Dificuldades e possibilidades no ensino da geometria na ... - UTFPR

Centro Federal de Educação Tecnológica de São PauloDificuldades e possibilidades no ensino da geometriana EJAElisabete Teresinha GueratoSão PauloMarço de 2008

Centro Federal de Educação Tecnológica de São PauloDificuldades e possibilidades no ensino da geometriana EJAElisabete Teresinha GueratoOrientador: Profª Ms Wania TedeschiMonografia apresentada ao Curso deEspecialização em Educação ProfissionalTécnica de Nível Médio na Modalidade EJAdo Centro Federal de Educação Tecnológicade São Paulo (CEFET/SP) como parte dosrequisitos para obtenção do título deespecialista.São PauloMarço de 2008

Dedico este trabalho aos meus pais que me deram avida e aos meus filhos que são a razão da minha vidaii

AgradecimentosCom especial carinho, à Professora Ms. Wania Tedeschi, pela atenção, carinho,dedicação e por ter confiado na minha capacidade ao aceitar ser minha orientadora.Aos professores do curso que, com seu profissionalismo e suas aulas nosprepararam para esta jornada.Em especial, à professora Dra. Fátima Beatriz Delphino pela amizade e pelaajuda nas correções gramaticais.À amiga Maria Angélica Kopko pelo companheirismo e incentivo junto àsdisciplinas do curso.Aos meus pais que me deram a oportunidade e o incentivo para que eu tivesseamor pelos estudos.Aos meus filhos, Rodrigo e Rogério pelo apoio e pela confiança em mim comomãe e profissional.Aos meus alunos que, ao longo destes muitos anos de profissão não sóaprenderam comigo, mas também muito me ensinaram.A todos os meus amigos que, de uma forma ou de outra contribuíram para aminha formação.iii

SumárioApresentaçãoIntroduçãoAndragogia: a educação de adultosPor que e para que aprender matemática?Geometria e o seu ensinoO ensino da matemática na EJAA legislação Oficial e o Ensino da MatemáticaCompetências do pensamento geométricoPiaget e as estruturas cognitivasLetramento e desenvolvimento cognitivoLinguagem matemática: símbolo e significadoPrincípios filosóficos que nortearam o trabalhoMetodologiaA seqüência didática - OficinasDescrição e análise das atividades utilizadas na pesquisaDificuldades e Possibilidades para o Ensino da GeometriaPerspectivas futurasReferências bibliográficas128111315183035404348495360727677iv

ResumoEsta monografia teve como objetivo geral analisar o ensino da matemática, emparticular da Geometria na Educação de Jovens e Adultos (EJA) a partir da análise dalegislação vigente e dos estudos de Jean Piaget, do casal Van Hiele e de estudo existentesobre símbolos e significados no ensino da matemática. Foram observadas atividades dealunos do Módulo III do Centro Integrado de Jovens e Adultos (CIEJA), projeto daPrefeitura da Cidade de São Paulo e ao final foram relacionadas as dificuldadesdetectadas e foram sugeridas novas possibilidades no ensino da Geometria na EJA.Palavras chaves: EJA, matemática, ensino, geometria, possibilidadesAbstractThis monograph’s overall objective is to analyze mathemathics teaching, inparticular, the geometry teaching in teens and adults education from the analyzis of thepresent legislation and the studies of Jean Piaget, the married couple Van Hiele and thestudy of simbols and meanings in the mathematics teaching. We have observed the thirdmodule’s students activities from the Teens and Adults Educational Center (CIEJA)which is a São Paulo’s City Hall project.Key words: Mathematics, teaching, geometry, possibilities.v

“A escola que se deve buscar éaquela que forme pessoasautônomas, livres e capazes decompreender o mundo onde estãoinseridas.”(2o Fórum Mundial de Educação, PortoAlegre, de 19 a 22 de janeiro de 2003)vi

ApresentaçãoO trabalho com o ensino de matemática na Educação de Jovens e Adultos (EJA)vem sendo desenvolvido desde o término da graduação e, no decorrer desses anos, apercepção da profunda dificuldade dos alunos desta modalidade em aprendermatemática, em particular a geometria, fez com que a pesquisadora se interessasse poresse campo de investigação.Esta pesquisa foi desenvolvida com o propósito de investigar o ensino damatemática, em particular da geometria, na EJA e levou em consideração a dificuldadeque o aluno adulto tem para sistematizar a matemática que usa no cotidiano da sala deaula e nas atividades sugeridas pelos professores.A geometria, em geral é deixada para segundo plano no ensino da Matemáticadevido ao mito de que é a parte mais complicada, mas a experiência com as aulas paraalunos da modalidade EJA nos mostra que é a parte da Matemática que melhor seadapta ao conhecimento de mundo do aluno adulto. Desta forma, escolhemos o ensinoda Geometria para a pesquisa de modo a selecionar e elaborar novos materiais concretospara facilitar o ensino para alunos da modalidade EJA.Pais (2006) descreve os resultados de uma pesquisa cujo objetivo eracaracterizar tendências atuais sinalizadas pelos livros didáticos de matemática, quantoàs metodologias de ensino da geometria. Esses resultados evidenciam a existência deum núcleo de conceitos preservados em quase todos os livros. A partir dessaidentificação, foi constatada uma tendência crescente de diversificação dos recursospedagógicos sugeridos entre os livros. Desta forma, pudemos perceber que apreocupação com o ensino da Geometria não é apenas dos professores de Matemática,mas também dos autores de livros didáticos. Inclusive, segundo a pesquisa, os livrospublicados mais recentemente propõem estratégias de ensino diferenciadas o queimplica na indicação de diferentes recursos didáticos.1

IntroduçãoNesta pesquisa procuramos verificar novas possibilidades para se ensinargeometria ao aluno da modalidade (EJA), de modo que esta tenha significado e sirva deinstrumento para este aluno entender aspectos do mundo que dependam doconhecimento de geometria, quais as suas dificuldades e possibilidades.Alguns aspectos nos levaram à escolha deste tema. Entre eles podemosmencionar os de maior relevância.Sob o ponto de vista do aluno é freqüente os alunos da EJA atribuírem o fracassoescolar na infância e adolescência à disciplina de Matemática, referindo-se ao rigoraplicado pelos educadores desta disciplina e à cobrança da memorização dos conceitos edas propriedades, bem como as atividades de caráter mecânico, cobradas de maneiraexagerada e sem contextualização.Sob o ponto de vista institucional, o Censo Escolar 2004, do Instituto Nacionalde Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP/MEC) mostra que oscursos específicos para jovens e adultos beneficiam atualmente cerca de 4,6 milhões dealunos no Brasil.De acordo com o Ministério da Educação e Cultura (MEC), cerca de 65 milhõesde brasileiros não completaram o ensino fundamental (1ª a 8ª série). Deste total, 15milhões têm menos de um ano de estudo, o que só comprova que a desistência é um dosprincipais desafios do sistema educacional brasileiro. (Anexo I)Segundo Haddad (1994), a Educação de Jovens e Adultos (EJA) no Brasil épouco conhecida na sua essência. Além disso, quando conhecida, sabe-se mais sobresuas mazelas do que sobre suas virtudes.A Educação de Adultos no Brasil se originou muito mais como produto paracombate da miséria social do que como desenvolvimento. É conseqüência dos males dosistema público regular de ensino e das precárias condições de vida de grande parte dapopulação brasileira, que acabam por interferir no aproveitamento da escolaridade naépoca apropriada. (Haddad, 1994)Do ponto de vista sociológico, observamos que a miséria social é um marcocondicionante que acaba por definir as diversas maneiras de pensar e realizar aEducação de Jovens e Adultos. É uma educação para pobres, para jovens e adultos das2

camadas populares, para aqueles que são maioria nas sociedades do Terceiro Mundo,para os excluídos do desenvolvimento e dos sistemas educacionais de ensino. Mesmoconstatando-se que não são todos os excluídos do sistema escolar na idade adequada,que conseguem ter acesso aos programas de Educação de Jovens e Adultos, não seinvalida a constatação de que esta modalidade de ensino é especialmente direcionadaaos excluídos. (Haddad, 1994)Segundo Fonseca (2005), a Educação de Jovens e Adultos é uma ação educativadirigida a um indivíduo de escolarização básica incompleta ou nem ao menos iniciada eque procura os bancos escolares na idade adulta ou na juventude. A interrupção ouimpedimento de sua trajetória escolar não é um fato isolado de não acesso a um direitocomo cidadão e previsto na constituição, mas dá-se num contexto mais amplo deexclusão social e cultural, e que, em grande medida, condicionará também aspossibilidades de re-inclusão que se farão nessa nova (ou primeira) oportunidade deescolarização.A marca da exclusão estabelecerá um jogo de tensões bastante mais conflituosodo que aquele estabelecido pelas propostas, realizações e avaliações realizadas naEducação Básica para crianças e adolescentes. Este jogo de interesses pode ser atribuídoà falta de consenso entre os envolvidos com esta modalidade de ensino na determinaçãodas decisões e práticas pedagógicas na EJA, principalmente quando os jovens e adultossão trabalhadores, pobres, negros, subempregados, oprimidos e excluídos. (Fonseca,2005)Segundo Ferrari (2002), a maior demanda de jovens pelos cursos de EJA traz,como conseqüência, a dificuldade de o professor atender num mesmo espaço e tempodiferentes níveis de conhecimento e ritmos de aprendizagens. Em geral, as falas dosprofessores apontam para aceitação do aluno adulto, reconhecendo e valorizando oesforço diário para permanecer no curso, o esforço para aprender, para responder àstarefas e à manutenção da relação hierárquica professor X aluno, no respeito com que oadulto trata o mestre. Quando se trata de adolescentes, entretanto, as inquietações sãomuitas: evidencia-se a dificuldade de lidar com a disciplina com a falta de motivação ede envolvimento do aluno nas tarefas escolares.Ainda em Ferrari (2002) encontramos que a Educação de Jovens e Adultosapresenta hoje uma identidade que a diferencia da escolarização regular e essadiferenciação não nos remete apenas a uma questão de especificidade etária, mas,3

primordialmente, a uma questão de especificidade sócio-histórico-cultural. Os novosrumos da Educação Brasileira enfatizam a difusão dos valores de justiça social e dospressupostos da democracia, do respeito à pluralidade fundados à crença na capacidadede cada cidadão ler e interpretar a realidade, conforme sua própria experiência, o queexige reorientar o olhar para propostas educativas que incluam o desenvolvimento doser humano de forma integrada e completa, no atendimento de suas necessidadescognitivas, afetivas, motoras e sociais.De acordo com Oliveira (1999a), desta maneira a Educação de Jovens e Adultosnão deve ser caracterizada apenas pela idade dos alunos que dela se beneficiam, masprincipalmente, pela caracterização sociocultural de seu público. Sob esta perspectiva, éprimordial que a educação para estes jovens e adultos se conduza principalmente nosentido da reinserção social destes indivíduos.Essa mesma autora diz que o tema “educação de pessoas jovens e adultas” nãonos reporta apenas a uma questão etária, mas principalmente a uma questão deespecificidade cultural. Assim, apesar da classificação por idade (jovens e adultos são,basicamente, “não crianças”), esse ramo da educação não diz respeito a açõeseducativas dirigidas a qualquer jovem ou adulto, mas a um determinado grupo depessoas relativamente homogêneo no interior da diversidade de grupos culturais dasociedade contemporânea.O adulto, no âmbito da educação de jovens e adultos, não é o estudanteuniversitário, o profissional qualificado que freqüenta cursos de formação continuada oude especialização, ou a pessoa adulta interessada em aperfeiçoar seus conhecimentos.Ele é geralmente o migrante que chega às grandes metrópoles proveniente de áreasrurais empobrecidas, filho de trabalhadores rurais não qualificados e com baixo nível deinstrução escolar (muito freqüentemente analfabetos), ele próprio com uma passagemcurta e não sistemática pela escola e trabalhando em ocupações urbanas nãoqualificadas, após experiência no trabalho rural na infância e na adolescência, que buscaa escola extemporaneamente para alfabetizar-se ou cursar algumas séries do ensinosupletivo.Para Oliveira (1999a) o jovem que freqüenta este território da antiga educaçãode adultos há pouco tempo, não é aquele com uma história de escolaridade regular, ovestibulando ou o aluno de cursos extracurriculares em busca de enriquecimentopessoal. Não é também o adolescente com as características psicológicas que consta nos4

compêndios de psicologia do desenvolvimento. Ele é também um excluído da escola,porém geralmente incorporado aos cursos supletivos em fases mais adiantadas daescolaridade, com maiores chances, portanto, de concluir o ensino fundamental oumesmo o ensino médio. Além disso, é bem mais integrado ao mundo urbano, envolvidoem atividades de trabalho e lazer mais relacionadas com a sociedade letrada,escolarizada e urbana. Refletir sobre como esses jovens e adultos pensam e aprendemenvolve, portanto, trilhar pelo menos por três situações que contribuem para a definiçãode seu lugar social: a condição de “não-crianças”, a condição de excluídos da escola e acondição de membros de determinados grupos culturais.Ainda de acordo com esta autora, com relação à condição de “não-crianças”, aliteratura a respeito é esparsa, uma vez que os compêndios a este respeito versam emgeral sobre as características psicológicas de crianças e adolescentes e consideram avida adulta como um período onde já existe estabilidade e a ausência de mudanças nãoexplorando sobre o modo como o adulto adquire conhecimento, ou seja, como eleaprende.Com relação ao funcionamento intelectual do adulto, Palácios (1995) afirma-nosque, segundo a literatura, as pessoas, de forma geral, mantêm um bom nível decompetência cognitiva até uma idade avançada. Os psicólogos evolutivos estão, poroutro lado, cada vez mais convencidos de que o que determina o nível de competênciacognitiva das pessoas mais velhas não é tanto a idade em si mesma, mas uma série defatores de natureza diversa, tais como, o nível de saúde, o nível educativo e cultural, aexperiência profissional e o tônus vital da pessoa. É esse conjunto de fatores e não aidade cronológica em si o que determina as probabilidades de êxito que as pessoasapresentam, ao enfrentar as diversas demandas de natureza cognitiva.Quanto aos fatores psicológicos, Oliveira (1999a) nos diz que embora não existauma extensa literatura que trate da psicologia do adulto e a construção de tal psicologiaesteja, necessariamente, ligada a fatores culturais, podemos relacionar algumascaracterísticas dessa etapa da vida que distinguiriam, de maneira geral, o adulto dacriança e do adolescente. O adulto está incluído no mundo do trabalho e das relaçõesinterpessoais de um modo diferente daquele da criança e do adolescente. Traz consigouma longa história de experiências, conhecimentos acumulados e reflexões sobre omundo externo. Em relação à participação em situações de aprendizagem, o adulto trazconsigo diferentes habilidades e dificuldades, diferentemente da criança e,5

provavelmente, maior capacidade de reflexão sobre o conhecimento e sobre seuspróprios processos de aprendizagem.No entanto, devemos cuidar para não tratar o adulto de uma forma estereotipada,muito provavelmente correspondente ao homem ocidental, urbano, branco, pertencentea camadas médias da população, com um nível instrucional relativamente elevado ecom uma inserção no mundo do trabalho em uma ocupação razoavelmente qualificada.O adulto que procura pela Educação de Jovens e Adultos foge muito deste estereótipodo adulto escolarizado.Com efeito, segundo Oliveira (1999a), a pesquisa em Educação de Jovens eAdultos não é apenas deficitária em relação à diversidade e à relevância de suasquestões, como também são raros os estudos que poderiam subsidiar, em particular nocampo da psicologia, de onde se poderia esperar contribuições, por exemplo, para acaracterização dos processos cognitivos da vida adulta.Levando em consideração estes aspectos, elegemos o ensino da Geometria paraalunos da modalidade EJA para pesquisar e tentar contribuir de alguma forma com osprofessores de matemática que trabalham com esta modalidade de ensino.Na parte de revisão teórica procuramos analisar um pouco a educação deadultos, verificar porque é importante que se aprenda matemática e quais acompetências necessárias para que um aluno aprenda geometria, a seguir, verificamos oque diz a literatura oficial sobre o ensino da matemática, iniciando pela análise dosParâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental (PCNs), o relatório doEncontro Nacional de Certificação de Competências de Jovens e Adultos (ENCCEJA) ede um documento emitido pela Secretaria Municipal de Educação.Por último, fizemos um estudo sobre o que dizem Piaget, Gómez-Granell e ocasal Van Hiele (1994) sobre a aprendizagem da matemática, como o aluno transformaos símbolos geométricos em elementos significantes e ainda quais níveis deaprendizagem ele adquire à medida que adquirem significado (ou fazem sentido) para asua aprendizagem.Segundo uma metodologia de caráter qualitativo, a pesquisa desenvolveu-sedentro dos princípios da fenomenologia de caráter etnográfico.Os dados foram coletados no contexto de uma instituição de ensino municipalchamada CIEJA, os sujeitos da pesquisa foram a professora de matemática de umaturma de alunos do Módulo III e a própria turma e os instrumentos utilizados foram as6

oficinas de geometria que faziam parte de uma seqüência didática e duas atividadesaplicadas a três alunas desta turma de alunos, escolhidas aleatoriamente.Por fim, as conclusões têm um caráter provisório, dado a natureza introdutóriade um trabalho de especialização, mas procuramos evidenciar vários elementosrelevantes da EJA que foram identificados e podem ser objetos de novas investigações.7

