MATEMÃTICA FINANCEIRA - IAG - A Escola de Negócios da PUC-Rio
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MATEMÁTICA <strong>FINANCEIRA</strong>Prof. Luiz Brandão
Índice1. INTRODUÇÃO 41.1 FLUXO DE CAIXA ...................................................................................................... 51.1.1 AMBIENTE ..................................................................................................... 61.1.2 DEFINIÇÕES ................................................................................................... 61.2 JUROS ....................................................................................................................... 71.3 EXERCÍCIOS.............................................................................................................. 72. JUROS SIMPLES 82.1 EXERCÍCIOS: JUROS SIMPLES................................................................................... 103. JUROS COMPOSTOS 113.1 EXERCÍCIOS: JUROS COMPOSTOS............................................................................. 143.2 UTILIZANDO CALCULADORAS <strong>FINANCEIRA</strong>S............................................................ 153.2.1 EXERCÍCIOS: USANDO A CALCULADORA......................................................... 183.3 ANUIDADES (PMT) ................................................................................................... 203.4 PERPETUIDADES ....................................................................................................... 223.4.1 EXERCÍCIOS: ANUIDADES E PERPETUIDADES................................................... 233.5 FLUXOS NÃO UNIFORMES ......................................................................................... 243.6 TAXAS DE JUROS....................................................................................................... 253.6.1 TAXA EFETIVA ............................................................................................... 253.6.2 TAXA NOMINAL............................................................................................. 253.6.3 TAXA REAL.................................................................................................... 273.6.4 TAXAS PROPORCIONAIS .................................................................................. 273.6.5 TAXAS EQUIVALENTES ................................................................................... 284. EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA 304.1 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO.................................................................................... 314.1.1 PAGAMENTO NO FINAL ................................................................................... 314.1.2 SISTEMA AMERICANO .................................................................................... 314.1.3 SISTEMA PRICE .............................................................................................. 314.1.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ............................................. 324.1.5 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES MISTA - SAM .................................................... 324.2 EXERCÍCIOS: SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO.............................................................. 36
5. DESCONTO BANCÁRIO 385.1 EXERCÍCIOS: DESCONTO BANCÁRIO ..................................................................... 396. ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTO 406.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO...................................................................................... 406.2 TAXA INTERNA DE RETORNO - TIR.......................................................................... 426.3 TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA.............................................................. 426.4 EXERCÍCIOS:............................................................................................................. 447. MATERIAL COMPLEMENTAR 49
1. IntroduçãoQuando o controle acionário <strong>da</strong> Cervejaria Brahma foi comprado em 1989, os novosdonos pagaram o equivalente a US$ 60 milhões <strong>de</strong> dólares pela maioria <strong>da</strong>s açõesordinárias. Em 1997, oito anos <strong>de</strong>pois, o valor <strong>de</strong> mercado <strong>de</strong>sta participação era <strong>de</strong>US$ 1 bilhão <strong>de</strong> dólares. É óbvio que esta operação resultou num bom negócio para os novossócios, mas se quiséssemos saber exatamente qual a rentabili<strong>da</strong><strong>de</strong> média anual que essesinvestidores obtiveram nesse período, como faríamos este cálculo? Ao comprar uma gela<strong>de</strong>ira<strong>de</strong> R$ 1.000 numa loja <strong>de</strong> eletrodomésticos, o ven<strong>de</strong>dor lhe dá a opção <strong>de</strong> pagar à vista ou emtrês parcelas <strong>de</strong> R$ 350. Consi<strong>de</strong>rando que você tem R$5.000 investidos em ca<strong>de</strong>rneta <strong>de</strong>poupança, qual a melhor opção para você?Estas e outras questões que dizem respeito ao valor do dinheiro no tempo são o objeto <strong>de</strong>estudo <strong>da</strong> Matemática Financeira. Sabemos que o valor <strong>da</strong>s ações <strong>de</strong> uma empresa <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>em parte do “timing” dos fluxos <strong>de</strong> caixa que os investidores esperam receber no futuro, e<strong>da</strong>do que um dos principais objetivos do gerente financeiro é maximizar o valor <strong>da</strong> empresapara o acionista, é essencial que o gerente financeiro tenha o domínio dos conceitos <strong>de</strong>Matemática Financeira para que possa avaliar corretamente o valor <strong>de</strong>stes e outros ativos <strong>da</strong>empresa.O conceito básico <strong>da</strong> Matemática Financeira é que um real recebido hoje vale mais <strong>de</strong> que umreal a ser recebido <strong>da</strong>qui a um ano. Dizemos então que o dinheiro tem valor no tempo. Mascomo comparar um real hoje com R$1,20 reais a serem recebidos em um ano? Sabemos quenão po<strong>de</strong>mos comparar estes dois valores diretamente, pois eles ocorrem em épocasdiferentes. É a Matemática Financeira que nos permite comparar fluxos <strong>de</strong> caixa distintos eindicar qual é mais vantajoso para o indivíduo ou a empresa, e isso é feito transformando ca<strong>da</strong>fluxo <strong>de</strong> caixa no seu valor equivalente à vista, “<strong>de</strong>scontando” esses valores <strong>de</strong> um tempofuturo até o momento atual. Uma vez que os valores então se encontram agora todos namesma <strong>da</strong>ta, po<strong>de</strong>mos então comparar esses valores entre si e tomar a nossa <strong>de</strong>cisão.O conceito <strong>de</strong> fluxo <strong>de</strong> caixa <strong>de</strong>scontado tem inúmeras aplicações, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> a elaboração <strong>de</strong>planilhas <strong>de</strong> cálculo <strong>de</strong> amortização <strong>de</strong> empréstimos até a <strong>de</strong>cisão <strong>de</strong> investimento em projetosindustriais. De todos os conceitos básicos <strong>de</strong> finanças, po<strong>de</strong>mos dizer que a análise do Fluxo<strong>de</strong> Caixa Descontado é um dos mais importantes.Veremos também que a transformação <strong>de</strong>sses fluxos só po<strong>de</strong> ser feita com a fixação dos juros,e po<strong>de</strong>-se ain<strong>da</strong> dizer que a existência <strong>da</strong> Matemática Financeira, com to<strong>da</strong>s as suas fórmulase fatores, se pren<strong>de</strong>, exclusivamente, à existência dos mesmos. Da<strong>da</strong> essa importância dosjuros <strong>de</strong>ntro do contexto <strong>da</strong> Matemática Financeira, eles serão estu<strong>da</strong>dos em <strong>de</strong>talhe no<strong>de</strong>correr do curso.Brandão Matemática Financeira 3.1 4
1.1 Fluxo <strong>de</strong> CaixaPara representar as entra<strong>da</strong>s e saí<strong>da</strong>s <strong>de</strong> caixa <strong>de</strong> um fluxo, adotaremos a seguinte convenção:Dinheiro investido (saí<strong>da</strong> <strong>de</strong> caixa), seta para baixo, ou valor negativo(100)Dinheiro recebido (entra<strong>da</strong> <strong>de</strong> caixa), seta para cima100Denomina-se fluxo <strong>de</strong> caixa (<strong>de</strong> uma firma, <strong>de</strong> um investimento, <strong>de</strong> um projeto, <strong>de</strong> um indivíduoetc...) ao conjunto <strong>da</strong>s entra<strong>da</strong>s e saí<strong>da</strong>s <strong>de</strong> dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Um fluxo <strong>de</strong>caixa po<strong>de</strong> apresentar diversas entra<strong>da</strong>s e saí<strong>da</strong>s <strong>de</strong> caixa, a fim <strong>de</strong> facilitar a visualização dosfluxos <strong>de</strong> caixa <strong>de</strong> um problema em particular, adotaremos o conceito <strong>da</strong> linha do tempo,conforme diagrama a seguir:0 1 2 3 4 5O instante zero representa a <strong>da</strong>ta <strong>de</strong> hoje: é o momento atual, o instante <strong>da</strong> <strong>de</strong>cisão a sertoma<strong>da</strong>. O tempo 1 ocorre <strong>da</strong>qui a um ano, e representa o instante final do ano 1, ou seja, 31<strong>de</strong> <strong>de</strong>zembro do ano 1. Da mesma forma, o tempo dois representa o instante final do ano 2,que começa em 01/01/02 e termina em 31/12/02, e os tempos 3, 4 e 5 também representam oinstante final do ano 3, 4 e 5. Observe que os períodos <strong>de</strong> um fluxo po<strong>de</strong>m representar não sóanos, como também meses, semanas, dias, trimestres, ou qualquer período que se queira.O total <strong>de</strong> juros <strong>de</strong>vido pelo tomador ao aplicador <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> dois fatores básicos: A taxapactua<strong>da</strong> e o prazo <strong>da</strong> operação. Como o tomador, em geral, dispõe <strong>de</strong> recursos em <strong>da</strong>taspreestabeleci<strong>da</strong>s, é comum estabelecer indiretamente a vigência <strong>da</strong>s operações pelasrespectivas <strong>da</strong>tas <strong>de</strong> toma<strong>da</strong> e liqui<strong>da</strong>ção dos empréstimos.Os comerciantes medievais adotaram algumas regras simplificadoras dos cálculos, criando omês e o ano comercial. Segundo a convenção adota<strong>da</strong>, o mês comercial tem 30 dias e o ano,por ser <strong>de</strong>composto em exatos 12 meses, tem 360 dias. assim o prazo <strong>de</strong> uma operação po<strong>de</strong>ser <strong>de</strong>finido em termos exatos (mês e ano civil) e em termos comerciais (mês e anocomercial). Quando o prazo <strong>da</strong> operação é <strong>da</strong>do em termos comerciais, os juros são chamados<strong>de</strong> juros comerciais; quando o número <strong>de</strong> dias dos meses correspon<strong>de</strong>m aqueles do ano civil,são chamados <strong>de</strong> juros exatos.Brandão Matemática Financeira 3.1 5
1.1.1 AmbientePara efeitos didáticos consi<strong>de</strong>raremos o nosso ambiente como sendo um ambienteaon<strong>de</strong> não existem outros custos além dos especificamente mencionados. Ou sejacustos como: reciproci<strong>da</strong><strong>de</strong> exigi<strong>da</strong> pelos bancos, custos <strong>de</strong>vido à exigência <strong>de</strong> saldosmédios a serem mantidos nos bancos, custos <strong>de</strong>vido à compra “compulsória” <strong>de</strong>seguros empurra<strong>da</strong>s pelos agentes financeiros, taxas <strong>de</strong> abertura <strong>de</strong> crédito, taxas <strong>de</strong>ca<strong>da</strong>stro, imposto <strong>de</strong> ren<strong>da</strong>, IOF, Imposto sobre diversos, emolumentos, custos <strong>de</strong>transação tais como comissões, inadimplências, falências, congelamentos, e assimsucessivamente somente serão consi<strong>de</strong>rados quando explicitamente mencionados nosexemplos e exercícios.1.1.2 DefiniçõesUm real na mão hoje vale mais do que um real a ser recebido <strong>da</strong>qui a um ano, pois sevocê tiver um real hoje você po<strong>de</strong> investi-lo e receber juros <strong>de</strong>ste investimento, <strong>de</strong>forma que <strong>da</strong>qui a um ano você terá mais do que um real. Para exemplificar, suponhaque você possua R$1.000 e tenha a oportuni<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> investi-lo no banco a uma taxa <strong>de</strong>juros <strong>de</strong> 10% ao ano. Quanto você teria ao final do ano? Adotaremos a seguintenotação:VP (Valor Presente,Principal) Valor que você dispõe hoje. No nosso exemplo é R$1.000.i (Taxa <strong>de</strong> Juros) Taxa <strong>de</strong> juros que o banco paga por período.Assumimos que esse juros é pago no final do período.VF (Valor Futuro) Valor <strong>de</strong> que você dispõe ao final do período, queinclui o valor que você tinha no inicio mais os jurosrecebidos no final do período.n (No <strong>de</strong> Períodos) Número <strong>de</strong> Períodos envolvidos na análise. No caso,n = 1.J Juros Valor <strong>de</strong> Juros recebidosNo nosso exemplo, temos então:VP = 1.000i = 10% a.a.n = 10 1VP =1.000 J = ?VF = ?J = VP x i = 1.000 x 10% = 1.000 x 0,10 = 100VF = VP + J = 1000 + 100 = 1.100Brandão Matemática Financeira 3.1 6
Po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>duzir a fórmula do Valor Futuro (FV):VF = VP + VP x iVF = VP (1+i)Aplicando a fórmula ao exemplo: VF = 1000 (1+0,10) = 1.1001.2 JurosO conceito <strong>de</strong> juros po<strong>de</strong> ser introduzido através <strong>da</strong>s expressões:a. dinheiro pago pelo uso <strong>de</strong> dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital <strong>de</strong> terceiroscolocado à nossa disposição.b. remuneração do capital empregado em ativi<strong>da</strong><strong>de</strong>s produtivas ou, ain<strong>da</strong>, remuneraçãopaga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado.Os juros são fixados através <strong>de</strong> uma taxa percentual que sempre se refere a uma uni<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong>tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia.Ex 1: 12% ao ano = 12% a.a.10% ao mês = 10% a.m.Ex 2:Um capital <strong>de</strong> $10.000, aplicado a uma taxa <strong>de</strong> juros <strong>de</strong> 8% a.a., proporcionará, nofinal <strong>de</strong> um ano, um total <strong>de</strong> juros. Qual é este total <strong>de</strong> juros?Resp: 8% <strong>de</strong> 10.000 = (8 / 100) x 10.000 = 0,08 x 10.000 = 8000 1VP =10.000 J = 8001.3 Exercícios1) Qual a importância <strong>da</strong> Matemática Financeira?2) O que é juros?3) Explique o que significa uma aplicação a juros simples.4) Explique o que significa uma aplicação a juros compostos.5) Se você aplicar hoje $1.000 a juros simples com uma taxa <strong>de</strong> 10% ao ano quantoterá em 2 anos?6) Se você aplicar hoje $1.000 a juros compostos com uma taxa <strong>de</strong> 10% ao ano quantoterá em 2 anos?Brandão Matemática Financeira 3.1 7
2. Juros SimplesOs juros que inci<strong>de</strong>m sobre um empréstimo são chamados <strong>de</strong> juros com capitalizaçãosimples se a ca<strong>da</strong> período que dura o empréstimo os juros são calculados sempre emcima do valor inicial do empréstimo. Sobre os juros não pagos não inci<strong>de</strong> cobrança<strong>de</strong> juros. Nessa categoria os juros <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> período são sempre calculados em função do capitalinicial. Consi<strong>de</strong>re um poupador que investiu $1.000 numa aplicação <strong>de</strong> ren<strong>da</strong> fixa que lheren<strong>de</strong>rá juros simples à taxa <strong>de</strong> 10% a.a. Qual será o saldo ao final <strong>de</strong> 4 anos?AnoSaldo noInício do anoTaxa <strong>de</strong>JurosBase <strong>de</strong>CálculoJuros doperíodoSaldo finaldo ano1 $1.000 10% $1.000 $100 $1.1002 $1.100 10% $1.000 $100 $1.2003 $1.200 10% $1.000 $100 $1.3004 $1.300 10% $1.000 $100 $1.400Neste caso, é importante realçar que o banco sempre aplicou a taxa <strong>de</strong> juros <strong>de</strong> 10% a.a. sobreo capital inicial <strong>de</strong> $1.000, e nunca permitiu que o aplicador retirasse os juros <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> período.Assim, apesar <strong>de</strong> os juros estarem à disposição do banco, eles nunca foram remunerados.Caso o banco permitisse ao aplicador a retira<strong>da</strong> dos juros, ain<strong>da</strong> que continuasse a nãoremunerar os juros remanescentes, o poupador passaria a ter uma entra<strong>da</strong> nova <strong>de</strong> capital porconta <strong>da</strong> eventual aplicação que pu<strong>de</strong>sse fazer com os juros recebidos. Neste caso o poupadorestaria recebendo 10% mais a taxa <strong>de</strong> remuneração sobre a aplicação dos juros, e esta nãomais seria uma situação <strong>de</strong> juros simples.Exemplo: Suponha que você pegou emprestado $1.000 com 10% <strong>de</strong> juros ao ano. O cálculodo valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes:Valor dos Juros por ano = Valor <strong>da</strong> Dívi<strong>da</strong> x Taxa <strong>de</strong> JurosValor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,10 = 100Valor do Principal = 1.000O Valor total a pagar para liqui<strong>da</strong>r o empréstimo é o valor dos juros mais o valor doprincipal, ou seja: 100 + 1.000 = 1.1000 1VP =1.000 J = 100VF = 1.100Brandão Matemática Financeira 3.1 8
