a Geometria Descritiva - faculdade inap

Π ′t ′ AΓrΠtTeorema 1.34. Dois planos secantes são perpendiculares se e somente se um deles contémuma reta perpendicular ao outro.Demonstração. Sejam Π e Π ′ planos secantes.(⇒) Segue da observação anterior.(⇐) Suponhamos que Π e Π ′ são secantes e que Π contém uma reta t tal que t ⊥ Π ′ . Sejar = Π ∩Π ′ . Notemos que t ∩Π ′ ⊂ Π ∩Π ′ = r. Logo, t e r são concorrentes em um ponto A (emparticular, t e r são perpendiculares, uma vez que t ⊥ Π ′ e r ⊂ Π ′ ). Tomemos uma reta t ′ ⊂ Π ′tal que t ′ é perpendicular a r em A, a qual existe pela Geometria Plana para o plano Π ′ . Comot e t ′ são concorrentes (em A), seja Γ = 〈t, t ′ 〉. Então r ⊥ Γ uma vez que r é ortogonal a umpar de retas concorrentes de Γ, a saber, t e t ′ . Assim, para concluirmos sobre o ângulo entre Πe Π ′ , basta determinarmos o ângulo entre as retas t e t ′ . Mas estas retas são perpendiculares,uma vez que t ⊥ Π ′ e t ′ ⊂ Π ′ . Portanto Π e Π ′ são planos perpendiculares.Corolário 1.35. Se uma reta é perpendicular a um plano Π, então todo plano que contém essareta é perpendicular a Π.Observação 1.36. Segue do Teorema 1.34 e da Observação 1.33 que se um plano Π contémuma reta perpendicular a um plano Π ′ , então Π ′ também contém uma reta perpendicular aoplano Π.Exemplo 1.37. Um prisma reto é um prisma em que as arestas laterais são perpendicularesao plano da base. Suas faces laterais são retângulos perpendiculares ao plano da base. Quandoa base é um retângulo, temos um paralelepípedo retângulo, no qual cada face é um retângulo.Ainda mais especial é o caso do cubo, ou hexaedro regular, que é um prisma reto no qual cadaface é um quadrado.26