Andragogia: a educação de adultosSegundo Oliveira (2007) a Educação de Adultos é uma prática tão antiga quantoa história da raça humana, ainda que só recentemente ela tenha sido objeto de pesquisacientífica. A nossa herança judaico-cristã ocidental, por exemplo, com cerca de dois milanos, apresenta na Bíblia Sagrada, fartos exemplos de relacionamento educacionaladulto.Temos outros exemplos, na antiguidade, de personagens que foram educadoresde adultos. Podemos citar, entre outros, Confúcio e Lao Tse na China; Aristóteles,Sócrates e Platão na Grécia antiga e Cícero, Evelid e Quintillian na antiga Roma. Estespensadores usavam do processo da indagação que levava os alunos a pensar e refletirsobre os fatos aprendidos ao invés de usar do recurso da transmissão simples e pura deconhecimentos, ou seja, suas técnicas para o ensino levavam os indivíduos à indagaçãopara a resolução dos desafios propostos por seus mestres.A partir do século VII, surgem na Europa as escolas para o ensino de criançasque tinha como objetivo preparar jovens para o serviço religioso. Nestas escolas osprofessores ensinavam às crianças a doutrina da igreja.Com a falta de estudos aprofundados que trouxessem subsídios para a educaçãoem outras faixas etárias, toda a educação não só escolar como empresarial também, foiorganizada baseada nestas idéias do século VII.Muito influenciado por John Dewey, em 1926, Eduard C. Lindeman publicouum trabalho chamado "The Meaning of Adult Education" que foi uma das maiorescontribuições para a educação de adultos.Segundo Lindman a educação de adultos devia ser organizada através desituações e não de disciplinas, sendo que estas deveriam ser introduzidas apenas quandonecessário. Os textos e os professores tinham um papel secundário neste tipo deeducação, a importância maior deveria ser dada ao aprendiz.Lindman ressaltava que um aspecto importante no professor de adultos era ahumildade. Dizia que o conhecimento trazido pelo professor e a experiência trazida peloadulto deveriam, unidas propiciar, aprendizagem tanto para o professor como para oaluno adulto.8

Nosso sistema acadêmico se desenvolveu numa ordem inversa:assuntos e professores são os pontos de partida, e os alunos sãosecundários. (...) O aluno é solicitado a se ajustar a um currículopré-estabelecido. (...) Grande parte do aprendizado consiste natransferência passiva para o estudante da experiência econhecimentos de outrem (...) nós aprendemos aquilo que nósfazemos. A experiência é o livro-texto vivo do adulto aprendiz.(Linderman, 1926, p.01)Após Lindman, outros estudiosos se destacaram ao estudar como o adultoaprende e contribuíram para o que hoje temos na EJA. Entre eles, destacamos: AbrahamH. Maslow e o psicoterapeuta Carl R. Rogers. Estes e outros pesquisadores deramsuporte para o desenvolvimento da Andragogia como ciência da educação do adulto.Segundo Goecks (2003), andragogia significa “ensino para adultos”. Um ramoda pedagogia que busca compreender o adulto como um ser psicológico, biológico esocial. Ela tem em vista promover o aprendizado através da experiência, fazendo comque a vivência estimule e transforme o conteúdo em busca da assimilação. É o famoso“aprender fazendo”.A andragogia dá muita importância à experiência no aprendizado. Segundo ela, aeducação deve transformar o que já sabemos e não transmitir o que é sabido. Naessência, é um estilo de vida sustentado a partir de concepções de comunicação, respeitoe ética, através de um alto nível de consciência e compromisso social.Considerando o mundo em que vivemos hoje, em pleno século XXI, um mundoonde as mudanças são rápidas, o estudo da andragogia torna-se cada vez maisnecessário não só na educação escolar, mas também na educação empresarial onde aformação e a atualização de conhecimentos torna-se cada vez mais necessária.Concluiremos este tópico com duas frases de Paulo Freire: em “Pedagogia doOprimido” ele diz: Ninguém educa ninguém, nem ninguém aprende sozinho, nós sereshumanos aprendemos através do mundo. Em “Pedagogia da Autonomia” ele diz:Ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua produçãoou a sua construção.No caso da nossa pesquisa, temos o foco no aluno adulto que traz consigo umabagagem de conhecimento adquirida ao longo da sua vida e que não pode ser descartada9

pelo professor. A nossa proposta é buscar as dificuldades de ensino da geometria a estealuno e propor novas possibilidades pedagógicas, no formato de atividades para que estealuno tenha a possibilidade de voltar a estudar com sucesso e que as aulas de geometriaauxiliam a formação deste aluno como cidadão.10

Por que e para que aprender matemática?"A Matemática é o alfabeto com o qual Deusescreveu o Universo”. (Galileu Galilei)De acordo com Neves e Carvalho (2007), a Matemática é um veículo para aconstrução de novas perspectivas e convicções e que colabora para que se conheça arealidade, a cultura e a sociedade. Ela ajuda as pessoas a serem mais conscientes ecríticas, pois estas, na sua aprendizagem, descobrem mais sobre si mesmas, sobre a suarealidade e sobre o mundo. Tornam-se capazes de fazer melhores julgamentos e detomar decisões. Aprendem a duvidar e a perguntar, a ouvir opiniões, compará-las erespeitar o direito de escolha de cada pessoa.Vamos abordar alguns pontos que indicam a importância de se aprendermatemática.• Ela contribui para o desenvolvimento de atitudes solidárias, de coresponsabilidadee de tolerância.• Possibilita o desenvolvimento de pensamento e sua aplicação na soluçãode problemas do dia-a-dia.• Favorece a realização de atividades ligadas ao mundo do trabalho.• Permite o acesso a diferentes áreas do conhecimento.Segundo Almeida e outros, a Matemática é uma disciplina com característicasmuito próprias. Para estudar Matemática é necessária uma atitude especial, assim comopara o ensino não basta conhecer, é necessário criar. A Matemática é utilizadapraticamente em todas as áreas: na Economia, na Informática, na Mecânica, na AnáliseFinanceira, entre tantas outras. Na nossa sociedade as ciências e as técnicas evoluem demaneira muito rápida, e a Matemática é um instrumento muito valioso para seacompanhar a crescente complexidade dos conceitos teóricos que se tornam necessáriospara acompanhar o progresso das tecnologias. Desta maneira surge a necessidade deuma Matemática cada vez mais forte donde vem que a ciência Matemática é ensinadanos nossos dias em quase todo o mundo civilizado.A Matemática é, sem dúvida, o ramo da ciência que melhor permite analisar otrabalho da mente e desenvolver um raciocínio que se aplica ao estudo de qualquer11

assunto ou temática. Contudo, pela criação de hábitos mentais de que dificilmente nosconseguimos libertar, muitas são as dificuldades que os jovens encontram no seuestudo.Da mesma forma, todas estas noções aparecem como se sempre tivessemexistido no pensamento humano, originando-se não se sabe como, sem que todos seapercebam de que ela foi, e continua a ser uma constante e inacabada criação do serhumano.São muitos os problemas do mundo antigo que ainda hoje não têm solução e, porisso, constituem fontes incessantes de novos conceitos. Apesar de sempre evoluir, énotório o desenvolvimento da Matemática no século XX.Almeida (1993) acrescenta que ensinar Matemática sem explicitar a origem e asfinalidades dos conceitos é contribuir para o insucesso escolar. Sendo um dos objetivosfundamentais da educação criar no aluno competências, hábitos e automatismos úteis,bem como desenvolver capacidades, ele diz ainda é urgente implementar uma modernaeducação Matemática, a qual estará relacionada com programas e métodos de ensino - oprofessor deve saber o que ensinar, o modo como o fazer e o porquê do que ensina.Hoje, o ensino da matemática na Educação Fundamental é organizado em quatrograndes blocos temáticos: números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas etratamento da informação. Dado o caráter de um trabalho de especialização optamos,nesta pesquisa a nos restringir em espaço e forma, ou seja, no ensino da geometria.12

Geometria e o seu EnsinoNo início dos anos 2000, as secretarias da educação do Município e do Estado deSão Paulo preocupados com a formação dos professores da primeira etapa do EnsinoFundamental que ainda não tinham graduação universitária, organizaram em conjuntocom a Universidade de São Paulo (USP), com a Universidade Estadual Paulista(UNESP) e com a Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC) organizaramum programa intitulado PEC – Formação Universitária que formou estes professoresmelhorando a qualidade de ensino das escolas públicas desta cidade e deste estado.De acordo com a apostila de matemática utilizada por esse curso vamosrelacionar, a seguir, aspectos sobre o ensino da geometria no Ensino Fundamental.Observando a natureza e os diversos objetos criados pelo homem, notamos que ageometria está em todos os lugares.Desde a antiguidade, a humanidade construiu conhecimentos de Geometria,como mostram, por exemplo, suas construções. As pirâmides do Egito revelam o altograu de conhecimento que os egípcios tinham da Geometria.A palavra Geometria é derivada do grego geo que significa terra e metria, quesignifica medida. Assim, traduzindo ao pé da letra, temos que geometria deveriasignificar medida de terra. Esta palavra surgiu devido à primeira utilização dageometria de que se tem conhecimento: a medida das terras próximas ao rio Nilo, noEgito Antigo, para que os homens daquela época pudessem desenvolver a agriculturanestes locais.Como a geometria pode ser representada através de figuras, seus conceitospodem ser facilmente entendidos pelos alunos quando o professor usa de situaçõesproblemase de elementos concretos para o ensino desta disciplina. Os ParâmetrosCurriculares Nacionais (PCNs) sugerem que o enfoque dos conceitos geométricos estejaarticulado ao enfoque dos conceitos de números e medidas e a melhor maneira de secumprir esta sugestão é através de problemas da vida real do estudante, seja ele criança,jovem ou adulto.Porém, analisando os livros didáticos tradicionais, a geometria é deixada semprepara a parte final destes, o que facilita com que o professor deixe este conteúdo para ofinal do período letivo e acabe, na maioria das vezes deixando-o de lado, além de que13

dificilmente faz esta inter-relação entre a geometria e as outras áreas da matemática nãousando desta ferramenta que tanto facilitaria a seu trabalho.Outro aspecto positivo do estudo da Geometria é que este pode ajudar nodesenvolvimento da criatividade na medida em que o professor estimula seus alunos abuscar novos caminhos para a solução de problemas e cria condições para que os alunoscomuniquem suas idéias. De acordo com os PCNs é importante permitir ao aluno “queas definições e as propriedades surjam de suas observações, mesmo que inicialmenteimperfeitas, para, depois, por reformulações sucessivas, obter a forma final, formal econcisa”Montar e desmontar, compor e decompor figuras, recortar, dobrar, pintar, etc.são atividades que favorecem o desenvolvimento da criatividade dos alunos, bem comoa compreensão de conceitos e princípios geométricos.Desde o início da alfabetização podemos nos apropriar dos conhecimentosanteriores dos estudantes quanto a figuras planas e figuras espaciais ligadas ao seucotidiano levando-os ao desenvolvimento da percepção e à discriminação de formas.Explorando estes objetos tridimensionais, o estudante pode distinguir figuras planas enão-planas, bem como estudar os atributos definidores de figuras geométricas e suaspropriedades.No processo de ensino e de aprendizagem é muito importante a presença deexemplos para serem fornecidos aos alunos e que também que sejam obtidos deles, paraevitar erros de generalização. O professor deve evitar dar exemplos com modelos únicospara que o aluno não pense que apenas naquela situação vale a definição. Por exemplo,ao apresentarmos o conceito de triângulo deve-se exemplificar com vários triângulos,diferentes entre si quanto ao tamanho dos lados e quanto ao tamanho dos seus ângulos.14

O Ensino da Matemática na EJAA Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura(UNESCO) é um ramo da Organização das Nações Unidas (ONU), fundada em 16 deNovembro de 1945, com o objetivo de contribuir para a paz e segurança no mundomediante a educação, a ciência, a cultura e as comunicações.Em 1990, a UNESCO começou o Movimento Educação Para Todos 1 que é umcompromisso mundial para promover uma educação básica de qualidade a todas ascrianças e a todos os jovens e adultos. Esse movimento se iniciou durante a ConferênciaMundial sobre a Educação para Todos que ocorreu nesse ano em Jomtien na Tailandia.Nesta conferência, delegados de 155 países além de representantes deOrganizações Não-governamentais destes países tiraram metas para a educação mundialpara os dez anos seguintes que tinham como principal objetivo tornar a educaçãoprimária acessível a todas as crianças do mundo.Para que esse objetivo fosse alcançado foram traçadas algumas estratégias aserem seguidas, principalmente pelos países em desenvolvimento. Inspirado nestasestratégias a Secretaria Municipal de Educação da Cidade de São Paulo lançou as trêsprimeiras proposições a seguir e acrescentou a quarta.Estas proposições foram sugeridas por um documento lançado pela Divisão deOrientação Técnica da Educação de Jovens e Adultos (DOT-EJA) da SecretariaMunicipal de Educação, intitulada: Coleção Círculos de Formação, na qual o livro 3trataespecificamente de Matemática e é intitulado Mergulhados em Números: AMatemática na EJA em São Paulo (2004).Primeira proposição: Aprender é um processoA educação tem início no momento em que nascemos e se estende por toda avida. Isso quer dizer que as pessoas, inclusive os educadores e os educandos, estãosempre aprendendo. E aprendendo nas mais variadas situações. Isso implica considerarque: além de conhecimentos e representações sobre situações vividas ou observadas,jovens e adultos pouco ou não escolarizados possuem valores, atitudes e crenças1 Em 2000, A UNESCO, percebendo que o objetivo traçado para 10 anos não seria atingido por muitos países,promoveu uma nova reunião em Dacar (Senegal) e reiterou seu compromisso de promover educação para todos até2015.15

construídas em seus percursos, pessoais; a educação e o processo de aprendizagemocorrem em diferentes momentos da vida das pessoas, na interação com os outros.Segunda proposição: Aprender deve ter significado para osenvolvidos no processoO processo educativo deve estar conectado às necessidades básicas daspopulações, portanto, os conteúdos ensinados e as aprendizagens esperadas devem levarem conta o que os jovens e os adultos precisam saber para viver de maneira plena; asescolhas sobre o que ensinar devem buscar soluções para os problemas do contexto emque vivem os educandos; as necessidades de aprendizagem das pessoas devem serinvestigadas pelos educadores a partir do conhecimento da vida de seus educandos e darealidade dos locais em que vivem, tal investigação também deve ser feita pelospróprios educandos a partir da identificação dos problemas que os afetam e da busca desoluções para eles.Terceira proposição: aprender é o foco do processo educativoA aprendizagem deve ter lugar central no processo educativo. Desta maneira, oeducador deve criar variadas oportunidades de aprendizagem, em vez de cumprir listasde conteúdos e de reproduzir práticas de ensino tradicionais; valorizar os saberesprévios que os jovens e adultos possuem e que são adquiridos em suas trajetórias devida e considerar que se aprende muito mais do que aquilo que se deseja ensinar.Quarta proposição: o papel do educador é fundamental comomediador do processo, assim deve possuir competênciasespecíficas desta profissãoÉ necessário conhecer Matemática para poder conectá-la ao que os educandosconsideram necessário aprender e, com isso, informar, formando. Isso quer dizer que,para fazer escolhas sobre quais aprendizagens são úteis e necessárias à vida e sobrecomo a Matemática pode colaborar para o desenvolvimento pleno das pessoas, é precisoque o educador conheça os objetos de que se ocupa a Matemática e possa adaptá-lospara alcançar a aprendizagem; que se estabeleçam conexões entre os conteúdos daMatemática e o cotidiano, os saberes e as necessidades de aprendizagem dos educandos;16

que se redefina o papel do educador, visto não mais como aquele que expõe e transmiteconhecimentos, mas como organizador das aprendizagens. Para desempenhar este papel,ele precisa conhecer as condições de vida de seus educandos, o contexto em que vivem,seus saberes prévios, suas expectativas e necessidades de aprendizagem. Assim, poderáescolher conteúdos e atividades que possibilitem o alcance dos objetivos deaprendizagem traçados. O educador também é animador do processo de aprendizagem.Ele estimula a comunicação, a sistematização e a formulação de propostas por parte doseducandos e a cooperação entre todos; e finalmente que se redefina o papel doeducando, para que ele seja capaz de fazer escolhas sobre o que quer aprender, a partirde seus saberes prévios e de suas reais necessidades. Ele deixa de ser aquele que nadasabe, capaz somente de receber informações produzidas, para ocupar um lugar centralnas escolhas sobre o que e como estudar, compartilhando este lugar com os educadores.Considerando estas quatro proposições como eixos orientadores para elaboraçãode programas pode-se sugerir que o ensino da Matemática para Jovens e Adultos sejaelaborado levando-as em consideração e é a partir delas que analisaremos a seguir o quenos diz a literatura oficial a respeito do ensino da matemática, em particular dageometria e logo após, estudaremos algumas teorias e propostas que analisam como oaluno aprende Matemática e o papel do professor neste aprendizado.Ao final do trabalho usaremos esta literatura estudada para analisar a prática deuma professora de EJA e o desempenho dos seus alunos com o intuito de melhorar aprática da professora e a aprendizagem destes alunos.17

A Legislação Oficial e o Ensino da MatemáticaCom o intuito de situar o que se espera que o aluno aprenda na disciplina dematemática, particularmente em geometria, desenvolvemos um breve panorama dosdocumentos oficiais que regem o currículo.O primeiro documento a ser analisado são os Parâmetros Curriculares Nacionaispara o Ensino Fundamental (PCNs), em seguida analisaremos um dos documentos queresultaram do Encontro Nacional de Certificação de Competências de Jovens e Adultos(ENCCEJA) e por último analisaremos um documento que a Secretaria Municipal deEducação da Cidade de São Paulo enviou às escolas municipais dessa cidade no iníciode 2007 e que diz o que essa secretaria espera que os professores dessas escolasensinem na disciplina de Matemática para os alunos do Ensino Fundamental.Faremos estas análises sempre com o foco nos conteúdos de geometria.A Matemática no Ensino Fundamental Segundo os PCNs“Não se pode ensinar alguma coisa a alguém, pode-seapenas auxiliar a descobrir por si mesmo”. (GalileuGalilei)Faremos a seguir um breve relato sobre o que dizem os Parâmetros CurricularesNacionais (PCNs) sobre o Ensino da Matemática no Ensino Fundamental.Após muitas discussões ocorridas tanto dentro como fora do Brasil a respeito docrescente uso da matemática, nos diversos ramos de atividades da vida moderna,chegou-se à conclusão de que seria necessária sua adequação à nova sociedade que vemse formando. Estas discussões geraram análises e revisões no Currículo da Matemáticano Ensino Fundamental.Para entender melhor estas novas propostas é necessário conhecer a trajetóriadas reformas curriculares ocorridas nos últimos anos e também analisar brevemente oquadro atual de ensino de Matemática no Brasil.18

