprecedência que não deveriam ter sido colocadas no plano?

72Capítulo 77. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIANeste tópico vamos comentar sobre problemas de dificuldade polinomial (P) e problemas dedificuldade não polinomiais (NP).Problemas polinomiais são problemas cujos algoritmos conhecidos fornecem soluções quepodem ser obtidas por meio de uma função polinomial de n tamanho de entrada, ou seja: f (n) =O(n k ) sendo que(k) uma constante. Problemas NP são problemas cujos algoritmos de soluçãoconhecidos são baseados em enumeração, seja ela implícita ou não. De maneira geral, o númerode combinações possíveis é assustadoramente grande, fazendo com que os algoritmosenumerativos não consigam resolver problemas com grande número de entradas em tempohábil. São denominados algoritmos de tempo exponencial e, é nestes contextos que se encaixamos problemas de otimização combinatória. Os problemas NP podem ser classificado, conforme(COLIN, 2007): Problemas NP - Completos: são problemas que possuem uma forte evidência da nãoexistência de um algoritmo cujo tempo de solução seja uma função polinomial dotamanho da entrada. São considerados os mais difíceis da classe NP, e, se algum deles forresolvido em tempo polinomial, então todos os problemas NP também serão.Quando se sabe que um problema de otimização é NP - difícil, tem-se a certeza de que nemsempre a solução ótima será encontrada. Portanto, tem se aplicado métodos heurísticos, comopor exemplo, algoritmos genéticos, colônias de formigas, busca tabu, dentre outras. Abaixoencontra-se o modelo do problema do Caixeiro-Viajante (CV), sendo este modelo de otimizaçãocombinatória.

Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________73Min Zsujeito a :i1j1unni u nxSão subrotasXXXi,ji,ji,jjnn i1 j1Restrição de saídaRestrição de chegadai, j0,1,u 0jCi,j. Xi,j n -1 (i j; i2, 3,...,n; j 2,3,..., n)As restrições de saída e de chegada são binárias, e garantem que cada um dos xij seja 0 ou 1. Asrestrições de saída garantem que para cada cidade haverá apenas uma rota de saída e,analogamente uma chegada para as restrições de chegada.As restrições de subrotas ou subcircuitos garantem que a solução ótima não contenhasubcircuitos.Exemplo1:PARASede P1 P2 P3 P4DESede 5 3.8 2.2 2.4P1 5 2.6 3.1 5.1P2 3.8 2.6 1.6 2.8P3 2.2 3.1 1.6 2.3P4 2.4 5.1 2.8 2.3A Figura 7.1 mostra a solução deste problema por meio da linguagem GAMS.

Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________74

Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________75,



Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________78Figura 7.1-Modelo caixeiro viajante em GAMS.A Figura 7.2 mostra os caminhos a serem percorridos.

Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________79Figura 7.2-Modelo Caixeiro Viajante otimizado pelo GAMS.OBS: com n vértices há( n 1)!2ciclos distintos.

Capítulo 88. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE ANÁLISE POR ENVOLTÓRIA DEDADOSEm termos de programação matemática, a análise por envoltória de dados (DEA- DataEnvelopment Analysis), também chamada de análise de fronteiras ou análise de eficiência, éconsiderada uma técnica relativamente nova. Ao mesmo tempo, também é considerada um dossucessos recentes da programação linear. No DEA existem as chamadas DMU- Decision MakingUnits, ou seja, as unidades tomadoras de decisão.Em linhas gerais, a DEA avalia problemas com múltiplos recursos (usados para gerar produtos eou serviços e múltiplas saídas para cada unidade) (COLIN, 2007). A capacidade com que as DMUsconseguem gerar saídas para determinadas entradas define sua eficiência. Supõe-se que as DMUsmenos eficientes podem melhorar sua eficiência até o limite das melhores unidades , cujaeficiência é de 100%. Mais especificamente, a DEA determina, segundo Colin (2007): A melhor prática- grupo das DMUs mais eficientes; As DMUs menos eficientes comparadas com as melhores práticas; A quantidade de recursos utilizados de forma improdutiva nas DMUs menos eficientes; Para cada uma das DMUs menos eficientes, o grupo das unidades de melhor prática quesão mais parecidas com elas e que poderiam ser usadas como benchmarks.Antes de prosseguir com o DEA, vamos entender alguns significados. Eficácia – Capacidade da unidade produtiva atingir as metas previamente estabelecidas; Produtividade – Razão entre o que foi produzido e o que foi gasto para produzir. Ex.:Peças/H.h; Eficiência – Conceito relativo que compara o que foi produzido com o que poderia ter sidoproduzido. Pode ser entendida como uma comparação entre as produtividadesobservadas;

Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 81Se uma unidade atingiu a meta, foi eficaz. Se conhecermos os recursos que a unidade dispunhapodemos avaliar se esta foi produtiva. Se soubermos quais foram os resultados da concorrênciapodemos avaliar a eficiência da unidade (SOARES DE MELLO, 2005)O modelo DEA CCR (Charnes, Cooper e Rhodes, 1978) é apresentado no modelo abaixo.Max ES.a.:csj1mi1sj1mi1ujyvixujyvixjkikjcic 1, kuj 0, j,vi 0, i1,2, ,c,,nOnde: c é o índice da unidade que está sendo avaliada. O problema acima envolve a procura devalores para u e v, que são os pesos, de modo que maximize a soma ponderada dos outputs(output “virtual”) dividida pela soma ponderada dos inputs (input “virtual”) da DMU em estudo,sujeita à restrição de que esse quociente seja menor ou igual a 1, para todas as DMUs.Esta função está sujeita à restrição de que, quando o mesmo conjunto de coeficientes de entradae saída (vis e ujs) for aplicado a todas as outras unidades de serviços que estão sendocomparadas, nenhuma unidade de serviço excederá 100% de eficiência ou uma razão de 1,00..Porém, o modelo acima não é linear e sim um problema de programação fracionária. Entretanto,o modelo linearizado é descrito abaixo.Max ES.a.:cmi1sj1sj1ujyvixujyicjkjc 1-mi1vixik 0 , k 1,2, ...,c,,nu j, vi 0,x, y.Esta forma do problema é conhecida como problema dos multiplicadores, como também sãochamados os pesos, uj e vi.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 82Exemplo 1:Um hospital deseja avaliar sua eficiência em relação aos demais hospitais da cidade. ATabela abaixo contempla os dados de entrada e saída analisadosHospital Entradas (x) Saídas (y)CapitalMão deobraJovens Adultos Idosos1 5 14 9 4 162 8 15 5 7 103 7 12 4 9 13Neste caso são 3 problemas de programação linear, uma para cada DMU.A Figura 8.1 mostra a solução deste modelos por meio do GAMS. Lembrando-os que

Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 83Figura 8.1- Modelo DEA em GAMSBasicamente o que muda de um modelo para o outro é a função objetivo e a equação 4 (calculo4). Vamos interpretar a solução ótima para o último modelo. W2= 0,9 ; W3= 7.1% e V2= 8.3%.Neste caso as saídas adultos e jovens são importantes para manter a eficiência máxima dohospital 3. Deve-se conservar a mão de obra. A Figura 8.2 contempla um exemplo de comomodelar o dual de um problema de DEA.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 84Figura 8.2- Modelo primal e Dual de problemas de DEA.Pelo GAMS também é possível rodar vários modelos continuamente. Vamos mostrar um exemplotomando como base o exemplo exposto acima. A Figura 8.3 mostra este exemplo.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 85Figura 8.3: Modelo DEA GLOBAL.

Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 86Repare que inseriu-se mais uma variável e também algumas equações e, ao rodar o modelo, deveser informado apenas as equações pertencentes ao modelo desejado.Outro tipo de modelo DEA que iremos ver nesta apostila é conhecido por BCC (Banker, Charnes eCooper, 1984). No modelo DEA CCR há retornos de escalas constantes, válido para unidadesoperando em escala ótima. No modelo BCC ou VRS, substitui o axioma da proporcionalidade peloaxioma da convexidade linear, soma dos lambdas igual a 1. Fronteira côncava e linear por parte,também chamado de retorno variáveis de escala.Max ES.a.:ff0i1ju j, vivixj1u . yicjvixikj0 1 u * 0,j, i.juj.yjk u * 0 , ku* As eficiências no modelo DEA BCC são maiores ou iguais as eficiências do modelo CCR. No modeloCCR as eficiências independem da orientação; os outros resultados de DEA dependem daorientaçãoNo modelo BCC todos os resultados de DEA dependem da orientação. A Figura 8.4 mostra asdiferenças entre estes modelos.Figura 8.4- Modelos DEA

Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 87A figura 8.5 contempla a solução deste exemplo pelo modelo BCC ou (VRS).

Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 88Figura 8.5- Modelagem em GAMS modelo DEA BCC ou VRSNeste exemplo foi necessário acrescentar outro objetivo (sets) chamado u que vai pertencer avariável do modelo BCC.Resolva os exercícios abaixo utilizando-se da linguagem de modelagem GAMS.1)Max Z 9wsujeito a :9w5w4w5vw1j111 4w 7w 9w14v2222 0,001,1 0 4wv16w3 - 5v10w3 - 8vk2 0,001 16w311 13w3 - 7v114v15v12v222 0 0 0Formule o problema dual dos hospitais. E resolva-o pelos dois métodos.2) O banco S/A está analisando a eficiência de suas agências a Tabela abaixo mostra os dadosAgênciasmenosprodutivasde entrada e saída analisados.Caixa[pessoas]Recursos empregados (Entrada)Plataforma[pessoas]Gerente[pessoas]Despesas(excl. pessoale aluguel) [$]Área daagência[pé 2 ]CaixaEconomia potencial (Saída)ÁreaPlataformaGerente Despesas daagênciaA1 10,0 5,0 1,0 652.566 3.818 4,5 1,8 0,3 222.928 1.304A3 3,0 2,5 1,0 468.637 1.728 1,9 1,6 0,7 295.989 1.133A4 4,0 2,5 1,0 350.477 1.941 2,3 1,4 0,7 189.745 1.051A5 9,0 7,0 1,0 1.059.526 5.640 0,7 1,9 0,1 367.020 1.899A6 3,0 2,5 1,0 235.974 2.200 1,6 1,4 0,6 122.474 1.556A8 4,5 3,5 1,0 353.235 1.350 1,5 1,3 0,3 10.526 40A9 3,5 2,0 1,0 341.994 2.346 1,2 0,7 0,4 116.716 976A11 7,5 3,5 1,0 768.338 3.243 3,3 0,7 0,2 329.403 774A12 2,5 2,0 1,0 269.998 1.422 1,1 1,1 0,7 122.433 889A13 9,0 6,5 1,0 1.112.090 5.400 0,1 0,1 - 131.389 1.477

Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 89AgênciasmenosprodutivasCaixa[pessoas]Recursos empregados (Entrada)Plataforma[pessoas]Gerente[pessoas]Despesas(excl. pessoale aluguel) [$]Área daagência[pé 2 ]CaixaEconomia potencial (Saída)ÁreaPlataformaGerente Despesas daagênciaA14 3,5 4,0 1,0 433.868 1.700 0,7 2,0 0,4 81.024 502A15 2,0 2,0 1,0 253.902 1.486 1,1 1,3 0,7 135.920 961A18 4,0 2,5 1,0 571.090 1.420 2,0 0,8 0,4 206.693 361A20 7,0 4,0 1,0 666.133 3.180 3,0 1,5 0,4 280.853 1.176A22 7,5 3,5 1,0 929.668 1.865 5,2 1,5 0,3 496.072 605A26 3,5 3,0 1,0 411.922 3.092 1,0 1,0 0,3 112.147 1.491A27 5,5 5,5 1,0 545.976 2.781 1,9 3,1 0,3 188.394 960A28 6,0 5,0 1,0 914.990 2.187 1,8 1,6 - 233.870 60A29 7,0 4,0 1,0 568.054 6.686 1,7 0,9 0,2 176.227 3.669A30 15,0 13,0 1,0 1.402.615 9.963 4,0 6,1 0,3 551.272 5.377A31 5,5 6,0 1,0 679.451 3.133 0,8 2,7 0,1 94.692 824A32 3,0 2,0 1,0 367.828 1.637 0,9 0,6 0,5 107.934 480A33 17,5 18,0 1,0 3.191.789 8.000 3,3 10,6 0,2 2.510.589 2.016Total 143,0 109,5 23,0 16.550.121 76.218 45,6 45,7 8,1 7.084.310 29.581Desenvolva e otimize os modelos desse problema. Avalie o dual e conclua quais são as melhoresagências e o que deveria ser feito pelo banco para que as agências não eficientes se tornemeficientes.3) Considere as 6 empresas do setor X listadas na Tabela a seguirEmpresa Receita Ativo EmpregadosA 800.331 1.487.845 4.478B 780.880 1.599.784 3.320C 1.582.624 3.886.613 4.176D 1.977.624 5.147.807 5.988E 3.105.444 5.299.049 6.646F 2.349.306 7.475.831 11.748a- Utilize a DEA para classificar as empresas em termos de eficiência. Considere que asentradas são definidas pelos ativos e empregados e que a saída seja definida pela receita.

Capítulo 99 Aplicações ReaisO próximo exemplo foi adaptado de Silva (2009). Uma usina deseja programar sua produção paraas próximas 5 semanas. Abaixo estão algumas informações sobre esta usina.Matéria-Prima:Própria: 150.000 toneladasComprada: 100.00 toneladas.Estas matérias-primas devem ser consumidas totalmente nestas 5 semanas.Porcentagem de MP comprada por semana.Semana 1: 100%Semana 2: 100%Semana 3: 100%Semana 4: 80%Semana 5: 90%Porcentagem de MP própria por semana.Semana 1: 80%Semana 2: 80%Semana 3: 80%Semana 4: 80%Semana 5: 90%Capacidade de transporte da frota própria em toneladas:Semana 1: 47250Semana 2: 47250Semana 3: 51975Semana 4: 51975

Aplicações reais___________________________________________________________________ 91Semana 5: 51975Capacidade de transporte da frota terceirizada em toneladas:Semana 1: 37250Semana 2: 27250Semana 3: 19750Semana 4: 14000Semana 5: 15.000Capacidade de transporte da frota terceirizada em toneladas:Semana 1: 37250Semana 2: 27250Semana 3: 19750Semana 4: 14000Semana 5: 15.000Capacidade de transporte da frota condomínio em toneladas:Semana 1: 2250Semana 2: 3250Semana 3: 8750Semana 4: 1400Semana 5: 1000Estes transportes são alocados na parte agrícola, pois estas matérias primas são colhidas nocampo. A Tabela abaixo mostra os níveis de moagem semanal, logo o total colhido na semana nãodeve ser maior que a capacidade máxima de moagem e nem menor que a capacidade mínima.Semana Moagem Máxima Moagem Mínima1 40.00 30.2002 42.000 31.6003 45.000 32.5004 50.000 33.0005 55.000 36.000

Aplicações reais___________________________________________________________________ 92A Tabela a seguir contempla a capacidade de estocagem em toneladas.Produto Estoque próprio Estoque terceirizadoA 15.000 10.00C 3000 0D 14.000 3.000A Tabela a seguir aborda o custo logístico agrícola em R$/toneladas.Semana Frota própria Frota terceirizada Frota condomínio1 10 8 92 12 10 113 9 11 124 8 10 85 10 8.7 8A próxima tabela contempla o custo por processo. No caso desta usina somente um processopode ser utilizado por semana, logo essa é uma restrição binária.Processos Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5Processo 1 7.3 6.74 6.26 6.26 6.26Processo 2 12 10 11 11 11Processo 3 9 11 12 12 12Processo 4 8 10 8 8 8Processo 5 10 8.7 8 8 8A próxima Tabela mostra o rendimento por processo, ou seja, qual é o nível de produção doproduto x utilizando o processo y na semana z.Rendimento Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5A.proc10,11 0,20 0,22 0,19 0,13B.proc10,23 0,12 0,10 0,23 0,06C.proc10,06 0,19 0,23 0,07 0,25

