Lista 5 - Cálculo I - IMPA

Lista 5 - Cálculo IExercício 1. Calcule:4x 3 + x 2 + 3a) limx→−1 x 5 + 1e xb) limx→+∞ xe 3xc) limx→−1 x 2d) limx→0x + arc tgxxe) limx→−∞ xexExercício 2. Determine os extremos das funções abaixo:a) f(x) = x 2 − 3x + 2b) f(x) = lnxx , x > 0c) f(x) = senx + cosx, |x| ≤ πd) f(x) = x2x 2 + 1e) f(x) = x √ x + 3, x > −3f) f(x) = lnx − arc tgxExercício 3. Quais são os valores de máximo e de mínimo absoluto da funçãof(x) = −3x 4 + 6x 2 − 1 no intervalo [–2, 2]?Exercício 4. Do ponto A, situado numa das margens de um rio de 100m delargura, deve-se levar energia elétrica ao ponto C situado na outra margens dorio. O fio a ser utilizado na água custa R$ 5 o metro, e o que será utilizado fora,R$ 3 o metro. Como deverá ser feita a ligação para que o gasto com os fios sejao menor possível? (Suponha as margens retilíneas e paralelas.)1

Exercício 5. Determine dois números positivos cuja soma seja 4 e tal que asoma do cubo do menor com o quadrado do maior seja mínima.Exercício 6. Um fazendeiro quer cercar uma área de 15.000 m 2 em um camporetangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados doretângulo. Como fazer isso de forma a minimizar o custo da cerca?Exercício 7. Um jardineiro constrói um jardim em forma de setor circular comperímetro de 30m. Quais devem ser as dimensões de tal jardim, para que suaárea seja máxima?Exercício 8. Estude a função dada com relação à concavidade e pontos deinflexão:a) f(x) = x 3 − 3x 2 − 9xb) f(x) = x · lnx, x > 0c) f(x) = xe −2xd) f(t) = t 2 + 1 te) f(x) = senx − cosx, |x| ≤ πExercício 9. Seja f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, a ≠ 0. Mostre que f admite umúnico ponto de inflexão.Exercício 10. Determine as assíntotas ao gráfico das seguintes funções?a) f(x) = x21 + x 2b) f(x) = 4xx − 1c) f(x) = x + 1 xd) f(x) = 2x − 13 + xe) f(x) = x2 + 4x + 1Exercício 11. Esboce o gráfico das seguintes funções:a) f(x) = x 3 − 3x 2 − 9xe) f(x) = x + 1b) f(x) = √ x − 24 − x 2f) f(x) = x3c) f(x) = x 3 + xx 2 + 1g) f(x) = ln (4 − xd) f(x) = e 2 )−x2h) f(x) = senx + cosx 0 < x < 2π2