O TEOREMA DA DIMENS˜AO DAS FIBRAS laptop financiado pelo

demonstração(1) w ∈ W ⇒ existe aberto afim W wtal que {w} = V(f 1 , . . . , f n ) ∩ W w ,onde n = dim W , eas f i são funções regulares em W w .Logo, π −1 (w) = V(π ⋆ f 1 , . . . , π ⋆ f n ).Segue que para cada componenteirredutível vale dim ≥ dim V − n.

(2) (Shafarevich) Primeiro, reduziremosao caso em que é tudo afim. De fato,valendo na situação afim, recobrimosW por um número finito de W i ’sabertos afins e cada π −1 W ipor abertos afins V ij .É claro que os V ij recobrem V .

Por hipótese, para cada restriçãoπ : V ij → W i existe um aberto densoW 0ij que funciona. FaçamosW 0 = ∩W 0ij .Tome w ∈ W 0 e seja Z componenteirredutível de π −1 w. Se Z encontra V ij ,o caso afim aplicado a V ij → W imostra que dim Z = dim V − dim W .

Doravante, tudo afim.K ↩→ L (corpos de funções)⋃ ⋃A ↩→ B (anéis de coordenadas)||||O(W )O(V )Seja b 1 , . . . , b d ∈ L uma base detranscendência de L|K.(d = dim V − dim W .)

Passando a um aberto principal de V ,podemos supor b 1 , . . . , b d ∈ B. EscrevamosB = A[b 1 , . . . , b d , b d+1 , . . . , b N ]d = dim B − dim Acom b 1 , . . . , b dalgebricamenteindependentes sobre K eb d+1 , . . . , b N algébricos sobre K(b 1 , . . . , b d ).

SejaF i (b 1 , . . . , b d , y) = α i,0 (b 1 , . . . , b d )y e i +· · · ∈ A[b 1 , . . . , b d , y], α i,0 ≠ 0 tal queF i (b 1 , . . . , b d , b d+i ) = 0, relação dedependência algébrica.Seja I i ⊆ A o ideal gerado peloscoeficientes do polinômio α i,0 (b 1 , . . . , b d ).

Seja Z a união dos fechados própriosV(I i ). Existe a ∈ A tal que o abertoprincipal W a ≠ ∅ é disjunto de Z.Passando a esse aberto, podemos suporque para todo w ∈ W , cada polinômioα i,0 (b 1 , . . . , b d ) é não nulo, ondeindicamos por α i,0 a restrição à fibrasobre w. Logo, existe (c 1 , . . . , c d ) ∈ C dtal que α i,0 (c 1 , . . . , c d ) ≠ 0.

Seja U ⊆ C d × W o aberto principaldado por α = ∏ α i,0 . Por construção, arestrição de φ : V → C d × W sobreeste aberto é um mapa finito, logosobrejetor (??). A imagem de U em Wé um aberto W 0 . Em particular, paracada w ∈ W 0 temos π −1 (w) ≠ ∅.

O anel de coordenadas de cadacomponente irredutível dessa fibra é umquociente B de B; a imagem de cadaF i (b, y) em B[y] fornece uma relaçãonão trivial para b d+i sobreC(b 1 , . . . , b d ). Assim, dimB ≤ d.✷

aplicaçõesSeja f : X → Y um morfismo devariedades e seja Z = f(X) a aderênciade sua imagem. Então existe um abertonão vazio de Z contido em f(X).

Visto que a aderência de uma uniãofinita é a união das aderências,podemos supor X irredutível e,trocando Y por Z, supor f dominante.Pelo TDF, existe um aberto de Ycontido em f(Z).✷

Seja f : X → Y um morfismofechado e sobrejetivo.Então, para cada inteiro k, osubconjuntof (k) = {y ∈ Y | dim f −1 (y) ≥ k}é fechado em Y.

Novamente, argumentamos por induçãosobre n = dim Y e reduzimos ao casoX (logo Y ) irredutível. De fato,valendo nesse caso, podemos restringirf a cada componente irredutível X i de Xe agora tomar Y i = f(X i ),fechado por hipótese.

Denotemos f i : X i → Y i o morfismoinduzido. Se y ∈ (f i ) (k) , é claro quedim f −1 (y) ≥ dim f −1 i (y) ≥ k.Reciprocamente, se y ∈ f (k) , sejaX i ⊆ X uma componente irredutívelcontendo uma componente irredutívelde f −1 (y) com dimensão ≥ k.É imediato que y ∈ (f i ) (k) . Segue quef (k) = ⋃ (f i ) (k) , união finita de fechados.

Seja r = dim X − dim Y .Doravante, vamos supor X irredutível ef sobrejetiva. Se k ≤ r então f (k) = X.Por outro lado, para k ≥ r + 1, temosque f (k) está contido em algum fechadopróprio W ⊂ Y , complementar doaberto denso em que cada componenteirredutível da fibra tem dimensão r.Aplicamos indução ao morfismo f −1 W → W .✷

A semi-continuidade afirmada na prop.acima falha se omitirmos a hipótese demorfismo fechado. Aprendi o exemploseguinte com a Carolina Araújo.Seja g : C 3 → C 3 definida por (x, y, z 2 ).Note que a imagem inversa da retay = 0, z = 1 tem duas componentesconexas, L ± : y = 0, z = ±1.

Seja h : X → C 3 a explosão de L + .A imagem inversa de L + é L + × P 1 .Seja X 0 obtida pela remoção dosubconjunto{(0, 0, 1)} × P 1 ⊂ L + × P 1 . Por fim,seja f : X 0 → C 3 a composição. Agoraf 1 = {(x, 0, 1) | x ≠ 0}.