Nina S. T. Hir<strong>at</strong>a (DCC/<strong>IME</strong>-<strong>USP</strong>) — Notas de aula de MAC0329 (2007) 2Conjunto unitárioEm álgebra de conjuntos, os objetos de interesse são os conjuntos e não os elementosque pertencem a eles. Assim, as operações devem ser definidas sobre ou entre conjuntos,mas nunca sobre elementos isola<strong>dos</strong>. Para tr<strong>at</strong>ar elementos, devemos considerar conjuntosunitários. Por exemplo, se a é um elemento de U então {a} denota o conjunto unitárioque contém apenas um único elemento, o elemento a.Relação elemento × conjuntoSe um elemento x pertence a um conjunto A, escrevemos x ∈ A. Diremos, altern<strong>at</strong>ivamente,que x é membro de A. Se x não pertence ao conjunto A, escrevemos x ∉ A.Relação conjunto × conjuntoUm conjunto A é igual a um conjunto B, denotado A = B, se eles contêm ex<strong>at</strong>amente osmesmos elementos. Se não forem iguais, eles são diferentes, e denotado por A ≠ B.Um conjunto A está contido num conjunto B se to<strong>dos</strong> os elementos de A pertencemtambém ao conjunto B. Escrevemos A ⊆ B e dizemos também que A é um subconjuntode B. Se, além disso, B possui pelo menos um elemento que não pertence a A, entãodizemos que A está propriamente contido em B, ou que A é um subconjunto própriode B, e denotamos A ⊂ B.Propriedades da relação ⊆A relação de inclusão de conjuntos ⊆ obedece às seguintes propriedades. Para quaisquer X, Y e Z,I1. (reflexiva) X ⊆ XI2. (transitiva) X ⊆ Y e Y ⊆ Z =⇒ X ⊆ ZI3. (anti-simétrica) X ⊆ Y e Y ⊆ X =⇒ X = YI4. (a) ∅ ⊆ X(b) X ⊆ UConjunto potência (power set) ou conjunto das partes de um conjuntoDado um conjunto A, o conjunto potência de A é denotado por P(A) e definido porP(A) = {X ⊆ U : X ⊆ A}, ou seja, P(A) é o conjunto de to<strong>dos</strong> os subconjuntos de A.Exercício: Seja A = {a, b, c}. Liste to<strong>dos</strong> os elementos de P(A).Exercício: Mostre que se A contém n elementos então P(A) contém 2 n elementos.
3 Nina S. T. Hir<strong>at</strong>a (DCC/<strong>IME</strong>-<strong>USP</strong>) — Notas de aula de MAC0329 (2007)Complemento, união e interseçãoO complemento de um conjunto X, denotado X c , consiste de to<strong>dos</strong> os elementos em Uque não estão em X, ou seja, X c = {x ∈ U | x ∉ X}.<strong>Conjuntos</strong> podem ser combina<strong>dos</strong> para gerar outros conjuntos. Para isso, podemos considerarduas regras (operações) que definem formas pelas quais conjuntos podem ser combina<strong>dos</strong>:a união e a interseção.Da<strong>dos</strong> dois conjuntos X e Y quaisquer, a união de X e Y é denotada X ∪ Y e definidacomo sendo o conjunto de elementos que pertencem ou a X, ou a Y ou a ambos, ou seja,X ∪ Y = {x ∈ U | x ∈ X ou x ∈ Y }. A interseção de X e Y é denotada X ∩ Y edefinida como sendo o conjunto de elementos que pertencem tanto a X como a Y , ou seja,X ∩ Y = {x ∈ U | x ∈ X e x ∈ Y }.Se X ∩ Y = ∅ (conjunto vazio) então dizemos que X e Y são disjuntos.Exemplos:{1, 2, 3} ∪ {2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 6}{a} ∪ {b} = {a, b}Diagramas de Venn{1, 2, 3} ∩ {2, 4, 6} = {2}{a} ∩ {b} = ∅Os diagramas de Venn são úteis para reforçar a noção intuitiva sobre conjuntos, principalmentepara analisar relações entre os conjuntos e também seus membros. Para demonstrarpropriedades <strong>dos</strong> conjuntos, uma prova estritamente algébrica seria necessária. No entanto,para entender uma propriedade e, mais do que isso, para nos convencermos de suavalidade, os diagramas de Venn são bastante úteis.No diagrama de Venn o conjunto universo é representado por um retângulo, mais precisamente,pelos pontos interiores ao retângulo. Qualquer conjunto é desenhado comosendo uma curva fechada, inteiramente contida no retângulo. Pontos interiores à curvacorrespondem aos elementos do conjunto. No exemplo da figura 1, a união e interseção dedois conjuntos genéricos estão representadas pelas regiões hachuradas das figuras 1a e 1b,respectivamente. O complemento de um conjunto é representado no diagrama da figura 1c.X(a) X ∪ YYX(b) X ∩ YY000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111X000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111(c) X cFigura 1: Diagramas de Venn (a) União de dois conjuntos. (b) Interseção de dois conjuntos. (c)Complemento de um conjunto.Exercício: Seja x um elemento no conjunto universo U e X e Y dois subconjuntos quaisquer de U.Mostre que x é membro de apenas um <strong>dos</strong> conjuntos X ∩ Y , X ∩ Y c , X c ∩ Y e X c ∩ Y c .Dica: Desenhe o diagrama de Venn e argumente.