O ensino da matemática no Brasil sempre teve um caráter elitista 2 e mesmo asreformas curriculares que aconteceram a partir dos anos 1920 não tiveram forçasuficiente para mudar este quadro. A prática dos professores de matemática continuousendo elitista e com um alto índice de retenção, apesar das mudanças propostas a cadareforma que ocorria. Ainda hoje a prática docente nessa área é marcada pelaformalização precoce de conceitos, pela excessiva preocupação com o treino dehabilidades e mecanização de processos sem compreensão.A partir dos anos de 1960/1970, surge o movimento da Matemática Modernaque influencia o ensino da matemática não só no Brasil como em outros países também.A Matemática Moderna surgiu atrelada a uma política de modernização econômica emque, juntamente com o ensino de Ciências, ela constituía uma via de acesso para opensamento científico e tecnológico. Desta maneira, para atingir estes objetivosprocurou-se aproximar a matemática desenvolvida na escola à matemática vista peloângulo de estudiosos e pesquisadores.Com esta proposta, a matemática passa a fundamentar-se em grandes estruturasque organizam o conhecimento matemático contemporâneo com ênfase na teoria dosconjuntos, nas estruturas algébricas, na topologia, etc. A partir deste movimento muitasdiscussões e reformas curriculares surgiram não só no Brasil como em muitos outrospaíses do mundo.Apesar de toda esta discussão e de todas estas propostas de reformas, deixou-sede considerar o principal: este currículo estava fora do alcance dos alunos, em geral,principalmente dos alunos das séries iniciais do Ensino Fundamental e o excesso deformalização necessário para este tipo de ensino fez com que a Matemática sedistanciasse cada vez mais das questões práticas da vida. A linguagem da teoria dosconjuntos, por exemplo, dá ênfase ao uso de símbolos e a sua terminologia complexacompromete o aprendizado do cálculo aritmético, da geometria, das medidas e de outrostópicos relacionados com estes.No Brasil, o movimento Matemática Moderna, que era levado para osprofessores e alunos principalmente pelos livros didáticos, teve grande influência,durante longo período, só gerando discussões a respeito depois de algum tempo a partir2 Entendemos por educação de caráter elitista aquela educação que é para poucos, que tem características quelevam os alunos a desistir de estudar seja abandonando a escola, seja apenas freqüentando-a sem aprender somentea espera do diploma que a progressão continuada uma dia lhe dará.19

da constatação de inadequação de alguns de seus princípios básicos e das distorções edos exageros ocorridos.Em 1980, o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) dos EstadosUnidos apresentou recomendações para o ensino de Matemática no documento “Agendapara Ação 2”. Nele, o foco do ensino da Matemática volta-se para a resolução deproblemas para os anos 80. Este documento trazia também uma tendência àcompreensão da relevância de aspectos sociais, antropológicos, lingüísticos, além doscognitivos, na aprendizagem da Matemática e imprimiu novos rumos às discussõescurriculares nesta área de conhecimento.Essas idéias influenciaram as reformas que ocorreram em todo o mundo, a partirde então. As propostas elaboradas no período 1980/1995, em diferentes países,apresentaram pontos em comum, como:• O ensino da Matemática passa a ser visto como o caminho para a aquisição decompetências básicas necessárias à formação de cidadãos e não apenas voltadaspara a preparação de estudos posteriores;• O papel do aluno passa a ser de suma importância na construção do seuconhecimento;• Enfatiza-se muito a resolução de problemas, na exploração da Matemática apartir dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas;• Passa a ser importante o trabalho com uma quantidade maior de conteúdos,incluindo já no ensino fundamental, por exemplo, elementos de estatística,probabilidade e combinatória para atender à demanda social que indica anecessidade de abordar esses assuntos;• Considera-se a necessidade de levar os alunos a compreender a importância douso da tecnologia e a acompanhar sua permanente renovação.No Brasil, essas idéias vêm sendo discutidas e algumas aparecem nas propostascurriculares de Secretarias de Estado e Secretarias Municipais de Educação, sendo quetemos exemplos de experiências bem sucedidas nesse sentido. No entanto, é importantesalientar que ainda hoje nota-se, por exemplo, a insistência no trabalho com alinguagem da teoria dos conjuntos nas séries iniciais, a formalização precoce deconceitos, o predomínio absoluto da Álgebra nas séries finais e as poucas aplicaçõespráticas da Matemática no Ensino Fundamental.20

A análise das propostas curriculares oficiais, realizada em 1995 pela FundaçãoCarlos Chagas, mostra-nos que algumas propostas curriculares estaduais e municipaiselaboradas recentemente ainda sofrem a influência desta proposta tecnicista. Nelas, aFundação concluiu que os currículos se dividem em duas grandes famílias: os que sãobaseados totalmente na Teoria dos Conjuntos e os que reduziram seu uso ao mínimo.No entanto, estas propostas curriculares mais recentes ainda são desconhecidasda maioria dos professores que também não têm conhecimento claro sobre quais fatoresmotivaram as reformas. O que se vê, em geral, são ótimas e inovadoras idéias ficaremno papel, não serem incorporadas ou ainda serem incorporadas de maneira superficial einadequada pelos professores, fazendo com que as mudanças desejadas não ocorram ouocorram apenas parcialmente.Quadro Atual do Ensino de Matemática no BrasilMuitos são os obstáculos que o Brasil tem enfrentado em relação ao ensino daMatemática, entre eles estão: falta de uma formação profissional qualificada, restriçõesligadas às condições de trabalho, ausência de políticas educacionais efetivas einterpretações equivocadas de concepções pedagógicas.Porém, muito tem sido feito para melhorar esta situação, muita coisa inclusivecom sucesso. Algumas escolas têm elaborado projetos educativos que atendem osinteresses e necessidades da comunidade. Existem também professores que cominiciativas individuais ou em pequenos grupos vão à busca de conhecimentos que levamà reflexão e ao desenvolvimento de práticas pedagógicas mais eficientes para ensinarMatemática.Em paralelo a isso, algumas universidades, secretarias da educação e outrasinstituições têm se preocupado em elaborar materiais de apoio para a prática doprofessor. Mas, essas iniciativas, embora de grande valor pedagógico, não chegaramainda a alterar de modo favorável o quadro do ensino da Matemática no Brasil. Aformação inicial e a formação continuada do professor de matemática ainda éinsatisfatória, o que leva estes professores a se apoiar quase que exclusivamente noslivros didáticos que, em muitos casos, não possuem a qualidade necessária para servirde apoio para boas aulas.Outro aspecto que é responsável pela baixa qualidade das aulas de matemática éa interpretação equivocada de concepções pedagógicas inovadoras que aparecem em21

muitas destas novas propostas. Por exemplo, a resolução de problemas que é o eixonorteador da maioria destas novas propostas ainda é usada de maneira inadequada naforma de listas enormes que usam única e exclusivamente a aplicação de técnicas e amemorização de conceitos que são aplicadas paralelamente ao ensino tradicional.Outro equívoco que se apresenta com freqüência é a concepção linear do ensinoda matemática, que, por vezes traz dúvidas quanto ao ponto de partida para e ensino dosconteúdos e que leva à opção pelos fundamentos de cada teoria e que, no caso dageometria, usa como referência inicial as noções de ponto, reta e plano, noções estasque exigem demais da abstração do aluno além de dificilmente se ligarem aosconhecimentos anteriores ligados à vida do aluno.Algumas recomendações são feitas aos professores no sentido de que osconteúdos sejam selecionados de modo a potencializar a aprendizagem das idéiasfundamentais para a instrumentação para a vida ou ainda para desenvolver a forma depensar do aluno, mas nem sempre são observadas pelos mesmos. Outra recomendaçãoque muitas vezes não é acatada é sobre a organização dos conteúdos que não deveriamser organizados de forma hierarquizada e pela idéia de pré-requisitos, ou ainda de formaisolada, apresentados e esgotados em um único momento. O ideal seria que osconteúdos de matemática fossem desenvolvidos por etapas ao decorrer do curso,aprofundando-se a cada retomada sempre fundamentado e atrelado às vivênciasanteriores do aluno e fazendo-se conexões com outros conhecimentos do dia-a-dia,construindo, desta forma significados.Outra questão a ser analisada é a que diz respeito à contextualização dosconteúdos que não deve se limitar às atividades do dia-a-dia do aluno, ma também deveser realizada em conexão com outros aspectos da própria matemática ou ainda de outrosramos da ciência, da história e do conhecimento em geral.O ensino da História da Matemática também é de vital importância paraproporcionar o entendimento mais amplo dos conteúdos matemáticos e suas aplicações.Ela deveria se tornar um assunto específico a ser tratado nas aulas de matemática, ouseja, um dos conteúdos a fazer parte do planejamento nesta disciplina tomando-se ocuidado de não limitá-la a ser apenas a apresentação de fatos ou biografias dematemáticos famosos.O uso de recursos didáticos também deve ser melhor especificado nas propostascurriculares pois nem sempre são claras aos olhos dos professores gerando, muitas22

vezes expectativas indevidas e resultados finais desastrosos quanto ao desempenho dosalunos nesta disciplina.Levando-se em consideração as provas aplicadas pelo Sistema Nacional deAvaliação Escolar da Educação Básica (SAEB) nos anos de 1993 e 1995, o desempenhona disciplina de matemática diminui quando aumenta o número de anos deescolarização destes alunos o que nos leva a concluir que no ensino da matemáticaexistem problemas antigos e problemas novos a serem resolvidos, ou seja, não basta quesejam feitas novas propostas de ensino se elas não forem aplicadas adequadamente.O conhecimento matemáticoPara que possamos propor um currículo de Matemática no Ensino Fundamentalé necessário inicialmente discutir a natureza desse conhecimento e refletir acerca desuas principais características e de seus métodos particulares, de modo a conhecer seupapel no currículo a fim de contribuir para a formação da cidadania.Principais característicasA matemática é uma ciência viva que deve ser usada como forma decompreender e atuar no mundo.Existem duas maneira indissociáveis de se impulsionar o trabalho emmatemática: uma delas é pelas aplicações às mais variadas atividades humanas, desde asmais simples na vida cotidiana até as mais complexas na elaboração de outras ciências ea outra maneira de se impulsioná-la é a partir da especulação pura, ou seja, a busca derespostas para questões geradas pela própria Matemática.Além disso, o aspecto estético merece atenção, como nos trabalhos com o ensinoinicial de geometria onde sistemas abstratos ideais organizam-se e se inter-relacionamrevelando fenômenos do espaço, do movimento, das formas e dos números, associadosquase sempre a fenômenos do mundo físico.Mudanças de paradigmas também surgem com a evolução destas teorias, comoocorreu, por exemplo, quando se superou a visão de uma única geometria, a euclidiana,com o surgimento dos modelos geométricos não-euclideanos que são logicamenteconsistentes e que podem modelar a realidade do espaço físico.23

Vale a pena lembrar que a matemática que conhecemos hoje surgiu no períodode 700 a.C. a 300 d.C. e que só atingiu a sua maturidade no final do século XIX, com osurgimento da Teoria dos Conjuntos e o desenvolvimento da Lógica Matemática.Convém também ressaltar que existem inúmeras teorias matemáticas que porcaminhos diferentes relacionam-se com o mundo físico, além de que o relacionamentocom o acaso tornou-se maior no mundo atual com o advento da era da informação e daautomação que tornaram os cálculos numéricos e algébricos mais rápidos e precisos, oque aumentou as possibilidades de resolução de problemas que hoje podem serabordados e resolvidos usando-se o conhecimento matemático.Objetivos gerais para o ensino fundamentalSegundo os PCNs (1998), as finalidades do ensino da Matemática visando aconstrução da cidadania indicam como objetivos do ensino fundamental levar o aluno a:• Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender etransformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual,característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, acuriosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade pararesolver problemas;• Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos darealidade, estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o conhecimentomatemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico,combinatório, probabilístico);• Selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las eavaliá-las criticamente;• Resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados,desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, indução,dedução, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentosmatemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis;• Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentarresultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso dalinguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representaçõesmatemáticas;• Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entreesses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares;• Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentosmatemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca desoluções;• Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente nabusca de soluções para problemas propostos, identificando aspectosconsensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensardos colegas e aprendendo com eles.24

Seleção de ConteúdosAtualmente, há consenso acerca dos currículos de Matemática para o EnsinoFundamental devam contemplar o estudo dos números e das operações (no campo daAritmética e da Álgebra), o estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e oestudo das grandezas e das medidas (que permite interligações entre os campos daAritmética, da Álgebra, e da Geometria e de outros campos do conhecimento). Umolhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade de acrescentar a essesconteúdos aqueles que permitam ao cidadão tratar as informações que recebecotidianamente, aprendendo a lidar com dados estatísticos, tabelas e gráficos e araciocinar utilizando idéias relativas à probabilidade e à combinatória.O estudo do espaço e da forma é necessário, devido às possibilidades deocupação do espaço, com a localização e deslocamento de objetos no espaço, vistos sobdiferentes ângulos, em virtude de que situações cotidianas e também muitas profissõescomo a engenharia, a arquitetura, a decoração, a bioquímica, a mecânica, etc., quenecessitam de um pensamento geométrico e da observação do espaço tridimensional.No entanto, o ensino da geometria, na educação tradicional é deixado parasegundo plano e muitas vezes confundido com o ensino das medidas o que é ruim, hajavista a possibilidade que ela proporciona de desenvolver um pensamento particular queajuda a compreender, organizar e descrever o mundo em que se vive. Além de ser umcampo fértil para o aprendizado a partir da resolução de situações-problemas devido aodesenvolvimento da capacidade de argumentar e construir demonstrações.A aprendizagem da geometria desenvolve as habilidades de percepção espacial,de elaboração de um sistema de propriedades geométricas e também de uma linguagemque permita agir nesse modelo e a permita codificação e decodificação de desenhos.Para desenvolver estas habilidades, o documento sugere atividades tais comoelaboração de mapas geográficos fazendo a relação entre as coordenadas cartesianas eas coordenadas geográficas, a confecção de maquetes tridimensionais e atividades declassificação de figuras geométricas com base na observação de suas propriedades eregularidades, além de atividades de ladrilhamentos, tangrans e poliminós, atividadesestas que num segundo momento servirão de trampolim para o estudo das medidas. Ouso de softwares específicos também é recomendado.25

O estudo de temas geométricos possibilita ainda a exploração de interessantesaspectos históricos uma vez que sabemos que a Geometria é um dos ramos mais antigosda Matemática e que se desenvolveu em função de necessidades humanas.Notamos que dentro dos PCNs não há um item específico que trate da seleção deconteúdos para o ensino da geometria na modalidade EJA. No entanto há o documentoque surgiu durante o Encontro Nacional de Certificação de Competências de Jovens eAdultos (ENCCEJA) que trata dessa modalidade de ensino e será analisado naseqüência. Há também o documento expedido pela Secretaria da Educação da Cidade deSão Paulo e enviado para as escolas municipais desta cidade no início de 2007. Nessedocumento essa Secretaria discute o que espera que seja ensinado sobre matemáticanessas escolas. A partir destes três documentos procuraremos fazer uma adaptação dosconteúdos e das atividades a serem utilizadas nas aulas de geometria na modalidadeEJA, uma vez que não existe um documento específico que trate deste assunto.A Matemática segundo o ENCCEJAEm 2002, o Ministério da Educação (MEC) e o Instituto Nacional de Estudos ePesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP) organizaram o Encontro Nacional deCertificação de Competências de Jovens e Adultos (ENCCEJA) que gerou uma série dedocumentos com referenciais para a Educação de Jovens e Adultos. Entre eles, temos oLivro Introdutório: Documento Básico de onde tiraremos algumas diretrizesrelacionadas ao ensino da Matemática no Ensino Fundamental da EJA.Segundo esse documento, o aprender matemática é um direito básico dessesjovens e adultos e, portanto o papel desta área de conhecimento é atender suasnecessidades individuais e sociais. A falta de domínio do pensamento matemáticadificulta o acesso às posições de trabalho, uma vez que a nossa sociedade depende cadavez mais do conhecimento tecnológico.Segundo o documento, quando se pensa a educação matemática e suaapropriação por jovens a adultos com pouca escolarização, temos que:• Jovens e adultos têm o direito de se apropriar de conhecimentos matemáticospara não serem discriminados, inferiorizados;• Jovens e adultos têm o direito de se apropriar de conhecimentos matemáticos, deforma coerente e compatível com os saberes que construíram ao longo de suavivência.26

Desta forma, a Matemática ensinada deve ter por um lado, um caráter práticopara que este sujeito possa utilizá-la nos problemas do seu dia-a-dia, e por outro ladodeve contribuir para o desenvolvimento do seu raciocínio lógico-matemático.Quanto maior a quantidade de conhecimentos trabalhados com estes alunos,maior será a contribuição no sentido de torná-los cidadãos inseridos na sociedade e nomundo da tecnologia e do trabalho. Desta forma, não se deve restringir o ensino daMatemática ao ensino da aritmética e a álgebra, mas também à geometria, ao estudo dasmedidas e também a atividades que envolvam o raciocínio combinatório e probabilísticoe às análises estatísticas.Além disso, o aluno deve adquirir competências que o levem a estimarresultados e a usar a tecnologia disponível, como por exemplo, no uso das calculadoraseletrônicas e do computador.Um aspecto importante é o que envolve a contribuição das aulas de matemáticana aprendizagem e domínio da língua materna. Desta forma, sempre que possível, oprofessor de Matemática deve apresentar situações onde o aluno deve ler e interpretarproblemas com situações matemáticas por meio do raciocínio e também sugerir que oaluno elabore pequenos textos ou ainda relatórios, em que ele tenha que treinar o ler e oescrever mesmo que esteja neste momento aprendendo Matemática.Ao resolver problemas matemáticos, os alunos descobrem-se capazes deraciocinar e encontrar soluções diante de desafios não só matemáticos, mas do seucotidiano também, possibilitando o exercício da cidadania em sua plenitude.Concluindo, para dimensionar o papel da matemática na formação de um jovemou de um adulto é importante que se discuta, de um lado, a natureza desseconhecimento, suas características principais e seus métodos particulares; de outro, éfundamental discutir suas articulações com outras áreas de conhecimento e suas efetivascontribuições para a formação da cidadania e para a constituição de sujeitos daaprendizagem.Matrizes de MatemáticaA Matemática no Ensino FundamentalNo início de 2007, a Secretaria de Educação da Cidade de São Paulo enviou paraas Escolas Municipais de Ensino Fundamental dessa cidade um documento intitulado:27

