Lista de Exercıcios 5 Fısica Quântica: mecânica q ¨uântica - Plato

Lista de Exercícios 5Física Quântica: mecânica qüânticaExercícios Sugeridos (06/10/2009)A numeração corresponde ao Livro Texto.28.35 Um elétron está contido dentro de uma caixa unidimensional com L = 0,100 nm de largura.a) Trace um diagrama dos níveis de energia para o elétron com até n = 4.b) Encontre os comprimentos de onda de todos os fótons que podem ser emitidos peloelétron ao realizar transições espontâneas que poderiam eventualmente levá-lo do níveln = 4 para o nível n = 1.28.36 A energia potencial nuclear que liga prótons e nêutrons em um núcleo é aproximada freqüentementepor um poço quadrado. Imagine um próton confinado em um poço infinitamente altocom largura L = 10,0 fm, um diâmetro nuclear típico. Calcule a energia e o comprimento deonda de um fóton emitido quando o próton passa de um estado com n = 2 para o estadofundamental. A qual região do espectro eletromagnético corresponde este comprimento deonda?28.37 Uma partícula em um poço quadrado infinitamente profundo tem uma função de onda que édada por√ ( )2 2πxψ 2 (x) =L sen Lpara 0 ≤ x ≤ L e é nula nas outras regiões.a) Mostre que esta função de onda é normalizada.b) Determine o valor esperado de x.c) Determine a probabilidade de encontrar a partícula próxima de L/2, calculando a probabilidadede que a partícula esteja no intervalo 0,490L ≤ x ≤ 0,510L.d) Determine a probabilidade de encontrar a partícula próxima de L/4, calculando a probabilidadede que a partícula esteja no intervalo 0,240L ≤ x ≤ 0,260L.e) Mostre que não há contradição entre o resultado do ítem b) e os resultados dos ítens c) ed).28.40 A função de onda de uma partícula é dada porψ(x) = A cos(kx) + B sen(kx),onde A, B e k são constantes. Mostre que ψ é uma solução da equação de Schrödinger parauma partícula livre (U = 0) e encontre a energia correspondente, E, da partícula.1

28.44 Um elétron que tem uma energia total E = 4,50 eV se aproxima de uma barreira de energiaretangular com U = 5,00 eV e L = 950 pm, como na figura abaixo. Classicamente, o elétron nãopode ultrapassar a barreira porque E < U. Contudo, a probabilidade quântica de tunelamentonão é nula. Calcule essa probabilidade que é o coeficiente de transmissão.Figura P28.4428.55 Num determinado instante, um elétron é representado pela função de onda{ Ae−αxpara x > 0ψ(x) =Ae +αx para x < 0.a) Faça o gráfico da função de onda em função de x.b) Ache a probabilidade de o elétron ser encontrado entre x e x + dx.c) Mostre que esta pode ser uma função de onda fisicamente razoável.d) Normalize a função de onda.e) Determine a probabilidade de encontrar o elétron em algum lugar no intervalo dex 1 = − 12α a x 2 = + 12α .28.56 Partículas incidentes da esquerda encontram um degrau na energia potencial, como mostradona figura. O degrau tem uma altura U e as partículas tem energia E > U. Classicamente,esperaríamos que todas as partículas passassem o degrau, embora com velocidade reduzida.De acordo com a mecânica quântica, um fração das partículas é refletida na barreira.Figura P28.56a) Prove que o coeficiente de reflexão R para este caso éR = (k 1 − k 2 ) 2(k 1 + k 2 ) 2onde k 1 = 2π/λ 1 e k 2 = 2π/λ 2 são os vetores de onda para as partículas incidente etransmitida. Proceda como segue: Mostre que a função de onda ψ I (x) = Ae +ik 1x +Be −ik 1xsatisfaz a equação de Schrödinger na região I, onde x < 0. Aqui Ae +ik 1x representa ofeixe incidente e Be −ik 1x representa as partículas refletidas. Mostre que ψ II (x) = Ce +ik 2xsatisfaz a equação de Schrödinger na região II onde x > 0. Imponha as condições decontinuidade ψ I = ψ II e dψ I /dx = dψ II /dx em x = 0 para encontrar a relação entre B eA. Então calcule R = |B/A| 2 .b) Uma partícula que tem energia cinética E = 7,00 eV incide de uma região onde a energiapotencial é nula sobre uma região na qual U = 5,00 eV. Encontre sua probabilidade dede ser refletida e sua probabilidade de ser transmitida.2

28.58 Para uma partícula descrita por uma função de onda ψ(x) o valor esperado de uma grandezafísica f(x) associada com a partícula é definido por〈f(x)〉 =∫ +∞−∞f(x)|ψ(x)| 2 dx.Para uma partícula em uma caixa unidimensional que vai de x = 0 até x = L, mostre que∫Dado:〈x2 〉 = L23 − L22n 2 π 2 .x 2 sen 2 (ax)dx = x36 − x cos(2ax)(2a 2 x 2 − 1 ) sen(2ax)4a 2 −8a 3P2.6.1 Uma partícula de massa m viaja da esquerdapara a direita, com momento linear inicial p 0como mostra a figura, numa região onde aenergia potencial V (x) é nula para x ≤ 0, eV (x) = −U 0 para x > 0 (U 0 é uma constantepositiva).⃗p 0 = k 0 ê x−U 0V (x)a) Calcule a energia da partícula.b) Calcule o comprimento de onda da partícula na região x > 0.c) Na situação mostrada na figura, pode a partícula ser refletida pelo degrau? Caso suaresposta seja afirmativa, calcule a probabilidade disso acontecer.d) Se, em lugar da partícula vir desde a esquerda, ela viesse desde o lado direito com amesma energia, poderia ser refletida pelo degrau? Caso sua resposta seja afirmativa,calcule a probabilidade disso acontecer.e) Esboce as funções de onda da partícula em cada região.xP2.6.2 Uma partícula de massa m oscila na direção x sujeita ao potencial V (x) = 1 2 mω2 x 2 , sendo ωsua freqüência angular de oscilação. A partícula se encontra no estado fundamental, de formaque a função de onda é:ψ 0 (x) = A 0 e − 1 2 αx2 ,( α) 1/4 mωonde A 0 = e α = são constantes.πa) Qual é a energia da partícula neste estado?b) Determine a função distribuição de probabilidade da partícula e faça um gráfico da função.c) Qual é a posição mais provável onde a partícula pode ser achada neste estado? Justifiquesua resposta.d) Qual é o valor esperado da energia potencial 〈V (x)〉 neste estado? Expresse seu resultadoem termos de ω.Dado:∫ +∞−∞x 2 e −αx2 dx = 1 2√ πα 3 3