a Geometria Descritiva - faculdade inap

Demonstração. (Existência) Sejam r e s duas retas concorrentes e {P } = r ∩ s. Tomando doispontos A ∈ r e B ∈ s, distintos de P, obtemos três pontos P, A e B não colineares. PeloPostulado [P1], estes pontos determinam um único plano Π = 〈A, B, P 〉. Como r = l(P, A) es = l(P, B), segue do Teorema 1.2 que r, s ⊂ Π.(Unicidade) Suponhamos que Π ′ é um plano que também contém r e s. Então Π ′ contém P, A(pois P, A ∈ r) e P (pois P ∈ s). Logo, Π ′ = 〈A, B, P 〉 = Π, pelo Postulado [P1]. Portanto, éúnico o plano que contém r e s.Notação: Sejam r e s retas concorrentes ou paralelas. Denotamos por 〈r, s〉 o único plano quecontém r e s.Observação 1.10. Notemos que retas reversas não se interceptam pois, caso contrário, seguedo Teorema 1.9 que existe um plano contendo essas retas, o que sabemos não existir peladefinição de retas reversas.Como conseqüência dos resultados acima temos as seguintes possibilidades para a posiçãorelativa entre duas retas r e s:(a) r ∩ s = ∅.coplanares);Neste caso, as retas são paralelas (se coplanares) ou reversas (se não(b) r ∩ s é um ponto. Neste caso, as retas são concorrentes;(c) r = s. Neste caso, as retas são coincidentes.1.3 Semi-espaçosVeremos a seguir a propriedade que um plano tem de separar o espaço.Definição 1.11. Seja Π um plano e P um ponto tal que P ∉ Π. O semi-espaço determinadopor Π e contendo P ( S Π,P ) é o conjunto constituído por Π e por todos os pontos Qdo espaço que satisfazem PQ ∩ Π = ∅.Segue da definição que todo plano separa o espaço em dois subconjuntos, chamados semiespaços,cuja interseção é o plano dado.Teorema 1.12. Sejam Π um plano e A e P pontos não pertencentes à Π tais que A ∈ S Π,P .Então S Π,P = S Π,A .7