Se você pegou este empréstimo por 2 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagarserão os seguintes:Valor dos Juros por ano = Valor <strong>da</strong> Dívi<strong>da</strong> x Taxa <strong>de</strong> Juros x Número <strong>de</strong> anosValor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 x 2 = 200Valor do Principal = 1.000O Valor total a o pagar para liqui<strong>da</strong>r o empréstimo é o valor dos juros mais o valor doprincipal, ou seja: 200 + 1.000 = 1.2000 1 2VP =1.000 J = 100VF = 1.100J = 100VF = 1.200Se você pegou este empréstimo por 3 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagarserão os seguintes:Valor dos Juros por ano = Valor <strong>da</strong> Dívi<strong>da</strong> x Taxa <strong>de</strong> Juros x Número <strong>de</strong> anosValor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 x 3 = 300Valor do Principal = 1.000O Valor total a o pagar para liqui<strong>da</strong>r o empréstimo é o valor dos juros mais o valor doprincipal, ou seja: 300 + 1.000 = 1.3000 1 2 3VP =1.000 J 1 = 100VF 1 = 1.100J 2 = 100VF 2 = 1.200J 3 = 100VF 3 = 1.300Fórmula Geral:0 1 2 3 ...... nVP =1.000 J 1 = 100VF 1 = 1.100J 2 = 100VF 2 = 1.200J 3 = 100VF 3 = 1.300...... J n = 100VF n = 1.300VF = VP + Juros⋅nVF = VP + VP ⋅i⋅nVF = VP 1+ i ⋅nbgA fórmula é somente esta, porém po<strong>de</strong>mos através <strong>de</strong> manipulações algébricas utilizar afórmula do valor futuro (FV) para calcular Valor Presente (VP), taxa <strong>de</strong> juros (i) ou valor dosjuros a pagar (J).VFVF = VPb1+ i ⋅ng VP = 1+i ⋅ nBrandão Matemática Financeira 3.1 9
VF −VPi =VP ⋅nJ = VF − VP = VP ⋅i⋅nVF −VPn =iVP ⋅On<strong>de</strong>: n: é o número <strong>de</strong> períodosVP: é o Valor Presente <strong>de</strong> principal aplicadoi: é a taxa <strong>de</strong> juros expressa em <strong>de</strong>cimaisVF: é o Valor Futuro, é a soma <strong>de</strong> juros no período mais principalJ: é o total <strong>de</strong> juros pagos sobre o principal durante o investimentoObserve que só existem 4 variáveis: Taxa <strong>de</strong> Juros, Valor Presente, Valor Futuro e Número <strong>de</strong>Períodos. Assim sendo só existem 4 tipos básicos <strong>de</strong> pergunta que po<strong>de</strong>mos formular.Ex: Qual é o montante acumulado em 24 meses (VF), a uma taxa <strong>de</strong> 2% a.m., no regime <strong>de</strong>juros simples, a partir <strong>de</strong> um principal (VP) igual a $2.000 ?Solução: P = $2.000 i = 2% a.m. 2/100 = 0.02 ao mêsn = 24 meses VF = ?VF = 2.000 ( 1 + 0,02 x 24) = 2.9602.1 Exercícios: Juros Simples1) Você tem hoje (t=0) $1.000 para aplicar a juros simples a uma taxa <strong>de</strong> 10% ao ano.Quanto você terá <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> 3 anos <strong>de</strong>sta aplicação? Resp: $1.3002) Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em <strong>de</strong>termina<strong>da</strong> instituição terá em 2 anos$2.400. Qual é a taxa que esta instituição está pagando para sua aplicação?Resp: 10%3) Você tem hoje $10.000 e preten<strong>de</strong>r ter um total (juros mais principal) <strong>de</strong> $19.000 em umaaplicação que paga 30% ao ano. Quanto tempo você <strong>de</strong>ve <strong>de</strong>ixar seu dinheiro aplicado?Resp: 3 anos4) Você precisa ter $17.760 <strong>da</strong>qui a quatro anos para fazer frente a um compromissofinanceiro. Quanto você <strong>de</strong>ve investir hoje, sabendo que a taxa <strong>de</strong> juros que essa aplicaçãopaga é 12% ao ano? Resp: $12.0005) Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica $2.000 a juros simples pelo período <strong>de</strong> 4anos a uma taxa <strong>de</strong> 20% ao ano? Resp: $3.6006) Qual é o valor que você <strong>de</strong>ve investir hoje para ter ao final do 5 ano $1.500. Consi<strong>de</strong>reque a taxa <strong>de</strong> juros simples que você usou é <strong>de</strong> 10% ao ano. Resp: $1.0007) Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar $3.000 por 2 anos a uma taxa <strong>de</strong> jurossimples <strong>de</strong> 20% ao ano? Resp $1.2008) Qual é a taxa <strong>de</strong> juros simples que faz uma aplicação <strong>de</strong> $180 em t=0 valer $360 em 10anos?Resp: 10% a.a.Brandão Matemática Financeira 3.1 10
3. Juros CompostosOs juros que inci<strong>de</strong>m sobre um empréstimo são chamados <strong>de</strong> juros com capitalizaçãocomposta se a ca<strong>da</strong> período que dura o empréstimo os juros são calculados, a ca<strong>da</strong>período do empréstimo, sobre o saldo <strong>de</strong>vedor do empréstimo que inclui o principale os juros ain<strong>da</strong> não pagos. Nessa categoria os juros <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> período são calculados sempreem função do saldo existente no inicio <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> respectivo período. Daqui para frente,consi<strong>de</strong>raremos que todos os juros em questão são juros compostos.Consi<strong>de</strong>re a mesma situação do exemplo anterior <strong>de</strong> juros simples, agora com a diferença <strong>da</strong>utilização <strong>de</strong> juros compostos para o cálculo <strong>da</strong> remuneração ao investidor.AnoSaldo noInício do anoTaxa <strong>de</strong>JurosBase <strong>de</strong>CálculoJuros doperíodoSaldo finaldo ano1 $1.000 10% $1.000 $100 $1.1002 $1.100 10% $1.100 $110 $1.2103 $1.210 10% $1.210 $121 $1.3314 $1.331 10% $1.331 $133 $1.464Nesse caso o banco remunera os juros pagos, que são reinvestidos na aplicação. No gráfico aseguir, po<strong>de</strong>mos observar a diferenças entre os juros simples e compostos mostrados nestastabelas.2500Juros Simples e Juros CompostosJuros Compostos20001500Juros Simples10000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Brandão Matemática Financeira 3.1 11
Exemplo:1) Suponha que você pegou emprestado $1.000 hoje, para pagar este empréstimo comjuros <strong>de</strong> 10% ao ano capitalizados <strong>de</strong> forma composta. Desta forma se você pegou esteempréstimo por apenas 1 ano o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão osseguintes:Valor dos Juros por ano = Valor <strong>da</strong> Dívi<strong>da</strong> x Taxa <strong>de</strong> JurosValor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100Valor do Principal = 1.000O Valor total a o pagar para liqui<strong>da</strong>r o empréstimo é o valor dos juros mais o valor doprincipal, ou seja: 100 + 1.000 = 1.1000 1VP =1.000 J = 100VF = 1.100Se você pegou este empréstimo por 2 anos o cálculo do valor dos juros e principal apagar serão os seguintes:Valor dos Juros no primeiro ano = Valor <strong>da</strong> Dívi<strong>da</strong> x Taxa <strong>de</strong> JurosValor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100Se os juros não forem pagos o Saldo <strong>de</strong>vedor para o inicio do segundo ano será:Principal + Juros = 1.000 + 100 = 1.100Valor dos juros para o segundo ano = Saldo Devedor x Taxa <strong>de</strong> JurosValor do Juros do segundo ano = 1.100 x 0,1 = 110O Valor total a o pagar para liqui<strong>da</strong>r o empréstimo é o valor dos juros do ano 1 + osjuros do ano 2 mais o principal, ou seja: 100 + 110 + 1.000 = 1.2100 1 2VP =1.000 J = 100VF = 1.100J = 110VF = 1.210Se você pegou este empréstimo por 3 anos o cálculo do valor dos juros e principal apagar serão os seguintes:Valor dos Juros no primeiro ano = Valor <strong>da</strong> Dívi<strong>da</strong> x Taxa <strong>de</strong> JurosValor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100Se os juros não forem pagos o Saldo <strong>de</strong>vedor para o inicio do segundo ano será:Principal + Juros = 1.000 + 100 = 1.100Valor dos juros para o segundo ano = Saldo Devedor x Taxa <strong>de</strong> JurosValor do Juros do segundo ano = 1.100 x 0,1 = 110Brandão Matemática Financeira 3.1 12
