Comportamentos globais e locais de tempos de entrada curtos

Comportamentos globais e locaisde tempos de entrada curtosLiliam Cardeño AceroTESE APRESENTADAAOINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICADAUNIVERSIDADE DE SÃO PAULOPARAOBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOREM CIÊNCIASÁrea de concentração: EstatísticaOrientador: Miguel Natalio AbadiDurante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financiero daCNPqSão Paulo, novembro 14 de 2007

Comportamentos globais e locaisde tempos de entrada curtosEste exemplar corresponde à redaçãofinal da tese devidamente corrigidae defendida por Liliam Cardeño Aceroe aprovada pela Comissão Julgadora.Banca examinadora:• Prof. Dr. Miguel Natalio Abadi (Orientador) - IMECC-UNICAMP• Prof. Dr. Pablo Augusto Ferrari - IME-USP• Prof. Dr. Jesús Enrique García - IMECC-UNICAMP• Profa. Dra. Denise Duarte Scarpa Magalhães Alves - UFMG• Prof. Dr. Benoit Saussol - CNRS

ResumoConsideramos um processo estacionário ergódico sobre um alfabeto A finito ou enumerável.Dada uma palavra fixa A n de tamanho n sobre este alfabeto, definimos a funçãoτ(A n ) ∈ {1,...,n}, como a posição da primeira possível sobreposição da palavra.É sabido que τ(A n )/n converge quase certamente a 1 para sistemas ergódicos.Provamos a existência da função de grandes desvios para τ(A n )/n. Conseguimosuma expressão explícita em termos das entropias generalizadas de Rényi. A existênciadestas entropias é também demonstrada.Definimos T An como a primeira ocorrência de A n na realização do processo e consideramosλ(A n ) = P ( T An > τ(A n ) ∣ ∣A n ), sendo P a probabilidade do processo.Para processos com boas propriedades de mistura, existe c P > 0 (que só dependede P) tal que λ(A n ) ∈ [c P , 1], para todo A n e todo n ∈ N. A diferença desta situação,construímos um processo, com uma seqüência {A n } n∈N , tal que λ(A n ) → 0.Palavras-chave: Tempos de entrada, Tempos de retorno, Grandes desvios, Entropiade Rényi, Sobreposição.i

AbstractWe considered stationary, ergodic process over an alphabet A.Let A n be a fixed word of size n over A. We defined the function τ(A n ) ∈ {1,...,n},as the first possible overlapping position of the word.It is known that τ(A n )/n converges to 1 almost sure in ergodic systems.We proved the existence of a large deviation function for τ(A n )/n. We got its explicitexpression in terms of the generalized Rényi entropies. The existence of these entropiesis also shown.Further, let T An be the first occurrence of A n in a realization of the process, anddefine λ An = P ( T An > τ(A n )|A n)where P is the probability of the process.In processes with good properties of mixture, λ An ∈ [c P , 1], for all A n and n ∈ N,where c P is a strictly positive constant it is known that only depending on P. Weconstructed one process with one sequence {A n } n∈N such that λ An → 0.Key words: Hitting times, Return times, Large deviation, Rényi entropy, Overlappingposition.ii

AgradecimentosRegistro aqui meus agradecimentos a Miguel Abadi pela sua orientação, disponibilidadee apoio incondicional durante todos os momentos decisivos deste trabalho.Aos professores Denise Duarte, Pablo Ferrari, Jesús García e Benoit Saussol poraceitarem compor a banca examinadora desta tese.A todos os membros do Numec, meu agradecimento pela amizade e apoio.Estarei grata por sempre com os amigos que ganhei no IME, em particular comNevena, Diana, Claus, Raydonal, Sandra e Cristian.Estou em dívida com os meus amigos e colegas no Departamento de Matemáticasda Universidade de Antioquia em Colômbia, por me darem a oportunidade de estudar.Especialmente com Jairo Eloy, meu chefe e amigo.Agradeço a todos os funcionários do IME, que com o seu trabalho contribuiramdireta ou indiretamente na realização de meu doutorado.Ao CNPq, pelo apoio financiero.Não tenho palavras para expressar o quanto agradeço ao David. Ele, junto a suafamília, sempre me colaboraram para permitir culminar meus estudos e, especialmente,cuidaram com muito carinho de meus dois anjos durante este tempo de ausência. Aele dedico esta tese.iii

SumárioResumoAbstractAgradecimentosiiiiiiI Noções prévias 31 Introdução 41.1 Introdução e motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Comportamento Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Comportamento local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Resultados Preliminares 82.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Resultados anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II Resultados obtidos 133 Comportamento global: grandes desvios. 143.1 Resultados obtidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.1 Limitantes superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.2 Limitantes inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Simulações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Comportamento local: Tempos de Retorno. 254.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Condição para λ(A n ) → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.1 Medida invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.2 Medidas das palavras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Um caso que satisfaz as hipóteses do Teorema 3.1 . . . . . . . . . . . . 354.3.1 Medidas das palavras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.2 {Xn} ∗ n≥0 é α-misturador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.3 Velocidade de convergência da seqüência {α(.)}. . . . . . . . . 404.4 Um caso que não satisfaz as hipóteses do Teorema 3.1 . . . . . . . . . . 421

5 Entropias 445.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2 Sobre a convexidade de H R e M(δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Apêndice Recorrência 50Perguntas em aberto 53Referências Bibliográficas 552

Parte INoções prévias3

Capítulo 1Introdução1.1 Introdução e motivaçãoO famoso Teorema de Recorrência de Poincaré diz que em um processo estacionárioergódico, todo evento de medida positiva reaparece um número infinito de vezes, quasecertamente. Este é um resultado qualitativo, no sentido que não descreve de quemaneira essas reaparições ocorrem. Desde então, um problema amplamente estudadona literatura é o comportamento quantitativo desses retornos.Em particular, duas quantidades amplamente estudadas sob boas condições de perdade memória em um processo estocástico, são as distribuições dos tempos de chegada etempo de retorno de uma seqüência fixa.Especificamente,T An (x) = inf{k ≥ 1|X k+n−1k= a n−10 },é o tempo de entrada do processo {X n } na seqüência A n , onde A n = (a 0 ,...,a n−1 ) e xé uma realização do processo.Quando o processo tem por condição inicial a própria palavra A n , a distribuição échamada de tempo de retorno, isto é, P(T An > t|A n ).Uma motivação importante para o estudo destas distribuições é a relação delas comuma terceira distribuição: o tempo de repetição no processo da primeira seqüência nãofixa.Definindo comoR n = inf{k ≥ 1|X k+n−1k= X n−10 },de forma que P(R n > t) = ∑ A nP(A n )P(T An > t|A n ). Desta forma o comportamentode T An determina o comportamento de R n .A importância de R n foi mostrada por Wyner e Zyv [19] e Orstein e Weiss [16], ondese prova quelog R nlim = h,n→∞ n4

em probabilidade e quase certamente, respectivamente, onde h é a entropia do processo.Sob boas condições de mistura, Galves e Schmitt [15] provaram que, para o tempode entrada,P(T An > t) ≈ e −λ(An)P(An)t , (1.1)onde P(A n ) é a probabilidade da palavra A n e λ(A n ) é um certo parâmetro.Abadi e Vergne [4] mostraram que, para o tempo de retorno,{λ(A n )e −λ(An)P(An)t , se t ≥ t 0 (A n )P(T An > t|A n ) ≈1, se t < t 0 (A n ).(1.2)Por sua vez, o parâmetro λ(A) está definido a partir de outra quantidade, o primeiroinstante de sobreposição da palavra. Esta quantidade é o objeto de estudo desta tesee está definida da seguinte maneira.Dado A n = (a 0 ,...,a n−1 ), definimos o primeiro instante de sobreposição da palavraA n comoτ(A n ) = min{k ≥ 1|a n−k−10 = a n−1k}, (1.3)e τ(A n ) = n, no caso de em que não exista k que satisfaça (1.3).Esta definição, que parece completamente combinatorial, tem uma forma equivalentedesde o ponto de vista evolutivo: ela pode ser definida como o ínfimo de T An (x) ondeesse ínfimo é tomado sobre todas as realizações x do processo, isto é,τ(A n ) = infx∈Ω T A n(x).1.2 Comportamento GlobalConsideramos a proporção τ(A n )/n. Saussol, Troubetskoy e Vaienti [17] e Afraimovich,Chazottes e Saussol [5] provaram que, para um processo ergódico com entropia positivaτ(A n )nq.c.−→ 1.Desde outro ponto de vista, Collet, Galves e Schmitt [8] provaram, para processosψ-misturadores (ver definição Capítulo 2), queP ( A n : τ(A n )/n ≤ 1/3 ) ≤ ce −c 1n .Desigualdade estendida por Abadi [1] para processos φ−misturadores.É natural se perguntar então sobre a lei dos grandes desvios de τ(A n )/n.5

Recentemente, Abadi e Vaienti [3] provaram que para processos ψ-misturadores coma condição ψ(0) < 1, existe1limn→∞ n log P( τ(A n )n≤ (1 − δ) ) , (1.4)para todo δ ∈ (0, 1) e que este limite está relacionado às entropias de Rényi, H R (paradefinição e propriedades, ver Capítulo 5).Nesta tese calculamos o limite (1.4) para uma família de processos que satisfaz umacondição bem mais geral que a de ψ-misturadora. Mais ainda, esta condição não édo tipo misturador: ela não tem a ver com o decaimento das correlações do processo.Apenas com as probabilidades condicionais (a um passado imediato).Em palavras, a condição diz que a probabilidade de uma palavra A n , dada umapalavra B no passado imediato, decrece assintoticamente com a mesma ordem exponencialque a probabilidade de A n quando n → ∞. (ver Hipóteses 3.2 e 3.3).O limite (1.4) está definido apartir das entropias de Rényi, H R (β), β ∈ R. Estasentropias estão definidas, por sua vez, como um limite e sua existência, a princípio, nãoestá garantida. Sob as mesmas condições, provamos também a existência deste limite(Capítulo 5).Explicitamente calculamos o limite (1.4) como uma função M(δ), linear sobre cada1intervalo [ , 1], n ∈ N, contínua, crescente, que interpola a H n+1 n R nos pontos da forma1/n.1.3 Comportamento localFixada uma palavra A n , temos a quantidade τ(A n ). Agora consideramos a palavrade comprimento n + τ(A n ), A n+τ(An), que consiste em concatenar A n com os últimosτ(A n ) símbolos de A n .Por exemplo, seja A 8 = aaaabbaa então τ(A 8 ) = 6 e estamos interessados na palavrade comprimento 14 dada porA{ }}8{A 14 = aaaabbaaaabbaaA 14 = aaaabbaaaabbaa } {{ }A 8Desta forma, A n+τ(An) consiste em duas ocorrências consecutivas de A n .Consideramos a probabilidade de isto acontecer começando com A n ;P(A n+τ(An)|A n ) = P(T An = τ(A n )|A n ).6

