a Geometria Descritiva - faculdade inap

PQrP ′Q ′r ′Πcontém uma reta perpendicular a Π). Como P ′ , Q ′ ∈ Π∩Π ′ e P ′ ≠ Q ′ , então Π∩Π ′ = l(P ′ , Q ′ ).Sejam r ′ = l(P ′ , Q ′ ) e M ∈ r. Vamos mostrar que proj Π (M) ∈ r ′ . Com efeito, tomandoM ′ = proj r ′(M), como M ′ é obtido da interseção da reta m perpendicular a r ′ passandopor M, segue da Proposição 1.38 que m também é perpendicular ao plano Π (pois Π ′ ⊥ Π,Π ′ ∩ Π = r ′ e m ⊂ Π ′ ). Portanto, proj Π (M) = proj r ′(M) = M ′ ∈ r ′ . Resta mostrar que, seX ∈ r ′ , então existe um ponto Y ∈ r tal que proj Π (Y ) = X. De fato, a reta perpendiculara Π por X está contida em Π ′ (Exercício 1(a) da seção anterior) e, como r, r ′ ⊂ Π ′ então,como toda reta perpendicular a r ′ (em Π ′ ) é paralela a l(P, P ′ ), a qual intersecta r, concluímosda geometria plana para Π ′ que tal reta também intersecta r, ou seja, existe Y ∈ r tal queproj Π (Y ) = X.Concluímos que a projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um plano ou é umponto, ou é um segmento de reta.Observação 1.42. Vimos no exemplo anterior que Π ′ ⊥ Π e que r, r ′ ⊂ Π ′ . O plano Π ′ échamado de plano projetante da reta r sobre o plano Π.Podemos agora fazer a seguinte definição:Definição 1.43. O ângulo entre uma reta e um plano é zero quando a reta está contidano plano ou é paralela a ele; é igual a 90 o quando a reta é perpendicular ao plano; ou é igual aoângulo entre a reta e sua projeção ortogonal sobre o plano, quando a reta é oblíqua ao plano.1.14 Exercícios1. Prove que se uma reta é paralela a um plano Π, então a sua projeção ortogonal sobre Πé uma reta paralela a reta dada.2. Mostre que se um segmento de reta é paralelo a um plano, então a sua projeção ortogonalsobre o plano é congruente a ele.30