Aplicações reais___________________________________________________________________ 93A.proc20,13 0,20 0,20 0,20 0,17B.proc20,13 0,17 0,20 0,14 0,11C.proc20,14 0,21 0,12 0,13 0,25A.proc30,18 0,05 0,14 0,21 0,20B.proc30,21 0,13 0,11 0,07 0,19C.proc30,22 0,09 0,05 0,16 0,22A.proc40,14 0,10 0,12 0,12 0,07B.pro40,19 0,14 0,14 0,25 0,08C.proc40,14 0,11 0,07 0,13 0,22A.proc50,21 0,19 0,06 0,13 0,10B.proc50,25 0,06 0,13 0,12 0,11C.proc50,19 0,11 0,06 0,12 0,21A próxima Tabela aborda o custo de estocagem em R$/toneladas. Nesta tabela é disposto o custopor produto no estoque, ou seja, eprop (estoque próprio) e eterc(estoque terceirizado).Estoque Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5A.eprop4,00 9,00 3,00 9,00 5,00B.eprop4,00 3,00 10,00 9,00 5,00C.eprop7,00 10,00 7,00 8,00 3,00A.eterc5,00 4,00 9,00 3,00 4,00B. eterc10,00 8,00 8,00 10,00 5,00C. eterc3,00 9,00 5,00 4,00 6,00A próxima Tabela contempla o custo por fonte de matéria-prima.Matéria-Prima Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5PrópriaComprada8.4 9 8.55 9.6 1020 22 25 30 27A Tabela a seguir mostra o preço de venda desses produtos.

Aplicações reais___________________________________________________________________ 94Produtos Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5A530,00 745,00 510,00 680,00 579,00B527,00 726,00 567,00 892,00 359,00C690,00 585,00 998,00 977,00 1000,00A demanda pelo produto A é de 25.000 toneladas, B=2.000 e C=1.000, ambas as demandas sãoreferentes à quinta semana.Os produtos A e C possuem estoques iniciais no estoque próprio nas quantidades de 500 e 1000respectivamente.Formule o modelo que auxilie às decisões agrícolas e industriais desta usina. Dica: ao todo são (134 variáveis e 155 restrições e 25 variáveis binárias).4- Considere que no exemplo extraído de Silva (2009) essa usina exporte seus produtos e, paratanto utiliza de frota própria e terceirizada para realização deste transporte. O transporte é feitopara dois destinos. A Tabela abaixo mostra com mais detalhes.Produtos Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5A.Dest1 50 40 60B.Dest1 40 20 50A próxima Tabela aborda o preço de venda dos produtos exportadosProdutos Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5A.Dest1784,00 883,00 974,00 757,00 836,00B.Dest1944,00 918,00 929,00 785,00 742,00A Tabela a seguir mostra o custo de transporte. Tterc= transporte terceirizado, Tprop=transporte próprio.Produtos Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5A.Dest1.ttercB.Dest1.tpropA.Dest1.tpropA.Dest2.tterc81,00 98,00 86,00 71,00 92,0086,00 91,00 93,00 86,00 72,0089,00 93,00 78,00 87,00 71,0095,00 95,00 100,00 74,00 82,00

Aplicações reais___________________________________________________________________ 95Faça as análises inserindo esses dados no modelo matemático.5- Resolva os problema abaixo utilizando-se dos modelos BCC e CCR.Loja Faturamento [R$ M] Área [m 2 ] Empregados Renda região [R$]Copacabana 29,24 1.002 140 3.000Ilha do Governador 18,39 1.192 147 2.500Ipanema 30,54 1.087 103 2.900Jacarepaguá 20,48 1.183 160 1.500Tijúca 23,27 1.245 156 1.800Angra dos Reis 28,98 1.357 136 2.700Miracema 27,85 1.127 160 800Niterói 31,81 1.291 159 1.200Nova Friburgo 17,99 1.169 106 900Petrópolis 23,94 1.603 142 1.400Resende 15,17 1.303 119 700a) Analise os resultados duais dos modelos, e esboce um plano para tornar eficientes asunidades que não forem eficientes.6- Resolva este problema pelo modelos CCR e BCC e analise os resultados.EmpresaSaídasEntradasMN P AS L PT AITelerj 66.715 898.157 3.348.768 13.707 99.951 3.692.804Telemig 104.585 650.575 2.746.105 10.947 73.407 2.895.328CTBC Telecom MG 17.858 83.923 362.485 2.373 7.465 464.154Telest 25.006 133.454 50.388 1.837 1.669 561.042Telebahia 93.584 289.541 1.302.615 4.785 54.439 1.406.159Telergipe 8.366 32.158 159.206 314 6.776 170.519Telasa 6.268 45.267 227.226 256 11.681 25.135Telpe 33.575 129.859 714.117 2.821 41.304 831.171Telpa 16.296 51.858 293.823 686 13.519 328.803Telern 13.949 58.218 294.634 556 12.607 329.721Teleceará 3.233 170.784 761.737 303 34.874 791.541Telepisa 6.971 41.227 236.549 649 10.554 24.633Telma 176 58.613 299.971 868 15.296 32.177Telepará 20.711 114.351 513.635 105 23.521 532.904Teleamapá 4.379 12.061 69.287 220 2.055 7.147Teleamazon 447 47.623 301.052 1.039 1.042 315.052Telaima 1.898 7.402 46.024 183 1.602 4.812Telesc 92.233 182.877 1.049.553 3.461 25.623 1.193.985

