a Geometria Descritiva - faculdade inap

Veremos agora como construir, com a teoria desenvolvida até o momento, um sistema decoordenadas cartesianas para o espaço.Sejam O, X e Y pontos não colineares. Tomemos Z ∉ 〈O, X, Y 〉. Obtemos assim três planosdistintos e secantes:〈O, X, Y 〉, 〈O, X, Z〉 e 〈O, Y, Z〉 ,cujas retas de interseção são l(O, X), l(O, Y ) e l(O, Z). Consideremos para cada uma dessasretas um sistema de coordenadas tal que O seja a origem. Obtemos assim um sistema de coordenadascartesianas para o espaço em que as retas l(O, X), l(O, Y ) e l(O, Z) são os eixos e cadaponto P do espaço possui três coordenadas, uma com relação a cada um dos eixos, obtidas daseguinte maneira. A coordenada de P com relação ao eixo l(O, X) é zero se P ∈ 〈O, Y, Z〉 ou,caso P ∉ 〈O, Y, Z〉, é a coordenada do ponto da reta l(O, X) obtido da interseção de l(O, X)com o plano que passa por P e é paralelo ao plano 〈O, Y, Z〉. As coordenadas de P com relaçãoaos eixos l(O, Y ) e l(O, Z) são obtidas de maneira análoga.Caso os três eixos são perpendiculares entre si no ponto O ou, equivalentemente,l(O, X)⊥l(O, Y ) e l(O, Z)⊥〈O, X, Y 〉 ,obtemos um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas. Para obter as coordenadas de umponto P do espaço com relação ao eixo l(O, X), por exemplo, basta tomarmos a coordenadado ponto da reta l(O, X) obtido da interseção de l(O, X) com o plano que passa por P e éperpendicular a reta l(O, X).1.10 Exercícios1. Sejam r e t retas distintas e ortogonais a uma reta s. É verdade que r ‖ t?2. Construa duas retas ortogonais que não se intersectam. Conclua que estas retas sãoreversas e, portanto, que retas ortogonais são concorrentes ou reversas.3. Seja ABC um triângulo retângulo em B e seja BCDE um paralelogramo não contido noplano 〈A, B, C〉. Mostre que as retas l(A, B) e l(D, E) são ortogonais.Resolução: Como, l(A, B) ⊥ l(B, C) então l(A, B) é ortogonal a toda reta paralela al(B, C). Sendo BCDE um paralelogramo, temos que l(D, E) ‖ l(B, C) e, portanto,l(A, B) é ortogonal a l(D, E).23