a Geometria Descritiva - faculdade inap

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ondeV ′ é o número de vértices,A ′ é o número de arestas eF ′ é o número de faces da superfície P ′ .1) Para F ′ = 1.Neste caso P ′ se reduz a um polígono plano convexo, então V ′ = A ′ . Logo, V ′ −A ′ +F ′ =F ′ = 1, como queríamos.2) Admitindo que V ′ − A ′ + F ′ = 1 vale para uma superfície poliédrica convexa P ′ de F ′ faces(que possui V ′ vértices e A ′ arestas), vamos provar que também vale para uma superfície deF ′ + 1 faces.Acrescentando a P ′ (que é aberta) uma face de p arestas (logo p vértices) e considerandoque q dessas arestas coincidem com arestas já existentes, obtemos uma nova superfície com F afaces, A a arestas e V a vértices tais que:F a = F ′ + 1A a = A ′ + p − qV a = V ′ + p − (q + 1)(q arestas coincidiram)(q arestas coincidindo, q + 1 vértices coincidem).Formando a expressão V a − A a + F a e substituindo os valores acima, temos:V a − A a + F a = V ′ + p − (q + 1) − (A ′ + p − q) + (F ′ + 1) == V ′ + p − q − 1 − A ′ − p + q − F ′ + 1 = V ′ − A ′ + F ′ .Como V a − A a + F a = V ′ − A ′ + F ′ provamos que a expressão V − A + F não se alterase acrescentarmos (ou retirarmos) uma face da superfície.Como, por hipótese de indução, V ′ − A ′ + F ′ = 1, concluímos que V a − A a + F a = 1,como queríamos.b) Seja P ′ = P − f onde f é uma face qualquer de P. Então P ′ é uma superfície poliédricaconvexa e assim, pelo provado em a) vale a relação V ′ − A ′ + F ′ = 1. Como V ′ = V , A ′ = Ae F ′ = F − 1, vem V − A + (F − 1) = 1, ou seja,V − A + F = 2,como queríamos demonstrar.61
OBS: A relação V − A + F = 2 é chamada de relação de Euler.O Teorema de Euler afirma que para todo poliedro convexo vale a relação de Euler. Umapergunta natural que surge é a respeito da validade da relação de Euler para poliedros nãoconvexos. A resposta para esta questão é a seguinte: se um poliedro não é convexo, a relaçãode Euler pode valer ou não, conforme mostra os exemplos abaixo:V=14A=24F=12V=16A=32F=16V - A + F = 2V - A + F = 0Definição 3.4. Um poliedro é chamado de Poliedro de Platão se, e somente se, satisfaz asseguintes condições:a) todas as faces têm o mesmo número de arestas,b) todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas,c) vale a relação de Euler.As figuras abaixo são exemplos de Poliedros de Platão.Teorema 3.5. Existem cinco, e somente cinco, classes de poliedros de Platão.Demonstração. Em um poliedro sejam x o número de arestas de cada face (x ≥ 3) e y o númerode arestas em cada vértice (y ≥ 3).Como cada aresta pertence a exatamente duas faces, temos que xF = 2A, e como asextremidades de cada aresta dão origem a dois vértices e o número de arestas em cada vérticeé o mesmo para todos os vértices do poliedro, temos que yV = 2A.Substituindo F = 2A x e V = 2A y na fórmula de Euler, obtém-se 2A x + 2A = A + 2, ou seja,y62
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