Aplicações reais___________________________________________________________________ 96SaídasEntradasTelepar 99.189 382.924 1.710.688 10.659 46.327 2.227.874Sercomtel 7.281 37.475 13.919 851 2.203 154.499Telems 9.766 36.771 387.969 2.633 1.055 472.702CTBC Telecom MS 165 1.629 6.143 44 163 7.788Telemat 1.802 80.212 328.261 195 13.745 451.478Telegoiás 71.272 226.598 957 4.859 38.487 1.155.173CTBC Telecom GO 1.194 4.391 22.076 86 588 30.402Telebrasília 20.617 19.946 74.912 3.278 20.175 884.852Teleron 9.766 36.771 180.469 718 6.345 253.011Teleacre 1.815 11.903 6.833 313 2.924 93.604CRT 222.006 404.249 1.826.485 9.731 53.347 2.101.056CTMR 3.492 23.321 99.406 469 2.015 120.935Telesp 487.631 2.289.167 9.413.366 4.955 223.445 11.185.983Ceterp 6.483 47.654 184.837 1.307 3.017 217.837CTBC Telecom SP 10.429 35.251 164.842 374 2.784 209.829CTBCampo 15.537 318.203 964.195 5.294 21.577 1.081.897

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASANDRADE, E. L., 2004, Introdução à Pesquisa Operacional, LTC, Rio de Janeiro,Brasil.BERTRAND, J. W. M. & FRANSOO, J. C. Operations management research methodologies usingquantitative modeling. International Journal of Operations & Production Management, v.22, n°2.pp. 241-264, 2002.BROOKE, A.; KENDRICK, D. & MEERAUS, A. GAMS: Sistema geral de modelagem algébrica.São Paulo: Edgard Blücher, 1997.BRUNETTA, M. R. Avaliação da eficiência técnica e de produtividade usando Análise porEnvoltória de Dados: Um estudo de caso aplicado a produtores de leite. Curitiba: Programa dePós-graduação de Métodos Numéricos em Engenharia, Universidade Federal do Paraná, 2004,113p. Dissertação (Mestrado).CAIXETA-FILHO, José Vicente . Pesquisa Operacional.:Técnicas de otimização em aplicadas asistemas agroindustriais. 2º .ed. – São Paulo: Atlas, 2004.COLIN, C.C. Pesquisa Operacional: 170 aplicações em Estratégia, Finanças, Logística, Produção,Marketing e Vendas. Rio de Janeiro LTC, 2007.COLIN, E. C.; CIPPARRONE, F. A. M.; SHIMIZU, T. Otimização do custo de transporte nadistribuição-armazenagem de açúcar. Produção, v. 9. n°1. pp. 23-30, 1999.BATISTA, F. D. Metodologia para o uso da análise por envoltória de dados no auxílio à decisão.Itajubá: Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção, Universidade Federal deItajubá, 2009, 107p. Dissertação de MestradoCOOPER, W.W.; SEIFORD, L.M.; Tone, K. – Introduction to Data Envelopment Analysis and itsuses. Springer – 2006.LACHTERMACHER, Gerson pesquisa operacional na tomada de decisão: Modelagem em Excel. 2ºed.- º ed.- Rio de Janeiro: Elsevier, 2004.LINS,M .P. E; CALÔBA, G.M. Programação Linear: com aplicações em teoria dos jogos e avaliaçãode desempenho (Data Envelopment Analysis). Rio de Janeiro; Interciência - 2006.GOLDBARG, M. C. & LUNA, H. P. L. Otimização combinatória e programação linear: Modelos ealgoritmos. Rio de Janeiro: Campus, 2005.

NIEDERAUER, C. A. P. Avaliação dos bolsistas de produtividade em pesquisa da engenharia deprodução utilizando Data Envelopment Analysis. Florianópolis: Programa de Pós-Graduação emEngenharia de Produção, Universidade Federal de Santa Catarina, 1998. Dissertação (Mestrado).PAIVA, F. C. Eficiência produtiva de programas de ensino de pós-graduação em engenharias: umaaplicação do método Análise Envoltória de Dados-DEA. Florianópolis: Programa de Pósgraduaçãoem Engenharia de Produção, Universidade Federal de Santa Catarina, 2000, 79p.Dissertação (Mestrado).PAIVA, R. P. O. MORABITO, R.. An optimization model for the aggregate production planning of aBrazilian sugar and ethanol milling company. Annals Operations Research. 169 (2009) 117-130.PRADO, Darci Santos do, Programação linear – Belo Horizonte MG: Editora de Desenvolvimentogerencial , 2003. ( Série Pesquisa Operacional , Vol.1)SOARES DE MELLO, J. C. C .B.; MEZZA, L.A.; GOMES E.G.; BLONDI NETO, L. Curso de Análise deEnvoltória de Dados. Em: XXXVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Gramado-RS,2005.SILVA, A. F. Modelagem do planejamento agregado da produção de uma usina sucroalcooleira.Itajubá: Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção, Universidade Federal deItajubá, 2009, 92p. Dissertação de Mestrado.SHIMIZU, T. Decisão nas organizações: introdução aos problemas de decisão encontrados nasorganizações e nos sistemas de apoio à decisão. São Paulo: Atlas, 2010.