Do ponto de vista físico, esta quantidade representa a probabilidade de retornarimediatemente a A n .O parâmetro λ(A n ) acima referido é definido pela probabilidade de sair imediatamentede A n :λ(A n ) = P ( T An > τ(A n )|A n).Galves e Schmitt [15] e Abadi [1] mostram que existe c P > 0 tal que λ(A n ) ∈ [c p , 1].É trivial observar que sob as mesmas condições, λ(A n ) → 1 quase certamente.Por outro lado, lembramos que o tempo de entrada satisfaz (1.1) e o tempo de retornosatisfaz (1.2). Portanto, concluímos que E(T An ) ≈ 1/(λ(A n )P(A n )) e E(T An |A n ) ≈1/P(A n ).A última expressão é uma versão mais fraca que o Lema de Kac, onde o parâmetroλ(A n ) desaparece. Isto parece ter induzido ao pouco estudo da quantidade λ(A n ).Porém, sua importância aparece quando consideramos a esperança do tempo de entrada(e não de retorno) e especialmente quando consideramos ambas distribuições.Novamente, desde o ponto de vista físico, E(T An ) ≈ 1/(λ(A n )P(A n )), nos diz que,tipicamente, o tempo de entrada é da ordem de 1/P(A n ) e λ(A n ) aparece apenas comoum fator escalar.Uma pergunta surge imediatemente: Sempre temos que λ(A n ) ≥ c P > 0 ou poderíamoster λ(A n ) → 0 quando n → ∞?Respondemos a esta pergunta construindo uma família de processos que contemuma seqüência de palavras A n , n ∈ N tal que λ(A n ) −−−→n→∞ 0.Mais ainda, nesta mesma família obtemos casos onde λ(A n )/P(A n ) converge a +∞ou 0 ou uma constante positiva. Desta forma, a ordem do tempo de entrada pode estardeterminada por λ(A n ) e não por P(A n ).Observamos ainda que λ(A n ) −−−→n→∞0 significa fisicamente que quanto mais tempoo processo passa no estado A n , mais tende a ficar nele. Mesmo assim, esse processo éα−misturador e seus estados são recorrentes positivos.7

Capítulo 2Resultados Preliminares2.1 DefiniçõesConsideraremos processos estocásticos estacionários sobre alfabetos finitos.Denotemos por C um alfabeto finito e Ω = C Z .Para cada x = {x m } m∈Z ∈ Ω e m ∈ Z, seja X m : Ω → C a m-projeção, assim:X m (x) = x m .Denotamos por S : Ω → Ω o operador translação, tal que (S(x)) m = x m+1 .O cilindro {X 0 = a 1 ,X 1 = a 2 ,...,X n−1 = a n } será denotado por {X n−10 = a n 1}.Dizemos que um subconjunto C n ∈ C n é uma palavra secom a i ∈ C, i = 1,...,n.C n = {X n−10 = a n 1},Vamos considerar uma medida de probabilidade invariante p na σ-álgebra F geradapelas palavras.Dizemos que o processo (Ω, F,p) é ψ-misturador se a seqüência {ψ(l)} l∈N definida porp(A ∩ B)∣ ∣∣sup ∣A ∈ F0n p(A)p(B) − 1 = ψ(l),B ∈ Fn+l+1∞n ≥ 0converge a 0 quando l → ∞. F m n denota a σ-álgebra gerada pelas palavras {X m n = a m n }.Dizemos que o processo (Ω, F,p) é α-misturador se a seqüência {α(l)} l∈N definida por∣sup ∣p(A ∩ B) − p(A)p(B) ∣ = α(l),A ∈ F0nB ∈ Fn+l+1∞n ≥ 08

converge a 0 quando l → ∞.Para cada palavra C n ∈ C n definamos o seu período τ(C n ), ou primeiro instante dasobreposição da palavra C n , comoτ(C n ) = min{k ∈ {1,...,n} : C n ∩ S −k C n ≠ ∅}.Para todo n ∈ N e todo 0 < δ < 1, definamos os conjuntoseonde ⌊.⌋ denota a função parte inteira.C ′ δ,n = {C n ∈ C n : τ(C n ) = ⌊δn⌋},C δ,n = {C n ∈ C n : τ(C n ) ≤ ⌊δn⌋},Para qualquer inteiro x ≤ n/2 ∈ N denotamos por B n (x) o conjunto de C ∈ C n tal queC = (a i1 ,...,a} {{ix ,a}i1 ,...,a ix ,...,a} {{ }i1 ,...,a ix ,a} {{ }i1 ,...,a ir ) ,} {{ }1 2⌊n/x⌋ 1com 0 ≤ i r < i x . Para x ≥ n/2, B n (x) é o conjunto de C ∈ C n tal queC = (a i1 ,...,a} {{ir ,a}ir+1 ,...,a ix ,a i1 ,...,a ir ).} {{ } } {{ }121Um dos resultados desta tese apresenta relações entre as probabilidades dos conjuntosC δ,n e C δ,n ′ com a entropia generalizada de Rényi. A sua definição e algumas propriedadesserão introduzidas no Capítulo 5.Definição 2.1. Para qualquer β ∈ R, a Entropia Generalizada de Rényi de umamedida p, denotada por H R (β), é definida porquando o limite existe.2.2 Resultados anteriores1H R (β) = − limn→∞ nβ log ∑p(C n ) β+1 ,C n∈C nNo artigo [3], Abadi e Vaienti estabelecem limites exponenciais para as medidas dosconjuntos C δ,n e C δ,n ′ . Inicialmente mostraram, para processos ψ-misturadores, que ográfico desta função limite (dependendo de δ), está contido em um triângulo determinadopelas retas −γ p (1 −δ), −h p (1 −δ) e −γ p , onde h p denota a entropia métrica de pe a constante γ p é o supremo entre as constantes κ tais que, para todo n ∈ N e K > 0,p(C n ) ≤ Ke −κn .As seguintes duas proposições mostram esses resultados. (Ver Figura 2.1)9

Proposição 2.1. Seja p uma medida ψ-misturadora. Tomemos δ ∈ (0, 1). Então,lim sup 1 n log p(C δ,n) ≤ −γ p (1 − δ).Se ψ(0) < 1, entãolim inf 1 n log p(C δ,n) ≥ −h p (1 − δ).A seguinte proposição considera medidas de seqüências de palavras que convergem àmaior possível para palavras de período pequeno.Proposição 2.2. Seja p uma medida ψ-misturadora. Se existe uma seqüência {P n } n∈Nde palavras em C n tal queeEntão,limn→∞ −1 n log p(P n) = γ pτ(P n )limn→∞ n= 0.lim inf 1 n log p(C δ,n) ≥ −γ p .O teorema principal do artigo [3] estabelece a relação entre a medida de C δ,n e a entropiageneralizada de Rényi. Observe que, além da hipótese de que o processo sejaψ-misturador, é preciso que ψ(0) < 1. Isto para garantir a existência do limitanteinferior.Teorema 2.1. Seja p uma medida ψ-misturadora, com ψ(0) < 1 e tal que para qualquerβ ∈ N a entropia generalizada de Rényi existe. Então, para cada δ ∈ (0, 1], o limiteexiste. Mais precisamente,1M(δ) = limn→∞ n log p(C δ,n),1. Para todo 1 2 ≤ δ ≤ 1, M(δ) = −H R (1)(1 − δ).2. Para todo 0 < δ ≤ 1 2 ,M(δ) = −⌊ 1 δ ⌋( 1 − δ⌊ 1 δ ⌋) H R (⌊ 1 δ ⌋) − ( δ + δ⌊ 1 δ ⌋ − 1)( ⌊ 1 δ ⌋ − 1) H R (⌊ 1 δ ⌋ − 1)Para entender a função M(δ), observemos que quando δ = 1 , k ∈ N, temos quekM(δ) = −H R (k − 1) k−11. E para valores de δ ∈ ( , 1 ), M(δ) é a função linear de δk k+1 kque interpola os pontos −H R (k) k e −H k+1 R(k − 1) k−1.kA Figura 2.1 ilustra esse fato para δ = 1, 1 , 1. Também mostra como as funções M(δ)4 2e a entropia de Rényi estão contidas no triângulo determinado pelas retas −γ p (1 − δ),−h p (1 − δ) e −γ p .Os seguintes lemas, tomados de Abadi e Vaienti [3], serão úteis na prova do resultadodo limitante superior, no próximo capítulo.10

(0,0)(1,0)−γ p(1−δ)M(δ)(0,−γ p)G(δ)1/4 1/2−γ p−h p(1−δ)(0,−h p)δFigura 2.1: Ilustração do Teorema 2.1 sendo G(δ) = (δ − 1)H R ( 1 δ − 1).Lema 2.1. Sejam m e n inteiros positivos tais que 0 ≤ m < n 2 . Então,m⋃B n (j) =j=1m⋃j=⌊ m 2 ⌋ B n (j).Prova.Para qualquer j ∈ Z tal que 1 ≤ j ≤ m 2 , podemos escrever m = ⌊m j ⌋j + r jcom 0 ≤ r j ≤ m. Então temos que 2m2 ≤ ⌊m ⌋j ≤ m.jIsto é, para cada inteiro j ∈ [1, m] existe um inteiro i = 2 ⌊m⌋j ∈ j [m,m].2Portanto,m⋃m⋃B n (j) = B n (j).j=1 j=⌊ m 2 ⌋□Lema 2.2. Considere o conjunto {c i ∈ IR + : 1 ≤ i ≤ n,n ∈ N}. Então,1limn→∞sempre que os limites existem.n log n∑i=11c i = lim log maxn→∞ n {c i},1≤i≤n11

Prova.Para todo c i > 0, i = 1,...,n,max {c i} ≤1≤i≤nn∑i=1c i ≤ n max1≤i≤n {c i}.Tomando logaritmo em cada um dos termos dessa desigualdade, depois dividindo porn e tomando o limite, obtemos o resultado.□12

Parte IIResultados obtidos13

Capítulo 3Comportamento global: grandesdesvios.Neste capítulo vamos mostrar resultados que validam as relações apresentadas nocapítulo anterior, relaxando as hipóteses em uma direção. Também, vamos mostraralgumas simulações que mostram que esses resultados são válidos sob hipóteses maisfracas, ainda em uma outra direção.3.1 Resultados obtidos.Definição 3.1. Seja M uma função crescente, contínua, linear em cada intervalo1[ , 1 ], n ∈ N, tal que para todo δ ∈ (0, 1],n+1 n{1−H R (1)(1 − δ) seM(δ) =2 ≤ δ ≤ 1,−⌊ 1 δ ⌋( 1 − δ⌊ 1 δ ⌋) H R (⌊ 1 δ ⌋) − ( δ + δ⌊ 1 δ ⌋ − 1)( ⌊ 1 δ ⌋ − 1) H R (⌊ 1 δ ⌋ − 1) se 0 < δ ≤ 1 2 .Observação 3.1. A existência da função M esta dada pela existência do limite que definea Entropia generalizada de Rényi (Definição 2.1). No Capítulo 5 (Proposição 5.1)mostramos que, sob as hipóteses do Teorema 3.1, se garante a existência da Entropiageneralizada de Rényi.Teorema 3.1. Seja p uma medida tal que, para A ∈ C n e B ∈ C m , com n,m ∈ N ep(A),p(B) > 0,1f ( min{m,n} )p(A)p(B) ≤ p(A ∩ S−n B) ≤ f ( min{m,n} ) p(A)p(B), (3.1)onde f uma função crescente que satisfazEntão, para cada δ ∈ (0, 1],log f(k)limk→∞ k14= 0.