Se os juros não forem pagos o Saldo <strong>de</strong>vedor para o inicio do terceiro ano será:Principal + Juros (ano1) + Juros (ano2) = 1.000 + 100 110 = 1.210Valor dos juros para o terceiro ano = Saldo Devedor x Taxa <strong>de</strong> JurosValor do Juros do terceiro ano = 1.210 x 0,1 = 121O Valor total a o pagar para liqui<strong>da</strong>r o empréstimo é o valor dos juros do ano 1 + osjuros do ano 2 + os juros do ano 2 + o principal, ou seja:100 + 110 + 121 + 1.000 = 1.3310 1 2 3VP =1.000 J = 100VF = 1.100J = 110VF = 1.210J = 121VF = 1.331Fórmula Geral para Juros Compostos:bgVF = VP 1+i nA partir <strong>da</strong> fórmula acima po<strong>de</strong>mos obter:VP =bVF1+gi niVFVP1n= F H G I K J −F IHG K Jb gVFlnVP1 n =ln 1+iOn<strong>de</strong>: n: é o número <strong>de</strong> períodosVP: é o Valor Presente <strong>de</strong> principal aplicadoi: é a taxa <strong>de</strong> juros expressa em <strong>de</strong>cimaisVF: é o Valor Futuro, é a soma <strong>de</strong> juros no período mais principalOBS: Valor Presente, Valor Atual, Valor <strong>de</strong> hoje, agora ou tempo zero (t=0) são sinônimos.Ex 1: Qual o montante acumulado em 6 anos, à uma taxa <strong>de</strong> 10% a.a., no regime <strong>de</strong> juroscompostos, a partir <strong>de</strong> um principal inicial <strong>de</strong> $100,00 ?Solução: Utilizando a fórmula: FV = VP (1 + i) n = 100,00 (1 + 0.1) 6 = 177,16Fazendo passo a passo:Seja VP 1 o principal no inicio do ano 1, VP 2 no inicio do ano 2 e assim sucessivamenteSeja VF 1 o montante ao final do ano 1, VF 2 ao final do ano 2 e assim sucessivamenteSeja J 1 o total <strong>de</strong> juros pagos ao final do ano 1, J 2 ..... aon<strong>de</strong> J = i VPFazendo o reinvestimento período a período até o sexto período <strong>de</strong> todo o disponível ao finaldo período anterior, teremos:Brandão Matemática Financeira 3.1 13
0 1 2 3 4 5 6VP 0 =100 J 1 = 10VF 1 = 110J 2 = 11VF 2 = 121J 3 = 12,1VF 3 = 133,1J 4 = 13,31VF 4 = 146,41J 5 = 14,461VF 5 = 161,051J 6 = 16,105VF 6 = 177,15no inicio do ano 1 VP 1 = 100,00no final do ano 1 VP 1 + J 1 = VF 1 =100 + 10 = 110no inicio do ano 2 VP 2 = 110no final do ano 2 VP 2 + J 2 =VF 2 = 110 + 11 = 121no inicio do ano 3 VP3 = 121no final do ano 3 VP3 + J3 = VF3 = 121 + 12,1 = 133,1no inicio do ano 4 VP 4 = 133,1no final do ano 4 VP 4 + J 4 = VF 4 =133,1 + 13.31 = 146,41no inicio do ano 5 VP 5 = 146,41no final do ano 5 VP 5 + J 5 = VF 5 = 146,41 + 14,641 = 161,051no inicio do ano 6 VP 6 = 161,051no final do ano 6 VP 6 + J 6 = VF 6 = 161,051 + 16,1051 = 177.153.1 Exercícios: Juros Compostos1) Você tem hoje (t=0) $1.000,00 para aplicar a uma taxa <strong>de</strong> 10% ao ano. Quanto você terá<strong>de</strong>pois <strong>de</strong> 3 anos <strong>de</strong>sta aplicação? Resp: $1.331,002) Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em <strong>de</strong>termina<strong>da</strong> instituição terá em 2anos $2.420. Qual é a taxa que esta instituição está pagando para sua aplicação?Resp: 10%3) Você precisa ter $12.000,00 <strong>da</strong>qui a quatro anos para fazer frente a um compromissofinanceiro. Quanto você <strong>de</strong>ve <strong>de</strong>positar hoje na poupança, sabendo que a taxa <strong>de</strong> jurosque esta poupança paga é 12% ao ano? Resp: $7.626,224) Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica $2.000,00 a juros compostos peloperíodo <strong>de</strong> 4 anos a uma taxa <strong>de</strong> 20% ao ano? Resp: $4.147,205) Qual é o valor que você <strong>de</strong>ve investir hoje para ter ao final do 5 ano $1.500,00.Consi<strong>de</strong>re que a taxa <strong>de</strong> juros compostos que você usou é <strong>de</strong> 10% ao ano. Resp: $931,386) Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar $3.000,00 por 2 meses a uma taxa <strong>de</strong>juros compostos <strong>de</strong> 20% ao mês? Resp $1.320,007) Você tem hoje (t=0) $1.000.000,00 para aplicar a uma taxa <strong>de</strong> 15% ao ano. Quanto vocêterá <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> 4 anos <strong>de</strong>sta aplicação? Resp: $1.749.006,25Brandão Matemática Financeira 3.1 14
3.2 Utilizando Calculadoras FinanceirasAs calculadoras financeiras facilitam o uso <strong>da</strong> Matemática Financeira, automatizando oscálculos mais tediosos e complexos. Embora ca<strong>da</strong> mo<strong>de</strong>lo existente no mercado seja diferentena maneira <strong>de</strong> utilizá-lo, <strong>de</strong> um modo geral todos adotam as seguintes convenções:0 1 2 3 nPV PMT PMT PMT PMTFVn - Número <strong>de</strong> períodos do investimento ou empréstimoi - Taxa <strong>de</strong> juros que vai incidir sobre o VP, PMT e FVPV - Valor Presente (Present Value)PMT - Pagamento Periódico (Payment)FV - Valor Futuro (Future Value)Na HP 12c, estão funções estão na primeira linha <strong>de</strong> teclas, no lado esquerdo. Se você temuma calculadora HP 12c observe que a maioria <strong>da</strong>s teclas <strong>de</strong> sua calculadora tem 3 funçõesdiferentes:1. função escrita em letras ou números “BRANCOS”2. função escrita em “AZUL” e3. função escrita em “AMARELO”.Brandão Matemática Financeira 3.1 15
Quando você liga a máquina automaticamente está na função BRANCA <strong>da</strong>s teclas. Vocêpo<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar qual a função <strong>de</strong>seja<strong>da</strong> simplesmente apertando as teclas “ f ” ou “ g ”segui<strong>da</strong> então <strong>da</strong> tecla com a função <strong>da</strong> cor <strong>de</strong>seja<strong>da</strong>.A HP12c tem memória contínua, isto é, ela não per<strong>de</strong> os <strong>da</strong>dos que estão em memória ao ser<strong>de</strong>sliga<strong>da</strong>. Por isso, antes <strong>de</strong> efetuar qualquer calculo é necessário limpar os <strong>da</strong>dos que estãona memória <strong>da</strong> calculadora teclando a tecla e <strong>de</strong>pois a tecla FIN em amarelo.Convenciona-se em nosso país consi<strong>de</strong>rar que os fluxos ocorrem ao final <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> período.Assim, se um fluxo que ocorre ao longo <strong>de</strong> todo o ano 1 seja representado por um único fluxono final <strong>de</strong>ste ano, ou seja, no dia 31 <strong>de</strong> <strong>de</strong>zembro do ano 1. Para que sua calculadora tambémconsi<strong>de</strong>re os fluxos ao final <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> período, é preciso ajustá-la para isso. Se sua calculadorapossui a opção END mo<strong>de</strong> ou BEGIN mo<strong>de</strong> coloque em END mo<strong>de</strong>. Na calculadora HP 12crealize esta operação teclando a tecla azul segui<strong>da</strong> <strong>da</strong> tecla que tem a letras azuis “END”.Na calculadora HP12c você <strong>de</strong>ve entrar com o valor <strong>da</strong> taxa <strong>de</strong> juros, tecla BRANCA “i” embase percentual. Isto é se a taxa for 20% digite 20 e em segui<strong>da</strong> tecle “ i ”. Lembre-se quequando você usa fórmulas, se a taxa for 20% você <strong>de</strong>ver inserir na fórmula “0,2” que é base<strong>de</strong>cimal. Para escolher o número <strong>de</strong> casas <strong>de</strong>cimais que o seu visor <strong>de</strong>ve mostrar,simplesmente tecle seguido do número <strong>de</strong> casas <strong>de</strong>cimais que preten<strong>de</strong> utilizar. Sugereseque adote duas casas <strong>de</strong>cimais como padrão.Exemplo: Calculando um Valor FuturoSuponha que você irá investir $100 num banco a uma taxa <strong>de</strong> 10% a.a. por um período <strong>de</strong> 6anos. Qual o montante a receber ao final dos 6 anos?Valor do investimento hoje: PV = 100Taxa <strong>de</strong> juros que inci<strong>de</strong> sobre o investimento: i = 10%No <strong>de</strong> períodos que o investimento irá durar: n = 6Valor Futuro <strong>de</strong>ste investimento: FV = ?Procedimento passo a passo para HP 12c:Você <strong>de</strong>verá obter: FV = -177,16Passo Ação Descrição1 tecleFINLimpa a memória financeira2 100 e tecle Informa que o Valor Presente é $1.0003 10 e tecle Informa que os juros são <strong>de</strong> 10% por período4 6 e tecle Informa que são 6 períodos5 tecle Calcula o Valor Futuro: -177,16Brandão Matemática Financeira 3.1 16
