Máquina de Turing

POLI/UCPEL364018 Linguagens Formais e AutômatosTEXTO 5Máquina de TuringLinguagens Sensíveis ao Contexto e Enumeráveis RecursivamenteProf. Luiz A M PalazzoMaio de 2011________________________________________________________________________0. IntroduçãoA Ciência da Computação é o estudo sistematizado relativo à Computação.Originou-se na Grécia com os algoritmos de Euclides (século III A.C.) e na Babilônia, comestudos sobre complexidade e redutibilidade de problemas.Em 1936 Alan Mathieson Turing, matemático inglês, propôs um modelo que ficouconhecido como Máquina de Turing, atualmente aceito como uma formalização doconceito de procedimento, isto é, uma seqüência finita de instruções que podem serrealizadas mecanicamente em um tempo finito.Ainda em 1936, Alonzo Church apresentou uma hipótese que ficou conhecida como aHipótese de Church, segundo a qual qualquer função computável pode ser representadapor uma Máquina de Turing.Como o conceito de procedimento é matematicamente impreciso, não é possível provarque a Máquina de Turing é realmente o dispositivo computacional mais genérico possível.Entretanto nenhum modelo computacional desenvolvido até o presente conseguiuapresentar capacidade computacional superior ao modelo de Turing, o que reforça aHipótese de Church.As Linguagens Enumeráveis Recursivamente (LER), ou do Tipo Zero, são as linguagensque podem ser reconhecidas por uma Máquina de Turing e portanto esta classe delinguagem representa o conjunto de todas as linguagens que podem ser reconhecidasmecanicamente e em um tempo finito.Para gerar as LER emprega-se um formalismo axiomático ou gerador na forma de umagramática denominada Gramática Irrestrita (não possui qualquer restrição quanto aoformato das produções).As Linguagens Sensíveis ao Contexto (LSC), ou do Tipo 1, estão contidas propriamenteno conjunto das LER.Gramáticas Sensíveis ao Contexto (GSC): É o formalismo gerador das LSC. O ladoesquerdo das produções pode ser uma palavra de variáveis ou terminais definindo umcontexto de derivação.Máquina de Turing com Fita Limitada: É o mecanismo reconhecedor das LSC. Sua fita élimitada e portanto finita.. Não se sabe se o não-determinismo aumenta ou não o podercomputacional das Máquinas de Turing com Fita Limitada.

1. Máquina de TuringA Máquina de Turing, para ser considerada um modelo de um procedimento deveapresentar, entre outras, as seguintes propriedades:a) A execução do algoritmo deve ser finita.b) Deve consistir de passos (1) discretos, (2) executáveis mecanicamente, (3) numtempo finito.O modelo proposto por Alan Turing em 1936 consistia de 3 partes:a) Fita: usada simultaneamente como dispositivo de entrada, saída e memória detrabalho,b) Unidade de Controle: reflete o estado corrente da máquina. Possui uma unidadede leitura e gravação (cabeça da fita) que acessa uma célula da fita de cada vez,movendo-se para a esquerda e para a direita, ec) Programa ou Função de Transição: comanda as leituras e gravações, o sentidodo movimento da cabeça e define o estado da máquina.A fita é finita à esquerda e infinita à direita, sendo dividida em células onde cada umaarmazena um símbolo, que podem pertencer ao alfabeto de entrada, ao alfabeto auxiliarou ser "branco".Inicialmente a palavra a ser processada ocupa as células mais à esquerda da fita, ficandoas demais em "branco".A unidade de controle possui um número finito e pré-definido de estadosA cabeça de leitura/gravação lê o símbolo contido em uma célula da fita de cada vez egrava um novo símbolo.Após a leitura/gravação a cabeça se move uma célula para a direita ou para a esquerda.O símbolo gravado e o sentido do movimento são definidos pelo programa.Inicialmente a cabeça está posicionada na célula mais à esquerda da fita como pode servisto na figura, onde representa "branco".abbc a...ControleO programa é uma função que, dependendo do estado corrente da máquina e dosímbolo lido, determina o símbolo a ser gravado, o sentido do movimento da cabeça e onovo estado da máquina.

p(a1, a2, m)qESTADOANTERIORNOVOESTADOSímbolo lido Símbolo gravado Sentido domovimentoIsto é: (p, a1) = (q, a2, m)2. Definição Formal da Máquina de TuringUma máquina de Turing é uma heptupla:M = ( , Q, , q 0 , F, V, ), onde:é um alfabeto de entrada Q é um conjunto finito de estados possíveis de Mé um programa ou função de transição parcial::Qx( V { })Qx( V { })x{E,D} q 0 é um estado inicial da máquina, q 0 F é um conjunto de estados finais da máquina tal que F está contido em Q V é um alfabeto auxiliar (que pode ser vazio)é o símbolo especial "branco"A função de transição considera o estado corrente e o símbolo lido da fita paradeterminar o novo estado, o símbolo a ser gravado e o sentido do movimento da cabeça,onde esquerda e direita são representadas por E e D respectivamente.O processamento de uma Máquina de Turing, M = ( , Q, , q 0 , F, V, ), para umapalavra de entrada w consiste na sucessiva aplicação da função programa a partir doestado inicial q 0 e da cabeça posicionada na célula mais à esquerda da fita até ocorreruma condição de parada.O processamento de M para a entrada w pode parar ou ficar em loop infinito. A paradapode ser de duas maneiras: aceitando ou rejeitando a entrada w.As condições de parada são as seguintes:a) A máquina assume um estado final: a máquina pára e a palavra de entrada éaceita.b) A função programa é indefinida para o argumento (símbolo lido e estadocorrente): a máquina pára e a palavra de entrada é rejeitada.c) O argumento da função programa determina um movimento para a esquerdae a cabeça já está na posição mais à esquerda da fita: a máquina pára e apalavra de entrada é rejeitada.Q

Para definir formalmente o comportamento da Máquina de Turing é necessário estendera função programa para usar como argumento um estado e uma palavra.Se M é uma Máquina de Turing:a) ACEITA(M) ou L(M) é o conjunto de todas as palavras de * aceitas por M.b) REJEITA(M) é o conjunto de todas as palavras de * rejeitadas por M.c) LOOP(M) é o conjunto de todas as palavras de * para as quais M entra emloop infinito.3. Exemplo: Máquina de TuringSeja a linguagem L 1 = { a n b n | n 0}.A Máquina de Turing M = ({a, b}, {q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , q 4 }, 1 , q 0 , {q 4 }, {A, B}, ), onde 1 écomo na tabela a seguir é tal que:(1) ACEITA(M) = L 1 , (2) REJEITA(M) = * - L 1 e (3) LOOP(M) =1 a b A Bq0 (q1, A, D) (q3, B, D) (q4, , D)q1 (q1, a, D) (q2, B, E) (q1, B, D)q2 (q2, a, E) (q0, A, D) (q2, B, E)q3 (q3, B, D) (q4, , D)q4(A, A, D)(a, A, D) (b, B, E)q0 q1 q2( , D)(B, B, D)(a, a, D)(B, B, D)q3(B, B, D)(a, a, E)(B, B, E)( , D)q4

a a b b A a b bA a b bq0q1q1A a B b A a B bA a B bq2q2q0A A B B A A B bA A B Bq1q1q2A A B b A A B BA A B Bq2q0q3A A B B A A B Bq3q4