Aula no. 04

Aula n ọ 04Esfera e Sólidos RedondosÁrea da EsferaA área de uma esfera é a medida de sua superfície.Podemos dizer que sua área é igual a quatro vezes aárea de um círculo máximo, ou seja:eixoROpóloparalelos02. Uma doceira vende seu “brigadeiro de colher” empequenos potes cilíndricos com 4 centímetros dediâmetro e 2 centímetros de altura de dimensõesinternas. Usando π = 3,1, podemos concluir que,para produzir 100 desses potes por dia, ela precisarápreparar uma quantidade de brigadeiro aproximadamenteigual aa) 1 litro;b) 1 litro e meio;c) 2 litros;d) 2 litros e meio;e) 3 litros.meridianopólo equadorS t = 4πR 2Volume da EsferaCalcular o volume de uma esfera é obter a medidado espaço ocupado por ela. O volume é dado porv = 4 3 . πR301. As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximasà linha do equador e em pontos diametralmenteopostos no globo terrestre. Considerando oraio da Terra igual a 6370 km, pode-se afirmar queum avião saindo de Quito, voando em média800 km/h, descontando as paradas de escala, chegaa Cingapura em aproximadamentea) 16 horas;b) 20 horas;c) 25 horas;d) 32 horas;e) 36 horas.03. (PUCPR) – Um vaso cilíndrico de 6 cm de diâmetro e16 cm de altura contém água até 3 de sua altura.4Despejando-se no vaso uma quantidade de águaequivalente ao volume de uma esfera de 6 cm dediâmetro, de quanto aumentará o nível de água novaso?a) 4cmb) 5 cmc) 4 3 cmd) 6 cme) 5,33... cm14 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. II

04. (UFPR) – Duas esferas metálicas maciças, uma comraio igual a 4 cm e a outra com raio de 8 cm, são fundidase moldadas em forma de um cilindro circularreto com altura igual a 12 cm. Determine, em cm, oraio do cilindro.a) 2b) 4c) 6d) 8e) 1206. (PUC – PR) – O boiler é um aquecedor constituído deuma parte cilíndrica e de duas semiesferas nasextremidades, conforme a figura. Se o boiler tem asdimensões abaixo, qual o número de litros mais próximode sua capacidade?a) 200b) 300c) 400d) 500e) 6000,30 m1,00 m05. Considere um depósito para combustível na formade um cilindro, como mostra a figura a seguir:ACBA função v(x) = 80 (x – sen x), para valores de x nointervalo [0,2 π], permite calcular o volume, emmetros cúbicos, do combustível existente no depósitocilíndrico, em razão da amplitude do arco ABC(igual à amplitude do ângulo x mostrado na figura)AxBA capacidade total de um depósito com essas característicasé, em m 3 , aproximadamente igual a:Atenção: aproxime o resultado para uma casa decimale use π = 3,1416a) 350b) 496,9c) 502,5d) 601e) 632,3C07. Quer-se mergulhar uma esfera metálica em um tuboem forma de cilindro circular reto que contém óleoaté a altura de 5 cm e cujo raio é de 8 cm. Se a alturado cilindro é 7 cm, então, o raio R máximo que aesfera pode ter para que não haja transbordamentode óleo é, em centímetros, tal que:a) R = 1b) 1 < R < 2c) 2 < R < 3d) 3 < R < 4e) 4 < R < 5MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. II 15

08. Os três recipientes da figura têm formas diferentes, amesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Nelessão colocados líquido até a metade de sua altura,conforme indicado nas figuras.O principal fato matemático que pode explicar o raciocíniofeito por Tales é dado por:a) propriedades de ângulos retos;b) propriedades de triângulos;c) semelhança de triângulos;d) simetria entre os objetos e suas sombras;e) relações trigonométricas nos triângulos.V 1 V 2 V3Sendo a altura igual ao diâmetro e representada porV 1 ,V 2 eV 3 o volume de líquido em cada um dos recipientestem-sea) V 1 = V 2 = V 3b) V 1 < V 3 < V 2c) V 1 =V 3 < V 2d) V 3 < V 1 < V 2e) V 1 < V 2 = V 310. Numa reforma, planejou-se substituir por tacos as162 tábuas corridas do assoalho de três salas. Cadatábua tem 3 m de comprimento por 15 cm de largura,e cada taco, 20 cm por 7,5 cm.Sabendo-se que o número de tacos necessáriospara reformar cada sala é diretamente proporcionalaos números 3, 4 e 5, quantos tacos serão utilizadosna sala maior?a) 1215b) 1620c) 2025d) 2100e) 212009. Um faraó solicitou ao sábio grego Tales de Mileto,em sua visita ao Egito, que calculasse a altura deuma pirâmide. Esse fato ocorreu em torno do ano600 a.C, quando esse feito ainda não havia sidoregistrado por ninguém. Tales, próximo da pirâmideem questão, enterrou parcial e verticalmente umbastão no chão. Observando a posição da sombra,colocou o bastão deitado no chão, a partir do pontoem que foi enterrado, e marcou na areia o tamanhodo seu comprimento. Feito isso, tornou a colocar obastão na posição vertical. Quando a sombra dobastão ficou do seu comprimento, Tales mediu asombra da pirâmide e acrescentou ao resultado ametade da medida do lado da base da pirâmide.Explicou, então, aos matemáticos que o acompanhavamque essa soma era a medida da altura dapirâmide.16 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. II

Gabarito01. cQuitoCingapura06. cO sólido que representa o boiler pode ser entendidocomo a junção de um cilindro e uma esfera. Então,V B ≅ V CIL + V ESF .Considerando que 1 litro 1 dm 3 , podemos transformaros comprimentos em dm. Assim:Como as cidades são diametralmente opostas, adistância entre elas equivale a meia circunferência.d = 1 2 πR = π . 6370 km2Supondo π = 3,1, d 19.747 km19.747 kmLogo, tp =800 km / h24,68 ou tp 25 horas02. dVolume de cada poteV CIL = πR 2 . HH = 2V CIL = π2 2 . 2 = 8πR = 2 Para π = 3,1 ⇒ V CIL 24,8 cm 3Como são 100 potes V T = 100 x 24,8 = 2480 cm 3Considerando que 1 litro 1000 cm 3temos Q = 248010002,48 litros ou Q 2,5 litros07. eV BH = 10 dmR = 3 dmπR 2 . H + 4 3 π R3 = π 3 2 . 10 + 4 3 π 33 = 126 πAdotando π = 3,14V B 126 x 3,14 = 395,64 dm 3 400 dm 3 ou V B 400litros08. bSupondo que, no recipiente do meio, o líquido preenchauma semiesfera, do enunciado temos a figura:03. a04. dR = 4 1+ =R = 8 2Fusão é sempre volume!Então 4 3 π R 1 3 + 4 3 π R 2 3 = πR 2 . H43 . 43 + 4 3 83 = R 2 . 12 364 512+ = 3 . R 2 ⇒ R 2 = 5763 33.3ou R = 8 cm= 64R = ?H = 12r ... medida do raio da boca de cada recipiente⎛ 1⎜r’⎝=2 r ⎞⎟⎠h ... medida da altura de cada recipiente.Temos:• V 1 = 1 3 . π .(r’)2 .r∴ V 1 = 1 23 . π . ⎛ 1⎜⎝ 2 .r ⎞⎟ .r∴ V⎠ 1 = πr 3(I)12• V 2 = 1 4. . π . r 3 ∴ V 2 = 2 r 3π(II)2 33• V 3 = 1 3 . π . r2 . r ∴ V 3 = πr 3(III)3Logo, de (I), (II) e (III) podemos concluir que V 1

ANOTAÇÕES18 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. II