a Geometria Descritiva - faculdade inap

Agora estamos em condições de construir retas perpendiculares a planos e também planosperpendiculares a retas.Teorema 1.31. (a) Dada uma reta r e um ponto P, existe um único plano passando por P eperpendicular a r.(b) Dado um plano Π e um ponto P, existe uma única reta passando por P e perpendicular aΠ.Demonstração. (a) Existência: Sejam Π e Π ′ dois planos distintos contendo r. Sejam t ⊂ Π es ⊂ Π ′ retas perpendiculares à r em um ponto A ∈ r. Seja Γ = 〈t, s〉. Concluímos do Teorema1.30 que r ⊥ Γ. Se P ∈ Γ, então Γ é o plano procurado. Se P ∉ Γ, seja Γ ′ ‖ Γ passando por P.Pelo Teorema 1.29 (c), temos que r ⊥ Γ ′ .Unicidade: Sejam Π e Π ′ planos distintos contendo P e perpendiculares à r. Segue do Teorema1.29 (d) que Π ‖ Π ′ . Mas isto é um absurdo pois P ∈ Π ∩ Π ′ . Portanto, existe um único planopassando por P e perpendicular à r.(b) Existência: Sejam t 1 e t 2 retas contidas em Π e concorrentes em um ponto A. Pelo item(a), existem planos Γ 1 e Γ 2 contendo A e perpendiculares à t 1 e t 2 , respectivamente. Note queestes planos são distintos pois, se fossem coincidentes, então pelo Teorema 1.29 (b) as retas t 1e t 2 seriam paralelas.Γ1Γ 2tAΠt 1t 2Seja t = Γ 1 ∩Γ 2 . Afirmamos que t ⊥ Π (em A). De fato, t é perpendicular à t 1 (em A) umavez que t ⊂ Γ 1 e Γ 1 ⊥ t 1 em A. De modo análogo temos que t é perpendicular à t 2 . Como t 1e t 2 são retas de Π que são concorrentes em A, a afirmação segue do Teorema 1.30. Se P ∈ t,então t é a reta procurada. Se P ∉ t, seja r ‖ t com P ∈ r. Pelo Teorema 1.29 (a), segue quer ⊥ Π, como queríamos.Unicidade: Suponhamos que existem duas retas distintas r 1 e r 2 perpendiculares à Π e contendoP. Segue do Teorema 1.29 (b) que r 1 ‖ r 2 , o que é um absurdo pois P ∈ r 1 ∩ r 2 .22