1. lim n→∞1n log p( B n (⌊δn⌋) ) = M(δ).2. lim n→∞1n log p(C δ,n) = M(δ).3. lim sup n→∞1n log p(C′ δ,n ) ≤ M(δ).Observação 3.2. A hipótese do Teorema 3.1 cobre trivialmente os processos ψ− misturadorescom ψ(0) < 1. Observemos que essa hipótese se refere apenas às probabilidadescondicionadas no passado imediato e não controla as correlações a longo prazocomo fazem tipicamente as condições de mistura. No Capítulo 4 mostraremos umafamília de processos que satisfazem esta condição, porém não são ψ−misturadores.Mais ainda, na Proposição 3.4, veremos uma propriedade que descreve as correlaçõesde uma tal medida de probabilidade.Se, na hipótese do Teorema 3.1, usamos a função max no lugar de min, não podemosgarantir a existência da entropia generalizada de Rényi. Porém, o Teorema 3.1 é válido(com as modificações obvias na sua prova), trocando os limites por limite superior elimite inferior.A prova do Teorema 3.1, sera desenvolvida a partir do limite superior e inferior.Para isto vamos dividir a hipótese como segue:Seja p uma medida tal que, para n,m ∈ N, A ∈ C n e B ∈ C m e p(A),p(B) > 0,p(A ∩ S −n B) ≤ f ( min{m,n} ) p(A)p(B), (3.2)p(A ∩ S −n B) ≥onde f é uma função crescente que satisfaz1f ( )p(A)p(B), (3.3)min{m,n}log f(k)limk→∞ kNa seguinte seção provaremos limitantes superiores e na subseguinte limitantes inferiorespara as quantidades que aparecem nos items 1, 2 e 3 do Teorema 3.1.= 0.3.1.1 Limitantes superioresProposição 3.1. Seja p uma medida que satisfaz (3.2). Então, para 0 < δ < 1 temosque:lim supn→∞1n log p( B n (⌊δn⌋) ) ≤ M(δ).15

Prova.Considereremos o caso 0 < δ ≤ 1/2.Escrevendo n = ⌊δn⌋⌊ 1 ⌋ + r, temos queδe entãor = n(1 − δ⌊ 1 δ ⌋) + (δn − ⌊δn⌋)⌊1 δ ⌋,L := n ( 1 − δ⌊ 1⌋) ≤ r ≤ n ( 1 − δ⌊ 1⌋) + ⌊ 1 ⌋ := U. (3.4)δ δ δCada palavra B n ∈ B n (⌊δn⌋) pode-se escrever comocom x i ∈ C e 0 ≤ r < ⌊δn⌋.B n = x ⌊δn⌋1 ...x ⌊δn⌋1 x r 1,Se aplicamos a equação (3.2) na palavra B n , temos quep(B n ) ≤f ( min{r, ⌊δn⌋⌊ 1 δ ⌋}) p(x ⌊δn⌋1 ...x ⌊δn⌋1 )p(x r 1)= f ( r ) p(x ⌊δn⌋1 ...x ⌊δn⌋1 )p(x r 1).Se continuamos separando a palavra x ⌊δn⌋1 ...x ⌊δn⌋1 em palavras de comprimento ⌊δn⌋ eusamos cada vez a hipótese (3.2) obtemos:p(B n ) ≤⌊ 1 δ ⌋∏i=1f ( r ) p ⌊1 δ ⌋ (x ⌊δn⌋1 )p(x r 1)< f ⌊1 δ ⌋ (n)p ⌊1 δ ⌋ (x ⌊δn⌋1 )p(x r 1),onde a última desigualdade se segue pois r < n.Agora, separando a palavra x ⌊δn⌋1 ∈ C ⌊δn⌋ como x ⌊δn⌋1 = x r 1x ⌊δn⌋r+1 , temos quep(B n ) ≤≤f ⌊1 δ ⌋ (n)f ⌊1 δ ⌋( min{⌊δn⌋ − r,r} ) p ⌊1 δ ⌋+1 (x r 1)p ⌊1 δ ⌋ (x ⌊δn⌋r+1 )f 2⌊1 δ ⌋ (n)p ⌊1 δ ⌋+1 (x r 1)p ⌊1 δ ⌋ (x ⌊δn⌋r+1 ).Logo,p ( B n (⌊δn⌋) ) ≤≤f 2⌊1 ⌋( δ n ) ∑ ∑p ⌊1 δ ⌋+1 (C) p ⌊1 δ ⌋ (D)C∈C r D∈C ⌊δn⌋−rf 2⌊1 ⌋( δ n ) ∑ ∑p ⌊1 δ ⌋+1 (C) p ⌊1 δ ⌋ (D).C∈C L D∈C ⌊δn⌋−U16

onde a segunda desigualdade foi obtida usando (3.4).Agora, tomando logaritmo natural e dividindo por n temos que 1 log p( Bn n (⌊δn⌋) ) élimitado superiormente por2⌊ 1 δ ⌋log f( n )+ L⌊1⌋δ1n n L⌊ 1⌋ log ∑ p ⌊1 δ ⌋+1 (C)δ C∈C L+ (⌊δn⌋ − U)(⌊1 δ ⌋ − 1)n1∑(⌊δn⌋ − U)(⌊ 1 log p ⌊1 δ ⌋ (A).⌋ − 1)δ A∈C ⌊δn⌋−UPela definição de f, o primeiro termo vai para 0 quando n → ∞.LObservando que lim n→∞ = 1 − n δ⌊1⌋ e lim δ n→∞ ⌊δn⌋−Unlim supn→∞1n log p( B n (⌊δn⌋) )= δ + δ⌊ 1 ⌋ − 1, obtemos queδ≤ −⌊ 1 δ ⌋( 1 − δ⌊ 1 δ ⌋) H R (⌊ 1 δ ⌋) − ( δ + δ⌊ 1 δ ⌋ − 1)( ⌊ 1 δ ⌋ − 1) H R (⌊ 1 δ ⌋ − 1)= M(δ).Agora, consideremos o caso 1 2 ≤ δ < 1. Neste caso, para cada palavra D n ∈ B n (⌊δn⌋),os primeiros e últimos n − ⌊δn⌋ símbolos são iguais. Então, separando D n nos n − ⌊δn⌋símbolos de cada extremo e n − 2(n − ⌊δn⌋) do centro, temos quep ( B n (⌊δn⌋) ) ≤ f ( min{n − ⌊δn⌋, ⌊δn⌋} ) ∑ ∑p(A) p(B)A∈C n−⌊δn⌋ B∈C ⌊δn⌋= f ( n − ⌊δn⌋ ) ∑ ∑p(A) p(B)A∈C n−⌊δn⌋ B∈C ⌊δn⌋e assim,Portanto,≤ f ( n − ⌊δn⌋ ) f ( min{2⌊δn⌋ − n, n − ⌊δn⌋} ) ∑≤ f 2( n ) ∑A∈C n−⌊δn⌋ p 2 (A)1n log p( B n (⌊δn⌋) ) ≤ 2 log f( n )n∑B ′ ∈C 2⌊δn⌋−n p(B ′ ),+ n − ⌊δn⌋nA∈C n−⌊δn⌋ p 2 (A)1n − ⌊δn⌋ log∑∑B ′ ∈C 2⌊δn⌋−n p(B ′ )A∈C n−⌊δn⌋ p 2 (A).lim supn→∞1n log p( B n (⌊δn⌋) ) ≤ −(1 − δ)H R (1) = M(δ).□17

Proposição 3.2. Seja p uma medida que satisfaz (3.2). Então, para 0 < δ ≤ 1 temosque:lim supn→∞1n log p(C δ,n) ≤ M(δ).Prova. Como na prova anterior, também começemos considerando o caso 0 < δ < 1 2 .Por definição, o conjunto C δ,n pode-se escrever como a união disjunta dos conjuntos{τ(C n ) = i}, com 1 ≤ i ≤ ⌊δn⌋. Isto é,{C n ∈ C n : τ(C n ) ≤ ⌊δn⌋} = ∪ ⌊δn⌋i=1 {C n ∈ C n : τ(C n ) = i}.Também, para cada i ∈ N, {C n ∈ C n : τ(C n ) = i} ⊆ B n (i).Então,C δ,n ⊆ ∪ ⌊δn⌋i=1 B n(i) = ∪ ⌊δn⌋onde a igualdade foi obtida usando o Lema 2.1.i= ⌊δn⌋2B n (i),Portanto, lim sup n→∞1n log p(C δ,n) ≤ M(δ).□Corolário 3.1. Seja p uma medida que satisfaz (3.2). Então, para 0 < δ < 1 temosque:1lim supn→∞ n log p(C′ δ,n) ≤ M(δ).Prova.Basta observar que C δ,n ′ ⊆ B n(⌊δn⌋). Então,∑p(C n ) ≤∑p(C).C n∈C δ,n′ C∈B n(⌊δn⌋)□3.1.2 Limitantes inferioresProposição 3.3. Seja p uma medida que satisfaz (3.3). Então, para 0 < δ < 1 temosque:1lim infn→∞ n log p( B n (⌊δn⌋) ) ≥ M(δ).18

Prova.Primeiro vamos considerar o caso 0 < δ ≤ 1/2.Como na prova da Proposição 3.1, vamos escrever n = ⌊δn⌋⌊ 1 ⌋ + r, e dai,δr = n(1 − δ⌊ 1 δ ⌋) + (δn − ⌊δn⌋)⌊1 δ ⌋,entãoL := n ( 1 − δ⌊ 1 δ ⌋) ≤ r ≤ n ( 1 − δ⌊ 1 δ ⌋) + ⌊ 1 ⌋ := U. (3.5)δEscrevendo as palavras de B n (⌊δn⌋) como x ⌊δn⌋1 ...x ⌊δn⌋1 x r 1, com x i ∈ C e 0 ≤ r < ⌊δn⌋,e sob (3.3), temos quep ( x ⌊δn⌋1 ...x ⌊δn⌋ )1 x r 11 ≥ ⌋( f ⌊1 ⌋( δ n )p⌊1 δ x ⌊δn⌋ ) ( )1 p xr1 .Nesta expressão, a palavra x ⌊δn⌋1 pode ser escrita comoe de (3.3) temos quex ⌊δn⌋1 = x r 1x ⌊δn⌋r+1 ,p ( x ⌊δn⌋ ) 11 ≥f ( min{r, ⌊δn⌋ − r} )p( ) (x r ⌊δn⌋) 1 p x r+1 .Isto é,p ( x ⌊δn⌋1 ...x ⌊δn⌋ )1 x r 11 ≥f ⌊1 ⌋( δ n ) ⌋+1( )f ⌊1 ⌋( δ min{r, ⌊δn⌋ − r} )p⌊1 δ x r 1 p⌊ 1 ⌋( δ x ⌊δn⌋ )r+1 .Então, para o conjunto de palavras B n (⌊δn⌋) temos quep ( B n (⌊δn⌋) ) ≥≥1 ∑ ∑f 2⌊1 ⌋( δ n ) p ⌊1 δ ⌋+1 (C) p ⌊1 δ ⌋ (D)C∈C r D∈C ⌊δn⌋−r1 ∑ ∑f 2⌊1 ⌋( δ n ) p ⌊1 δ ⌋+1 (C) p ⌊1 δ ⌋ (D),C∈C U D∈C ⌊δn⌋−Londe a última desigualdade foi obtida usando (3.5).Agora, tomando logaritmo natural e dividindo por n temos que 1 n log p( B n (⌊δn⌋) ) élimitado inferiormente por19

