a Geometria Descritiva - faculdade inap
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1.13 Projeção ortogonalDados uma reta r ⊂ Π e um ponto P ∈ Π, sabemos da Geometria Plana (para Π) que aprojeção ortogonal de P sobre r, proj r (P), é o ponto P ′ obtido da interseção de r com a retaperpendicular a r por P. Dizemos que P ′ é o pé da perpendicular baixada de P até r. Note quese P ∈ r, então proj r (P) = P.PrP ′ΠCom raciocínio análogo podemos definir a projeção ortogonal de um ponto sobre um plano.Definição 1.40. Sejam P um ponto e Π um plano. A projeção ortogonal de P sobre Π,proj Π (P), é o ponto P ′ obtido da interseção de Π com a reta perpendicular a Π por P. Dizemostambém que P ′ é o pé da perpendicular baixada de P até Π. A projeção ortogonal de uma figuraF sobre Π, proj Π (F), é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos dessa figura sobre oplano.PP ′ΠNote que se P ∈ Π, então proj Π (P) = P.Exemplo 1.41. Se uma reta r é perpendicular a um plano Π, a projeção ortogonal de r sobreΠ é o ponto de interseção de r com Π. Porém, se r não é perpendicular a Π, então proj Π (r) éuma reta. De fato, sejam P e Q dois pontos distintos de r. Afirmamos que proj Π (r) = l(P ′ , Q ′ ),onde P ′ = proj Π (P) e Q ′ = proj Π (Q). (Note que P ′ ≠ Q ′ pois, se P ′ = Q ′ então P, Q ∈ t, ondet ⊥ Π por P ′ . Logo, t = r, o que é um absurdo pois r não é perpendicular a Π.)Para provarmos isto, observemos primeiramente que, como l(P, P ′ ) ‖ l(Q, Q ′ ) (pois ambassão perpendiculares a Π), tomando o plano Π ′ = 〈l(P, P ′ ), l(Q, Q ′ )〉, então Π ′ ⊥ Π (pois Π ′29
PQrP ′Q ′r ′Πcontém uma reta perpendicular a Π). Como P ′ , Q ′ ∈ Π∩Π ′ e P ′ ≠ Q ′ , então Π∩Π ′ = l(P ′ , Q ′ ).Sejam r ′ = l(P ′ , Q ′ ) e M ∈ r. Vamos mostrar que proj Π (M) ∈ r ′ . Com efeito, tomandoM ′ = proj r ′(M), como M ′ é obtido da interseção da reta m perpendicular a r ′ passandopor M, segue da Proposição 1.38 que m também é perpendicular ao plano Π (pois Π ′ ⊥ Π,Π ′ ∩ Π = r ′ e m ⊂ Π ′ ). Portanto, proj Π (M) = proj r ′(M) = M ′ ∈ r ′ . Resta mostrar que, seX ∈ r ′ , então existe um ponto Y ∈ r tal que proj Π (Y ) = X. De fato, a reta perpendiculara Π por X está contida em Π ′ (Exercício 1(a) da seção anterior) e, como r, r ′ ⊂ Π ′ então,como toda reta perpendicular a r ′ (em Π ′ ) é paralela a l(P, P ′ ), a qual intersecta r, concluímosda geometria plana para Π ′ que tal reta também intersecta r, ou seja, existe Y ∈ r tal queproj Π (Y ) = X.Concluímos que a projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um plano ou é umponto, ou é um segmento de reta.Observação 1.42. Vimos no exemplo anterior que Π ′ ⊥ Π e que r, r ′ ⊂ Π ′ . O plano Π ′ échamado de plano projetante da reta r sobre o plano Π.Podemos agora fazer a seguinte definição:Definição 1.43. O ângulo entre uma reta e um plano é zero quando a reta está contidano plano ou é paralela a ele; é igual a 90 o quando a reta é perpendicular ao plano; ou é igual aoângulo entre a reta e sua projeção ortogonal sobre o plano, quando a reta é oblíqua ao plano.1.14 Exercícios1. Prove que se uma reta é paralela a um plano Π, então a sua projeção ortogonal sobre Πé uma reta paralela a reta dada.2. Mostre que se um segmento de reta é paralelo a um plano, então a sua projeção ortogonalsobre o plano é congruente a ele.30
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1.13 Projeção ortogonalDados uma reta r ⊂ Π e um ponto P ∈ Π, sabemos da <strong>Geometria</strong> Plana (para Π) que aprojeção ortogonal de P sobre r, proj r (P), é o ponto P ′ obtido da interseção de r com a retaperpendicular a r por P. Dizemos que P ′ é o pé da perpendicular baixada de P até r. Note quese P ∈ r, então proj r (P) = P.PrP ′ΠCom raciocínio análogo podemos definir a projeção ortogonal de um ponto sobre um plano.Definição 1.40. Sejam P um ponto e Π um plano. A projeção ortogonal de P sobre Π,proj Π (P), é o ponto P ′ obtido da interseção de Π com a reta perpendicular a Π por P. Dizemostambém que P ′ é o pé da perpendicular baixada de P até Π. A projeção ortogonal de uma figuraF sobre Π, proj Π (F), é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos dessa figura sobre oplano.PP ′ΠNote que se P ∈ Π, então proj Π (P) = P.Exemplo 1.41. Se uma reta r é perpendicular a um plano Π, a projeção ortogonal de r sobreΠ é o ponto de interseção de r com Π. Porém, se r não é perpendicular a Π, então proj Π (r) éuma reta. De fato, sejam P e Q dois pontos distintos de r. Afirmamos que proj Π (r) = l(P ′ , Q ′ ),onde P ′ = proj Π (P) e Q ′ = proj Π (Q). (Note que P ′ ≠ Q ′ pois, se P ′ = Q ′ então P, Q ∈ t, ondet ⊥ Π por P ′ . Logo, t = r, o que é um absurdo pois r não é perpendicular a Π.)Para provarmos isto, observemos primeiramente que, como l(P, P ′ ) ‖ l(Q, Q ′ ) (pois ambassão perpendiculares a Π), tomando o plano Π ′ = 〈l(P, P ′ ), l(Q, Q ′ )〉, então Π ′ ⊥ Π (pois Π ′29
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