a Geometria Descritiva - faculdade inap

Notação: Dados A, B e C pontos não colineares, o único plano que passa por estes pontos édenotado por 〈A, B, C〉. Assim, se o plano Π contém A, B e C, então Π = 〈A, B, C〉.Proposição 1.1. Dados dois pontos distintos existe um plano que os contém.Demonstração. Sejam A e B pontos distintos. Pelo Postulado [R2] existe uma reta r que passapor A e B. Pelo Postulado [R1] existe um ponto C tal que C /∈ r. Assim, A, B e C são nãocolineares e, portanto, segue do Postulado [P1] que existe um plano contendo A, B e C.Note que o plano dado na proposição anterior não é único. Prove isto! A reta r da demonstraçãoacima está contida no plano que contém os pontos A, B e C? O teorema abaixo respondea essa pergunta.Teorema 1.2. Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, então ela está contidanesse plano.Demonstração. Sejam A e B pontos distintos pertencentes a um plano Π e seja r = l(A, B).Vamos mostrar que r ⊂ Π. Da Geometria Plana, existe uma reta s ⊂ Π contendo A e B. Assim,como r e s são retas contendo A e B, segue do Postulado [R2] que r = s. Logo, r ⊂ Π.Como conseqüência temos as seguintes possibilidades para a posição relativa entre uma retar e um plano Π:a) r ∩ Π = ∅. Neste caso dizemos que r é paralela à Π;b) r ∩ Π é um único ponto. Neste caso dizemos que r é secante à Π;c) r ⊂ Π.Notação: Se uma reta r é paralela a um plano Π, denotamos por r ‖ Π.A existência de retas secantes ou contidas em um plano segue dos resultados anteriores.Porém, ainda não sabemos sobre a existência de retas paralelas a um plano dado.Teorema 1.3. Sejam Π e Π ′ dois planos distintos e A e B dois pontos distintos em Π ∩ Π ′ .Então l(A, B) = Π ∩ Π ′ .Demonstração. Como A, B ∈ Π ∩ Π ′ então, pelo Teorema 1.2, l(A, B) ⊂ Π ∩ Π ′ . Suponhaque existe C ∈ Π ∩ Π ′ tal que C /∈ l(A, B). Assim, A, B e C são três pontos não colineares.Logo, pelo Postulado [P1], 〈A, B, C〉 é o único plano contendo A, B e C e, portanto, Π =〈A, B, C〉 = Π ′ , o que é um absurdo pois Π e Π ′ dois planos distintos por hipótese. Logo,l(A, B) = Π ∩ Π ′ .4