Matrizes de Matemática, a Matemática no Ensino Fundamental que, entre outras coisas,mostra o foco que o Ministério da Educação espera que se dê ao Ensino da Matemáticano Ensino Fundamental.Este documento diz que a Matemática como um corpo estático e acabado deconhecimentos produzidos por algumas cabeças geniais, foi reavaliada e que desdemeados do século passado considera-se a interdependência da matemática com as outrasáreas de conhecimento. Diz ainda que a Matemática deva ser considerada como aconstrução do conhecimento que trata das relações qualitativas e quantitativas entreespaço e tempo e que esta é uma atividade humana que trata de padrões, da resolução deproblemas, do raciocínio lógico, etc., na tentativa de compreender o mundo e fazer usodeste conhecimento.Segundo este documento, a grande maioria das profissões e trabalhos técnicosexige conhecimentos de Matemática, ou seja, desenvolver competências matemáticas éparte fundamental na Educação das crianças, pois as idéias e os conceitos matemáticossão ferramentas para atuar sobre a realidade e o mundo que as cerca. O conceito decompetência dá ênfase ao que o aluno é capaz de fazer com os conhecimentos queadquiriu muito mais do que o domínio formal dos conceitos.A alfabetização Matemática deve fornecer competências para que o aluno sejacapaz de analisar, raciocinar e comunicar o enunciado, a formular e a resolverproblemas em contextos e situações as mais diversas. Desta forma, ao término doEnsino Fundamental, o aluno deverá ser capaz de utilizar o que aprendeu em situaçõesusuais da vida cotidiana e não se restringir apenas a mostrar o conhecimento dosconteúdos desenvolvidos em suas aulas.Assim sendo, o documento sugere que se ensine a Matemática organizada demodo a atender as grandes áreas temáticas: números e operações, espaço e forma,grandezas e medidas e tratamento da informação.Como nosso foco é a geometria, vamos transcrever o que o documento diz arespeito do item “Espaço e Forma”.Em Espaço e Forma – em geral vinculados à Geometria, trabalham-secom fenômenos e relações geométricas e espaciais, levando o aluno aobservar semelhanças e diferenças, analisar os componentes das formas,reconhecê-las em suas diferentes representações e dimensões, entenderas propriedades e as posições relativas dos objetos. As formas podem ser28

consideradas como “regularidades” e, as regularidades se encontramem toda parte – na fala, na escrita, no tráfego, nas construções, namúsica, nas folhas de árvores, nos edifícios, na arte, etc.O estudo das formas, intimamente ligado ao conceito de “percepçãoespacial” implica em aprender a reconhecer, explorar e mover-se commaior conhecimento no espaço em que se vive; entender a representaçãoem duas dimensões dos objetos tridimensionais; entender e interpretar assombras; compreender o que é perspectiva e como funciona; entender arelação entre formas e imagens ou representações visuais, por exemplo,as relações entre um objeto e sua fotografia.A seguir analisaremos o que dizem alguns autores sobre o ensino da matemáticae da geometria para no final, analisar as atividades dos alunos, verificar as dificuldadese sugerir as possibilidades para o ensino da geometria na EJA.29

Competências do Pensamento GeométricoExiste uma complexidade tocante às relações entre Geometria como campounicamente da Matemática e como análise do espaço que nos cerca.A geometria, lida com relações entre objetos reais, objetos teóricos e sua origem,está em trabalhos práticos reais e, ao mesmo tempo, em teorias abstratas.A idéia de simetria, por exemplo, podemos encontrá-la no artesanato de diversasculturas, mas também na matemática ela é interpretada como transformações de pontosno plano.Muitos profissionais, tais como vidraceiros e carpinteiros usam da geometriaempiricamente, apesar de seus conhecimentos poderem ser comprovados teoricamente.Existem algumas competências necessárias para se estabelecer o pensamentogeométrico, tais como: experimentar, conjecturar, representar, estabelecer relações,comunicar, argumentar e validar.A seguir detalharemos essas competências, segundo as considerações da apostilado PEC (2002) bem como o modelo Van Hiele (1994) para o pensamento geométrico.O Experimentar como CompetênciaExperimentar significa “pôr a prova”. Um professor pode oferecer materiaisconcretos ao aluno para que ele chegue, por meio de experiências como manipulação,contemplação e também de conjecturas para chegar aos conceitos geométricos e até ageneralizações válidas.Um bom exemplo seria o de um professor oferecendo várias varetas detamanhos diversos para que os alunos construam triângulos. A partir de tentativas osalunos poderão chegar a conclusões importantes que relacionam o tamanho dos lados ea possibilidade da construção de triângulos a partir destes.Neste momento, é importante que o professor deixe claro que essas conjecturaslevam a generalizações e conceituações. Além disso, elas só podem ser aceitas quandodemonstradas formalmente e que a ciência se desenvolveu com o passar do tempo destaforma. É importante considerar, ainda que inicialmente e intuitivamente, que ametodologia científica valida os experimentos e conjecturas via demonstraçõesrigorosas.30

O Modelo Van Hiele de Desenvolvimento do PensamentoGeométricoSegundo Crowley (1994), o método desenvolvido pelo casal Dina van Hiele-Geldof e Pierre van Hiele 3 pode ser utilizado para medir o nível de maturidadegeométrica do aluno. Este método foi o resultado das teses de doutoramento do casalfinalizados simultaneamente na Universidade de Utrech.Esse modelo sugere que os alunos progridem segundo uma seqüência de níveisde compreensão de conceitos. O progresso para o nível seguinte se dá pela vivência deatividades adequadas.Segundo Van Hiele, cada nível de aprendizagem é caracterizado por relaçõesentre os objetos de estudo e linguagens próprias. Conseqüentemente, não pode havercompreensão quando as propostas de aprendizagem são apresentadas num nível maiselevado do que aquele atingido pelo aluno.Com cinco níveis hierárquicos, Van Hiele estabeleceu que o aluno só atingedeterminado nível de raciocínio após passar por todos os níveis inferiores. Esta pode seruma explicação para as dificuldades apresentadas pelos alunos quando engajados numcurso sistemático de Geometria (nível 3, vide tabela abaixo) sem a necessária vivênciaprévia das experiências nos níveis anteriores.3 Pierre Marie Van Hiele e Dina Van Hiele Geldof foram professores de Geometria na Holanda. A partir daexperiência docente, ambos elaboraram e apresentaram para doutoramento, em 1957, um modelo – que passou a serconhecido pelo sobrenome do casal – para explicar o desenvolvimento do raciocínio geométrico entre os alunos doensino secundário. Logo após completar, simultaneamente com o marido, o doutorado pela Universidade de Utrecht,na Holanda, Dina morreu. Pierre, então, desenvolveu e divulgou a teoria do modelo Van Hiele, que tem influenciadodiferentes países na organização curricular de Geometria. A ex-União Soviética foi o primeiro país a incorporar omodelo.31

Tabela 1 – Retirada da Apostila do PECNível de VanHieleBásico:ReconhecimentoNível 1: AnáliseNível 2: Síntese ouabstraçãoNível 3: DeduçãoNível 4: RigorCaracterísticas Exemplos deAtividadesIdentificação, comparação e Classificação de quadriláterosnomenclatura de figuras (recortes) em grupos degeométricas, com base em sua quadrados, retângulos,aparência global.paralelogramos, losangos etrapézios.Análise das figuras em termos Descrição de um quadrado porde seus componentes, meio de suas propriedades: 4reconhecimento de suas lados, 4 ângulos retos, ladospropriedades e uso delas para iguais, lados opostos paralelos.resolver problemas.Percepção da necessidade deuma definição precisa, e de queuma propriedade pode decorrerda outra, argumentação lógicainformal e ordenação declasses de figuras geométricas.Domínio do processo dedutivoedemonstrações,reconhecimento de condiçõesnecessárias e suficientes.Estabelecimento de teoremasem diversos sistemas ecomparação dos mesmos.A Representação como Competência32Descrição do quadrado pelaspropriedades mínimas: 4 ladosiguais e 4 ângulos retos. Oretângulo é um paralelogramo,pois também possui os ladosopostos paralelos.Demonstração de propriedadesdos triângulos e quadriláterosusando a congruência detriângulos.Estabelecimentoedemonstração de teoremas emuma Geometria finita.Um aspecto peculiar do ensino da Geometria está na ambigüidade do papel dasrepresentações gráficas: elas são ao mesmo tempo objetos reais e teóricos.Podemos estabelecer uma diferença entre “desenho” e “figura geométrica”. Odesenho é uma representação gráfica de um objeto matemático. A figura geométrica já éum objeto matemático ideal, isto é, uma criação mental do espírito.O espaço se apresenta para o aluno de forma essencialmente prática: ela constróisuas primeiras noções espaciais por meio dos sentidos e dos movimentos. Esse espaçopercebido por ele, chamado espaço perceptivo, possibilitará a ele, mais adiante, aconstrução do espaço representativo.O espaço que percebemos é o que contém objetos perceptíveis por meio dossentidos, ou seja, um espaço sensível. O ponto, a reta e o quadrado não pertencem a esseespaço. Podem ser concebidos de maneira ideal, mas, rigorosamente, não fazem partedesse espaço sensível.

Pode-se, então, dizer que a Geometria parte do mundo sensível e o estrutura nomundo geométrico (dos volumes, das superfícies, das linhas e dos pontos).É multiplicando suas experiências sobre os objetos do espaço que o aluno vaiaprender e, desse modo, construir uma rede de conhecimentos relativos à localização e àorientação que vai lhe permitir penetrar no domínio da representação dos objetos e,assim, se distanciar do espaço sensorial ou físico.A compreensão das relações geométricas pelos alunos supõe sua ação sobreobjetos. No entanto, é bom ter cuidado para não confundir isso com falsas idéiassegundo as quais se imagina que basta mostrar objetos geométricos aos alunos para queestes os conheçam, ou que basta enunciar suas propriedades para que os alunos delas seapropriem. A questão que se pode levantar, então, é: como passar de um espaço a outro?Provavelmente, é o aspecto experimental que vai colocar em relação esses dois espaços;o sensível e o geométrico.De um lado, a experimentação permite agir, antecipar, ver e explicar o que sepassa no espaço sensível e, de outro, vai permitir o trabalho sobre as representações dosobjetos do espaço geométrico e, assim, desprender-se da manipulação dos objetos reaispara raciocinar sobre representações mentais, o que constitui, enfim, a própria açãoMatemática.Desta forma temos os aspectos heurísticos se articulando com os estéticos e asinferências. Nesta situação, a matemática e a heurística se articulam de modo a facilitara aprendizagem a se atingir a representação como competência.A Comunicação como CompetênciaDesde as séries iniciais, os alunos podem ampliar ou reduzir figuras, trabalhandosobre malhas quadriculadas, em diversas situações. Trabalhando com malhas variadas,eles poderão discutir em que casos há deformação da figura dada e em que casos asfiguras são semelhantes.Se o professor propuser uma atividade geométrica para o seu aluno e depoisconvidá-lo a escrever um texto explicando quais os caminhos usados paradesenvolvimento da atividade, este estará usando também a comunicação comocompetência.33

Este tipo de atividade 4 , em que é preciso comunicar o que está sendo percebido,é tão importante quanto à descoberta em si. A comunicação precisa fazer parte das aulasde matemática.Neste caso, aspectos heurísticos novamente se articulam com aspectos estéticose inferências a exemplo do que já aconteceu na representação como competência.A Argumentação como competênciaApós a proposição de uma atividade geométrica, é preciso que o professor peçaque os alunos anotem as regularidades notadas no decorrer da atividade e argumentequanto a propriedades que poderão decorrer destas regularidades. Estas argumentaçõessão importantes para a aprendizagem da geometria uma vez que ajuda a desenvolver opensamento geométrico e generalizações importantes.4 Ela é chamada em metodologia aplicada à comunicação e à psicologia de protocolo verbal.34

Piaget e o as Estruturas CognitivasSintetizamos algumas idéias de Jean Piaget para o ensino da matemáticasegundo Smole (2005), que são pertinentes ao nosso estudo.Jean Piaget (1896 – 1980), biólogo suíço, por meio de seus estudos acerca dodesenvolvimento cognitivo e da construção do pensamento lógico-matemático, deu umagrande contribuição para o ensino da matemática no sentido de entender como o alunoaprende construindo conhecimentos.Piaget não foi o primeiro a estudar como a aprendizagem se processa naeducação matemática, antes dele outros trabalhos como os de Pestalozzi, Froebel, MariaMontessori, Decroly e Dewey contribuíram no sentido de entender como a criançaprocessa a aprendizagem da matemática, cada um de seu modo e ao seu tempo.Piaget nunca foi nem pretendeu ser pedagogo, na verdade ele era umepistemólogo que procurou indagar como se produziam os novos conhecimentosdurante o processo de desenvolvimento humano, dando uma contribuição fundamentalao ensino da matemática por meio do entendimento de como a aprendizagem destadisciplina se processa.No seu livro A gênese do número na criança, lançado em 1941, Piaget emconjunto com Alina Szeminska, discorre sobre como são construídos os conceitos denúmero, as noções temporais, as representações de espaço, os conceitos de velocidade, amedição, as primeiras noções geométricas e as representações simbólicas nas crianças.Esse trabalho nos traz dados inéditos sobre a construção do conhecimento matemáticonas crianças. No entanto, iremos nos ater a outra contribuição de Piaget e seusseguidores que não trata da construção de noções e conceitos propriamente ditos, masque faz a diferença de muito do que hoje se pensa, se escreve ou se diz sobre amatemática na escola, construindo diretrizes para uma didática da matemática.O conhecimento Lógico-matemáticoSegundo Becker (apud Smole, 2005), para Piaget, nos tornamos matemáticosenquanto construímos as estruturas de pensamento que nos levam a pensarmatematicamente.35

Piaget apresenta três tipos de conhecimento que a criança usa para se relacionarcom o mundo; o conhecimento físico, o conhecimento social e o lógico-matemático epara usar destes conhecimentos precisa de uma estrutura lógico-matemática paraconstruir conhecimentos sobre o mundo físico e social. No caso dos objetosmatemáticos, que não existem de forma acabada, é necessário que a criança os crieinteriormente, não basta que alguém os apresente de fora para dentro para que elas osinteriorizem.As crianças elaboram seu conhecimento lógico-matemático à medida queconstroem relações mais complexas sobre outras mais simples que elas mesmascriaram. Para ampliar seus conhecimentos matemáticos não basta que alguém transmitaestes conhecimentos à criança, é necessário que ocorra um processo interno ao sujeito.Desta forma, antes das pesquisas de Piaget, acreditava-se que a criança aprendiamatemática devido a ações do adulto e devido a repetições de fatos conhecidos pelosadultos até que as crianças se familiarizassem a eles. Após os estudos de Piaget houveuma mudança significativa na didática da matemática, uma vez que se refletiu sobre ofato da aprendizagem da matemática não ocorrer por transmissão social de um adultoque fala a uma criança que ouve passivamente, mas sim do professor que cria condiçõespara que o aluno aprenda, daquele que desafia o mesmo a aprender, a pensar por si só, aanalisar e a questionar aquilo que a escola deseja que ele aprenda. Desta forma o papeldo professor deixa de ser apenas o de ensinar, mas passa a ser o de mediador daaprendizagem e o aluno deixa de simplesmente aprender um conteúdo para atribuir umsignificado para aquilo que aprende.A partir desta idéia muda o papel de professor que não é mais de transmitir, masde criar as condições para que o aluno aprenda, de desafiá-lo a pensar por si mesmo, aanalisar, a questionar aquilo que a escola deseja que ele aprenda.A visão de Piaget do ser humano é a de um ser que além de modificar o meio emque vive, tem a capacidade de modificar a si mesmo e é esta transformação que originao conhecimento.Desta forma, surge o construtivismo que é uma interação entre a condição que osseres humanos dispõem ao nascer e sua atividade transformadora do meio. Nessesentido, o conhecimento não é algo que se produz sem razão, mas sim é o resultado deum processo adaptativo decorrente de uma necessidade. O sujeito encontra umanecessidade e para enfrentá-la precisa modificar seus conhecimentos antigos,36

abandonando crenças anteriores para poder dar um passo adiante. Por isso oconhecimento é um processo de criação e não de repetição.Para Piaget, ao nos referirmos ao pensamento lógico-matemático, para que hajauma aproximação entre as estruturas de pensamento do professor e do aluno énecessário considerar que a compreensão real de uma teoria, por parte daquele que adesenvolve ou estuda, supõe sua reinvenção por esse sujeito. Isso não quer dizer que oprofessor já não seja necessário, seu papel não deve consistir em ministrar aulas, lições,mas em organizar situações que levem o aluno a investigar, utilizando dispositivosapropriados, o que nos leva a uma didática de matemática baseada na resolução deproblemas. O professor deve propor aos alunos problemas que o desequilibrem naquiloque sabe, fazendo com que todo o conhecimento de que dispõe seja revistado,vasculhado, complementado, ampliado, dando lugar a novas e mais complexas relações.Segundo Seymour Papert, “a função da matemática escolar é ensinar os alunos aserem matemáticos em vez de ensinar matemática a eles”. Para entender estepensamento devemos procurar saber como Piaget via o ser matemático. Segundo elenão se define um matemático pelo conhecimento que ele tem de uma série memorizadade fatos matemáticos, tampouco porque conhece o trabalho de muitos outrosmatemáticos. Ser matemático implica pensar e fazer, resolver problemas originais oudar a eles uma nova interpretação, gerando conhecimentos novos, mais do queconhecendo aqueles já existentes.A Criança e as Representações GeométricasSegundo Pulaski (1971), para Piaget as crianças apreendem primeiramente asfiguras topológicas, muito antes de assimilarem as figuras geométricas euclidianas.Segundo esse autor, aos três anos uma criança é capaz de distinguir figurasabertas e figuras fechadas, mas ao se pedir que copie um quadrado ou um triângulo, eladesenhará um círculo fechado. Se lhe solicitarmos a cópia de figuras abertas, desenharásimplesmente curvas abertas. Já se pedirmos que copie um círculo dentro de outrocírculo, copiará adequadamente. Apenas depois dos cinco anos, ela começará a desenharquadrados, e somente mais tarde conseguirá copiar adequadamente, como exige ageometria euclidiana, um retângulo com seus ângulos e lados. Após os sete anos, acriança passa a assimilar a relação projetiva.37