−2⌊ 1 δ ⌋log f( n )n+ U⌊1 δ ⌋n+ (⌊δn⌋ − L)(⌊1 δ ⌋ − 1)n1U⌊ 1⌋ log ∑ p ⌊1 δ ⌋+1 (C)δ C∈C U1∑(⌊δn⌋ − L)(⌊ 1 log p ⌊1 δ ⌋ (A).⌋ − 1)δ A∈C ⌊δn⌋−LUO primeiro termo vai para 0 quando n → ∞, e observando que lim n→∞ = 1 − n δ⌊1⌋δ⌊δn⌋−Le lim n→∞ = δ + δ⌊ 1 ⌋ − 1, obtemos quenδlim infn→∞1n log p( B n (⌊δn⌋) )≥ −⌊ 1 δ ⌋( 1 − δ⌊ 1 δ ⌋) H R (⌊ 1 δ ⌋) − ( δ + δ⌊ 1 δ ⌋ − 1)( ⌊ 1 δ ⌋ − 1) H R (⌊ 1 δ ⌋ − 1)= M(δ).Agora, consideremos o caso 1 ≤ δ < 1. Neste caso, os primeiros e últimos n − ⌊δn⌋2símbolos são iguais. Então, temos quep ( B n (⌊δn⌋) ) ≥≥1f ( ⌊δn⌋ ) f ( min{2⌊δn⌋ − n, n − ⌊δn⌋} )1f 2( n )∑A∈C n−⌊δn⌋ p 2 (A)∑B∈C 2⌊δn⌋−n p(B ′ ),∑A∈C n−⌊δn⌋ p 2 (A)∑B ′ ∈C 2⌊δn⌋−n p(B ′ )e assim, tomando logaritmo e dividindo por n, temos que 1 n log p( B n (⌊δn⌋) ) é limitadoinferiormente porPortanto,2 log f(n)−n− n − ⌊δn⌋n1n − ⌊δn⌋ log∑A∈C n−⌊δn⌋ p 2 (A).lim infn→∞1n log p( B n (⌊δn⌋) ) ≥ −(1 − δ)H R (1) = M(δ).□Corolário 3.2. Seja p uma medida que satisfaz (3.3). Então, para 0 < δ < 1 temosque:1lim infn→∞ n log p( )C δ,n ≥ M(δ).20

Prova.Observe que dado que C δ,n ⊇ B n (⌊δn⌋), temos que∑p(C n ) ≥∑C n∈C δ,nC∈B n(⌊δn⌋)p(C).Isto conclui a demostração.□As proposições 3.1 e 3.3 provam o item 1. A proposição 3.2 e Corolário 3.2 provamo item 2. O Corolário 3.1 prova o item 3. Com isto concluimos a demostração doTeorema 3.1.A seguinte proposição mostra uma propriedade de correlação dos processos quecumprem as hipóteses (3.2) e (3.3).Proposição 3.4. Sejam p uma medida tal que para A ∈ C n e B ∈ C m , com n,m ∈ Nsatisfazendo as hipóteses (3.2) e (3.3). Então, para todo k ≥ 0,f −1( min{n,m} ) ≤ p(S−n−k B|A)p(B)≤ f ( min{n,m} ) .Prova. Se consideramos todas as possíveis palavras de comprimento k entre aspalavras A e B, podemos escrever p(A ∩ S −n−k B) como seguep(A ∩ S −n−k B) = ∑C k ∈C k p(A ∩ S −n C k ∩ S −n−k B).Usando a hipótese (3.2) nas palavras A ∩ S −n C k ∈ C n+k e B ∈ C m temos∑p(A ∩ S −k C k ∩ S −n−k B) ≤ f ( min{n + k,m} ) ∑p(A ∩ S −n C k )p(B)C k ∈C k C k ∈C k= f ( min{n + k,m} ) p(A)p(B).Agora, se separamos A ∩ S −n C k ∩ S −n−k B em A ∈ C n e C k ∩ S −k B, temos que∑C k ∈C k p(A ∩ S −k C k ∩ S −n−k B) ≤ f ( min{n,m + k} ) p(A)p(B).E como f é crescente, concluimos quep(A ∩ S −n−k B) ≤ f ( min{n,m} ) p(A)p(B).O lado esquerdo se conclui de modo similar.□21

3.2 ExemplosOs seguintes exemplos mostram casos onde o Teorema 3.1 é válido porém o Teorema2.1 não se aplica.Exemplo 3.1. Consideremos uma cadeia de Markov tomando valores no alfabetoC = {1, 2} com matriz de transição dada por:1 2( 1 − p p)Q = 1 2q1 − qcom 0 < p < 1 e 0 < q < 1.Vamos mostrar que para alguns valores de p e q, ψ(0) ≥ 1. Portanto, sob a hipótesedo Teorema 2.1 não poderiamos garantir a existência de M(δ), porém este processosatisfaz as hipóteses do Teorema 3.3.A medida invariante para este caso é dada por:π(1) =qp + qe π(2) = pp + q .Se consideramos duas palavras quaisquer A = {X n 1 = a r 1} ∈ C r e B = {X r+mr+1 = b m 1 } ∈C m geradas por esta cadeia, temos que p(A) > 0 e p(B) > 0, e também,Isto é,p(B|A)p(B)p(B|A)p(B)= p(b 1|a r )π(b 1 )= Q(a r,b 1 ).π(b 1 )⎧p + q se a r = 1 e b 1 = 2 ou se a r = 2 e b 1 = 1,⎪⎨(p+q)(1−p)=qse a r = 1 e b 1 = 1,⎪⎩(p+q)(1−q)pse a r = 2 e b 1 = 2.Basta considerar o conjunto {(p,q) : p ≤ q(1 − q)/(1 + q) ou q ≤ p(1 − p)/(1 + p)}para obter ψ(0) ≥ 1.Se tomamos, por exemplo, o caso em que a r = 1, b 1 = 1, p = 1/2 e q = 1/8, temos que∣ p(B|A)p(B)− 1∣ ==∣ ∣ 5 ∣ ∣∣.2 − 1(p + q)(1 − p)q− 1∣22

Portanto, ψ(0) ≥ 1.Por outro lado, podemos limitar p(B|A)/p(B) como segueC min ≤ p(B|A)p(B)≤ C max ,onde(p + q)(1 − p) (p + q)(1 − q)C min = min{p + q, , }, eq p(p + q)(1 − p) (p + q)(1 − q)C max = max{p + q, , }.q pObserve que para 0 < p < 1 e 0 < q < 1, 0 < C min ≤ C max < +∞. Assim, esteprocesso cumpre as hipóteses do Teorema 3.3.Exemplo 3.2. Consideremos a cadeia de Markov {Y n } n≥0 tomando valores alfabetoC = {0, 1, 2,...} e as componentes da matriz de transição dadas por⎧⎪⎨ 1 − q w se z = 0,Q Y (w,z) = q w se z = w + 1,⎪⎩0 em outro caso,para 0 < q w < 1.A partir da cadeia {Y n } n≥0 definamos o processo {X n } n≥0 no alfabeto {a,b}, assim:{a se Y n = 0,X n =b se Y n ≠ 0.No próximo capítulo veremos que o processo {X n } n≥0 não é ψ−misturador pois aprobabilidade de obter a palavra X0 n−1 = b n decae polinomialmente com n. Por outrolado, mostraremos que {X n }, em alguns casos, sim satisfaz as condições dos Teoremas3.1.3.3 Simulações.As condições ψ(0) < 1 no Teorema 2.1 e (3.3) no Teorema 3.1 impõem que odiccionário deve ser completo. Porém, a seguinte simulação indica que essa condiçãopoderia não ser necessária. Vamos mostrar um exemplo de uma cadeia de Markov emque esta condição não é válida, mas o gráfico da função 1 n log p( τ(C n ) ≤ ⌊δn⌋ ) ficacontida no triângulo encontrado nas Proposições 2.1 e 2.2.23

0−0.1−0.2−0.3−0.4−0.5−0.6−0.70 1 2 3 4 5 6 7 8 9delta*n , delta=0 to 1, n=9Figura 3.1: Exemplo 3.3 com palavras de tamanho n=9.Exemplo 3.3. (Uma cadeia de Markov.)Consideremos uma cadeia de Markov tomando valores no alfabeto {1, 2, 3, 4, 5} commatriz de transição⎛ ⎞1 10 0 02 2 0 1 10 02 2 Q =⎜0 0 1 102 2 ⎟⎝0 0 0 1 1⎠2 210 0 0 1 2 2A medida invariante é a distribuição Uniforme, p(i) = 1 , i = 1,...,5. Neste caso5todas as palavras de tamanho n têm probabilidade 0 ou 1 5 (1 2 )n−1 . Sejam A = a r 1 eB = b m 1 , duas palavras de probabilidade positiva. Então,p(B|A)= Q(a r,b 1 ){∈ 0, 5 }.p(B) p(b 1 ) 2Portanto,∣ p(B|A)p(B)− 1∣ ∈{ 32 , 1 }.Assim, temos que ψ(0) > 1. Na Figura 3.1 apresentamos a simulação da função1log p(τ(C n n) ≤ ⌊δn⌋) com palavras de tamanho 9 tomadas desta cadeia.O ponto de interseção das retas equivale ao valor −γ p das Proposições 2.1 e 2.2. Istoé,−γ p = 1 9 log p(P 9) = 1 (( 1) 8 ( 19 log ≈ −0.69,2 5))onde P 9 é uma das palavras em C 9 que têm medida máxima.O valor mínimo entre as medidas das palavras consideradas é 0. Então, −ρ p = −∞e não esta representado na figura.24

Capítulo 4Comportamento local: Tempos deRetorno.4.1 IntroduçãoNeste capítulo vamos estudar estatísticas dos tempos de retorno de uma palavra emprocessos estocásticos com alfabeto finito.Lembramos que T An é o tempo em que o processo atinge pela primera vez umconjunto A de medida positiva e esta definido porT An = inf{k ≥ 1 : X k+n−1k= A n }.Quando a condição inicial do processo é o mesmo evento, chamaremos a T An |A n (T Anrestringido a A n ) como o tempo de retorno. Lembramos que τ(A n ) denota o períododa palavra A n .Como foi dito na introdução, foi provado primeiro para processos ψ−misturadores,com ψ exponencial, por Galves e Schmitt [15] e posteriormente para processos φ−misturadores,com φ somável, por Abadi [1], que existe c > 0 que só depende da medida de probabilidadeP do processo {X n }, tal que,λ(A n ) = P(T An > τ(A n )|A n ) > 0.Nos perguntamos sobre o comportamento de λ(A n ) para processos mais gerais. Específicamente,queremos saber se sempre é possível encontrar uma constante c P com apropriedade acima descrita, ou, se pelo contrário, é possível construir uma seqüênciade palavras {A n } n∈N tal queλ(A n ) −−−→n→∞ 0.Neste capítulo construiremos um processo α−misturador, com alfabeto finito e umaseqüência de palavras {A n } n∈N tal que λ(A n ) −−−→ 0. Equivalentemente,n→∞1 − λ(A n ) = P(T An = τ(A n )|A n ) −−−→n→∞ 1.25

