12 - Conjuntos de Corte Ao estudarmos árvores geradoras ... - UNESP

{d, e, g, h } ⊕ {f, g, h }= {d, e, f, h, k }não é um corte de arestas mas é união aresta-disjunta de dois cortes de aresta{d, e, f } ∪ {h, k }.Assim, é possível gerar todos os cortes de arestas de um grafo G a partir dos cortes de arestasfundamentais relativas a uma dada árvore geradora de G.Exercício 1Considere o Grafo:a) Determine uma árvore geradora deste grafo e listetodos os sete corte de arestas fundamentais relativos aesta árvore.b) Usando a operação de soma direta,determine todos os outros corte de arestas deste grafo12.1 ConectividadeNo estudo de conectividade, entre outros aspectos, estamos interessados em estudar avulnerabilidade de um grafo.Podemos observar que cada corte de arestas tem um determinado número de arestas.Estamos interessados no corte de arestas que possui o menor número de elementos.Conectividade de arestas - O número de arestas no menor corte de arestas de um grafo G é chamadoC .de Conectividade de Aresta ( )AExemplo 4a) Qual é a conectividade de arestas de uma árvore?b) Qual é a conectividade de Arestas do grafo de exercício 1?c) Qual é a conectividade de Arestas dos grafos dos exemplos 1 e 3?d) Qual é a conectividade de Arestas do grafo?Examinando o grafo do exemplo 4d) observamos que não é possível obter um subgrafo desconexoremovendo apenas 1 aresta de G. No entanto, é possível obter um subgrafo desconexo, através daremoção de um vértice. Assim, podemos definir a conectividade de vértices do grafo. $

Grafo k-conexo - Um grafo G é k-conexo em arestas (ou vértices) quando sua conectividade dearestas (ou vértices) é ≥ k .Exemplo 6%%1 - Conexo( v, w)é pontev e w = articulações1 - Conexo( v, w)é pontev e w = articulações %%&1 – Conexo em vértices2 – Conexo em arestasw = articulação2 – Conexonão possui pontes ou articulaçõesTeorema 5 Um grafo G é k-conexo se e somente se existem pelo menos k caminhos disjuntos(exceto nos extremos) entre cada par de vértices de G.No grafo de exemplo 6d) temos:{ u ,( u,v) , v,( v,x), x}eu , u,w , w,w,x , x entre os vértices u e x{ ( ) ( ) }Aplicação - Considere que mensageiros devem ser enviados entre duas cidade a e b . Comoalgumas estradas podem estar bloqueadas, queremos que cada mensageiro use estradas diferentes.Quantos mensageiros podem ser enviados?Considere um grafo onde os vértices são as cidades e as arestas representam estradas. O número demensageiros que podem ser enviados é igual ao número de caminhos aresta-disjuntos entre osvértices a e b . Este número pode ser determinado usando os resultados acima.Exercício 2 - Seja o grafo:a) Encontre 3 caminhos aresta-disjuntos entre s e t .b) Encontre um corte de arestas contendo 3 arestas que separe s e t .c) Qual é o maior número possível de caminhos aresta-disjuntos entre s e t ? #