ANEXO A – LINGUAGEM DE MODELAGEM GAMSDurante as décadas de 50 e 60 fez-se um progresso substancial no desenvolvimento dealgoritmos e códigos computacionais para resolver grandes problemas de programaçãomatemática (PAIVA, 2006). Sendo que, na década posterior, não surgiu um grande número deaplicações das ferramentas que foram desenvolvidas. Conforme Brooke et al (1997) comentou ofato de que grande parte do tempo requerido para o desenvolvimento de um modelo eradespendido na preparação dos dados e dos relatórios de saída. Portanto, foram estudados osmeios para reduzir esse tempo, e nesse sentido desenvolveram-se os geradores de matrizes paraa programação linear, que faziam transformações dos modelos matemáticos para a formaalgorítmica exigida pelos softwares. O percussor para adequação desses objetivos foi odesenvolvimento das linguagens de modelagem (LMs). Dentre as LMs que se destacaram adécada de 80 e início da década de 90, cita-se: CML(Conversational Modeling Language), a LPM(System for Constructing Linear Programming System), a LAMP (Language for Interactive GeneralOptimization), LINGO (Language for Interactive General Optimization) e o GAMS (GeneralAlgebraic Modeling System). Essas LMs vêm adquirindo maiores significâncias para osmodeladores, visto que os problemas analisados estão se tornando cada vez mais complexos, e asLMs propiciam que os modeladores dediquem cada vez mais tempo para solucionar problemasreferentes ao modelo, e não a implementação computacional.O GAMS é uma LMs e foi projetada para o desenvolvimento e solução de modelos de programaçãomatemática complexa (BROOKE et al, 1997). As principais vantagens intrínsecas a utilização doGAMS são:I. Fornecer uma linguagem de alto nível para uma representação compacta de modelosextensos e complexos;II. Permitir mudanças na especificação dos modelos de forma simples e segura;III. Permitir relações algébricas enunciadas de forma não ambígua;IV. Permitir descrições de modelos independentes dos algoritmos de solução;

Linguagem de Modelagem GAMS ___________________________________________________ 100V. Simplificar a preparação de dados de entrada e relatórios de saída e transformarautomaticamente os dados para a forma requerida pelos pacotes de programaçãomatemática.Além destas vantagens, o GAMS é um compilador baseado na teoria de banco de dados (quandose faz manipulação dos dados) e na teoria de programação matemática ( para descrição e soluçãodos problemas). GAMS também disponibiliza um conjunto de Solvers, que são pacotes com opçõesde várias técnicas de solução de problemas de programação matemática (p.ex: PL, PIM, PNL,MIQCP, MINLP, DNPLP...), que podem ser utilizados conforme a escolha do modelador,A UNESP-Guaratinguetá-SP possuiu o GAMS [23.4.3]e o solver CPLEX [12.1.0], para a solução doproblema programação inteira mista (PIM).Solver CPLEXA sigla CPLEX é a combinação da letra C, em referência à linguagem de programação C utilizadano desenvolvimento deste algoritmo, com a terminação PLEX, em referência ao algoritmosimplex de solução de problemas de PL. Este solver foi desenvolvido pela CPLEX OptimizationInc., empresa fundada em 1988 com a ideia de comercializar algoritmos de PL que pudessemser utilizados para solucionar, de forma rápida, problemas grandes e difíceis de programaçãolinear. Atualmente o CPLEX é um produto de propriedade da ILOG S.A. A primeira versão doCPLEX (CPLEX 1.0) foi lançada em 1988 com suporte para solucionar problemas de PL pormeio do método primal simplex. Posteriormente, este algoritmo incorporou o suportepara utilizar o método dual simplex; incorporou o algoritmo barrier, que é uma alternativa aométodo simplex para problemas de programação linear e programação quadrática; incorporouo algoritmo branch-and-bound, para solucionar problemas de PIM, programação inteiramista quadrática e programação inteira mista com restrições quadráticas; incorporouheurísticas de pré-processamento de dados, para gerar boas soluções iniciais; eincorporou técnicas de programação por restrições, para melhorar o desempenho de busca.Além disso, o CPLEX passou a utilizar um algoritmo branch-and-cut com cortes com famílias dedesigualdades válidas e genéricas. Atualmente, também é possível utilizar processamentoparalelo para solucionar grandes problemas práticos (ILOG,2008). A figura A1 mostra a

Linguagem de Modelagem GAMS ___________________________________________________ 101estrutura geral da linguagem GAMS.Dados de EntradaDefinição e declaração de sets e alias;Definição e declaração de scalars, parameters, tables e equações deatribuição;Determinação de displays de controle sobre as equações de atribuição.FiguraAnexo A1 - Estrutura geral do modelo GAMS(Fonte: adaptada de Brooke et al., 1997Elementos do modeloDefinição e declaração, designação do tipo, limitantes e valores iniciais devariables;Definição e declaração de equations (função objetivo e restrições).Soluções do modeloComandos: Models; Solve; Displays.Figura anexo A1- Estrutura geral do modelo GAMS(fonte: Adaptado de Brooke et al.,1997)