Fisicamente isto significa que que o processo, ainda sendo ergódico misturador, nolimite é absorvido.A condiçãoτ(A n ) q.c.−−−→n1,n→∞para processos ergódicos (Afraimovich, Chazottes e Saussol [5], e Saussol, Troubetzkoye Vaienti [17]), indica queq.c.λ(A n ) −−−→ 1.n→∞No seguinte exemplo mostramos λ(A n ) ≠ 1 e que a constante c P pode ser tão pequenaquanto se quiser.Exemplo 4.1. (Caso independente)Consideremos um processo Bernoulli{0, 1}, com µ(0) = µ(1) = p. Consideremos aspalavras A n = {X n 1 = 0} e B n = {X 1 = 0,X n 2 = 1}. τ(A n ) = 1 e τ(B n ) = n.Para o caso de A n temos quepara todo n.λ(A n ) = P(T An > τ(A n )|A n ) = P(T An > 1|A n ) = P(X n = 1|X n 1 = 0) = p,Já no caso de B n , P(T Bn > τ(B n )|B n ) = P(T Bn > n|B n ) = 1 − p n−1 (1 − p). Isto é,λ(B n ) −−−→n→∞ 1.4.2 Condição para λ(A n ) → 0O Exemplo 4.1 mostra dois casos em que λ(A n ) = P(T An > τ(A n )|A n ) ≥ C > 0.O objetivo agora é a construção de um processo que possua uma seqüência de palavraA n tais que λ(A n ) −−−→n→∞ 0.Começamos apresentando a construção de um processo que cumpre esta condiçãopara palavras com período 1.Consideremos a cadeia de Markov {Y n } n≥0 com espaço de estados {0, 1, 2,...} e ascomponentes da matriz de transição Q Y dadas por:Q Y (y, 0) = 1 − q y (4.1)Q Y (y,y + 1) = q y ,para y = 0, 1, 2,..., com q y > 0 e 0 nos outros casos.26

Figura 4.1: Cadeia {Y n } n≥0Esse processo foi considerado por Fernández, Ferrari e Galves em [13]. Nós, a partirde uma transformação e com uma escolha adequada das probabilidades q y em (4.1),encontramos um processo recorrente positivo para o qual uma seqüência de palavrasA n com período 1 satisfaz P(T An > τ(A n )|A n ) → 0 quando n aumenta.No apêndice mostramos as condições para garantir que este processo seja recorrentee, em particular, recorrente positivo.A partir da cadeia de Markov {Y n } descrita pelas probabilidades de transição em(4.1), vamos definir o processo {X n } n≥0 no alfabeto {a,b} tal que X n = a quandoY n = 0, e X n = b quando Y n toma um valor diferente de 0. Isto é, X n = F(Y n ), comF : {0, 1,...} → {a,b} (4.2){ a se y = 0,y ↦→b se y > 0.Neste processo {X n } n≥0 , consideremos as palavras B n , de período 1, formadas por nsímbolos b.Queremos encontrar os valores de q y , definidos em (4.1), tais queou equivalentemente,P(T Bn > 1|B n ) −−−−→n→+∞ 0,P(X n = b|X n−10 = b n−10 ) −−−−→n→+∞ 1.Na seguinte proposição consideramos seqüências {q n } n≥0 que cumprem esse objetivo.Denotamos por b n , b ∈ C, a palavra de tamanho n onde todos seus símbolos são iguaisa b,b n := {X0 n−1 = b0 n−1 }.27

A palavra x m y k , onde k,m ≥ 0 e x,y ∈ C, denota a palavra x m seguida da palavra y k ,isto é,x m y k := {X m−10 = x m ,X m+k−1m = y k }.Para simplificar, denotamos as probabilidades dos cilindros assim,e as probabilidades condicionais,p(x n−10 ) := P(X n−10 = x n−10 ),p(x n |x n−10 ) := P(X n = x n |X n−1 = x n−1 ,X n−2 = x n−2 ,...,X 0 = x 0 ).Para k,l,m e n inteiros positivos, x,y ∈ C,p(x n y m |x l y k ) := P(X k+l+m+n−1k+l+m= x n ,X k+l+m−1k+londe consideramos as palavras começando no presente.= y m |X k+l−1k= x l ,X k−10 = y k ),Proposição 4.1. Seja {Y n } n≥0 a cadeia de Markov definida pelas probabilidades detransição em (4.1). A partir de {Y n } definamos o processo {X n } n≥0 no alfabeto {a,b}satisfazendo (4.2). Para n ≥ 1, seja R(n) = ∑ +∞ ∏ n+kk=0 j=n q j.Entãop(b|b n 1) =1 + 1 .R(n)Portanto, se R(n) −−−−→n→+∞∞, temos que p(b|bn ) −−−−→n→+∞ 1.Prova da Proposição 4.1 Observemos que a probabilidade de obter a palavra detamanho n, bb...b = b n pode ser escrita decompondo o espaço segundo a posição daprimeira occorrência de a no passado imediato e depois usando as probabilidades detransição q y como segueP(X n 1 = b n ) ==+∞∑k=0+∞∑k=0= π(a)P(X n −k+1 = bn+k , X −k = a)P(X n = b|X n−1−k+1 = bn+k−1 , X −k = a) · · · P(X −k+1 = b|X −k = a)π(a)+∞∑k=0n+k−1∏j=0q j , (4.3)onde π(a) é a medida invariante de a no processo {X n } n≥0 .28

Usando esta última expressão temos que∑P(X n = b|X0 n−1 = b0 n−1 ) = P(Xn 0 = b n +∞0)P(X0 n−1 = b0 n−1 ) = ∑ k=0+∞∏ n+kj=0 q j∏ n+k−1k=0j=0q j.Denotemos o numerador por S(n). Então, podemos escrever o denominador como asoma de S(n) e o produto ∏ n−1j=0 q j. Assim, temos queP(X n = b|X n−10 = b n−10 ) =S(n)S(n) + ∏ n−1j=0 q j=11 +Én−1j=0 q jS(n)Agora, observe que S(n) = ∑ +∞ ∏ n+kk=0 j=0 q j = ∏ n−1j=0 q ∑ +∞ ∏ n+kj k=0 j=n q j. Então,P(X n = b|X n−10 = b n−10 ) =11 + 1R(n)= R(n)R(n) + 1 ,.onde R(n) = ∑ +∞ ∏ n+kk=0 j=n q j.Portanto, para garantir P(X n = b|X0 n−1 = b0 n−1 ) → 1 quando n → ∞, os valores de q jR(n)devem satisfazer → 1 quando n → ∞, com R(n) divergendo, como estavamosR(n)+1procurando.□4.2.1 Medida invarianteNesta seção mostraremos que o processo tem uma única medida invariante e ela é nãodegenerada.Denotamos com π(.) a medida invariante do processo que estamos considerando. Vamostomar π(b) = 1 − π(a). No que segue encontramos a expressão dessa medida para ossímbolos a e b.Suponhamos P(X i = a) = π(a) e P(X j = b) = π(b) para todo i ≤ 0 e j ≤ 0 e provemosque P(X 1 = a) = π(a).Pela definição do processo temos queP(X 1 = a) = P(X 0 = a,X 1 = a) + P(X 0 = b,X 1 = a)= π(a)(1 − q 0 ) + P(X 0 = b,X 1 = a).29

Agora, observe queP(X 0 = b,X 1 = a) =+∞∑j=0= π(a)= π(a)P(X −j−1 = a,X 0 −j = b j+1 ,X 1 = a)+∞∑j=0+∞∑j=0(1 − q j+1 )j∏i=0q i( ∏j j+1∏q i − q i).i=0Usando a última expressão em P(X 1 = a) temos que( +∞∑P(X 1 = a) = π(a) 1 − q 0 +j=0 i=0+∞∑(= π(a) 1 − q 0 + q 0 += π(a).i=0j∏q i −j=1 i=0j+1 +∞∑∏ )q ij=0 i=0j+1 +∞∑j∏q i −∏ )q ij=0 i=0E por indução podemos concluir que P(X i = a) = π(a) para todo i ∈ Z.Vamos obter expressões explícitas mais úteis para π(a) e π(b).Para o símbolo b, pela definição do processo temos queObserve queEntão,P(X 1 = b) = P(X 0 = a,X 1 = b) + P(X 0 = b,X 1 = b)P(X 1 0 = b 2 ) == π(a)q 0 + P(X 1 0 = b 2 ).+∞∑j=0= π(a)P(X 1 −j = b j+2 ,X −j−1 = a)j+1 +∞∑∏q j .j=0 i=0P(X 1 = b) = π(a)Assim, por indução para k ∈ Z temos quee como π(b) = 1 − π(a),+∞∑P(X k = b) = π(b) = π(a)P(X k = a) = π(a) =30j=0 i=0j∏q j .+∞∑j=0 i=0j∏q j . (4.4)11 + ∑ +∞ ∏ jj=0 i=0 q . (4.5)j

4.2.2 Medidas das palavrasLema 4.1. Seja {X n } n∈Z um processo estacionário tomando valores no alfabeto binário{a,b}. Então,P(X1 k = b k ,X k+1 = a) = P(X 1 = a,X2 k+1 = b k ).Prova.P(X1 k = b k ,X k+1 = a) = P(X1 k = b k ) − P(X1 k+1 = b k+1 )= P(X2 k+1 = b k ) − P(X1 k+1 = b k+1 )= P(X 1 = a,X2 k+1 = b k ).Observação 4.1. Para o processo {X n } n≥0 definido em (4.2),k−1∏p(b k a) = p(ab k ) = π(a) q i . (4.6)i=0□Na seguinte observação vamos enumerar algumas medidas de palavras e probabilidadescondicionais no processo {X n } n∈Z que serão úteis em futuras provas e que foram obtidasda prova da Proposição 4.1.Observação 4.2. Para n ≥ 1,1. p(b n ) = π(a) ∑ +∞ ∏ n+k−1k=0 j=0q j .2. p(b|b n ) = R(n)R(n)+1 .3. p(a n ) = (1 − q 0 ) n−1 π(a).4. p(b n |a) = ∏ n−1i=1 q i.Na seguinte proposição vamos obter expressões explícitas para as probabilidades detodas as palavras do Processo {X n }.Isto nos ajudara a construir explicitamente um caso onde λ(A n ) → 0 e ainda esseprocesso satisfaz as condições (3.2) e (3.3) do Teorema 3.1 mostrado no capítulo anteriore não é ψ−misturador.Vamos considerar palavras C, obtidas do processo {X n }, contendo pelo menos umsímbolo a e pelo menos um símbolo b. Denotaremos por N w o número de símbolos wna palavra, com w ∈ {a,b}. Com B w denotaremos o número de blocos que contém osímbolo w. k i indica o comprimento do i-ésimo bloco de símbolos b. Também, parasimplificar as expressões usamos a notação σ m := ∏ mi=0 q i.31

