12 - Conjuntos de Corte Ao estudarmos árvores geradoras ... - UNESP
12 - Conjuntos de Corte Ao estudarmos árvores geradoras ... - UNESP
12 - Conjuntos de Corte Ao estudarmos árvores geradoras ... - UNESP
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
{d, e, g, h } ⊕ {f, g, h }= {d, e, f, h, k }não é um corte <strong>de</strong> arestas mas é união aresta-disjunta <strong>de</strong> dois cortes <strong>de</strong> aresta{d, e, f } ∪ {h, k }.Assim, é possível gerar todos os cortes <strong>de</strong> arestas <strong>de</strong> um grafo G a partir dos cortes <strong>de</strong> arestasfundamentais relativas a uma dada árvore geradora <strong>de</strong> G.Exercício 1Consi<strong>de</strong>re o Grafo:a) Determine uma árvore geradora <strong>de</strong>ste grafo e listetodos os sete corte <strong>de</strong> arestas fundamentais relativos aesta árvore.b) Usando a operação <strong>de</strong> soma direta,<strong>de</strong>termine todos os outros corte <strong>de</strong> arestas <strong>de</strong>ste grafo<strong>12</strong>.1 Conectivida<strong>de</strong>No estudo <strong>de</strong> conectivida<strong>de</strong>, entre outros aspectos, estamos interessados em estudar avulnerabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um grafo.Po<strong>de</strong>mos observar que cada corte <strong>de</strong> arestas tem um <strong>de</strong>terminado número <strong>de</strong> arestas.Estamos interessados no corte <strong>de</strong> arestas que possui o menor número <strong>de</strong> elementos.Conectivida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arestas - O número <strong>de</strong> arestas no menor corte <strong>de</strong> arestas <strong>de</strong> um grafo G é chamadoC .<strong>de</strong> Conectivida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Aresta ( )AExemplo 4a) Qual é a conectivida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arestas <strong>de</strong> uma árvore?b) Qual é a conectivida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Arestas do grafo <strong>de</strong> exercício 1?c) Qual é a conectivida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Arestas dos grafos dos exemplos 1 e 3?d) Qual é a conectivida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Arestas do grafo?Examinando o grafo do exemplo 4d) observamos que não é possível obter um subgrafo <strong>de</strong>sconexoremovendo apenas 1 aresta <strong>de</strong> G. No entanto, é possível obter um subgrafo <strong>de</strong>sconexo, através daremoção <strong>de</strong> um vértice. Assim, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir a conectivida<strong>de</strong> <strong>de</strong> vértices do grafo. $
Grafo k-conexo - Um grafo G é k-conexo em arestas (ou vértices) quando sua conectivida<strong>de</strong> <strong>de</strong>arestas (ou vértices) é ≥ k .Exemplo 6%%1 - Conexo( v, w)é pontev e w = articulações1 - Conexo( v, w)é pontev e w = articulações %%&1 – Conexo em vértices2 – Conexo em arestasw = articulação2 – Conexonão possui pontes ou articulaçõesTeorema 5 Um grafo G é k-conexo se e somente se existem pelo menos k caminhos disjuntos(exceto nos extremos) entre cada par <strong>de</strong> vértices <strong>de</strong> G.No grafo <strong>de</strong> exemplo 6d) temos:{ u ,( u,v) , v,( v,x), x}eu , u,w , w,w,x , x entre os vértices u e x{ ( ) ( ) }Aplicação - Consi<strong>de</strong>re que mensageiros <strong>de</strong>vem ser enviados entre duas cida<strong>de</strong> a e b . Comoalgumas estradas po<strong>de</strong>m estar bloqueadas, queremos que cada mensageiro use estradas diferentes.Quantos mensageiros po<strong>de</strong>m ser enviados?Consi<strong>de</strong>re um grafo on<strong>de</strong> os vértices são as cida<strong>de</strong>s e as arestas representam estradas. O número <strong>de</strong>mensageiros que po<strong>de</strong>m ser enviados é igual ao número <strong>de</strong> caminhos aresta-disjuntos entre osvértices a e b . Este número po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>terminado usando os resultados acima.Exercício 2 - Seja o grafo:a) Encontre 3 caminhos aresta-disjuntos entre s e t .b) Encontre um corte <strong>de</strong> arestas contendo 3 arestas que separe s e t .c) Qual é o maior número possível <strong>de</strong> caminhos aresta-disjuntos entre s e t ? #