a Geometria Descritiva - faculdade inap

10. Considere uma pirâmide quadrangular V ABCD de vértice V . Sejam M, N e P pontossobre a aresta V A, V B e V C, respectivamente. O plano determinado por M, N e P cortaa aresta V D no ponto Q. Diga como obter Q a partir de M, N e P? (Dica : As diagonaisde um quadrilátero plano se intersectam.)11. Mostre que duas retas reversas e uma concorrente com as duas determinam dois planosdistintos.12. Qual é a interseção de duas circunferências de raios congruentes, centros comuns e situadasem planos distintos?1.5 Paralelismo entre retas e entre reta e planoO teorema seguinte é uma extensão para o espaço do Postulado de Euclides sobre retas paralelas.Teorema 1.14. Por um ponto não pertencente a uma reta r pode-se traçar uma única retaparalela à r.Demonstração. Seja P ∉ r. Pelo Teorema 1.6, existe um único plano Π que passa por P e quecontém r. Pela Postulado das Paralelas da Geometria Plana (para o plano Π), existe uma únicareta s ⊂ Π passando por P tal que s ‖ r. Para mostrarmos que s é a única reta paralela à rpassando por P, suponhamos que existe uma outra reta s ′ paralela à r por P. Seja Π ′ = 〈r, s ′ 〉.Então Π e Π ′ contém r e P. Logo, pelo Teorema 1.6, Π ′ = Π e, conseqüentemente, s ′ = sdevido à unicidade dada pelo Postulado das Paralelas de Euclides.O seguinte teorema exibe um critério para verificar se uma reta é paralela a um plano.Teorema 1.15. Sejam Π um plano e r uma reta não contida em Π. Então r e Π são paralelosse e somente se existe uma reta s contida em Π e paralela a r.ΠPsrDemonstração. (⇒) Suponhamos que r ‖ Π. Sejam P um ponto qualquer de Π e Π ′ = 〈r, P 〉.Então Π ≠ Π ′ , pois r ⊂ Π ′ e r ∩ Π = ∅. Comos Π e Π ′ são secantes (pois P ∈ Π ∩ Π ′ ), seja10