a Geometria Descritiva - faculdade inap

Como os quadriláteros A 1 B ′ 2B 2 B 1 e B ′ 2B ′ 3B 3 B 2 são paralelogramos (mostre isto), então A 1 B ′ 2 =B 1 B 2 e B ′ 2 B′ 3 = B 2B 3 , de onde concluímos quecomo queríamos.A 1 A 2B 1 B 2= A 2A 3B 2 B 3,O exemplo a seguir é muito útil no estudo sobre volumes de pirâmides.Exemplo 1.45. Construção de pirâmides semelhantes. Seja A 1 A 2 . . .A n base de umapirâmide de vértice V . Tracemos um plano paralelo a base, que corta as arestas lateraissegundo o polígono B 1 B 2 . . .B n e que divide a pirâmide em dois subconjuntos: um deles é apirâmide de base B 1 B 2 . . .B n e o outro é chamado de tronco de pirâmide de bases A 1 A 2 . . .A ne B 1 B 2 . . .B n . As duas pirâmides são semelhantes na razão k (para algum inteiro k), ou seja,é possível estabelecer uma correspondência entre seus pontos de modo que a razão entre oscomprimentos dos segmentos correspondentes nas duas figuras seja constante. De fato, na facelateral V A 1 A 2 , o segmento B 1 B 2 é paralelo à base (por quê?) e, conseqüentemente, o triânguloV B 1 B 2 é semelhante ao triângulo V A 1 A 2 . Logo, temos:V B 1V A 1= V B 2V A 2= B 1B 2A 1 A 2= k , para algum inteiro k .Aplicando o mesmo raciocínio para as demais faces laterais, concluímos que a razão entre duasarestas correspondentes das duas pirâmides é sempre igual a k. A correspondência é entãoestabelecida da seguinte forma: dado um ponto P da pirâmide V A 1 A 2 . . .A n seu correspondentena pirâmide V B 1 B 2 . . .B n é o ponto P ′ sobre V P tal que V P ′= k. O ponto P ′ certamenteV Ppertence à segunda pirâmide. Além disso, tomando um segundo par de pontos correspondentesQ e Q ′ , os triângulos V P ′ Q ′ e V PQ são semelhantes na razão k (por quê?), o que implica queP ′ Q ′PQ= k. Logo, a razão entre segmentos correspondentes nas duas pirâmides é sempre igual ak, o que demonstra a sua semelhança.1.16 DistânciasDefinição 1.46. (a) A distância entre dois pontos é o comprimento do segmento que uneesses dois pontos.(b) A distância entre um ponto P e uma reta r é a distância entre P e P ′ , onde P ′ é opé da perpendicular baixada de P até r.(c) A distância entre um ponto P e um plano Π é a distância entre P e P ′ , onde P ′ éo pé da perpendicular baixada de P até Π.32