ANEXO B – MODELAGEM E SIMULAÇÃOPesquisa Quantitativa baseada em modelosExtraído de BATISTA (2009).Bertrand e Fransoo (2002) apresentam uma classificação das metodologias de pesquisa emAdministração da Produção que utilizam modelagem quantitativa. O trabalho de Bertrand eFransoo (2002) pode ser útil para os pesquisadores que trabalham com modelagem quantitativa,e será abordado com profundidade nessa seção. Pesquisa quantitativa baseada em modelos é apesquisa onde são desenvolvidos, analisados e testados modelos de relações causais entre asvariáveis de controle e desempenho. Estas partem do princípio que podemos construir modelosobjetivos que expliquem parte do comportamento dos processos reais, ou que podem capturarparte dos problemas de tomada de decisão enfrentados pelos gestores na vida real. Os diferentestipos de pesquisa quantitativa são dados na Figura B.1.Figura B.1 – Classificação das metodologias de pesquisa quantitativaFonte: Bertrand e Fransoo (2002)Ambas as classificações, axiomática e empírica, podem ser subdivididas em descritiva enormativa. Normalmente a área descritiva relaciona-se com o estudo de um processo e anormativa está ligada ao estudo de um problema.Pesquisa axiomática:A pesquisa axiomática é definida pelas seguintes características:

Modelagem e Simulação___________________________________________________________ 103 É guiada pelo modelo idealizado (assume-se que alguns aspectos do problema não afetama solução); O objetivo primário é obter soluções que forneçam conhecimento acerca da estrutura doproblema; São utilizados métodos formais de áreas científicas como matemática, estatística e ciênciasda computação; Os pesquisadores olham para os processos ou problemas através dos modelosmatemáticos que possam ser utilizados; Necessita-se de um forte fundo matemático; Deve-se julgar quais formulações de problemas científicos são bons problemas, ou seja,problemas onde podem ser obtidos resultados de qualidade.Os passos para realizar uma pesquisa axiomática são os seguintes:1. Descrever as características dos processos ou problemas a serem estudados. A descriçãodo modelo conceitual deve usar tanto quanto possível conceitos e termos aceitos como padrão naliteratura;2. Especificar o modelo científico do processo ou problema. Este deve ser apresentado demaneira formal, em termos matemáticos.Na pesquisa axiomática descritiva, a modelagem do processo é o centro. Busca-se analisar ummodelo para explicar suas características. O pesquisador parte de um modelo conceitual e derivaum modelo científico. Depois são feitas algumas análises do modelo científico para ganharconhecimento sobre o comportamento deste. Tipicamente não se passa à fase de solução domodelo e a qualidade da pesquisa está ligada à extensão na qual os resultados provam dar ascaracterísticas exatas do processo. A extensão para a solução do modelo é feita na pesquisaaxiomática normativa, onde a solução é a pesquisa central reportada. Em muitos artigosaxiomáticos normativos, o processo de modelagem também está incluído e os resultadosretornam ao modelo conceitual. Nesse caso a qualidade da pesquisa pertence à extensão no qualo resultado prova ser a melhor solução possível para o problema. Quase todos os artigos nodomínio da PO caem na área normativa.Pesquisa empírica:

Modelagem e Simulação___________________________________________________________ 104A pesquisa empírica possui as seguintes características: O objetivo principal é assegurar que há um ajustamento das observações e ações narealidade e no modelo feito daquela realidade; É voltada a criar um modelo que descreva adequadamente as relações causais quepossam existir na realidade e levem ao entendimento do processo; Deve ser planejada para testar a validade de modelos teóricos quantitativos e suassoluções; A essência é validar o modelo conceitual ou a solução da pesquisa axiomática; Como os processos operacionais são todos diferentes, premissas básicas e característicasdos problemas são validadas para classes definidas de processos, implícitas nos modelosteóricos e problemas; Ao contrário da pesquisa axiomática quantitativa, a pesquisa empírica não tem sido muitoprodutiva.Os passos para aplicação de uma pesquisa empírica são os seguintes:1. Identificar as premissas básicas dos processos onde estão baseados os modelos ouproblemas teóricos em questão. Na literatura existem diferentes linhas de pesquisa quecompartilham premissas comuns sobre processos ou problemas de decisão. Há por exemplo umalinha de pesquisa baseada na visão do processo produtivo como um modelo de filas. Essa échamada de premissa básica;2. Identificar o tipo de processo ou problema no qual as premissas básicas se apliquem;3. Desenvolver um critério objetivo para decidir se um processo da vida real pertence àclasse de processos considerada e para identificar o sistema de decisão que representa oproblema em questão. Diferentes pesquisadores devem chegar ao mesmo resultado acercadessas classificações;4. Derivar das premissas básicas, hipóteses sobre o comportamento dos processos. Essecomportamento se refere a variáveis ou fenômenos que possam ser medidos;5. Desenvolver uma maneira objetiva de medir ou fazer observações. Como não existe umamaneira geralmente aceita de medir as variáveis, os pesquisadores devem desenvolver