Outro aspecto do desenvolvimento da criança abordado por Pulaski (1971) é anoção de egocentrismo 5 que Piaget trata muitas vezes ao longo de sua obra. Segundoesta autora, o egocentrismo é uma característica da criança que não reconhece objetosfamiliares quando vistos sob um ponto de vista diferente daquele que está acostumada avisualizar. Por exemplo, ao se apresentar uma maquete que contenha montanhas edesenhos que mostram estas montanhas vistas sob pontos de vista diferentes, a acriançanão consegue identificar todos os desenhos como sendo da mesma montanha. Somenteapós os nove ou dez anos a criança consegue distinguir, com acuidade, as diferentesperspectivas possíveis e coordená-las.Piaget e o Aluno AdultoQuanto ao aluno adulto, que é o foco principal do nosso trabalho, vamos ver oque o grupo de pesquisa NEA-FEUSP (Núcleo de Educação de Jovens e Adultos eFormação Permanente de Professores da Faculdade de Educação da Universidade deSão Paulo) nos tem a dizer.Para Piaget, o desenvolvimento intelectual do ser humano se processa sob doisaspectos: o motor ou intelectual e o afetivo, denominados por Piaget de “estágios dedesenvolvimento” distribuídos de acordo com a idade da criança: o primeiro é o estágiosensório-motor (do nascimento até os dois anos de idade); o segundo dividi-se em doissub-estágios, o de preparação para as operações lógico-concretas (2 a 7 anos) e o deoperações lógico-concretas (7 anos a adolescência). A partir daí até a idade adulta,configura-se o estágio da lógica formal, ou seja, quando o pensamento lógico alcançaseu nível maior de equilíbrio.Convém lembrar que, para Piaget, a inteligência é uma adaptação que ocorre àmedida que o indivíduo vai enfrentando situações novas e interagindo com o meio que ocircunda, ou seja, ele não apenas responde ao mundo que o circunda, mas também atuasobre ele. Para isso, o indivíduo usa dois componentes: a assimilação (processocognitivo de colocar ou classificar novos eventos em esquemas existentes) e aacomodação (processo de modificação de um esquema ou uma estrutura em função dasparticularidades do objeto a ser assimilado). O equilíbrio entre a assimilação e aacomodação é chamado de adaptação.5 Segundo Piaget, egocentrismo é o raciocínio primitivo que impede alguém de compreender que pode haver mais deum ponto de vista.38

Outra variável presente na teoria de Piaget é a motivação do estudante, onde oprofessor deve organizar o ambiente de modo a estimular o aluno a aprender no seupróprio ritmo, de modo que os seus interesses sirvam de guia livre para a aprendizagem.Interessante notar que essa variável observa-se na EJA uma vez que o alunoadulto sai do seu trabalho, em geral estafante, e vai direto para a escola, encontrandonela um mundo novo que lhe causa estranhamento ou até medo.De acordo com esse grupo (NEA) se a educação desse adulto for planejada deacordo com os princípios de Piaget, de modo que ele manipule objetos do seu ambiente,possa transformá-los encontrando sentido para os mesmos, intervindo em seusdiferentes aspectos até adquirir condições de fazer inferências lógicas internamente,desenvolvendo novos esquemas e novas estruturas, o estudante chegará através de umaseqüência de desequilíbrios sucessivos, seguidos de adaptações, ao conhecimento.Entretanto, existe uma diferença crucial entre o aluno adulto e o aluno criança. Adiferença é que quando o aluno adulto chega à escola, ele já percorreu todos os estágiosdo desenvolvimento o que cria um desafio para o educador que é recuperar a capacidadedeste aluno de combinação e interação, principalmente quando se trata de idéiasabstratas.Aliado a isso, gostaríamos de observar que na pesquisa de Luria 6 (1990),existem comportamentos que são típicos de grupos “pouco letrados” e outros típicos degrupos de letrados, como veremos a seguir.6 Ver a partir da página 40 detalhes sobre a pesquisa de Luria segundo Oliveira (1999b).39

Letramento e Desenvolvimento CognitivoVamos verificar alguns aspectos que, segundo Oliveira (1999b), fazem com queo a falta de letramento interfira no desenvolvimento cognitivo do adulto.Grupos culturais “pouco letrados” integrados nas complexas sociedadescontemporâneas, onde há grande influência do conhecimento científico e dos meios decomunicação em massa tendem a ser homogêneos do ponto de vista social.A denominação “pouco letrado” não diz respeito a nenhuma classificaçãotécnica do grau de alfabetização desses indivíduos, mas sim à condição decorrente dafalta de oportunidade de interação intensa e sistemática com determinados aspectosculturais fundamentais nesse tipo de sociedade o que faz com que esse grupo sejamarcado pela exclusão , pois não possuem a competência da leitura e da escrita e deoutras prática letradas necessárias para a interação com a sociedade em que vivem.Desta forma, esse grupo acaba criando características comuns entre os seusmembros que são conseqüências cognitivas de deferentes práticas culturais.Apontaremos a seguir essas características.Pensamento descontextualizadoA capacidade de elaboração cognitiva descontextualizada é uma dascaracterísticas melhor definida em indivíduos letrados, sendo um comportamentoaparentemente ausente em grupos de “pouco letrados”.Na década de 30, A. R. Luria estudou grupos de camponeses soviéticos eencontrou diferenças cruciais entre os grupos dos letrados e dos “pouco letrados”.Nesses estudos foram observados que sujeitos mais escolarizados envolvidos notrabalho das fazendas coletivas mais modernas, tendiam a trabalhar com categoriasabstratas independente da experiência vivida e do contexto concreto. Luria chamou estecomportamento de “categorial”. Esses sujeitos agrupavam objetos segundo cores,formas geométricas ou categorias, ou ainda, usavam a dedução e a inferência parasolucionar problemas matemáticos a partir de situações hipotéticas.Já os sujeitos menos escolarizados envolvidos em atividades de agriculturatradicional, individualizada, tendiam a operar influenciados por configuraçõesperceptuais, baseados pela experiência pessoas. Luria chamou esse tipo de40

comportamento de “gráfico-funcional”. Ao agrupar objetos, esses indivíduos tendiam acriar categorias que remetiam à sua relação com situações concretas.Experiências mais atuais retratam essa mesma contraposição entre indivíduosletrados e indivíduos “pouco letrados”.Controle da Produção CognitivaOutro aspecto em que também são notadas diferenças quando se analisa alunosletrados e alunos “pouco letrados” é o controle que estes têm sobre sua própria produçãocognitiva.Oliveira (1999b) diz que uma experiência realizada com alunos da EJA nacidade de São Paulo mostra a grande dificuldade que estes alunos têm quando umprofessor propõe uma atividade na qual eles devem seguir instruções explícitas. Adificuldade está no seguir instruções. Estes alunos realizam a tarefa passo a passo,sempre se reportando ao professor para perguntar sobre o próximo a passo a seguir.Luria (1990) estabelece que esta capacidade de seguir instruções estárelacionada à capacidade da auto-instrução e que quando o indivíduo vence esta etapaele passa a organizar o seu comportamento.O controle da produção cognitiva cria também condições para que o sujeitopossa auto-monitorar o desenvolvimento de suas tarefas.Procedimentos MetacognitivosOs procedimentos metacognitivos estão relacionados à questão do controle daprodução cognitiva, isto é, às operações deliberadas do sujeito sobre suas próprias açõesintelectuais. Esses procedimentos fazem com que os indivíduos tenham consciência dospróprios processos de pensamento de modo a explicar esse processo a outras pessoas.Pesquisas mostram que indivíduos “pouco letrados” têm dificuldade de transitarpor esses procedimentos e uma conseqüência desta dificuldade notada também porOliveira (1999b), em sua pesquisa com os alunos de EJA, é a tendência à adoção “nãorefletida”de princípios como sendo universais, ou seja, quando o professor passa umaregra para ser usada numa determinada situação, o aluno conclui erroneamente que estaregra vale para todos os casos que surgirem a seguir.41

Transformações Culturais da Sociedade LetradaNesse item analisaremos como a escrita e o desenvolvimento da ciência formalpodem influenciar no desenvolvimento cognitivo do indivíduo.A escrita enquanto sistema simbólico é, por definição, um dos principaisfundamentos do modo letrado de pensamento favorecendo o pensamentodescontextualizado e independente da experiência do sujeito. Ela favorece, também, aconsciência metalingüística, pois por meio dela o sujeito pode refletir e construirconhecimento explícito.A escrita fornece também ao seu usuário, instrumentos externos que facilitam autilização de procedimentos de controle cognitivo (listas, calendários, tabelas, etc.)O desenvolvimento da ciência formal é outro aspecto que pode ser relacionadocom as transformações do modo de pensamento do sujeito, embora isso não sejapossível sem o auxílio da escrita.Fazem parte do desenvolvimento científico atividades que pressupõem aconstrução de categorias formalizadas de organização do real e processos deliberados degeneralização.A sociedade pautada pelo desenvolvimento científico e tecnológico é organizadapor objetivos de predição e controle, que necessitam de planejamento em longo prazo,organização institucional e tomadas de decisões com base em critérios que ultrapassamas necessidades individuais e imediatas.Finalizando, a escola é a instituição tem por fim colocar os sujeitos em contatocom a escrita e o desenvolvimento científico, favorecendo, deste modo, odesenvolvimento cognitivo do sujeito.As práticas escolares favorecem, portanto, o desenvolvimento do pensamentodescontextualizado e a ação metacognitiva. Favorecem, também, o aprendizado deformas de controle da produção cognitiva que são partes importantes das tarefasescolares.Desta forma, podemos concluir que os sujeitos excluídos de uma relaçãosistemática com a escrita, com a escola e com a ciência têm o seu desenvolvimentocognitivo comprometido.42

Linguagem Matemática: Símbolo e significadoNeste capítulo trataremos das idéias de Gómez-Granell (1997) que faz umaanálise sobre a aquisição da linguagem matemática, sobre a diferença entre conhecer ossímbolos e saber os seus significados.No mundo atual, globalizado e movido a tecnologia, a matemática é cada vezmais necessária. Os cálculos de estatísticas e probabilidades são essenciais para setomar decisões políticas, sociais ou econômicas. Desta forma, seria de se esperar que apopulação, em geral, incrementasse seus estudos nessa área. Mas, não é o que se vê nasescolas de Educação Básica. Hoje, 40 a 50% dos alunos não alcançam o mínimo doconhecimento matemático necessário para finalizar a escolaridade obrigatória. Naverdade, a maioria das pessoas não alcança o nível de “alfabetização funcional” mínimopara desenvolver-se numa sociedade moderna.Chegamos, desta maneira, a um paradoxo: a matemática, um dos conhecimentosmais necessários para se sobreviver nas sociedades modernas altamente tomadas pelatecnologia, é um empecilho ao acesso da grande maioria da população ao sistemaeducacional.Em 1982, Cockcroft afirmou em uma pesquisa na Inglaterra e no País de Galesque a Matemática é uma “matéria” difícil de ensinar e de aprender. A Matemáticaaparece como algo denso e enigmático até mesmo para pessoas cultas e instruídas.Uma explicação para estes fatos estaria baseada na natureza do conhecimentomatemático que é diferente, em muitos aspectos dos outros tipos de conhecimentodevido ao seu alto grau de abstração, pois na verdade se define por dedução e não porabstração como outros conhecimentos.Por outro lado, o conhecimento matemático depende de uma linguagemespecífica, de caráter formal que traduz a linguagem natural para uma linguagemuniversal formalizada, permitindo assim o enorme rigor necessário para se entender oestrito significado dos seus termos.A formalização da linguagem matemática tem uma função primordial: converteros conceitos matemáticos em objetos mais facilmente manipuláveis e calculáveis,possibilitando assim determinadas inferências que de outro modo seriam impossíveis.43

Levando em consideração os fatos acima citados, podemos formular algumasperguntas: Seria a matemática apenas uma linguagem? A maioria das pessoas carecemesmo da capacidade de abstração necessária para dominar linguagens formais? Ou oprocesso de ensino adotado é inadequado?A primeira pergunta formulada gera uma polêmica entre os que consideram aMatemática como sendo apenas uma linguagem e os que pensam que sempre é possívelatribuir um significado aos símbolos que se manipula.Quando um aluno aprende matemática, geralmente aprende decorando regrasque devem ser aplicadas sempre, mas este mecanismo muitas vezes leva a errosgravíssimos além de que, na maior parte das vezes, faz com que os alunos apliquemregras sem entender o seu real significado, sem saber por que deve fazer desta e não deoutra maneira a operação Matemática.É comum o aluno aplicar erroneamente regras que não servem naquela situaçãoespecífica porque decorou a regra sem entender o porquê desta regra ser aplicada emuitas vezes ainda escuta do professor se não está vendo que naquela situação não hálógica em se aplicar a determinada regra.Quando um professor ensina dessa maneira não está percebendo que em todasentença matemática é necessário reconhecer um significado formal intrínseco, no qualuns símbolos fazem referência a outros dentro de um código específico, e umsignificado pragmático, que permite a tradução para sistemas de signos nãomatemáticos, e associar tais expressões ao seu significado referencial.Como alternativa à situação citada acima existem algumas tendênciasmetodológicas para o ensino da Matemática tais como o construtivismo 7 ou ainda oaprendizado através da resolução de problemas. Ambas podem ser tratadas de maneiraconjunta por se tratarem de teorias que priorizam o estudo dos aspectos conceituais damatemática. O importante é que os alunos entendam ou construam o significado dosconceitos matemáticos.Os alunos, desde a mais tenra idade, manifestam procedimentos próprios, nãoformais, que lhes permite ir construindo progressivamente os significados matemáticos.Assim sendo, cabe ao professor usar desta habilidade para ajudar ao aluno a construir osconceitos matemáticos de forma mais intuitiva e menos formal.7 Definimos construtivismo anteriormente na página 36.44

Uma dúvida é se o fato do aluno entender o significado dos conceitos eprocedimentos matemáticos faz com que tenha facilidade para dominar a linguagemformal. Assim sendo, sugere-se que o ensino matemático não seja excessivamenteverbal, mas que a construção do conhecimento se baseie na manipulação 8 e na ação.Após a construção do significado, o passo seguinte seria o uso da linguagem simbólicaem situações de representação onde o aluno deve transmitir os conceitos aprendidos aoutras pessoas. Dependendo do nível de desenvolvimento, o aluno vai recorrer arepresentações próprias desses conceitos. É possível observar com freqüência que existeuma grande resistência do pensamento humano em abandonar o conteúdo do objetoexpressado pela linguagem natural e pelo desenho, para substituí-lo pelo símboloformal.Por outro lado, os alunos costumam aprender a manipular símbolos segundouma série de regras que não entendem. Isso faz com que, para eles, seja muito difícilassociar tais símbolos ao seu significado referencial e, portanto usá-lo para resolverproblemas de forma significativa. O conhecimento conceitual não implicaabsolutamente em conhecimento de regras sintáticas e das convenções de notaçãopróprias do simbolismo matemático.Como os alunos podem resolver muitas operações e problemas usando processosintuitivos, corremos o risco de cometer dois grandes erros: acreditar que não énecessário se ensinar os procedimentos formais ou ainda que se pode passar doprocedimento intuitivo para o formal de forma automática, situação que muitas vezesleva a um “salto mortal” entre o conceitual e o simbólico.Resta-nos, então, saber como fazer para que o aluno passe dos procedimentosnão-formais e intuitivos para as expressões simbólicas próprias da linguagem formal evice-versa.Levando em consideração que a Matemática também é uma linguagem, odomínio dela implica também um conhecimento de aspectos sintáticos e semânticosinerentes a esta linguagem. Mas, deveremos levar em consideração também que estalinguagem constitui uma forma de discurso específico que, embora guarde estreitarelação com a atividade conceitual, mantém a sua própria especificidade como umdiscurso lingüístico. Desta forma, não se pode esquecer que aprender uma linguagem8 Como já vimos na teoria de Piaget, na página 38.45

não é aprender uma série de regras e sim adquirir um grau de competênciacomunicativa 9 que permita usar tal linguagem adequadamente.Levando em consideração os aspectos citados acima podemos considerar que:• Os conceitos e procedimentos matemáticos devem ser ensinados de formacontextualizada: devemos acabar com a idéia de que a matemática é algoexcessivamente abstrato, difícil e inacessível. Embora existam patologias quepodem dificultar o seu aprendizado, a maioria das pessoas pode aprendê-la semnenhuma dificuldade. A maior parte das pessoas que alegam dificuldade paraaprender matemática usa-na como ferramenta nas suas atividades cotidianas poisdela necessitam. Portanto, se queremos ensinar Matemática de uma formasignificativa devemos primeiro conhecer quais são os usos e as funções que oconhecimento matemático cumpre em nossa sociedade e situar a aprendizagemdos conceitos e procedimentos matemáticos no contexto de tais usos e funções.• A resolução de problemas pode ser um instrumento de contextualização: estetipo de atividade não pode acontecer apenas para aplicar os conhecimentospreviamente adquiridos, mas também, para propor situações que requeiram umasolução matemática e que permitam o levantamento de questões, a pesquisa, adiscussão, a exploração e a especulação, além da contextualização dasoperações.• Os procedimentos próprios, intuitivos ou não-formais são instrumentos paraexplorar o significado dos conceitos e procedimentos matemáticos: devemosestimular o uso de desenhos, figuras, jogos e outros processos intuitivos paraque o aluno tome contato inicial com os conceitos matemáticos antes deformalizá-los.• É necessário associar os símbolos matemáticos ao seu significado referencial:dificilmente encontraremos alguma regra algum princípio, que não tenhasignificado referencial.• Aplicar modelos concretos: decorrente do aspecto anterior. Para que os alunosassociem os símbolos matemáticos ao seu significado referencial não bastaincentivar o uso de estratégias pessoais dos alunos, é necessário que o professorproponha modelos que permitam entender a semântica da operação ou9 Como já vimos anteriormente na página 30, quando descrevemos as competências que deverão ser desenvolvidas apartir do estudo da geometria.46

transformação. Esses modelos podem ser: manipulativos, verbais, gráficos ouaté de caráter simbólico.• Utilizar e relacionar linguagens diferenciadas: para associar aspectos sintáticose semânticos é necessário que os alunos usem diferentes linguagens paraexpressar as transformações matemáticas, que as relacionem entre si e quetenham consciência das regras que fazem a passagem de uma linguagem à outra.• Trabalhar os mesmos conceitos e procedimentos em diferentes contextos: aconstrução dos conceitos e procedimentos matemáticos exige que sejamaplicados e atualizados por intermédio de problemas que respondam a estruturassemânticas diferentes.• Estimular a abstração progressivamente: para isso é necessário não só variar oscontextos e as situações, mas também propiciar um processo de reflexãoconsciente e a explicitação das relações entre as quantidades.Para concluir, podemos comparar a aprendizagem da matemática com aaprendizagem de um idioma estrangeiro, pois quanto mais se domina este idioma,menos “estrangeiro” ele se parece. Ou ainda, que a Matemática constitui uma maneiradeterminada e específica de interpretar, de observar a realidade. Que usa uma linguagemespecífica, diferente das linguagens naturais e cuja aquisição não pressupõe a mera“tradução” para a linguagem natural. E que, portanto, aprender matemática significaaprender a observar a realidade matematicamente, entrar na lógica do pensamento e dalinguagem matemática, usando as formas e os significados que lhe são próprios. Esseseria o verdadeiro sentido da alfabetização matemática que nos permitiria circular pelos“domínios da matemática” como se estivéssemos em nossa própria casa e não num“país estrangeiro”.O objetivo e a finalidade da matemática devem ser que os alunos dominem eusem significativamente sua linguagem e os usos específicos da mesma. Mas, para queisso seja alcançado, as formas de ensino e de aproximação tradicionalmente aplicadas aessa linguagem devem ser radicalmente modificadas.47

