a Geometria Descritiva - faculdade inap

Demonstração. Mostremos que S Π,P ⊂ S Π,A . Seja Q ∈ S Π,P . Devemos mostrar que Q ∈ S Π,A .Se Q ∈ Π, o resultado é imediato. Suponhamos que Q ∉ Π. Se Q = P temos então:A ∈ S Π,P e A ∉ Π ⇒ AP ∩ Π = ∅ ⇒ P ∈ S Π,A ⇒ Q ∈ S Π,A .Se Q ≠ P, então PQ∩Π = ∅. Seja Π ′ um plano contendo A, P e Q (note que Π ′ é único se A, P eQ são não colineares). Uma das possibilidades ocorre: ou a) Π ′ ∩Π = ∅, ou b) Π ′ ∩Π é uma retar (note que Π ′ ≠ Π pois Q ∉ Π). Suponhamos que a) ocorre. Neste caso, como AQ ⊂ Π ′ (peloTeorema 1.2), temos que AQ ∩ Π = ∅. Logo Q ∈ S Π,A , como queríamos. Suponhamos agoraque b) ocorre. Supondo por absurdo que Q ∉ S Π,A , então AQ ∩ Π ≠ ∅ e daí, como AQ ⊂ Π ′ ,segue que AQ ∩ r ≠ ∅. Assim, considerando o plano Π ′ , temos que A e Q não estão do mesmolado da reta r. Como Q e P estão do mesmo lado de r (pois PQ ∩ Π = ∅ ⇒ PQ ∩ r = ∅),concluímos que A e P não estão do mesmo lado de r, ou seja AP ∩ r ≠ ∅, o que é um absurdopois A ∈ S Π,P e A ∉ Π, por hipótese. Portanto Q ∈ S Π,A , como queríamos.Devemos mostrar agora que S Π,A ⊂ S Π,P . O raciocínio é análogo e é deixado como exercício.Corolário 1.13. Seja Π um plano e A, B, P ∉ Π.a) Se A, B ∈ S Π,P , então AB ∩ Π = ∅.b) Se A ∈ S Π,P e B ∉ S Π,P então AB ∩ Π ≠ ∅.Demonstração. Exercício.Note que segue do corolário acima que todo semi-espaço é convexo.1.4 Exercícios1. Se duas retas são paralelas então todo plano que contém uma delas e um ponto da outra,contém a outra reta.Resolução: Sejam r ‖ s, P ∈ s e Π = 〈r, P 〉. Vamos mostrar que s ⊂ Π. Seja Π ′ = 〈r, s〉(dado pelo Teorema 1.8). Como Π e Π ′ contém r e o ponto P, e como pelo Teorema 1.6 oplano que contém r e P é único, concluímos que Π = Π ′ e, conseqüentemente, Π contémas retas r e s.2. Sejam r, s e t retas distintas no espaço. Se quaisquer duas dessas retas são concorrentesentão elas estão num mesmo plano ou as três retas passam por um mesmo ponto.Resolução : Sejam r ∩ s = {P }, r ∩ t = {Q} e s ∩ t = {X}. Suponhamos que r, s e t nãosão coplanares. Vamos mostrar que P = Q = X. Seja Π = 〈r, s〉. Então t ⊄ Π. Se Q ≠ X8