a Geometria Descritiva - faculdade inap

em Π) e não se interceptam (pois, se B ∈ r ′ ∩ t, para algum ponto B, então como r ′ ⊂ Γe t ⊂ Π ′ , segue que B ∈ Γ ∩Π ′ = s, ou seja B ∈ s e B ∈ t, o que é um absurdo pois s ‖ t)então r ′ ‖ t. Conseqüentemente, como r e r ′ são duas retas paralelas à t por A, segue doTeorema 1.14 que r ′ = r. Portanto r, s ⊂ Γ, ou seja, r e s são coplanares.(ii) Mostremos agora que r ∩ s = ∅. De fato, se existe ponto P ∈ r ∩ s, então P ∈ t (pois(P ∈ r e r ⊂ Π ⇒ P ∈ Π) e (P ∈ s e s ⊂ Π ′ ⇒ P ∈ Π ′ ) implicam que P ∈ Π ∩ Π ′ = t).Logo P ∈ t ∩ s, o que é um absurdo pois t ‖ s.Concluímos de (i) e (ii) que r ‖ s.2. Sejam r e s retas não paralelas. Mostre que todas as retas paralelas a s e concorrentescom r estão contidas em um mesmo plano.srABs ′′s ′Resolução: Sejam s ′ e s ′′ duas retas paralelas à s passando por dois pontos distintosA, B ∈ r, respectivamente. Por transitividade, temos que s ′ ‖ s ′′ . Seja Π = 〈s ′ , s ′′ 〉.Afirmamos que se m é uma reta concorrente com r e paralela a s, então m ⊂ Π. De fato,como A ∈ s ′ ∩r e B ∈ s ′′ ∩r, segue que A, B ∈ r ∩Π. Logo, pelo Teorema 1.2 , segue quer ⊂ Π e, conseqüentemente, Π contém o ponto em que m intercepta r. Portanto, comom e s ′ são retas paralelas (devido ao exercício anterior) e como Π contém s ′ e um pontode m, segue do Exercício 1 da Seção 1.4 que Π contém m, como queríamos.3. Mostre a existência de retas paralelas a um plano dado.4. Seja ABCD um tetraedro. Sejam M, N, P e Q os pontos médios dos segmentos AB, AC,CD e BD, respectivamente. Mostre que o quadrilátero MNPQ é um paralelogramo.(Figura 1.1) (Dica : No △(ABC), l(M, N) ‖ l(B, C). Use o Teorema Fundamental daProporcionalidade da Geometria Plana.)5. Sejam M, N, Q, R, S e T pontos médios das arestas de um tetraedro ABCD, conformeFigura 1.2. Mostre que os três segmentos que unem os pontos médios das arestas opostas(isto é, os segmentos QR, MS e NT) se encontram num mesmo ponto, ou seja, MS ∩NT ∩ QR = {P }. (Figura 1.2)6. Seja V ABCD uma pirâmide tal que a base ABCD é um paralelogramo. Mostre quel(A, B) ‖ 〈V, C, D〉. (Figura 1.3)12