Para alterar o número <strong>de</strong> casas <strong>de</strong>cimais no visor <strong>da</strong> calculadora para:três casas <strong>de</strong>cimais: tecle “ f ” “ 3 ” e obterá: - 177,156quatro casas <strong>de</strong>cimais: tecle “ f ” “ 4 ” e obterá: - 177,1561cinco casas <strong>de</strong>cimais: tecle “ f ” “ 5 ” e obterá: - 177,15610seis casas <strong>de</strong>cimais: tecle “ f ” “ 6 ” e obterá: - 177,156100Lembre-se que a calculadora trabalha internamente sempre com precisão <strong>de</strong> 16 casas<strong>de</strong>cimais, in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> quantas casas você <strong>de</strong>finiu para o visor <strong>da</strong> tela.Note que o resultado apresenta um sinal negativo. Isto ocorre porque a calculadora consi<strong>de</strong>raque se você pegou um empréstimo (você recebeu $) <strong>de</strong>verá pagar com juros ao final doperíodo “N” (você paga $). Assim, se você coloca o VP (ou PV em inglês) com valorpositivo, significando que você recebeu, por exemplo, a resposta sairá com o sinal trocado (noexemplo, sinal negativo) significando que você pagou o FV. A recíproca também éver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira: se você colocar PV com sinal negativo sua resposta, o FV será <strong>da</strong>do com sinalpositivo.Exemplo: Calculando um Valor PresenteQual o principal que <strong>de</strong>ve ser aplicado hoje (Valor Presente) para se ter acumulado um total<strong>de</strong> $1.000 <strong>da</strong>qui a 12 meses, a uma taxa <strong>de</strong> 3% ao mês?Valor Futuro: FV = 1.000Taxa <strong>de</strong> juros que inci<strong>de</strong> sobre o investimento: i = 3%No <strong>de</strong> períodos que o investimento irá durar: n = 12Valor Presente <strong>de</strong>ste investimento: PV = ?Procedimento passo a passo para HP 12c:Você <strong>de</strong>verá obter: PV = - 701,38Passo Ação Descrição1 tecleFINLimpa a memória financeira2 12 e tecle Informa que são 12 períodos3 3 e tecle Informa que os juros são <strong>de</strong> 3% por período4 1000 e tecle Informa que o Valor Futuro será <strong>de</strong> $1.0005 tecle Calcula o Valor Presente: -701.37Observação: O sinal do valor em FV será sempre diferente do sinal do valor em PV, postoque para a calculadora um valor é recebimento e o outro pagamento (ou vice-versa).Brandão Matemática Financeira 3.1 17
Exemplo: Calculando uma taxa <strong>de</strong> jurosQual é a taxa <strong>de</strong> juros anual que faz uma aplicação hoje no valor <strong>de</strong> 1.000,00 valer $1.200,00em 1 ano?Valor Presente: PV = 1.000Valor Futuro: FV = - 1.200No <strong>de</strong> períodos: n = 1Taxa <strong>de</strong> juros que inci<strong>de</strong> sobre o investimento: i = ?Procedimento passo a passo para HP 12c:Você <strong>de</strong>verá obter: i = 20%Passo Ação Descrição1 tecleFINLimpa a memória financeira2 1000 e tecle Informa que o Valor Presente é $1.0003 1200 e tecle Informa que o Valor Futuro será <strong>de</strong> - $1.2004 1 e tecle Informa que é 1 período5 tecle Calcula os juros: 20%Obs: É necessário teclarpara trocar o sinal do Valor Futuro.3.2.1 Exercícios: Usando a Calculadora1) Você tem hoje $10.000,00 e preten<strong>de</strong> ter um total (juros mais principal) <strong>de</strong> $21.970,00em uma aplicação que paga 30% ao ano. Quanto tempo você <strong>de</strong>ve <strong>de</strong>ixar seu dinheiroaplicado?Resp: 3 anos2) Qual é a taxa <strong>de</strong> juros compostos que faz uma aplicação <strong>de</strong> $180,00 em t=0 valer $360,00em 10 anos? Dica: Não se esqueça <strong>de</strong> colocar PV e FV com sinais diferentes.Resp: 7,177% ao ano3) Suponha que você tem $2.000,00 hoje e se investir na poupança <strong>da</strong> CEF terá em 10 anos$5.187,48. Qual é a taxa anual que a CEF está pagando para sua aplicação? Resp: 10%4) Pedro tem disponíveis hoje $50.000,00 e preten<strong>de</strong> ter um total (juros mais principal) <strong>de</strong>$82.151,60 em uma aplicação que paga 18% ao ano. Quanto tempo você <strong>de</strong>ve <strong>de</strong>ixar seudinheiro aplicado?Resp: 3 anos5) Você quer ter $100.000,00 <strong>da</strong>qui a seis anos para comprar uma casa. Quanto você <strong>de</strong>ve<strong>de</strong>positar hoje na poupança, sabendo que a taxa <strong>de</strong> juros que a poupança paga é 12% aoano? Resp: $50.663,11Brandão Matemática Financeira 3.1 18
6) Qual é o Valor Futuro que você espera obter se aplicar $222.000,00 a juros compostospelo período <strong>de</strong> 14 anos a uma taxa <strong>de</strong> 20% ao ano? Resp: $2.850.298,997) Maria quer comprar um automóvel popular. O preço <strong>de</strong> automóveis populares tem semantido estáveis no mercado há muitos anos. Suponha que Maria queira comprar oautomóvel <strong>da</strong>qui a quatro anos, e que precise ter $15.000,00 para po<strong>de</strong>r comprá-lo.Sabendo que ela tem uma aplicação que vai remunerar seus <strong>de</strong>pósitos a uma taxa <strong>de</strong> jurosanual <strong>de</strong> 18% ao ano durante os próximos quatro anos, que valor Maria <strong>de</strong>ve <strong>de</strong>positarhoje nessa aplicação para que <strong>da</strong>qui a quatro anos ela possa comprar o seu automóvel?Resp: $7.736,838) Qual é o valor dos juros que você vai receber por uma aplicação num fundo <strong>de</strong> ren<strong>da</strong> fixase aplicar $30.000,00 por 2 meses a uma taxa <strong>de</strong> juros compostos <strong>de</strong> 4% ao mês?Resp $2.448,009) Qual é a taxa <strong>de</strong> juros que faz uma aplicação qualquer dobrar <strong>de</strong> valor em 5 anos?Resp: 14,87% ao ano10) Qual o principal que <strong>de</strong>ve ser aplicado hoje para se ter acumulado um montante <strong>de</strong>$1.000,00 <strong>da</strong>qui a 12 meses, no regime <strong>de</strong> juros compostos, a uma taxa <strong>de</strong> 3 % ao mês?Resp: -701,3811) Um principal foi investido em uma aplicação financeira. Suponha que a taxa <strong>de</strong> juros seja3% ao mês no regime composto. No final do quarto mês o valor do montante é $100,00.Qual era o valor do montante ao final do primeiro mês e qual o valor do montante aofinal do sétimo mês ? Resp: a) $91,51 b) $109,2712) Um indivíduo recebe uma proposta <strong>de</strong> investir hoje uma quantia <strong>de</strong> $1.000,00 parareceber $ 1.343,92 <strong>da</strong>qui a 10 meses. Qual a taxa <strong>de</strong> rentabili<strong>da</strong><strong>de</strong> mensal doinvestimento proposto no regime <strong>de</strong> juros compostos?Resp: 3% a.m.13) Em quantos meses um capital dobra, a juros compostos <strong>de</strong> 2% a.m. Resp: 35 meses14) Um ci<strong>da</strong>dão aplicou, nesta <strong>da</strong>ta, a importância <strong>de</strong> $1.000 numa instituição financeira queremunera seus <strong>de</strong>pósitos a uma taxa <strong>de</strong> 5% ao trimestre, no regime <strong>de</strong> juros compostos.Mostrar o crescimento <strong>de</strong>sse capital no final dos próximos 6 trimestres e informar omontante que po<strong>de</strong>rá ser retirado ao final do sexto trimestre. Resp: $1.340,095615) Durante a época <strong>de</strong> alta inflação no Brasil, o comércio paulista popularizou a seguinteforma <strong>de</strong> ven<strong>da</strong>: “20% <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto para pagamento à vista ou em 30 dias sem juros”.Nessas condições, qual a taxa efetiva para o pagamento em 30 dias?Resp: 25% ao mês16) Um ci<strong>da</strong>dão investiu $10.000 nesta <strong>da</strong>ta, para receber $14.257,60 <strong>da</strong>qui a um ano. Qual ataxa <strong>de</strong> rentabili<strong>da</strong><strong>de</strong> mensal <strong>de</strong> seu investimento?Resp: 3.00% ao mês17) Um ci<strong>da</strong>dão aplicou, nesta <strong>da</strong>ta, a importância <strong>de</strong> $1.000 numa instituição financeira queremunera seus <strong>de</strong>pósitos a uma taxa <strong>de</strong> 5% ao trimestre, no regime <strong>de</strong> juros compostos.Mostrar o crescimento <strong>de</strong>sse capital no final dos próximos 6 trimestres e informar omontante que po<strong>de</strong>rá ser retirado ao final do sexto trimestre. Resp: $1.340Brandão Matemática Financeira 3.1 19
3.3 Anui<strong>da</strong><strong>de</strong>s (PMT)Uma anui<strong>da</strong><strong>de</strong> consiste numa série <strong>de</strong> pagamentos (ou recebimentos) iguais e sucessivosfeitos ao final <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> período <strong>de</strong> tempo. Suponha que você <strong>de</strong>posite $1.000 anualmentedurante 3 anos em uma poupança que ren<strong>de</strong> 10% ao ano. Quanto você terá ao final <strong>de</strong>stes trêsanos? Nesse caso, o nosso interesse é calcular o Valor Futuro <strong>de</strong>sta anui<strong>da</strong><strong>de</strong>.0 1 2 32VF = PMT( 1+ i) + PMT( 1+ i)+ PMT2VF = 1000 × 11 . + 1000 × 11 . + 1000VF = 33101000 1000 1000110012103310A fórmula geral para o cálculo do Valor Futuro <strong>de</strong> uma anui<strong>da</strong><strong>de</strong> (PMT) é <strong>da</strong><strong>da</strong> por:nVF PMT i n −= +tVF∑b1g e também po<strong>de</strong>mos ter PMT =nt = 1i n −∑b1+gtEstas fórmulas também po<strong>de</strong>m ser expressas <strong>da</strong> seguinte forma:VF = PMTLNMnb ge PMT = VF1+ i −1iOQPLNMbigOPQ1P 1 + i n−t = 1Uma outra aplicação <strong>de</strong> anui<strong>da</strong><strong>de</strong> é quando queremos calcular as vantagens ou <strong>de</strong>svantagens<strong>de</strong> se parcelar uma compra. Suponha que a sua companhia <strong>de</strong> seguro lhe <strong>de</strong>u a opção <strong>de</strong>parcelar a renovação do seguro do seu carro em três vezes. O valor do prêmio do seguro é <strong>de</strong>2.000 reais à vista ou três parcelas <strong>de</strong> 730 reais. Se você tem dinheiro investido que ren<strong>de</strong> 1%ao mês, qual a melhor opção para você? Nesse caso, queremos achar o Valor Presente <strong>de</strong>staanui<strong>da</strong><strong>de</strong>.0 1 2 37237167082147730 730 730Brandão Matemática Financeira 3.1 20
