a Geometria Descritiva - faculdade inap

Definição 1.26. Sejam r e s duas retas distintas e Π um plano.(a) Dizemos que r e s são ortogonais se o ângulo entre elas é reto.(b) Dizemos que r é perpendicular a Π se r é ortogonal a toda reta contida em Π.Notação: r ⊥ s e r ⊥ Π significam que r é perpendicular a reta s e ao plano Π, respectivamente.Exemplo 1.27. Seja ABCDEFGH o cubo da Figura 1.4. As retas l(D, H), l(F, G) e l(E, H)são ortogonais.AEDHFBCGFigura 1.4:Observação 1.28. (a) Retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Logo, retas perpendicularessão tipos especiais de retas ortogonais. (Veja o Exercício 2.)(b) Se r é perpendicular a um plano Π, então r e Π são secantes. (Mostre isto.)(c) Seja r uma reta que intersecta um plano Π no ponto A. Então r é perpendicular a Πse e somente se r é perpendicular a toda reta de Π que passa por A. De fato, se r éperpendicular a Π, é imediato da Definição 1.26 que r é perpendicular a toda reta de Πque passa por A. Mostremos a recíproca, ou seja, suponhamos que r é perpendicular atoda reta de Π que passa por A e mostremos que r é perpendicular a Π. Seja s ⊂ Πuma reta qualquer. Se A ∈ s, então r e s são perpendiculares (por hipótese) e, portanto,ortogonais. Se A ∉ s, então existe s ′ ⊂ Π paralela à s e passando por A. Como r e s ′são perpendiculares e s ′ e s são paralelas, segue da Definição 1.26, que r é ortogonal à s.Portanto r e Π são perpendiculares, como queríamos.Ainda não sabemos sobre a existência e unicidade de retas perpendiculares a um planodado, passando por um ponto dado. Nosso objetivo é estabelecer resultados que nos permitamconcluir sobre isto.19