Manual de Apoio 2010

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10.2.1 Representação ParamétricaAntes de passar ao desenho de curvas, convém estabelecer algum vocabulário e relembrar alguns conceitosmatemáticos.Se estivermos a pensar em linha recta, a representação no plano-xy pode ser feita com recurso à equação:y = m · x + bO valor m representa a inclinação da recta, enquanto que o valor b define a coordenada y onde a recta secruza com o eixo-y.Outra forma de representar uma curva (ou recta), consiste na parametrização das suas coordenadas emfunção de uma outra variável que não tem necessáriamente a ver com o sistema de coordenadas. Por exemplo,podemos especificar a forma como as coordenadas variam, ao longo do tempo (t). Assim para cada coordenadateremos uma função que varia com o tempo:x = f(t)y = g(t)z = h(t)No OpenGL, as curvas são definidas utilizando uma equação paramétrica. A curva é definida por um parâmetrou e pelo conjunto dos seus valores no domínio da curva. Para a definição de superfícies utilizamos um valoradicional v (Figura 10.9).É importante reter que os valores u e v não representam coordenadas reais da curva, são antes valores deparametrização da mesma. Desta forma, uma curva será definida com base nos seus domínios u e v 1 .Figura 10.9: Representação Paramétrica de Curvas e Superfícies10.2.2 Pontos de Control (control points)Uma curva pode ser representada por um conjunto de pontos de controlo que determinam o comportamento dacurva. O primeiro e último pontos da curva pertencem às coordenadas da curva, no entanto, os restantes pontosestão fora da curva e representam uma espécie de “pontos magnéticos” que atraém a curva no seu percurso(Figura 10.10).Figura 10.10: Pontos de Controlo1 Sendo um domínio, o conjunto dos valores possíveis para um parâmetro na curva em questão105
A curva da Figura 10.10b é uma curva quadrática (2 pontos de controlo) e a curva da Figura 10.10c é umacurva cúbica (3 pontos de controlo). Estas últimas são as mais utilizadas.10.2.3 ContinuidadeQuando duas curvas lado-a-lado partilham um ponto (breakpoint), formam uma secção curva (Figura 10.11). Aforma como as curvas se encontram define a continuidade da secção. As categorias de continuidade são:• none - Quando as curvas não se encontram de todo• positional (C0) - As curvas encontram-se num ponto• tangetial (C1) - As curvas partilham a mesma tangente no breakpoint• curvature (C2) - Para além de partilharem a mesma tangente, a aproximação à tangente é semelhante nasduas curvasFigura 10.11: Continuidade de CurvasOs tipos de continuidade mais utilizados, quando estamos a juntar um grande conjunto de curvas, são os tipotangential e curvature.10.2.4 EvaluatorsO OpenGL fornece uma forma simples de desenhar curvas e superfícies de Bézier. Para tal, especificamos ospontos de controlo e o domínio dos valores paramétrics u e v. Finalmente ao invocar o evaluator apropriado, oOpenGL gera os pontos que definem a curva ou superfície.Uma curva 2DO programa Bezier2D.java (ver Apêndice C.7), mostra como pode ser desenhada uma curva de Bézier 2D.A melhor forma de explicar o programa passa pela explicação de cada bloco de código.Começamos por definir uma perspectiva ortogonal entre +10 e -10, a fim de facilitar a visualização:gl. glMatrixMode ( GL2 . GL_PROJECTION );gl. glLoadIdentity ();glu . gluOrtho2D ( -10f, 10f, -10f, 10f);Criamos os pontos de controlo com recurso à classe GLVectorList:// Definir Pontos de ControloctrlPoints = new GLVectorList ();ctrlPoints . add ( -4f, 0f, 0f); // StartctrlPoints . add ( -6f, 4f, 0f); // Control106
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