Princípios Filosóficos que nortearam o trabalhoEsta pesquisa foi norteada pelos princípios filosóficos da fenomenologia, usandocomo metodologia de pesquisa o estudo de caso etnográfico.Segundo Chizzotti (2006), o estudo de caso é uma estratégia de pesquisa muitousada na área educacional em que o pesquisador reúne informações sobre determinadofato ou fenômeno contemporâneo social complexo inserido em seu contexto específico.Tem por objetivo reunir aspectos relevantes sobre o objeto de estudo e destaforma alcançar uma compreensão mais ampla desse objeto dissipando dúvida,esclarecendo questões pertinentes e sugerindo ações posteriores.Este estudo de caso envolve a coleta sistemática de informações de um processosocial, no caso as aulas de geometria para os alunos da modalidade EJA, para conhecermelhor as relações existentes entre os sujeitos envolvidos no processo, no casoprofessora e alunos, analisar os resultados do processo e sugerir novas possibilidades deensino dessa disciplina nessa modalidade de ensino.Quanto à etnografia, segundo Fiorentini & Lorenzato (2006), um estudo de casoé etnográfico quando:1. Está-se interessado numa instância em particular, isto é, numa determinadainstituição, numa pessoa ou num específico programa de currículo;2. Deseja-se conhecer profundamente essa instância particular em suacomplexidade e em sua totalidade;3. Se estiver mais interessado naquilo que está ocorrendo e no como está ocorrendodo que nos seus resultados, ou ainda4. Quer-se retratar o dinamismo de uma situação numa forma muito próxima deseu acontecer natural.Esta pesquisa foi classificada como etnográfica por estar interessada em saberquais a dificuldades e possibilidades do ensino da geometria numa escola específica, oCIEJA. Desejamos, também aprofundarmo-nos no ensino da geometria e verificar se,com as atividades aplicadas nas aulas, os alunos aprendem de maneira satisfatória e casoisso não ocorra, temos ainda o propósito de sugerir novas atividades e novosprocedimentos de modo que esse objetivo inicial seja alcançado.48

MetodologiaOs Sujeitos da PesquisaA ProfessoraNessa pesquisa, a professora articula os papéis de professora e de pesquisadora,pois ao começar a especialização, resolveu pesquisar sobre a própria prática como ummodo de reflexão sobre ela.Licenciada em Matemática pela Universidade de São Paulo, vem atuando naEducação de Jovens e Adultos desde o término da graduação. No início (década de1980) nas escolas particulares de Ensino Supletivo, embora mantivesse umrelacionamento diferenciado com estes alunos, procedia em termos de programas ecurrículos semelhante aos procedimentos com alunos da Educação regular.No início dos anos 1990 participou do “projeto da interdisciplinaridade” daprefeitura de São Paulo quando começou a encarar aluno adulto de uma formadiferenciada e a perceber que o programa e o currículo usados com os adultos nãodevem ser os mesmos usados com as crianças. Começa então, a criar estratégias paraensinar os adultos através de projetos que levam em consideração a “bagagem” anteriordestes alunos.A partir de 2000 participa do projeto “CEMES” da prefeitura de São Paulotomando contato com o material elaborado pela UNESP para este projeto e que mostrauma educação diferenciada para os alunos jovens e adultos trabalhadores. Com amudança do governo, o projeto CEMES dá origem ao projeto CIEJA que tem um olhardiferenciado para o aluno adulto.A professora passa a fazer parte deste novo projeto e percebendo, que apesar dosprojetos, a dificuldade no ensinar matemática continua, resolve então, pesquisar sobrenovas possibilidades neste ensino, visto as dificuldades encontradas no decorrer destesanos. Desta inquietação surge esta pesquisa que visa melhorar a prática da professora efornecer literatura de subsídio para outros professores que têm o mesmo tipo deinquietação.49

Observações sobre as opções metodológicas da professoraNo início de 2007, a Secretaria Municipal de Educação da Cidade de São Paulo(SME) implantou o projeto “Ler e escrever: prioridade na escola municipal” que diz quea responsabilidade do desenvolvimento da competência de leitura e escrita no aluno éresponsabilidade das diferentes áreas de conhecimento, respeitando as suasespecificidades.De acordo com o Referencial de Expectativas (2006) o professor de matemáticatem que criar situações para que o aluno desenvolva a competência leitora e escritoraem suas aulas.A professora em questão considerou que para desenvolver no aluno acompetência da leitura e a competência para resolução das quatro operaçõesfundamentais da aritmética, o melhor caminho seria a partir da resolução de problemasde raciocínio matemático e para isso usou os outros conteúdos da matemática comoelementos para compor novos problemas.Assim sendo as aulas de geometria tiveram um caráter mais lúdico, pois oobjetivo principal era que o aluno conhecesse as principais figuras geométricas parautilização posterior no entendimento dos enunciados dos problemas, principalmente osque tratavam de medidas.Com o objetivo também de dinamizar a resolução de problemas e unir conceitosdiferentes, mas que operacionalmente têm processos semelhantes, a professora optoupor ensinar as medidas de massa e de capacidade logo após o ensino das medidas decomprimento, deixando para a seqüência as medidas de área e de volume e, por último,as medidas de tempo, sempre de olho na competência da leitura e da escrita eprocurando resgatar os conhecimentos anteriores dos alunos.O projeto CIEJAOs Centros Integrados de Educação de Jovens e Adultos (CIEJA) foram criadospelo Decreto nº 43.052, de 4 de abril de 2003.Os Centros Integrados de Educação de Jovens e Adultos promovem cursos deensino fundamental, articulados com a educação profissional de nível básico, atendidosos interesses da comunidade e as peculiaridades locais. Os cursos são organizados emdois ciclos, compostos por quatro módulos, e desenvolvidos em oito semestres.50

Os CIEJAs foram criados com o intuito de mudar a realidade do aluno da EJA edesta maneira está focado no Mundo da Cultura e no Mundo do Trabalho, promovendodesta forma educação elementar básica com resgate das identidades culturais dos alunose a implementação de Itinerários Formativos que visam promover a EducaçãoElementar Básica.Os Centros Integrados de Educação de Jovens e Adultos/CIEJA's oferecem osdois ciclos do Ensino Fundamental a adultos e jovens com mais de 14 anos. Funcionamdas 7h30min às 22h15min, desenvolvendo um processo educacional flexível edinâmico, que atende ao ritmo de aprendizagem dos alunos e às suas possibilidades dehorário. A organização do currículo é modular, integrando educação geral e profissionalbásica por meio de itinerários formativos.Os AlunosOs alunos pesquisados foram alunos do módulo III do projeto CIEJA e que têmsuas aulas com a professora pesquisada. O módulo III tem duração de um ano letivo eequivale à terceira e à quarta séries do segundo segmento do Ensino Fundamental.São alunos trabalhadores e que estudam no período noturno. Na sua maioria, sãosujeitos excluídos do sistema de ensino quando muito jovens e que retomaram seusestudos após muitos anos ou até décadas, longe dos bancos escolares.A maioria deles nunca tinha estudado geometria antes desta retomada dosestudos e tiveram as primeiras noções deste conteúdo neste ano com a professorapesquisadora.A pesquisaCom o propósito de investigar o ensino da matemática, em particular dageometria, na EJA foi problematizado por meio da observação dos procedimentos daprofessora e das atividades realizadas por uma turma de alunos do Módulo III noCIEJA-FÓ/Brasilândia que trabalha aplicando o projeto da Prefeitura do Município deSão Paulo e análise de materiais didáticos elaborados especialmente para este fim.Etapas da pesquisa:• Escolha da turma, da qual foram observadas as aulas e as atividades aplicadas;• Solicitação de autorização da direção da escola para efetuar a pesquisa;• Relato explicativo da atividade aplicada pela professora de matemática da turma;51

• Análise do planejamento da seqüência didática utilizada pela professora nasaulas de geometria (oficinas);• Análise geral do material coletado, a partir da comparação dos dados coletadoscom a teoria estudada;• Elaboração do relatório final.52

A seqüência didática - OficinasA pesquisa, a princípio, foi realizada com base nas atividades realizadas por trêsalunas do Módulo III do projeto CIEJA que preliminarmente receberam noções degeometria em uma seqüência didática que era composta por oficinas de dobraduras,tangram e pentaminó, que articularam conteúdos iniciais de geometria com atividadesde formação de figuras como será ilustrado a seguir.Compreendemos Seqüência Didática como sendo um conjunto de aulasplanejadas para ensinar um determinado conteúdo sem que necessariamente tenha umproduto final. Sua duração pode variar de dias a semanas e várias seqüências podem sertrabalhadas durante o ano, de acordo com o planejado ou com as necessidades da turma.A seqüência didática apresenta desafios cada vez maiores aos alunos, buscandopromover a construção do conhecimento.Após a aplicação da seqüência didática essas alunas foram convidadas aparticipar da pesquisa e realizaram a atividade 1 que foi tratada como uma atividadepreliminar. Após alguns dias, a atividade 2 foi aplicada à turma em que estas alunasestavam inseridas num total de dezenove alunos (as 3 alunas iniciais e mais 16 alunos)como uma atividade de classe.Pretendíamos continuar a pesquisa analisando apenas as atividades das trêsalunas inicialmente elencadas na pesquisa, mas a decodificação das atividades dessasalunas foi custosa, pois as respostas ora apresentavam-se incompletas ora ininteligíveis,com problemas de construção das frases e inclusive das próprias palavras.Dessa forma, optamos por fazer além da análise das atividades das três alunasinicialmente elencadas e analisar também as atividades dos outros dezesseis alunos queparticiparam da segunda atividade no sentido de aprofundar nossas análise.A seqüência didática foi planejada para ser aplicada em quatro diasconsecutivos. Em cada dia da seqüência houve um encontro de duas horas e quinzeminutos, equivalente a três horas/aulas.É importante observar que ao final a seqüência didática anterior à que se segue, aprofessora solicitou aos alunos que fizessem uma pesquisa como trabalho extra-classesobre geometria, sobre seus elementos e a presença da geometria no dia-a-dia.A seguir, temos o planejamento desta seqüência didática:53

Seqüência Didática Bloco 3 - Módulo III – MatemáticaProfessor: xxxxxxxxxDisciplina: MatemáticaConteúdo: Introdução à GeometriaObjetivos Específicos:Apresentar aos alunos as principais figuras geométricas através de atividades práticas.Problematização Inicial:Usando dobraduras apresentar as figuras geométricas planas e espaciais.Etapas do Processo:- Oficina de dobraduras relacionando as figuras, as suas propriedades principais e osseus nomes;- Oficina de tangram reapresentando as figuras geométricas e introduzindo as noçõesde semelhança, congruência e equivalência de figuras planas;- Oficina de pentaminó trabalhando o raciocínio lógico na montagem das figuras.- Anotações em caderno das principais propriedades abordadas durante as oficinas.Recursos Didático-Pedagógicos:- papel sulfite, régua, tesoura e cola para as oficinas;- figuras feitas em EVA;Avaliação:- Avaliação oral e de observação realizadas no decorrer do processo.Segundo a professora, esta avaliação foi feita ouvindo as observações ecomentários que os alunos fizeram durante a execução das oficinas. Ela os observouconforme executavam as atividades de dobradura, montagem de figuras e, sempre quepossível solicitou que participassem indo ao quadro branco imantado e manipulando aspeças do tangram e do pentaminó (ver figuras 1 e 2 a seguir).54

Figura 1Figura 2A figura 1 mostra os quadrados que formarão as peças do pentaminó que umavez manipuladas e arranjadas de maneiras diferentes, originam as peças que encontramsena figura 2.A turma era pequena, com apenas dezenove alunos, estes alunos puderam serouvidos e observados individualmente com certa facilidade.As aulas, durante o desenrolar desta seqüência didática, foram compostas dealgumas oficinas que direcionaram o aluno a tomar contato com a geometria e os seuselementos.No primeiro dia a oficina aplicada foi a de dobraduras que seguiu o modelosugerido pelo livro paradidático “A geometria das dobraduras” do autor Luis CarlosImenes (1996).A oficina de dobraduras teve como objetivo apresentar aos alunos as principaisfiguras geométricas planas, introduzindo o vocabulário apropriado para que estesconhecessem não só as figuras com os seus nomes, mas as suas principaiscaracterísticas de uma forma lúdica e heurística além de introduzir a noção de dimensãoespacial.Nessa atividade, a partir de dobraduras simples, os alunos vão conhecendo asprincipais figuras geométricas planas e vão ampliando o seu vocabulário geométricodando significado às figuras que vão surgindo.55

A reação dos alunos durante esta atividade foi muito boa uma vez que era umaatividade lúdica e heurística. Conforme o aluno vai descobrindo as figuras, ele vaicolando estas figuras no seu caderno com o nome e descrevendo as principaispropriedades das mesmas.A última figura a ser formada é uma figura espacial, um paralelepípedo retoretângulo (veja figuras 3 e 4, a seguir) e a professora aproveita este momento paraexplorar o conceito de dimensão espacial.A seguir temos uma ilustração que mostra a construção desta última figura,retirada do livro em questão.Figura 356

Figura 4A formalização da linguagem ficou restrita às anotações no caderno quando dacolagem das figuras construídas, além de alguns conceitos formalizados pela professorano último dia da seqüência didática.No segundo dia da seqüência didática, a professora aplicou à turma uma oficinade tangram. O tangram (veja figura 5) é um jogo chinês milenar e que tem sua origemexplicada por várias lendas diferentes. Ele é usado, em geral nas aulas de arte paraestimular a criatividade das crianças que o usam como um quebra-cabeça de sete peçascom as quais é possível se formar um número muito grande e diverso de figuras.Figura 5A oficina de tangram teve por objetivo reforçar o conhecimento das formas epropriedades das principais figuras geométricas, desenvolver a criatividade além de57

apresentar aos alunos os conceitos de congruência, semelhança e equivalência de figurasgeométricas. Durante esta oficina foram apresentadas aos alunos algumas figuras novas,tais como o triângulo retângulo, o triângulo isósceles, o paralelogramo e o trapézio, quenão tinham aparecido na oficina de dobraduras.Após a confecção do tangram dobrando-se e cortando-se uma folha de papel,observando-se os nomes e as propriedades das figuras que iam se formando, aprofessora sugeriu que os alunos formassem quadrados, retângulos, triângulos, trapéziose paralelogramos a partir da junção de duas ou mais peças do tangram, estimulandodesta forma a observação e a criatividade. O registro desta atividade foi feito no cadernoonde os alunos desenharam as figuras que encontravam ao unir duas ou mais peças dotangram.No terceiro dia foi aplicada uma oficina de pentaminó a estes alunos. Opentaminó é um jogo que pertence à classe dos poliminós, assim como oconhecidíssimo dominó e o tetraminó que originou o jogo “tetris”. O dominó écomposto por dois quadrados congruentes unidos pelos seus lados, o tetraminós éformado pela união de quatro quadrados congruentes unidos pelos seus lados e que podeser construído de cinco formas diferentes, já o pentaminó é formado partir da uniãopelos lados de cinco quadrados diferentes. Existem doze figuras de pentaminó diferentese o objetivo de se trabalhar a geometria com este jogo é levar os alunos a perceber aforma e montar as peças do pentaminó a partir dos quadrados soltos e a seguir juntar asdoze peças do pentaminó como se fossem peças de um quebra-cabeça e formarretângulos e quadrados maiores.A seguir, na figura 6, temos as doze figuras que formam um jogo de pentaminóacompanhada de seus nomes que se relacionam com as letras do alfabeto as quais seaproximam do formato dessas peças.Figura 658

Temos inúmeras maneiras diferentes de se montar as peças do pentaminó comose fosse um jogo de quebra-cabeça. Ilustraremos, a seguir (figuras 7 e 8) com duasdestas maneiras de arranjar as peças do pentaminó como se fosse um quebra-cabeça.Figura 7Figura 8Convém ressaltar que, como a soma das áreas das peças do pentaminó equivale a60 quadradinhos e a figura 8 é um quadrado de área equivalente a 64 quadradinhos, estafigura tem quatro quadradinhos que não foram preenchidos pelas peças do pentaminó,que são os quadradinhos brancos dessa figura.Estas atividades tiveram por objetivo estimular a criatividade e a observação dosalunos, além de ser uma opção metodológica para na seqüência, abordar noções demedidas de comprimento e medidas de área.No quarto dia foram feitas as anotações em caderno que formalizaram algunsdos conceitos tratados no decorrer da atividade.Durante a seqüência didática, a professora não falou formalmente sobre ponto,reta e plano, ela apenas foi usando os conceitos como vocabulário específico durante aaplicação das oficinas, bem como as palavras: lado, vértice, ângulo e paralelos queforam sendo apresentadas durante as oficinas sem a preocupação de uma formalizaçãodos conceitos ligados a estes termos. Segundo a professora, estes termos serãoformalizados numa etapa posterior quando os alunos tiverem um contato mais formalcom a geometria.Após essas aulas, as três alunas tiveram uma aula onde resolveram a atividade 1individualmente e depois a atividade 2, junto com os outros alunos da sua turma. Essasatividades serão analisadas a seguir.59