VPPMT PMT PMT=1 + i+ 1 ++ i 1+ ib g b g b g730 730 730VP = + +2 3101 . 101 . 101 .VP = 21472 3O Valor Presente <strong>de</strong>sta anui<strong>da</strong><strong>de</strong> é maior do que o Valor para pagamento à vista, <strong>de</strong> modo quenão é interessante este parcelamento. A fórmula geral do Valor Presente <strong>de</strong> uma anui<strong>da</strong><strong>de</strong> é aseguinte:nVP = PMT∑ 1t = 1+i t1 b ge também po<strong>de</strong>mos terEstas fórmulas também po<strong>de</strong>m ser expressas <strong>da</strong> seguinte forma:VP = PMTLbNMbgn1+ i −1ni 1+igOQPLbNMbe PMT VP i 1+=in1+ i −1gVPPMT =∑ n11+gnOQPt =i t1 b gA calculadora financeira simplifica os cálculos envolvendo anui<strong>da</strong><strong>de</strong>s, como po<strong>de</strong>mos ver aseguir:Exemplo: Calculando o Valor Futuro <strong>de</strong> uma Anui<strong>da</strong><strong>de</strong>Se você <strong>de</strong>positar $100 mensalmente numa aplicação que ren<strong>de</strong> juros <strong>de</strong> 1% ao mês, quantovocê terá ao final <strong>de</strong> dois anos?Procedimento passo a passo para HP 12c:Valor <strong>da</strong> Anui<strong>da</strong><strong>de</strong>: PMT = 100No <strong>de</strong> períodos: n = 24Taxa <strong>de</strong> juros por período: i = 1Valor Futuro: FV = ?Você <strong>de</strong>verá obter: FV = - 2.697,35Passo Ação Descrição1 tecleFINLimpa a memória financeira2 100 e tecle Informa que a Anui<strong>da</strong><strong>de</strong> é $1003 1 e tecle Informa que os juros são <strong>de</strong> 1% por período4 24 e tecle Informa que são 24 períodos5 tecle Calcula o Valor Futuro: - 2.697,35Brandão Matemática Financeira 3.1 21
Qualquer uma <strong>da</strong>s variáveis <strong>de</strong> uma anui<strong>da</strong><strong>de</strong> po<strong>de</strong> ser calcula<strong>da</strong> se os valores <strong>da</strong>s <strong>de</strong>maisvariáveis forem conhecidos. Dessa forma, <strong>da</strong>do o Valor Presente, a Anui<strong>da</strong><strong>de</strong> e o número <strong>de</strong>períodos, po<strong>de</strong>mos calcular a taxa <strong>de</strong> juros, ou <strong>da</strong><strong>da</strong> a taxa <strong>de</strong> juros, po<strong>de</strong>mos calcular onúmero <strong>de</strong> períodos.3.4 Perpetui<strong>da</strong><strong>de</strong>sQuando a anui<strong>da</strong><strong>de</strong> não tem prazo para terminar, ou seja, o fluxo <strong>de</strong> pagamentos (ourecebimentos) é infinito, o que acontece com o seu Valor Presente? Vamos calcular os ValorPresente <strong>da</strong>s seguintes anui<strong>da</strong><strong>de</strong>s que apresentam número <strong>de</strong> períodos distintos e crescentes.Suponha um PMT <strong>de</strong> $100 e uma taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 10% por ano:No <strong>de</strong> Períodos PMT Valor Presentea) 10 anos 100b) 30 anos 100c) 100 anos 100d) 500 anos 100e) Infinito 100Observe que o Valor Presente <strong>de</strong> uma Perpetui<strong>da</strong><strong>de</strong> ten<strong>de</strong> para um <strong>de</strong>terminado valor, que é<strong>da</strong>do pela seguinte fórmula: VP = PMT . Isso po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>duzido a partir <strong>da</strong> fórmula <strong>da</strong>ianui<strong>da</strong><strong>de</strong>, fazendo-se n ten<strong>de</strong>r para o infinito.n( i)( )(ni)( ) ( )⎡ 1+ − 1⎤ ⎡ 1+1 ⎤VP = PMT ⎢ PMTn⎥ = ⎢ −n n⎥⎢⎣ i 1+ i ⎥⎦ ⎢⎣i 1+ i i 1+i ⎥⎦⎡1 1VP = PMT ⎢ −⎢⎣i i i( 1+)n⎤⎥⎥⎦Quando n ∞ o segundo termo <strong>de</strong>ntro do parênteses ten<strong>de</strong>rá a zero, e ficamos então comPMTVP = .iSe a perpetui<strong>da</strong><strong>de</strong> apresentar um crescimento constante " g " , isto po<strong>de</strong> ser incorporado nafórmula, que passa a ser:VP = PMTi − gEstas fórmulas são importantes na avaliação <strong>de</strong> empresas, pois supõe-se que uma empresa temduração in<strong>de</strong>termina<strong>da</strong>, e portanto, apresenta fluxos <strong>de</strong> anui<strong>da</strong><strong>de</strong> infinita.Brandão Matemática Financeira 3.1 22
3.4.1 Exercícios: Anui<strong>da</strong><strong>de</strong>s e Perpetui<strong>da</strong><strong>de</strong>s1) Você está fazendo uma poupança pois precisa ter $150.000,00 <strong>da</strong>qui a 8 anos paracomprar uma casa. Quanto você <strong>de</strong>ve <strong>de</strong>positar anualmente num investimento <strong>de</strong> ren<strong>da</strong>fixa que ren<strong>de</strong> 15% ao ano, consi<strong>de</strong>rando que o seu primeiro <strong>de</strong>pósito ocorreráexatamente <strong>da</strong>qui a um ano, e todos estes <strong>de</strong>pósitos anuais serão do mesmo valor?Resp: $10.927,512) No mesmo exemplo anterior, qual seria o valor anual a ser <strong>de</strong>positado, consi<strong>de</strong>rando queo primeiro <strong>de</strong>pósito ocorrerá imediatamente? Resp: $9.502,193) Qual é o Valor Futuro que você obtém investindo $250,00 todo mês numa aplicação queren<strong>de</strong> 1% a.m., durante cinco anos? Resp: $20.417,424) Qual é a taxa mensal <strong>de</strong> juros compostos que faz uma aplicação mensal <strong>de</strong> $100,00crescer para $3.000,00 em dois anos?Resp: 1,89% ao mês5) Qual o Valor Presente <strong>de</strong> uma Anui<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> $ 1.000 que tenha a duração <strong>de</strong> 7 anos, a umataxa <strong>de</strong> juros <strong>de</strong> 18% a.a.? Resp: 3.811,536) Qual o Valor Presente <strong>de</strong> uma Anui<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> $2.500 que tenha a duração <strong>de</strong> 10 anos, auma taxa <strong>de</strong> juros <strong>de</strong> 20% a.a.? Resp: $10.481,187) Qual o Valor Presente <strong>de</strong> uma Perpetui<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> $2.500 anuais, a uma taxa <strong>de</strong> juros <strong>de</strong>20% ao ano? Resp: $12.500,008) As ações <strong>da</strong> Datalog S.A. pagam um divi<strong>de</strong>ndo anual <strong>de</strong> $12,00. A expectativa domercado é <strong>de</strong> que este divi<strong>de</strong>ndo se mantenha constante no futuro. Se a taxa <strong>de</strong> juros aser utiliza<strong>da</strong> for <strong>de</strong> 15% a.a., qual <strong>de</strong>ve ser o valor <strong>de</strong>sta ação? Resp: $80.009) Uma ação está sendo negocia<strong>da</strong> no mercado a $50,00. Espera-se que a empresa distribuadivi<strong>de</strong>ndos anuais constantes <strong>de</strong> $15,00 no futuro, e sabe-se que o custo <strong>de</strong> capital <strong>da</strong>empresa é <strong>de</strong> 20% a.a. Este preço está correto? Você <strong>de</strong>ve comprar ou ven<strong>de</strong>r esta ação?Resp: $75,00, compra.Brandão Matemática Financeira 3.1 23
3.5 Fluxos não UniformesUma anui<strong>da</strong><strong>de</strong> tem como característica básica o fato <strong>de</strong> ser uma série constante <strong>de</strong>pagamentos (ou recebimentos). Muitas vezes, no entanto, nos <strong>de</strong>paramos com uma série <strong>de</strong>pagamentos que não tem relação entre si, especialmente na análise <strong>de</strong> fluxos <strong>de</strong> caixa <strong>de</strong>projetos <strong>de</strong> investimento <strong>de</strong> empresas, como no exemplo a seguir:0 1 2 3 4100 170 200 140O Valor Presente <strong>de</strong> um fluxo não uniforme po<strong>de</strong> ser calculado achando-se o Valor Presente<strong>de</strong> ca<strong>da</strong> fluxo individualmente, e somando-se <strong>de</strong>pois todos os valores encontrados. Supondouma taxa <strong>de</strong> juros <strong>de</strong> 10% por período, temos:0 1 2 3 490,9140,5150,395,6477,3100 170 200 140CF1 CF CF CFVP =+ i+ 23+ +231 1+i 1+i 1+i100 170 200 140VP = + + +2 3 411 , 11 , 11 , 11 ,VP = 477,3b g b g b g b g44Alternativamente po<strong>de</strong>mos utilizar a calculadora financeira, ou mesmo a planilha Excel paraautomatizar os cálculos necessários.Exemplo: Calculando o Valor Presente <strong>de</strong> um fluxo não uniformeConsi<strong>de</strong>re o mesmo fluxo anterior. O procedimento passo a passo para HP 12c envolve o uso<strong>da</strong>s teclas azuis, que são acessa<strong>da</strong>s sempre que se digita a tecla , é o seguinte:Brandão Matemática Financeira 3.1 24