Proposição 4.2. Consideremos o processo {X n } n≥0 definido em (4.2). Seja C umapalavra com N a > 0 e N b > 0. Então,1. Se C é uma palavra que começa e termina em a,∏B b( )p(C) = π(a)(1 − q 0 ) Na−Ba σkj −1 − σ kj .j=12. Se C é uma palavra que começa em a e termina em b,p(C) = π(a)(1 − q 0 ) Na−Ba σ kU −1B∏b −1j=1onde k U denota o comprimento do último bloco de b ′ s.3. Se C é uma palavra que começa em b e termina em a,p(C) = π(a)(1 − q 0 ) Na−Ba ∑ ∞l=0 σ k 1 +l−11 + R(k 1 )(σkj −1 − σ kj),∏B bj=2onde k 1 denota o comprimento do primeiro bloco de b ′ s.4. Se C é uma palavra que começa e termina em b,p(C) = π(a)(1 − q 0 ) Na−Ba ∑ ∞l=0 σ k 1 +l−11 + R(k 1 ) σ k U −1(σkj −1 − σ kj),B∏b −1j=2(σkj −1 − σ kj).Prova.1. Observe que se C começa e termina em a podemos escreverC = a m 1b k 1...b k Ba m B+1,onde B := B b denota o número de blocos contendo o símbolo b. (Abusando danotação, se B b = 1, C = a m 1b k 1a m 2 ).Assim,Logo,p(C) = π(a)(1 − q 0 ) m 1−1B∏j=1(k j −1∏(1 − q 0 ) mj+1−1 (1 − q kj ) q i).i=0∏B b k( ∏ i −1)p(C) = π(a)(1 − q 0 ) Na−Ba (1 − qj ) q kij=1i=0∏B b( )= π(a)(1 − q 0 ) Na−Ba σkj −1 − σ kj .j=132

2. Quando a palavra C começa em a mas termina em b, estamos em um caso similarao anterior. Agora temos o mesmo número de blocos de símbolos de a e desímbolos b, B b = B a := B. Então,p(C) = π(a)(1 − q 0 ) m 1−1B−1∏j=1B∏b −1= π(a)(1 − q 0 ) Na−Ba3. Neste caso podemos escreversendo B b = B a := B. Então,j=1(k j −1∏(1 − q 0 ) mj+1−1 (1 − q kj )( ) k ∏B−1σkj −1 − σ kjC = b k 1a m 1...a m B−1b k Ba m B,p(C) = p(b k 1)p(a|b k 1)(1 − q 0 ) m 1−1∏ k1 +l−1j=0q j( ∑ +∞l=0= π(a)R(k 1 ) + 1B∏j=2i=0q i .i=0) k∏B −1q ii=0(k j −1∏ )(1 − q 0 ) mj+1−1 (1 − q kj ) q i∏B b( ) )(1 − q 0 ) Na−Ba σkj −1 − σ kj .4. Se a palavra C começa e termina em b podemos escreverj=2C = b k 1a m 1...a m B−1b k Ba m Bb k U,com k U o tamanho do último bloco de símbolos b. Assim,p(C) = p(b k 1)p(a|b k 1)(1 − q 0 ) m 1−1∏ k1 +l−1j=0q j( ∑ +∞l=0= π(a)R(k 1 ) + 1B∏j=2i=0(k j −1∏ ) K∏U −1(1 − q 0 ) mj+1−1 (1 − q kj ) q iB∏b −1)σ kU −1(1 − q 0 ) Na−Baj=2i=0q ii=0q i(σkj −1 − σ kj).□A seguinte proposição será usada na Seção 4.3 para mostrar uma família de processosque satisfaz as condições do Teorema 3.1.Vamos denotar com AB a concatenação da palavra A com a palavra B.Proposição 4.3. Consideremos duas palavras A e B geradas pelo processo {X n } n≥0 .1. Se A termina em a e B começa em a, então,p(AB) = (1 − q 0)p(A)p(B).π(a)33

2. Se A termina em b e contem pelo um símbolo a e B começa em a, então,p(AB) = (1 − q l)π(a) p(A)p(B),onde l denota o tamanho do último bloco de símbolos b na palavra A.3. Se A termina em a e B começa em b e contem pelo menos um símbolo a, então,p(AB) = (1 − q m)p(A)p(B),π(a)onde m é o tamanho do comprimento do primeiro bloco de símbolos b na palavraB.4. Se A termina em b e contem pelo menos um símbolo a e B começa em b e contempelo menos um símbolo a, então,p(AB) = (1 − q m+l)σ m+l−1p(A)p(B),σ l−1 σ m−1 π(a)onde m é o comprimento do primeiro bloco de símbolos b na palavra B, l ocomprimento do último bloco de b ′ s na palavra A.5. Se A = b l e B = b m , então,p(AB) =σ m+l−2 R(m + l − 1)π(a)σ l−1 σ m−1 R(l − 1)R(m − 1) p(A)p(B).Prova.1. Se A termina em a e B começa em a, podemos escrever A =Então,p(AB) = p(Ãa a ˜B) = p( ˜B|a)p(a|a)p(Ãa)ePortanto,p(B) = p( ˜B|a)π(a).p(AB)p(A)p(B) = p(a|a)π(a) = (1 − q 0).π(a)2. Se A termina em b e B começa em a, então,p(AB)p(A)p(B)= p(Ãabl a ˜B)p(Ãabl )p(a ˜B)= p( ˜B|a)p(a|b l a)p(Ãabl )p(Ãabl )p( ˜B|a)π(a)= p(a|bl a)π(a)= (1 − q l)π(a) .Ãa e B = a ˜B.34

3. Se A termina em a e B começa em b, podemos escrever A = Ãa e B = bm a ˜B,para m ≥ 1. Então,ePortanto,p(AB) = p(Ãa bm a ˜B) = p( ˜B|a)p(a|b m a)p(b m |a)p(Ãa)p(B) = p( ˜B|a)p(a|b m )p(b m ).p(AB)p(A)p(B) = p(a|bm a)p(b m |a)p(a|b m )p(b m )onde a última igualdade foi obtida usando o Lema 4.6.= (1 − q m)p(ab m ),p(ab m )π(a)4. Se A termina em b e B começa em b, podemos escrever A = Ãabl e B = b m a ˜B,para m ≥ 1 e l ≥ 1. Então,p(AB) = p(Ãa bm+l a ˜B) = p( ˜B|a)p(a|b m+l m+la)p(b |a)p(Ãa),ePortanto,p(A) = p(b l |a)p(Ãa)p(B) = p( ˜B|a)p(a|b m )p(b m ).p(AB)p(A)p(B) = p(a|bm+l a)p(b m+l |a)p(b l |a)p(b m |a)π(a) = (1 − q m+l) ∏ m+l−1π(a) ∏ l−1 ∏ m−1i=0 q ii=0 q ii=0 q i5. Para qualquer n ≥ 1, se na medida da palavra b n mostrada em (4.3), tomamos ofator comun nos termos da soma , temos que,p(b n ) = π(a)+∞∑k=0n−2∏= π(a)i=0n+k−1∏j=0q i+∞∑q jn+k−1∏k=0 j=n−1= π(a)σ n−2 R(n − 1).q j.□4.3 Um caso que satisfaz as hipóteses do Teorema 3.1Nesta seção vamos construir um caso particular do processo {X n } n∈Z (definido a partirde (4.2)) onde λ(A n ) converge a 0.35

Fixemos s > 1. Consideremos a seqüência crescente de probabilidades de transição{q n } n≥0 onde(n + 1)sq n =(n + 2) s. (4.7)Então,en+k∏j=nq j = q n q n+1 q n+2 · · · q n+k =(n + 1)s(n + k + 2) s,R(n) =+∞∑n+k∏k=0 j=nq j =+∞∑k=0(n + 1) s(n + k + 2) = (n + ∑+∞ s 1)sm=n+21ms. (4.8)Observe que na última soma aparece a cauda a partir de n + 2 da função Zeta deRiemann ζ(s) ∗ . Assim, escrevendo R(n) em termos de ζ(s) obtemosR(n) = (n + 1) s (ζ(s) −∑n+1i=11).i sNo Lema A.2 do Apêndice, mostramos limites para a cauda da função Zeta de Riemann.Usando esse resultado temos quePortanto, R(n) = O ( n + 1 ) e comotemos queLogo,n + 1s − 1 − 1 < R(n) < n + 1s − 1 . (4.9)P(X n = b|X n−10 = b n−10 ) = R(n)R(n) + 1 ,n − s + 2n + 1< P(X n = b|X n−10 = b n−10 ) < n + 1n + s .lim P(X n = b|X0 n−1 = b0 n−1 ) = 1.n→∞O processo {X n } n∈Z definido a partir das transições q y em (4.7) será denotado por{X ∗ n} n∈Z .∗ Função Zeta de Riemann ζ(s) = ∑ +∞i=1 1 i s 36

4.3.1 Medidas das palavras.Proposição 4.4. A medida invariante do símbolo a, π(a), para o processo {X ∗ n} n∈Z édada porπ(a) = 1ζ(s) ,e a medida invariante do símbolo b, π(b), é dada porπ(b) = 1 − π(a).Prova.Basta substituir as probabilidades q i = (i + 1) s /(i + 2) 2 em (4.4) e (4.5). □Observação 4.3. Vamos enumerar algumas medidas de palavras e probabilidadescondicionais no processo {X ∗ n} n∈Z que precisaremos em futuras provas. Se n ≥ 1,1. p(a|b n a) = 1 − ( n+1n+2) s.2. p(a n ) = ( 1 − 1 2 s ) n−1π(a).3. p(b n ) = π(a) ∑ +∞ 1i=n+1= O ( n 1−s) .i s4. p(b n |a) = 1(n+1) s .5. p(b|b n ) = R(n)R(n)+1 ,Prova.onde R(n) = (n + 1) s ∑ +∞m=n+21.m s1. Da definição do processo temos que,p(a|b n a) = 1 − q n = 1 − ( n+1n+2) s.2. p(a n ) = p n−1 (a|a)π(a) = (1 − q 0 ) n−1 π(a) = ( 1 − 1 2 s ) n−1π(a).3. Usando a equação (4.3), temos quep(b n ) = π(a)= π(a)= π(a)37+∞∑k=0+∞∑k=0+∞∑i=n+1n−1+k∏j=0q j1(n + k + 1) s1i s.