Modelagem e Simulação___________________________________________________________ 105maneiras próprias de medir e documentar essa etapa. Essa dificuldade ilustra a posição fraca dapesquisa quantitativa empírica na administração científica;6. Aplicar os sistemas de medição, coletar e documentar os resultados;7. Interpretar os dados, o que geralmente irá incluir o uso de análise estatística. Técnicasespeciais são necessárias, pois os resultados não podem ser manipulados de maneiraarbitrária como num projeto experimental. As hipóteses devem ser restritas aocomportamento dentro de um período esperado;8. Interpretar os resultados em relação aos modelos teóricos ou problemas que deramorigem às hipóteses testadas. Esse passo completa a fase de validação e pode resultar naconfirmação do modelo teórico (ou partes) em relação ao problema de decisão e ao processoconsiderado, ou levar a rejeição (parcial ou não) e sugestões para melhorar os modelos teóricos.A pesquisa empírica descritiva é principalmente voltada a criar um modelo que descrevaadequadamente as relações causais que possam existir na realidade e levem ao entendimento doprocesso corrente.A pesquisa empírica normativa busca desenvolver políticas, estratégias e ações que melhorem asituação atual. Essa área de pesquisa é pequena. Houve tentativa em alguns artigos, mas oprocedimento de verificação normalmente não é muito forte. Essa é a forma mais completa depesquisa científica, onde é conduzido o ciclo completo: Conceitualização, modelagem, solução domodelo e implementação. Em muitos casos essa pesquisa é construída em trabalhos publicadosna categoria axiomática descritiva onde já foram desenvolvidos caminhos para os estágios demodelagem e solução do modelo.Não se deve confundir pesquisa empírica com uso dos resultados da pesquisa axiomática paramelhorar os processos. Nesse caso, os resultados se baseiam na crença que as premissasadmitidas nos modelos são válidas e as soluções irão funcionar bem.

RESUMO ARTIGO “Modelling and simulation: operations management researchmethodologies using quantitative modeling” (BERTRAND; FRANSOO, 2002)O objetivo do artigo é apresentar uma revisão de um modelo de pesquisa quantitativa emgerenciamento de operações com foco na metodologia de pesquisa. A modelagem quantitativaem pesquisa operacional tem auxiliado no sentido de resolver problemas da vida real nogerenciamento de operações. O gerenciamento de operações é definido no artigo como o projetode projetar, planejar, controlar e executar operações na indústria de manufatura de serviços.Para os pesquisadores os modelos quantitativos são baseados em um conjunto de variáveis quevariam em um domínio específico, enquanto relações quantitativa e causal são definidas entreestas variáveis. Pesquisa de operações é considerada como parte de uma pesquisa quantitativaem gerenciamento de operações. Enquanto a abordagem de pesquisa operacional é um outroramo da modelagem quantitativa que pretende incluir todos os aspectos do processooperacional, incluindo conhecimento, opiniões e atitudes das pessoas a nível operacional egerencial.Classifica as pesquisas sobre gerenciamento de operações em duas classes distintas: 1) Pesquisaaxiomática, onde a principal preocupação do pesquisador é obter soluções dentro do modelodefinido e certificar-se que estas soluções forneçam insights na estrutura do problema tal comodefinido no modelo. Pesquisa axiomática produz conhecimento sobre o comportamento de certasvariáveis no modelo, baseado em pressupostos sobre o comportamento de outras variáveis nomodelo. Normalmente, pesquisa axiomática é normativa, embora a pesquisa descritiva, com oobjetivo de compreender o processo que foi modelado, também esteja presente. Pesquisanormativa está essencialmente interessada em desenvolver políticas, estratégias e ações paramelhorar ao longo dos resultados disponíveis na literatura existente, para encontrar a soluçãoótima para um problema definido recentemente ou para comparar várias estratégias paraabordar um problema específico. Já a pesquisa descritiva está primeiramente interessada emanalisar um modelo, o que leva a entender e explanar as características do modelo. Pesquisas naárea de teoria das filas e dos jogos, são normalmente descritivas por natureza e na maioria dosmodelos. 2) A segunda classe de pesquisas é a empírica, onde a principal preocupação dopesquisador é garantir que existe um modelo de ajuste entre observação e ação na realidade e o

Bertrand e Fransoo________________________________________________________________ 107modelo feito desta realidade. Este tipo de pesquisa pode ser tanto descritiva quanto normativa,onde a pesquisa empírica descritiva está normalmente preocupada em criar um modelo quedescreve adequadamente as relações causais que possam existir na realidade, o que leva àcompreensão do processo em curso. Pesquisa quantitativa empírica normativa estáprincipalmente interessada no desenvolvimento de políticas, estratégias e ações para melhorar asituação atual. Em contraste com pesquisas quantitativas axiomáticas, modelos baseados empesquisas quantitativas empíricas não são muito produtivos, visto que reportam a aplicação dosresultados das pesquisas teóricas nos processos operacionais da vida real. Na pesquisaquantitativa axiomática, a principal relevância científica é principalmente determinada pelo quecada pesquisador pretende contribuir para a literatura existente, o que pode ser de dois tipos:novas variações de processo ou problema usando técnicas de soluções conhecidas. A outra seriaestudar um processo ou problema que já foi estudado antes, mas fornecendo novas ou melhoressoluções para o problema, seja aplicando novos tipos de soluções técnicas, ou alcançando novosresultados com as soluções técnicas aceitas. Na pesquisa quantitativa axiomática usandosimulação, os resultados são obtidos via simulação computacional. Usada nos casos em que omodelo ou problema é muito complexo para uma análise matemática formal. Os passos para estetipo de pesquisa são apresentados.Na pesquisa quantitativa baseada em modelos empíricos, a principal preocupação é testar avalidade dos modelos científicos usados em pesquisas teóricas quantitativas ou testar o uso edesempenho da solução do problema obtido por meio da pesquisa teórica quantitativa nosprocesso operacionais da vida real.

PESQUISA OPERACIONAL - Unesp

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