Teoria Elementar dos Conjuntos - Vision at IME-USP

Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) 8Nos seguintes exemplos ilustramos como podemos utilizar a álgebra dos conjuntos para analisarafirmações ou conjunto de afirmações.Exemplo:Dado que Sócrates é um homem e que todos os homens são mortais, deseja-se mostrar queSócrates é mortal.Vamos usar a propriedade de que X ⊆ Y e Y ⊆ Z implica X ⊆ Z.SejamU: conjunto de todos os seres vivosX: conjunto de todos os seres vivos humanosY : conjunto de todos os mortaisS: conjunto unitário cujo único elemento é SócratesUtilizando esta notação, temos que S ⊆ X (Sócrates é um homem) e que X ⊆ Y (todosos homens são mortais). Logo, S ⊆ Y (ou seja, Sócrates é mortal).Exemplo:Considere as quatro afirmações a seguir:a) Um homem infeliz não é dono do seu próprio nariz.b) Todos os homens casados têm responsabilidadesc) Todo homem ou é casado ou é dono do seu próprio nariz (ou ambos).d) Nenhum homem com responsabilidades pode pescar todos os dias.SejamU: conjunto de todos os homensH: conjunto dos homens felizesB: conjunto dos homens donos dos próprios narizesM: conjunto dos homens casadosR: conjunto dos homens com responsabilidadesF : conjunto dos homens que pescam todo diaQue tipo de conclusões podemos derivar a partir das afirmações acima?a) H c ⊆ B c ⇐⇒ B ⊆ Hb) M ⊆ R ⇐⇒ R c ⊆ M cc) M ∪ B = U ⇐⇒ M c ⊆ B (ou B c ⊆ M)d) R ∩ F = ∅ ⇐⇒ F ⊆ R cCombinando (d) e (b) temos que F ⊆ R c ⊆ M c (Todo homem que pesca todos os dias nãosão casados).Combinando F ⊆ M c e (c) temos que F ⊆ B (Todo homem que pesca todos os dias édono do seu próprio nariz)Combinando F ⊆ B e (a) temos que F ⊆ H (Todo homem que pesca todos os dias é feliz).Exemplo: Três colecionadores ingleses, A, B e C, de obras literárias antigas têm interesse pelasseguintes obras: