a Geometria Descritiva - faculdade inap

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1x + 1 y = 1 2 + 1 A . (*)Como, x ≥ 3 e y ≥ 3 então 1 x + 1 y ≤ 2 3 , ou seja, 1 2 + 1 A ≤ 2 3e portanto A ≥ 6.Se x ≥ 4 e y ≥ 4 então 1 x + 1 y ≤ 1 2 , o que é impossível pois de (*) segue que 1 x + 1 y > 1 2 .Logo x = 3 ou y = 3.Se x = 3 então da equação (*) temos:1y = 1 6 + 1 A ⇒ 1 y > 1 6 ⇒ y < 6.Portanto, se x = 3 então 3 ≤ y ≤ 5. De modo análogo, se y = 3 obtemos que 3 ≤ x ≤ 5.Analisemos então cada caso:• Quando x = 3 e y = 3, temos que A = 6. Nesse caso usando as relações xF = 2A e yV = 2A,obtemos que F = 4 e V = 4 e portanto P é um tetraedro.• Quando x = 3 e y = 4 então A = 12, F = 8 e V = 6 e portanto P é um octaedro.• Quando x = 3 e y = 5 então A = 30, F = 20 e V = 12 e portanto P é um icosaedro.• Quando x = 4 e y = 3 então A = 12, F = 6 e V = 8 e portanto P é um hexaedro ou cubo.• Quando x = 5 e y = 3 então A = 30, F = 12 e V = 20 e portanto P é um dodecaedro.A tabela seguinte resume os resultados obtidos na demonstração acima:x y A V F Classe3 3 6 4 4 tetraedro3 4 12 6 8 octaedro3 5 30 12 20 icosaedro4 3 12 8 6 cubo5 3 30 20 12 dodecaedroAs figuras abaixo são exemplos de Poliedros de Platão.63
Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro IcosaedroDefinição 3.6. Um poliedro convexo é chamado de poliedro regular quando:a) suas faces são polígonos regulares e congruentes,b) todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas,Pelo Teorema de Euler sabemos que poliedros convexos satisfazem a relação de Euler. Logo,concluímos que poliedros regulares são Poliedros de Platão e, portanto, existem cinco e somentecinco tipos de poliedros regulares: tetraedro regular, hexaedro regular, octaedro regular, dodecaedroregular e icosaedro regular.Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro IcosaedroExercícios 3.7.1. Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices só possui faces triangulares e quadrangulares. Determine os números de faces de cada gênero.2. Diagonal de um poliedro é qualquer segmento que une dois vértices que não estão namesma face. Quantas diagonais possui o icosaedro regular?3. Mostre que par todo poliedro convexo valem as desigualdades(a) A + 6 ≤ 3F (b) A + 6 ≤ 3V.4. Mostre que se um poliedro convexo tem 10 arestas então ele tem 6 faces.64
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