Descrição e Análise das Atividades Realizadas naPesquisaAtividade 1A Atividade 1 consta de duas partes. Na primeira parte temos um questionáriocujas perguntas estão relacionadas a seguir:1. Você estudou até qual série quando criança?2. Quando você estudou, antes de vir para o CIEJA, você teve aulas de geometria?3. O que você se lembra destas aulas?4. Você acha que esta matéria influenciou na sua decisão de parar de estudar?Estas perguntas tinham como objetivo conhecer um pouco estes alunos e suasexperiências anteriores.A segunda parte da atividade tem duas questões numeradas com os números 5 e6 respectivamente, a primeira encontra-se a seguir com o número 5 e a segunda que temo número 6 será relacionada e analisada na seqüência.5. Quais das atividades abaixo usam a geometria como ferramenta?a) Desenhar a planta de uma casa.b) Calcular a área de uma sala a ser ladrilhada.c) Desenhar o mapa do bairro onde moro.d) Verificar a possibilidade de um candidato a prefeito ganhar uma eleição.e) Verificar a massa de um pacote de arroz.f) Traçar as margens em uma folha de papel sulfite.g) Calcular o juro cobrado por uma loja para a compra de um automóvel.O objetivo destas perguntas era saber qual o conhecimento anterior dos alunosem geometria e verificar se ele compreendeu e conseguiu identificar atividades que sãodiretamente relacionadas à geometria, isto é, se o conceito de geometria passou a tersignificado para este aluno. Na pergunta número 5 era esperado que eles identificassemcomo atividades ligadas à geometria os itens a, c e f.A segunda questão da atividade era composta por um quadro onde os alunosdeveriam assinalar em cada item apresentado se este era relacionado com a idéia deponto, de reta ou de plano, conforme a tabela abaixo:60

6. Relacione, na tabela abaixo, os itens que dão a idéia de ponto, reta ou plano,respectivamente.Item ponto reta planoa) Um fio de alta tensão esticado.b) O gramado de um campo de futebol.c) O furo na orelha para colocar um brinco.d) Uma praia deserta.e) A quina de um armário.f) A parede lateral de um prédio.g) Um fio de linha esticado.h) Uma formiga no chão, vista do alto.i) Um prego fincado na parede.j) O trilho do trem.O objetivo desta questão era verificar se eles adquiriram a competência deidentificar nas atividades do seu dia-a-dia estes conceitos da Geometria.Convém lembrar que estes alunos ainda não tinham a formalização dos conceitosde ponto, reta e plano então, para acertar o que foi pedido na questão número 6 ele teriaque extrapolar o que lhe foi ensinado, ou seja, ele teria que ter prestado atenção nosconceitos que foram apenas citados durante os encontros da seqüência didática(oficinas).A seguir faremos a análise da resposta das alunas que participaram dasatividades.Análise da Atividade 1A primeira atividade foi aplicada a três alunas do módulo III que haviamparticipado das aulas de geometria junto com a sua turma. A atividade foi aplicada doismeses após estas alunas terem participado das oficinas de geometria e também após elasterem feito a atividade extra-classe sugerida pela professora.Aluna 1Esta aluna chegou ao CIEJA há três anos analfabeta e foi alfabetizada nestaescola sendo que o primeiro contato com a geometria ocorreu nesse ano.61

Na primeira parte da atividade, a aluna respondeu que as medidas de massa (5e)eram uma atividade de geometria. Ela já estudou as medidas de massa neste ano e,conforme observa Gómez-Granell (1997), deve ter acontecido com ela algo que é muitocomum acontecer, ela decorou as regras para trabalhar com as medidas de massa, masainda não entendeu o significado destas medidas e as circunstâncias em que devem serusadas o que levou-a a confundir este conteúdo com geometria. Esta aluna marcou aindaa questão (5g) que era um exemplo de atividade de matemática financeira como sendouma atividade de geometria, porém ela ainda não aprendeu matemática financeira demaneira formal, conteúdo que ela conhecerá apenas no próximo ano, o conhecimentoque tem deste conteúdo é apenas da sua vida prática.Na atividade 6, a aluna apontou a parede (6f) e a formiga (6h) como retas.Novamente, Gómez-Granell (1997) assinala que, para esta aluna, ainda não ficou claroqual o significado de reta, ela já conhece, mas ainda consegue relacionar o nome com afigura.Aluna 2Esta aluna chegou alfabetizada ao CIEJA, mas seu primeiro contato com ageometria foi neste ano.Ao resolver a questão 5b que se trata de uma atividade ligada a áreas, comosendo uma atividade de geometria, sendo que as questões desenhar o mapa do bairroonde moro (5c) e traçar as margens em uma folha de papel sulfite (5f), não foramconsiderados por esta aluna como sendo atividades ligadas à geometria.Pela proposta de Van Hiele (1994) concluímos que esta aluna encontra-se aindano nível básico de sua alfabetização em geometria, ou seja, ainda não adquiriu ascompetências mínimas nesta modalidade, já se observarmos o que diz Piaget, emboraela já esteja na idade adulta ainda não está com as operações lógicas formais totalmentedesenvolvidas.Na segunda parte da atividade, a aluna considerou o item praia deserta (6d) e oitem parede lateral de um prédio (6f) como sendo retas e considerou também o itemformiga no chão, vista do alto (6h) e o item trilho do trem (6i) como sendo planos. Oque apenas confirma a análise já feita no parágrafo anterior. Além disso, podemos aindaacrescentar que segundo Gómez-Granell (1997) ela ainda não estabelece uma relaçãoentre o símbolo e o significado dessas figuras geométricas.62

Aluna 3Esta aluna chegou ao CIEJA alfabetizada, mas nunca tinha entrado em contatocom os conceitos de geometria até então. Seu primeiro contato com este conteúdo foineste ano.Ao resolver a atividade, esta aluna não identificou a questão traçar as margensem uma folha de papel (5f) como sendo uma atividade de geometria embora tenhaidentificado adequadamente os outros itens da questão 5.Já na questão 6, ela considerou o furo da orelha como sendo uma reta (6c) e aquina do armário (6e) como sendo um plano.Como ela acertou a maioria dos itens das questões desta atividade, podemosnotar que esta aluna encontra-se num nível melhor do que as alunas anteriores, já estárelacionando as figuras geométricas que conhece com os seus significados.Apesar destas alunas nunca terem estudado geometria, consideramos que, pelofato das atividades terem sido apresentadas de maneira lúdica e por apenas uma semana,elas obtiveram um bom desempenho, ainda que essa seja uma primeira aproximaçãocom as atividades geométricas.Atividade 21. Observe as figuras abaixo e identifique as figuras da seguinte forma:a) Pinte os quadrados de vermelho.b) Pinte os retângulos de azul.c) Pinte os paralelogramos de amarelo.d) Pinte os triângulos de verde.e) Pinte os círculos de laranja.63

2. Agora responda às perguntas:a) Quais as características que você observou nas figuras que identificou comoquadrado?b) Quais as características que você observou nas figuras que identificou comoretângulo?c) Quais as características que você observou nas figuras que identificou comoparalelogramo?d) Quais as características que você observou nas figuras que identificou comotriângulo?e) Quais as características que você observou nas figuras que identificou comocírculo?64

f) Quais os números das figuras que ficaram sem pintar?g) O que deveria ser modificado em cada uma destas figuras para que elaspudessem ser pintadas? Quais as cores deveriam ser usadas em cada figura?h) Que propriedades ou características você encontrou nas figuras que não forampintadas?Esta atividade não foi aplicada apenas às três alunas citadas anteriormente, mas atoda a turma em que elas estão inseridas, ou seja, dezenove alunos (as três maisdezesseis alunos). A atividade acima também é composta de duas questões. Na questão1 os alunos deviam identificar com cores diversas, figuras geométricas já conhecidasnum painel onde havia as figuras pedidas misturadas com algumas que ele ainda nãoconhecia. O que se esperava ao final era que as figuras enumeradas com os números 1(elipse) e 2 (trapézio) ficassem sem pintar e as demais receberiam cores de acordo comas suas classificações.Na questão 2 da atividade foi pedido aos alunos que relacionassem quaispropriedades haviam notado nas figuras da primeira parte que fizeram-nos decidir porpintar ou não as figuras. Nesta parte da atividade, o objetivo da professora foi verificarse os alunos conheciam as figuras apenas empiricamente pelos desenhos ou se sabiamdizer quais as propriedades levam estas figuras a ter a classificação escolhida.Perguntou-se também a respeito das figuras que ficaram sem pintar se eles asconheciam o que deveria mudar nestas figuras para que elas pudessem ser pintadas comalguma das cores.Conforme dissemos anteriormente, esta atividade será analisada não só para astrês alunas que participaram da atividade 1, mas também para a turma em que estasestão inseridas como um todo.Algumas observações foram feitas durante a atividade quando a professora, comolhar de pesquisadora, anotou algumas reações dos alunos e alguns comentários queestes fizeram entre si ou ainda com a professora. Consideramos que essas anotaçõesproporcionaram evidências relevantes para a nossa investigação.Relacionaremos as observações que a pesquisadora fez durante a aplicação daatividade.A pesquisadora notou que os alunos tinham dúvida se a mudança da posiçãogerava novas figuras ou se, devido à manutenção das propriedades, as figuras65

continuavam sendo as que eles já conheciam, esta reação é típica de um estadoegocêntrico conforme evidenciado por Piaget. Embora ele tenha estudado oegocentrismo em crianças pequenas, ele se adapta bem para esses alunos que, segundoOliveira (1999a) embora adultos, não têm as mesmas características do adulto letradoque freqüentou a educação básica na idade adequada. Podemos analisar esse fatotambém relacionando com Oliveira (1999b) observando que esse aluno “pouco letrado”ainda faz relações com a experiência cotidiana o que gera a impossibilidade de umpensamento abstrato.A maioria dos alunos não se lembrou de quais eram as propriedades de umparalelogramo, inclusive alguns optaram por “chutar” alguma(s) da(s) figura(s) para sera representação do paralelogramo. Como a figura e as propriedades do paralelogramoforam estudadas durante a oficina do Tangram e relatadas no caderno no quarto dia daseqüência didática. Dessa maneira podemos concluir que, de acordo com Gómez-Granell (1997), os alunos não conseguiram ainda passar da noção intuitiva e vincular osnomes e as propriedades trabalhadas aos símbolos e imagens das figuras geométricasplanas. Isso nos leva a pensar que um fator importante é a necessidade que esses estudossejam aprofundados e que as atividades sejam diversificadas.Alguns alunos pensaram que todas as figuras deveriam ser pintadas, ou seja, quetodas poderiam ser classificadas de alguma forma e que não haveria nenhuma figura quetivesse alguma classificação diferente das sugeridas na atividade. Alguns alunoscomunicaram-se entre si e chegaram à conclusão de que poderiam deixar de pintar umaou mais figuras e voltaram atrás marcando que algumas figuras pintadas deveriam estarsem pintura. Outros só perceberam, ao responder a questão 2 que isso poderia acontecer.Neste caso podemos nos remeter à teoria quando ela diz do experimentar comocompetência do pensamento geométrico. Estes alunos, na verdade, fizeram umasuposição e a experiência mostrou que eles deveriam voltar atrás nas suas decisões.Os alunos tiveram dificuldade em preencher a questão 2 desta atividade, quandocomparado com a questão 1. Muitos conhecem os nomes das figuras geométricas, mastêm dificuldade em relacionar as propriedades de cada figura com a respectiva imagemmostrando que eles não alcançaram a compreensão dos conceitos, pois não conseguemdescrever as figuras em termos de seus componentes ao estabelecendo uma relaçãoentre símbolos e os seus significados.66

Freqüentemente os alunos pensaram que bastava a figura ser curva para sercírculo, então a maioria deles considerou a figura número 1 (elipse) como sendo umcírculo. Nesse caso, nos remetemos à teoria de Piaget quando ele estuda as crianças epercebe que estas representam todas as figuras como círculos. Estes alunos já estão naidade adulta e já passaram dessa fase do desenvolvimento cognitivo, mas voltando aOliveira (1999a), são adultos diferentes do adulto letrado, nesse sentido os alunospesquisados parecem preservar dificuldades apontadas por essa autora quando cita asinvestigações de Luria que aponta a falta de possibilidade de classificação categorial desujeitos “pouco letrados”.O quadrado de número 10 está inclinado e os alunos tiveram dificuldade emclassificá-lo como sendo um quadrado. Alguns alunos não consideraram o triânguloretângulo, figura 9, como sendo um triângulo, para estes alunos só será triângulo afigura que tem o formato da figura 11 e observando a questão 2 notamos que os alunosnão reconhecem o triângulo como sendo uma figura de 3 lados, nesta situação podemosnovamente nos remeter à dificuldade que apresentam como sendo as mesmas figurasalgo que está numa posição diferente.Observando as atividades das mesmas alunas que fizeram a atividade número 1,temos:Aluna 1Na questão 1, a aluna acertou a pintura dos quadrados, com exceção da figura 10que considerou um retângulo. Considerou o retângulo (8) como se fosse quadrado edeixou os outros dois sem pintar. Ela considerou o trapézio (2) como paralelogramo e aelipse (1) como círculo.Percebemos que ela ainda confunde quadrado e retângulo, o que segundo VanHiele (1994) é normal nesta fase de maturidade geométrica e os outros problemas queocorreram na atividade dessa aluna são semelhantes aos já analisados na totalidade daturma.Na questão 1, a aluna parece ter compreendido a proposta no entanto, ao realizara questão 2 mostrou que ainda tem muitos problemas de alfabetização com dificuldadespara descrever as propriedades ou mesmo escrever de uma maneira inteligível. A alunaestá inapta para o tipo de atividade proposta pela professora e ainda que pudéssemos67

esperar que a aluna, por estar no módulo III, já tivesse vencido a barreira do letramento,isso não se verificou.Podemos concluir, a partir das atividades, que essa aluna atingiu o objetivo dereconhecer a maioria das figuras geométricas que lhe foram apresentadas mas que hánecessidade de melhorar o seu nível de letramento para conseguir expressar melhor oque aprendeu.Aluna 2Todos os quadrados e retângulos foram pintados de vermelho que é a corsolicitada para os quadrados, com exceção do número 10 que ficou sem pintar, o quenos faz notar que essa aluna ainda confunde as propriedades dos quadrados e dosretângulos, embora não os tenha confundido com outras figuras. Segundo Gómez-Granell (1997), a aluna ainda confunde o significado dos símbolos que conhece.A aluna devia pintar de amarelo o paralelogramo, mas não pintou nenhumafigura com essa cor. Considerou o trapézio 2 como sendo um triângulo e a elipse 1como sendo um círculo.Na segunda parte, deu para notar que ela sabe que o quadrado tem 4 lados, otriângulo tem 3 lados e o círculo é curvo, mas não usou um vocabulário de geometria(lados, ângulos, etc.), como ilustramos a seguir:Transcrição das respostas da aluna 2:a) Quais as características que você observou nas figuras que identificou comoquadrado?R: Eles têm quatro linhas retas.d) Quais as características que você observou nas figuras que identificou comotriângulo?R: Eles têm três linhas.e) Quais as características que você observou nas figuras que identificou comocírculo?R: Tem uma linha redonda.Observando essa transcrição notamos que a aluna ainda está no nível básico dematuridade geométrica (Van Hiele, 1994). Notamos aqui também um problema naescrita.68

Aluna 3A aluna, a exemplo das anteriores, confundiu os quadrados e os retângulos. Elapintou adequadamente os quadrados, com exceção do número 10 (o que estavainclinado) e pintou o retângulo 8 desta mesma cor, deixando os demais sem pintar. Oque se infere é que a aluna não percebeu que as dimensões do retângulo 8 não eram deum quadrado, daí não conseguir identificar um retângulo, provavelmente, nãorelacionou a figura com o seu nome. (Goméz-Granell, 1997)Ela identificou adequadamente os triângulos e o círculo, mas identificou a elipsecomo sendo círculo, a exemplo da maioria dos alunos e chamou o trapézio deparalelogramo, deixando este sem pintar.É interessante observar que na questão 2, a aluna identificou o quadrado comosendo uma figura de quatro lados, sem colocar regras para esses lados, o que reforça oque foi analisado no primeiro parágrafo, mas descreveu os retângulos como tendo 3lados e o triângulo como tendo 5 lados, o que ficou incoerente quando se nota quepintou os triângulos adequadamente. Essa atitude nos leva a analisar que,provavelmente a aluna respondeu a questão 2 sem fazer correspondência com o querespondeu na questão 1, isso nos remete à possibilidade de que a aluna não conseguepensar em como se resolve um problema, quer dizer que ela não conseguiu apreender osprocessos mentais estão envolvidos na elaboração da solução da atividade.Já o círculo, a aluna identificou-o como sendo uma bola, o que mostra coerênciacom o que fez na questão 1.Segundo Oliveira (1999a), o ser humano mantém um bom nível de competênciacognitiva até uma idade avançada (acima dos 75 anos) e que o que determina o nível decompetência cognitiva destas pessoas são: o meio em que elas vivem e as interações quetêm com este meio. Desta forma, podemos concluir que, ainda de acordo com essaautora, essa aluna não está preparada para atividades em que é necessário o controle daprodução cognitiva e tão pouco para procedimentos metacognitivos sendo que a escola éum bom caminho para a melhoria dessa situação.A seguir faremos mais algumas considerações sobre esta atividade queconsideramos relevantes para o nosso trabalho analisando as respostas da turmacompleta, ou seja, os 19 alunos aos quais foi aplicada a atividade.69

