a Geometria Descritiva - faculdade inap

(a)(b)Análogo ao que ocorre com polígonos convexos, alguns poliedros convexos recebem nomesespecíficos de acordo com o número de faces. Por exemplo, denotando por F o número de facesde um poliedro P, notando que F ≥ 4, temos:F = 4 ⇒ P é um Tetraedro;F = 6 ⇒ P é um Hexaedro;F = 8 ⇒ P é um Octaedro;F = 12 ⇒ P é um Dodecaedro;F = 20 ⇒ P é um Icosaedro.Prismas e pirâmides são também exemplos de poliedros.Definição 3.2. Seja P um poliedro, com V vértices, A arestas e F faces, o número χ(P) =V − A + F é chamado de característica de Euler-Poincaré do poliedro P.O teorema seguinte diz que quando o poliedro é convexo, sua característica de Euler-Poincaréé 2.Teorema 3.3. (Teorema de Euler) Seja P um poliedro convexo, com V vértices, A arestas eF faces. Então V − A + F = 2.Demonstração. a) Seja P ′ uma reunião finita de polígonos planos convexos tais que:i) cada lado de polígono é comum no máximo a dois polígonos;ii) havendo lados de polígonos que estão em um só polígono, eles devem formar uma únicapoligonal fechada, plana ou não, chamada contorno;iii) a interseção de dois polígonos ou é vazia ou é um vértice comum ou uma aresta comum;iv) o plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semi-espaço (condição de convexidade).P ′ é chamado de superfície poliédrica convexa.Por indução finita referente ao número de faces, vamos provar primeiramente que vale arelação:V ′ − A ′ + F ′ = 1,60