a Geometria Descritiva - faculdade inap

3. Mostre que a medida da projeção ortogonal de um segmento sobre um plano é menor ouigual a medida do segmento dado. Quando vale a igualdade?4. Se duas retas são concorrentes, quais as posições relativas das projeções ortogonais destasretas sobre um plano dado?5. Se duas retas são reversas, quais as posições relativas das projeções ortogonais destasretas sobre um plano dado?6. Seja AB um segmento oblíquo a um plano Π, isto é, AB está contido em uma retaoblíqua a Π, e seja M o seu ponto médio. Mostre que M ′ = proj Π (M) é o ponto médiode A ′ B ′ = proj Π (AB).1.15 ProporcionalidadeTeorema 1.44. Um feixe de planos paralelos determina segmentos proporcionais sobre duasretas secantes quaisquer.Demonstração. Sejam Π 1 , Π 2 e Π 3 planos paralelos, r uma reta que intersecta Π 1 em A 1 , Π 2 emA 2 e Π 3 em A 3 , e s uma reta que intersecta Π 1 em B 1 , Π 2 em B 2 e Π 3 em B 3 (figura seguinte).B 1A 1B 2BA 2′ 2B 3B 3′A 3Π 3Π 2Π 1rs ′== sTracemos por A 1 uma reta s ′ ‖ s (caso r ‖ s, o resultado segue de maneira análoga) e sejamB ′ 2 e B ′ 3 os pontos de intersecção de s ′ com Π 2 e Π 3 , respectivamente. Seja Γ = 〈r, s ′ 〉. Comoas retas l(A 2 , B 2 ′) e l(A 3, B 3 ′ ) são paralelas, segue do Teorema de Tales (para o plano Γ) que:A 1 A 2A 1 B ′ 2= A 2A 3.B 2B ′ 3′31