Também, do Lema A.2 temos que,Logo, p(b n ) = O ( n 1−s) .4. p(b n |a) = ∏ n−1i=0 q i = 1(n+1) s .π(a) π(a)− < p(b n ) 0 e N b > 0. Então, para κ =− log(1 − 2 −s ),1. Se C é uma palavra que começa e termina em a,∏B bp(C) = e −κ(Na−Ba) O(k −s−1i ).2. Se C é uma palavra que começa em a e termina em b,i=1p(C) = e −κ(Na−Ba) O(k −s∏U ) B b −1onde k U denota o comprimento do último bloco de b ′ s.3. Se C é uma palavra que começa em b e termina em a,p(C) = e −κ(Na−Ba) O(k −1i=1∏B bI)i=2O(k −s−1i ),O(k −s−1i ),onde k I denota o comprimento do primeiro bloco de b ′ s.4. Se C é uma palavra que começa e termina em b,p(C) = e −κ(Na−Ba) O(k −1I)O(k −s∏U ) B b −1i=2O(k −s−1i ).O seguinte corolário é uma conseqüência da Proposição 4.3 para o caso particular{X ∗ n} n≥0 .38

Corolário 4.2. Consideremos duas palavras A e B geradas pelo processo {X ∗ n} n≥0 .1. Se A termina em a e B começa em a, então,p(AB) = ζ(s) ( 1 − 1 2 s )π(a)p(A)p(B).2. Se A termina em b e contem pelo um símbolo a e B começa em a, então,(p(AB) = ζ(s)1 − ( l + 1l + 2) s)p(A)p(B),onde l denota o tamanho do último bloco de símbolos b na palavra A.3. Se A termina em a e B começa em b e contem pelo menos um símbolo a, então,(p(AB) = ζ(s)1 − ( m + 1m + 2) s)p(A)p(B),onde m é o tamanho do comprimento do primeiro bloco de símbolos b na palavraB.4. Se A termina em b e contem pelo menos um símbolo a e B começa em b e contempelo menos um símbolo a, então,(p(AB) = ζ(s)(m + 1) s (l + 1) s 1(m + l + 1) − 1)p(A)p(B),s (m + l + 2)onde m é o comprimento do primeiro bloco de símbolos b na palavra B, l ocomprimento do último bloco de b ′ s na palavra A.Observação 4.4. Como em todos os casos o fator que multiplica os termos p(A)p(B)é polinomial, as condições do Teorema 3.1 são satisfeitas.4.3.2 {X ∗ n} n≥0 é α-misturador.Nesta seção, vamos mostrar que é possível obter λ(A n ) indo para 0, mesmo sobcondições de mistura.Teorema 4.1. O processo {X ∗ n} n≥0 é α−misturador.Para construir a prova deste teorema, apresentamos o seguinte lema provado porBradley em [7].Lema 4.2. Seja {Y n } n≥0 uma cadeia de Markov estritamente estacionária com espaçode estados contável. Então as seguintes afirmações são equivalentes:39

1. {Y n } é irredutível e aperiódica.2. α(n) → 0 quando n → ∞.Agora apresentamos um lema tomado de [10] que vai ser usado como uma dasferramentas para mostrar que o processo {X ∗ n} n≥0 é α-misturador.Lema 4.3. Seja X n = g(Y n ,Y n−1 ,...,Y n−k ) uma função mensurável para k < ∞. Se{Y n } é α Y −misturador então {X n } também é α X −misturador.Prova do Teorema 4.1.Basta mostrar que o processo {Y n } é irredutível e aperiódico.O fato de que q i > 0 para i ≥ 0 garante a irredutibilidade.Para provar que a cadeia é aperiódica observe queA 0 := {n ≥ 1 : P(X n = 0|X 0 = 0) > 0} ⊃ B 0 := {n ≥ 1 : P(T 0 = n|X 0 = 0) > 0}.Então, o máximo comum divisor de A 0 é menor ou igual do que o máximo comumdivisor de B 0 .Agora, P(T 0 = n|X 0 = 0) = q 0 q 1 ...q n−1 (1 − q n ) > 0 é equivalente a q n < 1. Logo,n = 1 ∈ B. Portanto, o máximo comum divisor de A é 1. Isto é, a cadeia {Y n } éaperiódica.□4.3.3 Velocidade de convergência da seqüência {α(.)}.Nesta seção vamos mostrar um resultado que descreve a velocidade de convergênciada seqüência dos coeficientes α do processo {X ∗ n} n≥0 .O seguinte lema, provado por Abadi [1], dá um limitante inferior dos coeficientes αpara qualquer palavra no processo.Lema 4.4. (Abadi, 2004) Seja {X m } m∈Z um processo α−misturador. Existem constantesc > 0 e Γ > 0, para todo n e para todo A ∈ C n tais quep(A) ≤ c[e −Γ 3√n + α( 3√ n)].Observação 4.5. No processo {X ∗ n} n≥0 , b n é a palavra de tamanho n de probabilidademáxima entre todas aquilas de tamanho n. Mais ainda, sua medida tem decaimentopolinomial,p(b n ) = O ( (n + 1) 1−s) .40

Considerando esta palavra no Lema 4.4, temos que para o processo {X ∗ n} n≥0 com nsuficientemente grande, existe c > 0 tal queα(n) ≥ c(n 3 + 1) 1−s .A seguinte proposição permite obter uma desigualdade mais ajustada que a anterior.Proposição 4.5. Consideremos o processo {X ∗ n} n≥0 . Então, existe uma constantepositiva c tal que para todo n ∈ N e todo 0 < δ < 1,α(n) ≥ c(n + 1) 1−sδ .Prova.Para 0 < δ < 1 e n ∈ N podemos escrevern = ⌊n δ ⌋⌊n 1−δ ⌋ + r δ,com 0 < r δ < ⌊n δ ⌋.Então, para qualquer palavra de tamanho n gerada pelo processo {Xn}, ∗ digamos A ={X0 n−1 = a0 n−1 }, temos quep(A) ≤ P ( X 0 = a 0 ,X ⌊n δ ⌋ = a ⌊n δ ⌋,X 2⌊n δ ⌋ = a 2⌊n δ ⌋,...,X ⌊n δ ⌋⌊n 1−δ ⌋ = a ⌊n δ ⌋⌊n 1−δ ⌋).Como {X ∗ n} é α−misturador (Teorema 4.1), podemos limitar o lado direito da últimaexpressão. Assim,p(A) ≤ P ( X 0 = a 0)P(X⌊n δ ⌋ = a ⌊n δ ⌋,...,X ⌊n δ ⌋⌊n 1−δ ⌋ = a ⌊n δ ⌋⌊n 1−δ ⌋)+ α(⌊n δ ⌋ − 1)≤ ρ P ( X ⌊n δ ⌋ = a ⌊n δ ⌋,...,X ⌊n δ ⌋⌊n 1−δ ⌋ = a ⌊n δ ⌋⌊n 1−δ ⌋)+ α(⌊n δ ⌋ − 1),onde ρ = max{p(a i )}.Repetindo este argumento nas palavras (X ⌊n δ ⌋ = a ⌊n δ ⌋,...,X ⌊n δ ⌋⌊n 1−δ ⌋ = a ⌊n δ ⌋⌊n 1−δ ⌋),temos que,p(A) ≤ ρ ⌊n1−δ⌋ P ( X ⌊n δ ⌋⌊n 1−δ ⌋ = a ⌊n δ ⌋⌊n 1−δ ⌋)+(ρ⌊n δ ⌋−1 + ... + ρ + 1 ) α(⌊n δ ⌋ − 1)≤ ρ ⌊n1−δ ⌋+1 + c 0 α(⌊n δ ⌋ − 1),onde c 1 (n) = (1 − ρ ⌊nδ⌋ )/(1 − ρ), 0 < c 1 (n) < 1, e c 1 (n) ≤ 11−ρ = c 0.Como a última desigualdade é válida para toda palavra de tamanho n gerada peloprocesso {X ∗ n}, em particular para A = b n , a palavra de probabilidade máxima deordem O(n 1−s ). Então, temos que,41

com s > 1 e 0 < c 2 < 1.Portanto, para n suficientemente grande,c 2 n 1−s ≤ ρ ⌊n1−δ ⌋+1 + c 1 α(⌊n δ ⌋ − 1),α(n) ≥ c (n + 1) 1−sδ .□4.4 Um caso que não satisfaz as hipóteses do Teorema3.1Nesta seção daremos condições sobre os valores de q n , que fazem com que o Processo{X n } não satisfaz as Hipóteses (3.2) e (3.3).Em (4.3) mostramos que, para o processo {X n } n≥0 , a probabilidade de obter a palavrade tamanho n, b n , é dada porp(b n ) = π(a)+∞∑k=0σ n+k−1 ,onde π(a) é a medida invariante e σ m = ∏ mj=0 q j. Equivalentemente,p(b n ) = π(a)Consideremos o caso particular em que+∞∑k=n−1+∞∑k=n−1σ k .σ k = e −nα , α > 1.Então,De (4.5),Logo, neste caso,p(b n b n )p(b n )p(b n ) =π(a) =−2)n αe−(2n)α= e−(2απ(a)e −2nα π(a)π(a) =11 + ∑ ∞j=0 σ .je1 + e ..42

Assim, temos que p(b n b n ) = f(n)p(b n )p(b n ),ondeMas,f(n) = 1+eee −(2α −2)n α .1n log f(n) = log ( )1+ee − (2 α − 2)n α −−−→ −∞n→∞Portanto, não cumpre a hipótese do Teorema 3.1.43

Capítulo 5EntropiasNo Capítulo 3 provamos a relação entre a função M(δ) e as entropias de Rényi,H R (β) (que são definidas por um certo limite). A existência destas entropias não estáapriori garantida. Só se sabe que para uma medida de Gibbs com potencial Höldercontínuo, ela existe e é analítica (ver Ellis [12]) e −βH R (β) é convexa para β > 0 (ver[20]).Neste capítulo mostraremos que para uma medida que satisfaz as condições (3.2) e(3.3), ditas entropias existem. São estas que determinam justamente a existência dafunção M(δ) (que foi definida também como um outro limite).Observamos também que a entropia de Rényi em 0 corresponde à entropia métricado processo. Derivamos também algumas propriedades sobre ela.5.1 DefiniçõesA Entropia de um processo estacionário {X n } tomando valores no alfabeto C édefinida por1 ∑h({X n }) = − lim p(C n ) log p(C n ),n nC n∈C nonde este limite existe para todo processo ergódico. (ver [9]).Lembramos que, para qualquer β ∈ R, a Entropia generalizada de Rényi, denotadapor H R (β), é definida por1H R (β) = − limn→∞ nβ log ∑p(C n ) β+1 ,C n∈C ncuando o limite existe. A existência deste limite é conhecida para medidas de Gibbs.(ver [12]).Na seguinte proposição mostraremos que a entropia de Rényi existe toda vez que ascondições (3.2) e (3.3) são satisfeitas.44

Notemos que uma medida de Gibbs com potencial Hölder contínuo, é uma medidaψ−misturadora com função ψ exponencial (ver Bowen [6]). Mais ainda, os processosψ-misturadores satisfazem trivialmente as condições (3.1) e (3.2) (com função f(n) =ψ(0)). Portanto, esta proposição generaliza o resultado clássico sobre a existência dasentropias de Rényi.Proposição 5.1. Seja p uma medida tal que, para A ∈ C n e B ∈ C m , com n,m ∈ N ep(A),p(B) > 0,1f ( min{m,n} )p(A)p(B) ≤ p(A ∩ S−n B) ≤ f ( min{m,n} ) p(A)p(B), (5.1)onde f é uma função crescente que satisfazlog f(k)limk→∞ kEntão, a entropia generalizada de Rényi existe.= 0.Prova.Consideremos a seqüência {H n } n∈N ondeH n = 1nβ log ∑C n∈C n p(C n ) β+1 .Vamos mostrar que {H n } é uma seqüência de Cauchy.Sejam m, n ∈ N e d = mn. Então,|H m − H n | ≤ |H d − H m | + |H d − H n |.Separando as palavras de tamanho d em palavras de tamanho m e sob a hipótese (5.1),Logo,p β+1 (C d ) ≤ f (β+1)(n−1) (m)n∏i=1p β+1 (C [i]m).∑n∏ ∑p β+1 (C d ) ≤ f (β+1)(n−1) (m) p β+1 (C m)[i]C d ∈C d =C m ×...×C m i=1C m [i] ∈C( ∑m ) n.= f (β+1)(n−1) (m) p β+1 (C m )C m∈C mAgora, tomando logaritmo e dividindo por dβ, temos que1dβ log ∑C d ∈C d p β+1 (C d ) ≤m(β + 1)(n − 1) log f(m)dβ m+ nβmdβ1βm log ∑C m∈C m p β+1 (C m ).45

