a Geometria Descritiva - faculdade inap

s = Π ∩ Π ′ . Afirmamos que s ∩ r = ∅. De fato, segue do fato de que r ∩ Π = ∅ e s ⊂ Π. Comor e s são coplanares (pois estão contidas em Π ′ ), segue que são paralelas.(⇐) Suponhamos que existe uma reta s tal que s ⊂ Π e s ‖ r. Se r não é paralela a Π entãor ∩ Π = {P }, pois r não está contida em Π, por hipótese. Seja Π ′ o plano que contém s e r(dado pelo Teorema 1.8). Então Π ∩ Π ′ = s uma vez que s ⊂ Π ∩ Π ′ e Π ≠ Π ′ (pois r ⊂ Π ′ er ⊄ Π). Logo, como {P } = r ∩ Π ⊂ Π ′ ∩ Π = s, então P ∈ s, o que é um absurdo pois P ∈ r er ‖ s.O seguinte resultado fornece um critério de paralelismo entre retas no espaço.Proposição 1.16. Se r e s são duas retas coplanares tais que r é paralela a algum plano quecontém s, então r e s são paralelas.Demonstração. Seja Π um plano tal que s ⊂ Π e r ‖ Π . Como r ∩ Π = ∅ e s ⊂ Π, entãor ∩ s = ∅. Logo, como r e s são retas coplanares (por hipótese) que não se intersectam, temosque r e s são paralelas.1.6 Exercícios1. Mostre a propriedade de transitividade de retas paralelas no espaço, ou seja, que se duasretas distintas r e s são paralelas a uma mesma reta t, então r e s são paralelas entre si.Resolução: Se as retas forem coplanares, então segue de resultados da Geometria Plana.Suponhamos que r, s e t não são coplanares. Sejam Π = 〈r, t〉 e Π ′ = 〈s, t〉. Então Π eΠ ′ são planos secantes tais que Π ∩ Π ′ = t. Mostremos que r ‖ s.(i) Primeiramente mostraremos que r e s são coplanares. Sejam A ∈ r e Γ = 〈s, A〉.rAΠΓtΠ ′sEntão Γ ∩ Π ′ = s (pois Γ ≠ Π ′ uma vez que A ∈ Γ e A ∉ Π ′ , além disso s ⊂ Γ ∩ Π ′ ).Como A ∈ Γ ∩ Π, e estes são planos distintos (pois s ⊂ Γ e s ⊄ Π) então Γ ∩ Π é umareta contendo A. Seja r ′ tal reta. Como r ′ e t são coplanares (pois ambas estão contidas11