a Geometria Descritiva - faculdade inap

ondeV ′ é o número de vértices,A ′ é o número de arestas eF ′ é o número de faces da superfície P ′ .1) Para F ′ = 1.Neste caso P ′ se reduz a um polígono plano convexo, então V ′ = A ′ . Logo, V ′ −A ′ +F ′ =F ′ = 1, como queríamos.2) Admitindo que V ′ − A ′ + F ′ = 1 vale para uma superfície poliédrica convexa P ′ de F ′ faces(que possui V ′ vértices e A ′ arestas), vamos provar que também vale para uma superfície deF ′ + 1 faces.Acrescentando a P ′ (que é aberta) uma face de p arestas (logo p vértices) e considerandoque q dessas arestas coincidem com arestas já existentes, obtemos uma nova superfície com F afaces, A a arestas e V a vértices tais que:F a = F ′ + 1A a = A ′ + p − qV a = V ′ + p − (q + 1)(q arestas coincidiram)(q arestas coincidindo, q + 1 vértices coincidem).Formando a expressão V a − A a + F a e substituindo os valores acima, temos:V a − A a + F a = V ′ + p − (q + 1) − (A ′ + p − q) + (F ′ + 1) == V ′ + p − q − 1 − A ′ − p + q − F ′ + 1 = V ′ − A ′ + F ′ .Como V a − A a + F a = V ′ − A ′ + F ′ provamos que a expressão V − A + F não se alterase acrescentarmos (ou retirarmos) uma face da superfície.Como, por hipótese de indução, V ′ − A ′ + F ′ = 1, concluímos que V a − A a + F a = 1,como queríamos.b) Seja P ′ = P − f onde f é uma face qualquer de P. Então P ′ é uma superfície poliédricaconvexa e assim, pelo provado em a) vale a relação V ′ − A ′ + F ′ = 1. Como V ′ = V , A ′ = Ae F ′ = F − 1, vem V − A + (F − 1) = 1, ou seja,V − A + F = 2,como queríamos demonstrar.61