Isto é,H d ≤(β + 1)(n − 1) log f(m)+ H m .nβ mPortanto, quando m → ∞ (e equivalentemente d → ∞),|H d − H m | → 0.Concluimos a mesma coisa para |H d − H m | separando as palavras de tamanho d empalavras de tamanho n.Portanto, {H n } é uma seqüência de Cauchy e1limn→∞ nβ log ∑p β+1 (C n ),C n∈C nexiste.□A seguinte proposição dá uma condição para garantir que a entropia métrica de umprocesso seja positiva.Proposição 5.2. Seja {X n } um processo estacionário tomando valores no alfabeto C.Se existe uma constante c > 0 e uma seqüência de conjuntos {A n } n∈N onde A n ⊆ C npara todo n ∈ N, tais que1. p(A n ) ≤ e −cn para todo A n ∈ A n e,2. lim inf n→∞ p(A n ) > 0.Então, a entropia h({X n }) é positiva.Prova.Como A n ⊆ C n , temos que,1 ∑p(C n ) log p(C n ) ≤ 1 ∑p(C n ) log p(C n ).nnC n∈C n C n∈A nAgora, como p(C n ) ≤ e −cn , para toda C n ∈ A n ,−h({X n }) ≤lim supn→∞1n= −c lim supn→∞= −c lim supn→∞Por hipótese, lim inf n→∞ p(A n ) > 0. Portanto,∑h({X n }) > 0.p(C n ) log e −cnC n∈A∑n p(C n )C n∈A np(A n ).□46

Observação 5.1. Esta proposição pode ser usada para provar que o processo {X ∗ n}possui entropia postiva. Isto será mostrado nas conclusões finais.A seguinte proposição garante a existência e nulidade das entropias de Rényi paraβ > 0, sob a condição de ter uma seqüência de palavras de probabilidade subexponencial.Proposição 5.3. Se existe uma seqüência de palavras {B n } n∈N com B n ∈ C n tal quelog p(B n )limn→∞ n= 0,então, para todo β > 0, a Entropia Generalizada de Rényi, H R (β) é nula.Prova.Para β > 0 temos que0 > 1nβ log ∑p(C n ) β+1 ≥ 1nβ log p(B n) β+1 ,c n∈C ne pela hipótese, o último termo converge a 0.Portanto, a Entropia Generalizada de Rényi é igual a 0 para β > 0.□Corolário 5.1. O Processo {X ∗ n}, definido na seção 4.3 satisfaz H R (β) = 0, para todoβ > 0.Prova. Consideremos a palavra B n = b n .Na equação (4.10), mostramos que p(b n ) = O(n 1−s ). Então,log p(b n )n−−−→n→∞ 0.Portanto, do Lema 5.3, temos que para {X ∗ n}, H R (β) = 0, para β > 0.□5.2 Sobre a convexidade de H R e M(δ)Lembramos que para medidas de Gibbs com potencial Hölder contínuo, a função−βH R (β) é convexa para β > 0. Nos interessa estudar a possível convexidade dasfunções M(δ) e G(δ) definidas no Capítulo 3. Estas funções estão determinadas pelaentropia de Rényi H R (β), para β > 0. Embora a convexidade de M(δ) e G(δ), assimcomo a de H R (β) sob as condições (3.2) e (3.3), sejam questões ainda em aberto,faremos algumas considerações sobre H R .47

H_Rbeta32.752.52.25-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 beta1.751.51.25Figura 5.1: Entropia de Rényi, para o caso N = 20 e P = 1 (43, 3,...,3)1000.40.2-1 -0.5 0.5 1 1.5 2-0.2-0.4-0.6Figura 5.2: Gráfico da segunda derivada de (5.2).Consideremos o exemplo proposto no artigo de Zyczkowski [20], que mostra que aEntropia de Rényi, para uma medida sobre um espaço discreto finito, nem sempre éconvexa.Para N = 20 com o vetor de probabilidade P = 1 (43, 3,...,3) temos que a100Entropia de Rényi para este caso é dada porH R (β) = − 1 β log N∑i=1x β+1i= − 1 β log (( 43100 )β+1 + 19( 3100 )β+1 ). (5.2)Neste caso, como observamos na Figura 5.1, há um ponto de mudança de concavidadena função H R (β). O Gráfico da segunda derivada (Figura 5.2) mostra que afunção (5.2) é côncava antes do ponto de inflexão e convexa depois. Usando a FunçãoFindRoot do software Mathematica 5.0, encontramos que β = 0.14109 é a única raizda segunda derivada da Função H R (β).Agora estudemos um caso geral da Entropia apresentada em (5.2). Consideremos o48

1.751.25 1.52 4.53.5 40.75 2 4 6 82.5 -1 1234566.55.5 62 4 6 88.5 97.52 4 6 810Figura 5.3: Gráficos da Entropia (5.3) para N = 10, 100, 1000 e 10000.0.40.60.2-1 1 2 3 4-0.4-0.20.40.2-0.2 -1 1 2 3 4-0.4-0.60.2-0.2 -1 1 2 34 5-0.40.1-0.1 -0.2-0.4 -0.32 3 4 5Figura 5.4: Gráficos da segunda derivada das entropias mostradas acima.vetor de probabilidades de tamanho N, P N = 1 (43, 3,...,3).20+3N)H [N]R(((β) = −1 β log 43340 + 3N )β+1 + (N − 1)(40 + 3N )β+1 . (5.3)Nas Figuras 5.3 e 5.4 mostramos a Entropia (5.3) para diferentes probabilidades P Ne os gráficos de suas segundas derivadas na procura dos seus pontos de inflexão.Usando métodos numéricos (Software Mathematica 5.0, função FindRoot) temosque para N = 10 o ponto de inflexão fica aproximadamente em β = −0.2328. ParaN = 100 em β = 0.95257. Para N = 1000 em β = 2.01804. Para N = 10000 emβ = 3.01638.Temos então evidência numérica que indica que para qualquer β 0 > 0, podemos teruma medida com H R (β) não convexa no intervalo [0,β 0 ].Embora a H R possa não ser convexa em uma medida finita, fica em aberto se,quando a partição do espaço é refinada, a entropia de Rényi limite resulta ser sempreconvexa ou não.Estas questões se extendem também para G(δ) e para M(δ).49

ApêndiceRecorrênciaNeste apêndice, apresentamos dois resultados referenciados no capítulo 4. Começamosmostrando uma condição necessária e suficiente para que a cadeia de Markov {Y n } n≥0definida na Seção 4.2, seja recorrente.Proposição A.4. A cadeia de Markov {Y n } n≥0 definida pelas transições em 4.1 érecorrente se e somente sem∏q i = 0.limm→+∞i=0Prova da Proposição A.4. Denotemos por T i o tempo de chegada ao estado i. Comoa cadeia é irredutível estudemos somente o estado 0. Assim,n−2∏n−1∏P(T 0 = n|X 0 = 0) = q 0 q 1 ...q n−2 (1 − q n−1 ) = q i−1 − q i .Sejam h 0 = 1 e h n = ∏ n−1i=0 q i para n ≥ 1. Então, a equação anterior pode ser escritacomoP(T 0 = n|X 0 = 0) = h n−1 − h n .Então, comoP(T 0 < ∞|X 0 = 0) =∞∑n=1i=0i=0(h n−1 − h n ) = 1 − limm→∞ h m,temos queP(T 0 < ∞|X 0 = 0) = 1 ⇐⇒ limm→∞m∏q i = 0.i=0Portanto, {Y n } n≥0 é recorrente se e somente selimm→∞m∏q i = 0.i=050

□No Lema 5.3 em ([13]) aparece também a condição para garantir que a cadeia{Y n } n≥0 seja recorrente positiva.Lema A.1. A cadeia de Markov {Y n } n≥0 definida pelas transições em 4.1 é recorrentepositiva se e somente se+∞∑m∏q i < +∞.Prova.m=0 i=0Usando a notação da prova da Proposição 4.1 temos queE 0 (T 0 ) ==∞∑n(h n−1 − h n )n=1∞∑i=1= 1 +h i∞∑m=1 i=0m∏q i ,onde E 0 denota o valor esperado começando o processo em 0.□Nas provas da Seção 4.2 foi usada uma propriedade da Função zeta de Riemann.Começamos lembrando a definição, para depois mostrar uma desigualdade útil paradefinir as medidas das palavras no caso que foi construido nessa seção.Definição A.1. A Função zeta de Riemann, ζ(s), s ∈ C com Re(s) > 1, esta definidapela seguinte soma+∞∑1ζ(s) =j s.j=1No seguinte lema encontramos limitantes para a cauda da Função zeta de Riemann.Lema A.2. Para s > 1,1(s − 1)n − 1 s−1 n ≤ ∑ ∞ sObserve que ∑ ∞i=n+2 = ζ(s) − ∑ n+1i=1Prova.1.i si=n+1511i ≤ 1s (s − 1)n s−1.

ζ(s) −n∑i=11i = ∑+∞ si=n+1∫1 +∞i = d⌊x⌋.s n i sUsando integração por partes, encontramos que essa última integral pode ser escritaem termos da parte fraccionaria assim∫ +∞nd⌊x⌋i sonde {x} denota a parte fraccionaria de x.Limitando esta última integral temos que∫ +∞= n1−ss − 1 − s {x}x s+1dx,nIsto é,Portanto,0

Conclusões e perguntas em abertoProvamos que o processo {X ∗ n} n≥0 é α−misturador e encontramos uma minoraçãopara a taxa α. A questão a responder: qual a taxa exata de α, ou, pelo menos, acharuma majoração.Outra questão é a determinação de se a entropia métrica h de {X ∗ n} é positivaou nula (dependendo ou não do parâmetro s). No caso de ser positiva, mostramosa possível discontinuide da entropia de Rényi, pois nesse caso H R (β) = 0 para todoβ > 0.Por último, como foi mencionado no final do Capítulo 5, nós perguntamos se aentropia de Rényi de um processo é sempre convexa para β > 0. Esta pergunta seextende para G(δ) e M(δ), para 0 ≤ δ < 1. Observemos que a convexidade de G(δ)implicará automáticamente na de M(δ).Nota: O professor Benoit Saussol, membro da Comissão Julgadora, sugiriou umargumento para responder a segunda questão. Este argumento, descrito a seguir, éderivado da Proposição 5.4 e prova que a entropia do processo {X ∗ n} é positiva paratodo s > 1. Em particular, isto mostra a existência de processos onde as entropias deRényi em β = 0 são discontinuas.No processo {X ∗ n}, para todo n ∈ N, consideremos o conjuntoA n = {A n ∈ {a,b} n : o bloco baab pertence a A n }.Seja ν = p(baab). Claramente, ν > 0. Uma estimação do número de blocos em A n édada por nν.Então, como foi mostrado no Corolário 4.1, para qualquer palavra C ∈ {a,b} ngerada pelo processo {X ∗ n},p(C) ≤ e −κ(Na−Ba) ,sendo κ > 0, N a o número de a’s na palavra C e B a o número de blocos formadossomente com a’s.Queremos, portanto, determinar a diferença N a − B a .Cada vez que encontramos um bloco baab na palavra A n , a quantidade N a aumentaem 2, e B a em 1, portanto, N a − B a aumenta em 1. Assim,N a − B a > nν.53

Logo, P(A n ) ≤ e −κνn .Portanto, usando a Proposição 5.4, concluimos queh({X ∗ n}) > 0.54

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