a Geometria Descritiva - faculdade inap

(d) A distância entre duas retas concorrentes ou coincidentes é nula.(e) A distância entre duas retas paralelas r e s é a distância entre um ponto qualquerP ∈ r e a reta s.(f) A distância entre duas retas reversas r e s é a distância entre os pontos R ∈ r eS ∈ s, pertencentes a reta perpendicular comum a r e s.(g) A distância entre uma reta r e um plano Π paralelo a r é a distância entre umponto qualquer da reta r até o plano Π.(h) A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de umdeles e o outro plano.Notação: Denotamos a distância entre duas figuras por d(., .). Por exemplo, d(P, Q), d(r, s),d(r, Π), e assim em diante. No caso particular da distância entre dois pontos, temos d(P, Q) =PQ, onde PQ é a medida do segmento PQ.Dado um plano Π e dois pontos A e B em Π, sabemos da geometria plana que o lugargeométrico dos pontos de Π que são equidistantes de A e B é a mediatriz do segmento AB,ou seja, é a reta perpendicular a AB passando por seu ponto médio. Vamos analisar o mesmoproblema, agora para a geometria espacial. Primeiramente recordemos o seguinte:Definição 1.47. Lugar geométrico é um conjunto de pontos caracterizado por uma propriedade,ou seja, uma figura F é um lugar geométrico se:a) todos os seus pontos têm a propriedade (todo elemento do conjunto satisfaz a propriedade);b) só os seus pontos têm a propriedade (todo elemento que tem a propriedade pertence aoconjunto).Proposição 1.48. O lugar geométrico dos pontos do espaço que são equidistantes de dois pontosA e B é o plano perpendicular ao segmento AB, passando pelo seu ponto médio.Demonstração. Seja Π o plano perpendicular ao segmento AB, passando pelo seu ponto médioM. Devemos mostrar que P ∈ Π ⇔ d(P, A) = d(P, B). De fato,(⇒) Suponhamos que P ∈ Π, com P ≠ M (se P = M o resultado é imediato).Como Π ⊥ AB em M e PM ⊂ Π, então PM ⊥ AB. Logo, os triângulos AMP e BMPsão retângulos em M e, conseqüentemente, são congruentes pelo caso LAL (AM = BM, poisM é o ponto médio de AM, e MP é comum). Portanto AP = BP, como queríamos.33