Passo Ação Descrição1 tecleFINLimpa a memória financeira2 100 e tecle CF jInforma que o primeiro Fluxo é $1003 170 e tecle CF jInforma que o segundo Fluxo é $1704 200 e tecle CF jInforma que o terceiro Fluxo é $2005 140 e tecle CF jInforma que o quarto Fluxo é $1406 10 e tecle Informa que os juros são <strong>de</strong> 10% por período7 tecleNPVCalcula o Valor Presente: 477,3Exemplo: Calcule o Valor Presente do seguinte fluxo <strong>de</strong> caixa, consi<strong>de</strong>rando uma taxa <strong>de</strong>juros <strong>de</strong> 15% a.a.:0 1 2 3 4 52.800 2.000 (4.500) 3.000 5.500Resp: VP(15%) = 5.437,983.6 Taxas <strong>de</strong> JurosEm finanças trabalha-se com diversos tipos <strong>de</strong> taxas <strong>de</strong> juros: Efetiva, Nominal, Real, ,Proporcional, Equivalente, e outras.3.6.1 Taxa efetivaTaxa efetiva é aquela em que a uni<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> referência <strong>de</strong> seu tempo coinci<strong>de</strong> com asuni<strong>da</strong><strong>de</strong>s <strong>de</strong> tempo dos períodos <strong>de</strong> capitalização.• 3% ao mês, capitalizados mensalmente• 4% ao trimestre, capitalizados trimestralmente• 6% ao semestre, capitalizados semestralmente• 10% ao ano, capitalizados anualmente3.6.2 Taxa NominalTaxa nominal é aquela em que a uni<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> referência <strong>de</strong> seu tempo não coinci<strong>de</strong> coma uni<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> tempo dos períodos <strong>de</strong> capitalização. É a taxa cota<strong>da</strong> por bancos,credores ou outros agentes do mercado financeiro. Dessa forma, se você estivernegociando com um gerente <strong>de</strong> banco, analista <strong>de</strong> mercado financeiro, ou um vendoBrandão Matemática Financeira 3.1 25
um anúncio <strong>de</strong> financiamento <strong>de</strong> automóvel na televisão, a taxa <strong>de</strong> juros menciona<strong>da</strong> ésempre uma taxa nominal. A taxa nominal é quase sempre forneci<strong>da</strong> em termosanuais, e os períodos <strong>de</strong> capitalização po<strong>de</strong>m ser semestrais, trimestrais ou mensais. Ataxa nominal inclui a inflação estima<strong>da</strong> para o período.São exemplos <strong>de</strong> taxas nominais:• 12% ao ano capitalizados mensalmente• 24% ao ano capitalizados semestralmente• 10% ao ano capitalizados trimestralmenteA taxa nominal é bastante utiliza<strong>da</strong> no mercado, entretanto o seu valor nunca é usadonos cálculos por não representar uma taxa efetiva. O que realmente interessa é a taxaefetiva embuti<strong>da</strong> na taxa nominal, pois ela é que será efetivamente aplica<strong>da</strong> em ca<strong>da</strong>período <strong>de</strong> capitalização. Para enten<strong>de</strong>rmos o significado <strong>de</strong> uma taxa nominal, vamosmostrar as taxas efetivas <strong>de</strong>correntes <strong>da</strong>s taxas nominais:a) 12% a.a. capitalizados mensalmente, significa uma taxa efetiva <strong>de</strong>:12% aa . . = 1% ao mês12 mesesb) 24% a.a. capitalizados semestralmente, significa uma taxa efetiva <strong>de</strong>:24% aa . .= 12% ao semestre2 semestresc) 10% a.a. capitalizados trimestralmente, significa uma taxa efetiva <strong>de</strong>:10% aa . .= 25% ,4 trimestresao trimestreNo nossos cálculos, <strong>de</strong>vemos sempre trabalhar com as taxas efetivas correspon<strong>de</strong>ntes,ou seja, 1% ao mês, 12% ao semestre ou 2,5% ao trimestre, e nunca com taxasnominais. Conforme po<strong>de</strong>mos observar, a obtenção <strong>da</strong> taxa efetiva embuti<strong>da</strong> na taxanominal feita no regime <strong>de</strong> juros simples. Evi<strong>de</strong>ntemente a taxa anual equivalente aessa taxa efetiva embuti<strong>da</strong> é maior do que a taxa nominal que lhe <strong>de</strong>u origem, poisesta equivalência é feita no regime <strong>de</strong> juros compostos.Exercícios:1) Qual é a taxa anual nominal equivalente a 3,5% efetivos ao mês?2) Qual é a taxa mensal efetiva equivalente a 24% nominais ao ano?3) Qual é a taxa mensal efetiva equivalente a 24% efetivos ao ano?4) Qual é a taxa mensal equivalente a 10% nominais ao semestre?5) Quanto você vai receber <strong>de</strong> juros em 4 meses se aplicar $2.500,00 a uma taxa24% ao ano efetiva?Brandão Matemática Financeira 3.1 26
3.6.3 Taxa RealSão as taxas utiliza<strong>da</strong>s nas aplicações pós-fixa<strong>da</strong>s. A taxa <strong>de</strong> juros real não inclui ainflação estima<strong>da</strong> para o período. Ela po<strong>de</strong> ser calcula<strong>da</strong> a partir <strong>de</strong> uma taxa nominalou efetiva, expurgando-se a inflação nela embuti<strong>da</strong> através <strong>da</strong> seguinte fórmula:11+ = + ir1+F1 ir = + 1+ F−1on<strong>de</strong>r = taxa <strong>de</strong> juros reali = taxa <strong>de</strong> juros nominalF = inflação no períodoEx: Suponha um país on<strong>de</strong> a taxa <strong>de</strong> inflação mensal seja <strong>de</strong> 20% a.m. Se umempréstimo tem uma taxa mensal nominal <strong>de</strong> 26%, qual a taxa real <strong>de</strong>ste empréstimo?1r = + 026 ,− =1+020 ,1 5%3.6.4 Taxas proporcionaisDuas ou mais taxas são ditas proporcionais, quando, ao serem aplica<strong>da</strong>s a um mesmoprincipal durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado nofinal <strong>da</strong>quele prazo, no regime <strong>de</strong> juros simples. O conceito <strong>de</strong> taxas proporcionaisestá, portanto, diretamente ligado ao regime <strong>de</strong> juros simples. Assim, consi<strong>de</strong>rando operíodo <strong>de</strong> um ano, as seguintes taxas são proporcionais entre si:1% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre, 12% ao ano.Po<strong>de</strong>mos verificar isso calculando o montante obtido através <strong>da</strong> aplicação <strong>de</strong> $1000por um ano a ca<strong>da</strong> uma <strong>de</strong>ssas taxas em regime <strong>de</strong> juros simples, utilizando a fórmula:S = P (1+ i.n)Período Taxa Formula Montante Finalmês 1% S = 1000 (1+0,01 x 12) 1.120trimestre 3% S = 1000 (1+0,03 x 4) 1.120semestre 6% S = 1000 (1+0,06 x 2) 1.120ano 12% S = 1000 (1+0,12 x 1) 1.120Brandão Matemática Financeira 3.1 27
Exemplos:1) Qual o montante acumulado no final <strong>de</strong> quatro anos, a partir <strong>de</strong> um principal <strong>de</strong>$100, com uma taxa <strong>de</strong> juros <strong>de</strong> 12% a.a. , no regime <strong>de</strong> juros simples?Resp: S = 100 ( 1 + 0,12 x 4 ) = 1482) Qual é o montante acumulado no final <strong>de</strong> quatro anos, a partir <strong>de</strong> um principal <strong>de</strong>$100, com uma taxa <strong>de</strong> juros <strong>de</strong> 6% ao semestre, no regime <strong>de</strong> juros simples?Resp: S = 100 ( 1 + 0,06 x 8 ) = 1483) Qual é o montante acumulado no final <strong>de</strong> quatro anos, a partir <strong>de</strong> um principal <strong>de</strong>$100, com uma taxa <strong>de</strong> juros <strong>de</strong> 3% ao trimestre, no regime <strong>de</strong> juros simples?Resp: S = 100 ( 1 + 0,03 x 16 ) = 148Conclusão: As taxas <strong>de</strong> 12% ao ano, 6% ao semestre e 3% ao trimestre sãoproporcionais.3.6.5 Taxas equivalentesDuas ou mais taxas são ditas equivalentes quando, ao serem aplica<strong>da</strong>s a um mesmoprincipal durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado nofinal <strong>da</strong>quele prazo, no regime <strong>de</strong> juros compostos. O conceito <strong>de</strong> taxas equivalentesestá, portanto, diretamente ligado ao regime <strong>de</strong> juros compostos.Exemplo:1) Qual o montante acumulado no final <strong>de</strong> um ano, a partir <strong>de</strong> um principal <strong>de</strong>$100,00, com uma taxa <strong>de</strong> juros <strong>de</strong> 1% a.m., no regime <strong>de</strong> juros compostos?Resp: FV = PV (1 + i ) n = 100,00 ( 1,01) 12 = $112,682) Qual o montante acumulado no final <strong>de</strong> um ano, a partir <strong>de</strong> um principal <strong>de</strong>$100,00, com uma taxa <strong>de</strong> juros <strong>de</strong> 12,683% a.a., no regime <strong>de</strong> juros compostos?Resp: FV = PV (1 + i ) n = 100,00 ( 1,01) 12 = $112,68Conclusão: Os juros <strong>de</strong> 1% a.m. produziram um crescimento efetivo do dinheiro <strong>de</strong>12,683% a.a. Assim, as taxas <strong>de</strong> 1% a.m. e 12,683 a.a. são taxas equivalentes.Fórmulas <strong>de</strong> equivalência no tempo:( 1+ id) 360 = ( 1+ im) 12 = ( 1+ it) 4 = ( 1+ is) 2 = ( 1+ia )on<strong>de</strong>: id = Taxa <strong>de</strong> juros diáriaim = Taxa <strong>de</strong> juros mensalit = Taxa <strong>de</strong> juros trimestralis = Taxa <strong>de</strong> juros semestralia = Taxa <strong>de</strong> juros anualBrandão Matemática Financeira 3.1 28