Análise geral dos alunosTodos os alunos souberam reconhecer o círculo, mas onze deles classificaram aelipse também como círculo, isto nos leva a verificar que para estes alunos, toda figuracurva é círculo. Isto deve ter ocorrido pelo fato de a única figura curva que foiapresentada a estes alunos ter sido o círculo e que, portanto, eles concluíram, a partir doque conheciam, que toda figura curva é um círculo, ou seja, eles não tiveram umacontraposição, para poder diferenciar as figuras.Podemos considerar, também, que se foi dito para eles que todo polígono de trêslados é um triângulo, eles concluíram que toda figura curva seria um círculo. Pelaexperiência da pesquisadora como professora de EJA, os alunos desta modalidade estãosempre solicitando regras que generalizem as atividades propostas pela professora.Cinco alunos não conseguiram reconhecer os dois polígonos de três lados comosendo triângulos. Ficou claro que, para estes, ao se mudar a posição do triângulo, elepassa a ser uma figura diferente. Estes alunos conhecem a figura do triângulo mas aindanão relacionam com a definição de ser um polígono de três lados, então para eles só étriângulo aquele que tem o formato que eles conhecem da sua vida cotidiana, ou seja,para eles ter três lados não implica em ser triângulo.Dos dezesseis alunos, treze souberam enunciar as características do quadrado,sendo que um deles deu como característica o formato de caixa e alguns trocaram apalavra “lado” por “linha” ou ainda por “parte”. Os outros três não souberam darnenhuma característica que tivesse relação com as características de um quadrado. Osalunos reconhecem os quadrados, mas para doze deles, o quadrado que não tem a basena horizontal não é quadrado, a exemplo disso temos o quadrado de número 10 quecomo todo quadrado é também um losango, nesse sentido, os alunos podem não tê-locolorido em virtude de ter imaginado de que tratava apenas de um losango.Novamente, neste caso, o símbolo (quadrado inclinado) levou ao significado queeles conheciam da vida prática (losango) o que não é totalmente errado pelo fato dafigura ser também um losango além de ser quadrado, mas esse conceito, de acordo comVan Hiele (1994) ainda não está ao alcance do desenvolvimento do pensamentogeométrico desses alunos.Para apenas um aluno, o retângulo também se chamava quadrado. Mas, nenhumdeles chamou algum quadrado de retângulo.70

Apenas seis alunos reconheceram o paralelogramo como tal, mas nove alunosreconheceram outras figuras como sendo paralelogramos e quatro alunos nãoreconheceram nenhuma figura como sendo paralelogramo. O quadrado, o triângulo e oretângulo apareceram em quase todas as oficinas aplicadas a esses alunos, mas otrapézio e o paralelogramo apareceram somente na oficina do tangram e não deve tersido suficiente para que estes alunos se familiarizassem com estas figuras. Eles devemter considerado tanto as figuras como os nomes como sendo figuras até entãodesconhecidas.Embora a maioria dos alunos não saiba relacionar quais as propriedades de cadafigura, quatro deles usaram a expressão “lados dois a dois paralelos” para oparalelogramo, relacionando com o que foi dito pela professora na oficina do tangram,mostrando que estão no nível 1 da escala elaborada por Van Hiele (1994).Uma das dificuldades destes alunos foi enumerar as propriedades das figuras.Alguns diziam que o quadrado tem quatro partes iguais, um outro aluno disse que oquadrado tem formato de caixa, o retângulo forma de tapete e o triângulo forma de umpinheiro, inclusive este aluno não considerou o triângulo retângulo como sendo umtriângulo e nem o quadrado inclinado como quadrado evidenciando uma dificuldade decriar categorias para as figuras.Podemos concluir que obtivemos um resultado dentro do esperado uma vez queestes alunos estão estudando geometria pela primeira vez e que ainda não houve tempopara que eles atinjam uma maturidade no assunto.Segundo Gómez-Granell (1997) é necessário algum tempo e algumafamiliaridade com o assunto estudado para que a geometria passe a ser uma linguagemcorrente para esses alunos.Se observarmos as tentativas desses alunos em associar os conhecimentos quepossuem com as respostas que apresentaram, podemos perceber a grande proximidadeque ainda existe em categorizar as figuras segundo sua experiência cotidiana. Percebeseque, como adultos “pouco letrados”, suas respostas, diferentemente das crianças emidade escolar adequada, têm vínculo com todo o desenvolvimento social e ambiental eque trazem esta experiência como parte de suas possibilidades.71

Dificuldades e Possibilidades para o Ensino daGeometriaEsta pesquisa foi desenvolvida com o propósito de investigar as dificuldadesencontradas no ensino da matemática, em particular da geometria, na EJA, e sugerir eanalisar novas possibilidades para as aulas de Geometria nessa modalidade de ensino.Dessa forma relataremos a seguir, em linhas gerais, as principais dificuldadesencontradas no decorrer da pesquisa e sugerir algumas possibilidades com uma breveanálise da relevância de cada uma delas.DificuldadesAs dificuldades encontradas nos alunos são típicas da inserção do adulto “poucoletrado” no universo escolar. Observou-se problemas de classificação, sistematização econtrole da atividade cognitiva. Estes alunos até conhecem as figuras geométricas, mastêm muita dificuldade em relacionar suas propriedades bem como relacionar as figurasentre si.Notou-se ainda que ao relacionar uma caixa (três dimensões) e um quadrado(duas dimensões) como tendo o mesmo formato a dificuldade de representação das trêsdimensões. Compreendemos que esta dificuldade está relacionada com os processosmetacognitivos ainda em construção nesses sujeitos.Um fator importante a ser considerado é que estes alunos que estão hoje na EJAiniciaram seus estudos na época em que estava em vigor a LDB de 1971 (lei 5692/71) eque orientava o ensino da matemática para ser feito usando-se como base a teoria dosconjuntos e desta forma os livros didáticos que norteavam os planejamentos dosprofessores desta época introduziam a geometria usando a teoria dos conjuntos e asdemonstrações formais, além de deixá-la para o final dos livros didáticos. Desta forma amaioria desses alunos chegou sem conhecer geometria.PossibilidadesAlém das possibilidades já citadas no texto (dobraduras, tangram e poliminós),vamos sugerir outras atividades que podem facilitar o ensino e a aprendizagem dosconceitos geométricos sempre analisando a sua conveniência e relevância. São elas:72

Trabalho com massa de modelarCom massa de modelar (ou argila), os alunos podem reproduzir diversos objetosque lembram formas geométricas. Enquanto trabalham com este material cabe aoprofessor estimulá-los a observar características de cada uma destas formas, asdiferenças e/ou pontos em comum, ou ainda verificar que alguns objetos vão nosremeter a figuras bidimensionais e outros a figuras tridimensionais.Esta atividade tem como principal propósito introduzir as figuras geométricas esuas características principais de uma forma lúdica e que remete ao cotidiano do alunofacilitando a introdução dos conceitos a serem feitos posteriormente.Jogos de classificaçãoNesta modalidade o professor apresenta aos alunos objetos tridimensionaisconfeccionados com cartolina e algumas figuras geométricas planas tambémconfeccionadas com este material e estimula-os a classificar estes objetos porpropriedades comuns ou não-comuns, levando-os a refletir sobre as características decada uma destas figuras geométricas.Esta atividade tem como objetivo levar o aluno a perceber as características epropriedades das figuras geométricas por meio da observação de figuras préconstruídas.Além disso, pretende levá-lo a sistematizar estas características com aintrodução do vocabulário apropriado. Outro objetivo é levá-lo a identificar figuras deduas e de três dimensões.No sentido de formalizar os conceitos, uma atividade posterior, poderia ser umabusca em livros didáticos ou ainda na internet sobre as características dessas figuras eseus nomes.Como assinalamos anteriormente, com esta atividade, o aluno vai complementaros conceitos vistos nas atividades anteriores reforçando sua sistematização, e além dissohá a possibilidade de promover a autonomia do aluno uma vez que ele poderá construirconceitos próprios a partir da pesquisa e depois participar de um debate entre os colegasque usaram fontes diferentes das suas. De acordo com Luria (apud Oliveira, 1999b) otrabalho coletivo possibilitará o desenvolvimento do pensamento descontextualizado.73

Confeccionando painéis e cartazesApós a participação de alguma oficina aplicada pelo professor ou de ter feitouma pesquisa sobre o assunto, os alunos deverão confeccionar cartazes e/ou painéisusando as figuras que tomaram conhecimento explorando o uso destas figuras pararepresentar figuras ligadas ao seu cotidiano que remetem às figuras geométricas jáestudadas.Uma atividade que de nossa experiência tem sido bastante motivadora é aapresentação de filmes paradidáticos seguida da proposta de elaboração de cartazes epainéis que façam referência a elementos geométricos presentes no filme assistido.O objetivo específico dessa atividade é levar os alunos a identificar elementosgeométricos em figuras já conhecidas e usadas por eles no seu dia-a-dia.Ampliando as possibilidades dessa atividade objetivamos também aumentar ouniverso cultural dos alunos, lembrando que os principais objetivos do CIEJA são: ainserção no mundo a cultura e no mundo do trabalho.Confeccionando figuras tridimensionaisNesta atividade o professor deve apresentar, numa primeira etapa, figurastridimensionais confeccionadas com cartolina e estimulá-los a fazer a planificaçãodestas figuras sem desmontar as já existentes conservando medidas e formatos.Numa segunda etapa, eles deverão montar estas figuras a partir das planificaçõesjá feitas e verificar se realmente conseguiram chegar na planificação correta das figuras,sempre com o estímulo do professor no sentido de classificá-las pelos nomes e pelaspropriedades.O objetivo desta atividade é estimular a observação e levar o aluno a passar dobidimensional para o tridimensional e vice-versa.Atividades no computador com softwares de geometriaExistem hoje no mercado vários softwares que ajudam o aluno a aprendergeometria, entre eles o Cabri-Geometry, Sketchpad, Cinderella, Dr Geo, Geoplan,Geospace, Euklid, Wingeom, S-logo, Poly, Shapari, Geometria Descritiva, Régua eCompasso e outros. Alguns destes softwares são importados e devem ter seus direitosde uso comprados pela escola, mas alguns deles são em português, elaborados pelasuniversidades brasileiras e de uso livre. Entre eles destacamos o WinGeon que foi feito74

pelos professores do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Pauloe que é de uso livre.O objetivo desta atividade, mais sofisticada que as anteriores é colocar atecnologia a serviço da aprendizagem e é indicada para alunos que já dominem umpouco a informática e o idioma inglês, já que a maioria dos softwares não são emportuguês, apesar de que o S-logo pode ser usado até com alunos em fase dealfabetização uma vez que seu uso é muito simples e ajuda muito a localização espacialdos entes geométricos.Atividades usando o GeoplanoO geoplano é um objeto que pode ser facilmente construído, até pelos própriosalunos com uma madeira e pregos e que, com o auxílio de elásticos pode ajudar osalunos a conhecer as figuras geométricas e suas propriedades.Esta atividade é especialmente indicada por ser de fácil confecção e manuseio eajuda muito na construção do conhecimento geométrico.75

Perspectivas FuturasConsiderando o caráter etnográfico dessa pesquisa, os resultados obtidos e o fatode a geometria ser deixada para segundo plano no Ensino Fundamental e, em particularna EJA e sendo este um trabalho inicial, consideramos que seria interessante acontinuidade dessa pesquisa.76

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Anexo IDados do Instituto Nacional de Estudos e PesquisasEducacionais (INEP) Sobre AnalfabetismoOs níveis de alfabetismo do INAF 2001 – Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional– mostram que as habilidades básicas de leitura e escrita (em boa parte desenvolvida nosprocessos de escolarização) estão desigualmente distribuídas entre a populaçãobrasileira e que essa desigualdade está associada a outras formas de desigualdade eexclusão social.Assim:- Analfabeto absoluto - 9% da população de 15 a 64 anos, a maioria não completounenhuma série escolar, pertencem às classes D e E (91%), moram em municípios dointerior no nordeste e sudeste, faixa etária predominante 35 a 49 anos (38%).- Nível 1 de alfabetismo: capacidade de localizar informações em textos muito curtos,ex localizar títulos ou datas: 31 % têm menos de quatro anos de escolaridade, pertencemàs classes E e D (70%) e C (26 %). A maioria vive no sudeste, 19 % têm de 14 a 24anos (concentração de jovens).Não têm demanda de leitura no ambiente de trabalho, 4% utilizam computador.- Nível 2 de alfabetismo: capacidade de localizar informações em textos curtos e deextensão média. 44% têm o Ensino Fundamental completo e apenas 7% têm menos de 3anos de estudo.Pertencem às classes E, D (47 %) e C (37%). Nesse grupo predominam os jovens 37%têm entre 15 e 24 anos. No ambiente de trabalho lêem mais de um tipo de documento,15 % utilizam computador.- Nível 3 de alfabetismo: lê textos longos, orienta-se por subtítulos, compara textos, fazinferências e sínteses. 43% têm Ensino Médio e 23% o Ensino Superior, pertencem àsclasses E e D (27%), classe C 39% e classes A e B (34%), 44% são jovens de 15 a 24anos. No ambiente de trabalho lêem mais de um tipo de documento, 41% utilizamcomputador.

Estatísticas impactantes – Mapa do Analfabetismo – INEP/2003• Taxa de analfabetismo da população brasileira de 15 anos ou mais 13,6 % (73ª posiçãono ranking internacional, inferior à da Argentina, Chile, Colômbia, México, CostaRica).• Taxa de analfabetos funcionais (quatro anos de escolarização) 27,8%.• Analfabetos absolutos e analfabetos funcionais – 50 milhões de brasileiros.Embora as taxas do analfabetismo tenham caído progressivamente no último século, osnúmeros absolutos aumentaram. Em 2000 havia um número maior de analfabetos doque na década de 60 e quase duas vezes e meia o que havia no início do século 20. Doponto de vista da mobilização de recursos o que interessa é o número absoluto deanalfabetos e isto nos impõe uma grande tarefa.Políticas educacionais frágeis no combate ao analfabetismo• Ações marcadas pela descontinuidade. Tentativas para erradicar o analfabetismoacontecem desde 1947 – Campanha de Educação de Adolescentes e Adultos - governoGaspar Dutra. Entre campanhas, movimentos e programas foram mais de dez tentativas,pouco eficientes de combater o analfabetismo, como comprovam as estatísticas.• Propostas salvacionistas e improvisadas. A cada governo um novo batismo deprogramas de alfabetização.Se analisarmos a expansão do sistema constata-se que a ampliação doatendimento escolar teve forte impacto no processo de desaceleração do analfabetismo,sobretudo nas faixas etárias mais jovens. Por outro lado, o ganho na escolaridade médiada população, foi insuficiente para garantir-lhes o ensino fundamental completo. Nafaixa de 10 a 19 anos 7,4% são analfabetos e 35% dos analfabetos já freqüentaram aescola (fracasso do sistema escolar brasileiro).

Anexo IITermo de Consentimento Livre e EsclarecidoServiço Público FederalCentro Federal de Educação Tecnológica de São PauloTermo de Consentimento Livre e EsclarecidoPrezado(a) Sr.(a)O projeto intitulado “Dificuldades e Possibilidades no Ensino da Matemáticana EJA”, é uma pesquisa aprovada pelo CEP (Comitê de Ética de Pesquisa) do CEFET-SP, orientado pela Profª .Ms Wania Tedeschi e conduzido pela aluna ElisabeteTeresinha Guerato, que tem como objetivo geral investigar o ensino da matemática, emparticular da geometria, na EJA e leva em consideração a dificuldade que o aluno adultotem para sistematizar a matemática que usa no seu dia-a-dia nas aulas e nas atividadessugeridas pelos professores.Durante a atividade será entregue um questionário, no qual o entrevistado terá livrearbítrio para escolher se quer ou não responder. A atividade que será realizada éconsiderada sem risco. Porém, se este procedimento gerar desconforto, constrangimentoou outra situação negativa qualquer, a participação poderá ser interrompida semqualquer prejuízo.O entrevistado ficará livre para interromper a qualquer momento sua participação naatividade de campo. Essa participação na atividade de campo é voluntária, sendo quenão haverá qualquer forma de remuneração.Os dados pessoais serão mantidos em sigilo e os resultados gerais obtidos através daatividade de campo serão utilizados apenas para alcançar os objetivos do trabalho,expostos acima, incluída sua participação em sala de aula ou congressos.

O entrevistado poderá entrar em contato com o responsável pela atividade de campo,Profª .Ms Wania Tedeschi sempre que julgar necessário através do telefone: (11) 2763-7546 e/ou Elisabete Teresinha Guerato pelo telefone (11) 2763-7546, ou com o Comitêde Ética e Pesquisa do Cefet-SP pelo telefone: (11) 2763-7546.Este Termo de Consentimento é feito em 2 (duas) vias, de maneira que umapermanecerá em meu poder e a outra com a aluna responsável e obtive todas asinformações necessárias para poder decidir conscientemente sobre a minha participaçãona referida atividade de campo.Eu___________________________________________________ ,_______anosRG__________________, residente a __________________________________,telefone ( )________________, abaixo assinado, dou meu consentimento livre eesclarecido para participar como voluntário(a) da atividade de campo supracitada, sobresponsabilidade da aluna Elisabete Teresinha Guerato, estudante do Centro Federal deEducação Tecnológica de São Paulo, e da Profª .Ms Wania Tedeschi, professora docurso de Pós-Graduação.São Paulo, ______ de ____________________ de 2007.__________________________________________Nome e/ou assinatura do voluntário_____________________Profª .Ms Wania Tedeschi________________________Elisabete Teresinha GueratoEnd.: Rua Pedro Vicente, 625 RG.: 10.103.871e-mail: wania.tedeschi@ig.com.bre-mail:eguerato@globo.comTel.: (11) 2763-7576 Tel.: 2763-7576

Anexo IIICarta de encaminhamentoAo Prof. ___________________Presidente do Comitê de Ética em Pesquisa envolvendo Seres Humanos do CEFET -SP.Venho por meio desta encaminhar o projeto de pesquisa intitulado:“Dificuldades e Possibilidades no Ensino da Matemática na EJA” para apreciação destedouto Comitê de Ética.São Paulo, ___ de __________ de _____._________________________Professor Ms. Wania Tedeschi