Fluxo em Rede

Teoria dos GrafosIntroduçãoFluxo em Redes• Considere a seguinte situação modelada por um grafo:– Cada arco representa uma rua de de mão única.– O peso de de cada arco indica o maior fluxo possível ao aolongo da da rua (veículos/hora).• Qual o maior número possível de de veículos que pode viajar de dev a w em uma hora?x442v3y 1 2 w12z4Teoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCGTeoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCGRede (de fluxo)• Uma rede (de fluxo) G = (V, E) E) é um grafo dirigido em quecada aresta (u, v) v) ∈ E tem um valor (não-negativo)capacidade c(u,v). Se (u, v) v) ∉ E, E, assume-se que c(u,v) = 0. 0.• Uma rede possui dois vértices especiais: fonte e sorvedouro.• ∀v ∈ V, V, assume-se que existe um caminho entre a fonte esorvedouro que passa por v. v.• O grafo é, é, portanto, conectado e |E| ≥ |V| - 1 ..s1610v4129x720t134y14zTeoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCGTeoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCGFluxo em Rede• Sejam um grafo G = (V, E), a função capacidade c, c, umafonte s e um sorvedouro t. t. O fluxo em G é uma função f: f:V×V → REAIS que satisfaz às às seguintes propriedades:1. 1. Restrição de de capacidade: ∀u,v ∈ V, V, f(u,v) ≤ c(u,v).2. 2. Simetria: ∀u,v ∈ V, V, f(u,v) = -f(v,u).3. 3. Conservação do do fluxo: ∀u ∈ V – {s, t}, t}, ∑ v∈V v∈Vf(u, v) v) = 0. 0.• A quantidade f(u,v) (positiva ou ou negativa) indica o fluxo da darede a partir do do vértice u até o vértice v. v.• O fluxo total da da rede é |f| |f| = ∑ v∈V v∈Vf(s,v).s11/168/1310v1/412/124/9x7/715/204/4ty11/14zTeoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCGTeoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCG1

Redes Residuais• |f| |f| = 19.• Apenas os os fluxos positivos são mostrados.• Se f(u,v) > 0, 0, mostramos f(u,v)/c(u,v). Caso contráriomostramos apenas a capacidade.• Pode ser generalizado para redes com múltiplas fontes esorvedouros.• Um dos problemas é encontrar o fluxo máximo.• Sejam uma rede e um fluxo. Uma rede residual é uma redecom os os arcos da da rede original que comportam mais fluxo.• Sejam um grafo G = (V, E), a função capacidade c, c, um fluxof, f, uma fonte s e um sorvedouro t: t:– Capacidade residual de de (u,v):• c f (u,v) f = c(u,v) – f(u,v).• A rede residual induzida por f é G f f= (V, E f ), f ), em que– E f f= {(u,v) ∈ V×V : c f (u,v) f >0}.Teoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCGTeoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCGRede Residual (exemplo)Caminho Expandívels51111v35124x7155t• Seja uma rede G = (V, E) E) e um fluxo f ,, um caminhoexpandível p é um caminho de de s para t na na rede residual G f . f .• A capacidade residual de de um caminho expandível é definidacomo:– c f (p) f = min{c f (u,v) f : (u,v) ∈ p}.854y113zTeoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCGTeoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCGCaminho Expandível (exemplo)O Método de Ford-Fulkerson5v12x5• Como determinar o fluxo máximo?– Utilizar os os conceitos de de grafo residual e caminhoexpandível.1115s8113547tBFS(G, s, t)for ∀e ∈ E[G] dofluxo[e] ← 05y311z4while exisitr um caminho expandível p doaumentar f ao longo de preturn fTeoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCGTeoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCG2

Cortes• Um corte é uma partição de V em S e T = V – S, emque s ∈ S e t t ∈ T• O fluxo da rede (f(S,T)) através do corte é a somados fluxos f(u,v), em que u ∈ S e v ∈ T• A capacidade (c(S,T)) do corte é a soma dascapacidades c(u,v), em que u ∈ S e v ∈ T• Corte mínimo – um corte com a menor capacidade• |f|= f(S,T)s11/168/13v10 1/4y12/124/911/14x7/7z15/204/4tSTTeoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCGTeoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCGTeorema do Fluxo Máximo-Corte Mínimo• Se f f é o fluxo de G, as seguintes condições sãoequivalentes:1. 1. f f é um fluxo máximo de G2. 2. A rede residual G ff não contém caminhosexpandíveis3. 3. |f| |f| = c(S,T) para algum corte (S,T) de GTeoria dos Grafos© Jorge Figueiredo, DSC/UFCG3