Exemplo:1) Qual a taxa mensal equivalente a taxa <strong>de</strong> 12% a.a.?(1 + im ) 12 = (1+ia) = 1 + 0.12 = 1,12(1 + im ) 12 = 1,121 + im = (1,12) (1/12)im = (1,12) (1/12) - 1im = 0,00948 ou seja 0,948 % a.m.2) Quais as taxas anual, semestral trimestral e diária equivalentes à taxa <strong>de</strong> 3% a.m.?Colocando a taxa em base <strong>de</strong>cimal mensal im = 3/100 = 0.03Taxa anual (1 + im) 12 = (1 + ia)(1 + 0.03) 12 = (1 + ia) = 1,4258ia = 0.4258 = 42,58 % a.a.Taxa Semestral (1 + is) 2 = (1 + im) 12(1 + is) = (1 + im) 6is = (1 + im) 6 - 1is = (1 + 0,03) 6 - 1is = 0.1941 = 19,41 % a.s.Taxa trimestral (1 + it) = (1 + im) 3it = (1 + im) 3 - 1it = (1.03) 3 - 1it = 0.0927 = 9,27 % a.t.Taxa diária (1 + id) 30 = (1 + im)id = {Raiz (30) <strong>de</strong> (1 + im)} -1id = raiz (30) <strong>de</strong> (1,03) - 1id = 0,000986 = 0,0986 % a.d.Brandão Matemática Financeira 3.1 29
4. Equivalência <strong>de</strong> fluxos <strong>de</strong> caixaDois ou mais fluxos <strong>de</strong> caixa são ditos equivalentes a uma <strong>de</strong>termina<strong>da</strong> taxa <strong>de</strong> juros,se os seus valores atuais, calculados com essa mesma taxa, forem iguais. O estudo<strong>da</strong> equivalência <strong>de</strong> fluxos <strong>de</strong> caixa se faz no regime <strong>de</strong> juros compostosConvém ressaltar que se os fluxos <strong>de</strong> caixa tiverem o mesmo valor atual a uma <strong>de</strong>termina<strong>da</strong>taxa <strong>de</strong> juros, então seus montantes após n períodos, obtidos com essa mesma taxa, serãonecessariamente iguais. Assim a equivalência dos fluxos <strong>de</strong> caixa não precisaobrigatoriamente no período zero, isto é, com cálculo <strong>de</strong> valores atuais. Ela po<strong>de</strong> ser realiza<strong>da</strong>em qualquer período n, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que o período escolhido seja o mesmo para todos os fluxos. Éimportante <strong>de</strong>stacar que a equivalência <strong>de</strong> fluxos <strong>de</strong> caixa <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>da</strong> taxa <strong>de</strong> juros. Assim, sedois fluxos são equivalentes a uma certa taxa, essa equivalência <strong>de</strong>ixará <strong>de</strong> existir se a taxa foraltera<strong>da</strong>.Exemplo:1) Analisamos quatro planos diferentes, porém equivalentes, <strong>de</strong> se financiar $1.000,00 a umataxa <strong>de</strong> 10% a.a. Verificar se esses planos são equivalentes (quando <strong>de</strong>scontados à taxa <strong>de</strong>10% a.a.) pelo método do Valor Presente, VP.Ano Plano A Plano B Plano C Plano D1 100,00 315,47 350,002 100,00 315,47 325,003 100,00 315,47 300,004 1.464,10 1.100,00 315,47 275,00Solução:Plano A: VP (10%) = 1.464,10 / (1,10) 4 = 1.000,00Plano B:100 100 100 1100VP( 10%) = + + +110 , 1 110 , 2 110 , 3 110 ,4= 90,909 + 82,644 + 75,131 + 751,314 = 1.000,00Brandão Matemática Financeira 3.1 30
Plano C:315,47 315,47 315,47 315,47VP( 10%) = + + +110 ,1 110 ,2 110 ,3 110 ,4= 287,036 + 260,942 + 237,220 + 215,654 = 1.000,00Plano D:350 325 300 275VP( 10%) = + + +110 , 1 110 , 2 110 , 3 110 ,4= 318,1817 + 268,595 + 225,394 + 187,828 = 1.000,00Conclusão: Esses diversos fluxos <strong>de</strong> caixa são equivalentes, por terem o mesmo ValorPresente quando <strong>de</strong>scontados a taxa <strong>de</strong> 10%.4.1 Sistemas <strong>de</strong> AmortizaçãoQuando fazemos um financiamento <strong>de</strong> um bem, seja <strong>de</strong> automóvel, ou <strong>de</strong> uma casa, ou umempréstimo para uma empresa, é preciso <strong>de</strong>terminar como serão pagos os juros eamortizações <strong>de</strong>vidos ao longo do tempo. Por exemplo, po<strong>de</strong>-se <strong>de</strong>terminar que o principalsomente será pago ao final do prazo do empréstimo, ou ele po<strong>de</strong> ser amortizado durante a suavigência. Assim, ca<strong>da</strong> parcela <strong>de</strong> pagamento po<strong>de</strong> incluir tanto os juros do período quanto aamortização do principal. Os sistemas mais utilizados são:4.1.1 Pagamento no finalO financiamento é pago <strong>de</strong> uma única vez no final. Os juros são capitalizados ao final<strong>de</strong> ca<strong>da</strong> período (mês ou ano por exemplo). Esta mo<strong>da</strong>li<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> pagamento é utiliza<strong>da</strong>em Papéis <strong>de</strong> ren<strong>da</strong> fixa (Letras <strong>de</strong> Câmbio ou Certificados <strong>de</strong> Depósito com ren<strong>da</strong>final) e Títulos <strong>de</strong>scontados em banco comercial4.1.2 Sistema AmericanoÉ realizado o pagamento somente <strong>de</strong> juros ao final <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> período e ao final do prazodo empréstimo é pago, além dos juros do último período, também o principal integral.Esta mo<strong>da</strong>li<strong>da</strong><strong>de</strong> é utiliza<strong>da</strong> em papéis <strong>de</strong> ren<strong>da</strong> fixa com ren<strong>da</strong> paga periodicamentecomo letras <strong>de</strong> câmbio com ren<strong>da</strong> mensal, certificados <strong>de</strong> <strong>de</strong>pósito com ren<strong>da</strong> mensal,trimestral, etc.4.1.3 Sistema PriceEsta mo<strong>da</strong>li<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> amortização consiste em uma série <strong>de</strong> pagamentos iguais eperiódicos, conforme já visto anteriormente A parcela periódica <strong>de</strong> pagamentosBrandão Matemática Financeira 3.1 31
compreen<strong>de</strong> os juros do período mais amortização <strong>de</strong> parte do principal. Estamo<strong>da</strong>li<strong>da</strong><strong>de</strong> é utiliza<strong>da</strong> em financiamentos imobiliários e crédito direto ao consumidor(automóveis, eletrodomésticos). Este também é conhecido como o sistema Francês <strong>de</strong>amortização.Cálculo:a) Cálculo do valor <strong>da</strong> prestação constante (com o uso <strong>de</strong> tabelas ou <strong>de</strong>calculadoras)b) Cálculo dos juros do período pela aplicação <strong>da</strong> taxa do contrato sobre osvalores do saldo (remanescente do principal) no inicio do período.c) Cálculo <strong>da</strong> amortização do principal pela diferença entre o valor <strong>da</strong> prestação eo valor dos juros do períodoObserva-se que os juros <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> prestação vão diminuindo com o tempo, pois oprincipal remanescente vai se tornando ca<strong>da</strong> vez menor. Como o valor <strong>da</strong> prestação éconstante, a parcela <strong>de</strong> amortização <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> prestação vai aumentando ao longo dotempo.4.1.4 Sistema <strong>de</strong> Amortização Constante (SAC)O financiamento é pago em prestações <strong>de</strong>crescentes. Ca<strong>da</strong> parcela compreen<strong>de</strong>pagamento <strong>de</strong> juros e <strong>da</strong> amortização <strong>de</strong> parte do principal. Esta mo<strong>da</strong>li<strong>da</strong><strong>de</strong> éutiliza<strong>da</strong> em financiamentos imobiliários e em financiamentos à empresas, por parte<strong>de</strong> enti<strong>da</strong><strong>de</strong>s governamentaisCálculo:a) Cálculo <strong>da</strong> amortização do principal, que tem valor constante em to<strong>da</strong>s asprestações, através <strong>da</strong> divisão do principal pelo número <strong>de</strong> prestações.b) Cálculo dos juros do período, pela aplicação <strong>da</strong> taxa do contrato sobre valordo saldo (remanescente do principal) no inicio do períodoc) Cálculo do valor <strong>da</strong> prestação pela soma <strong>da</strong> amortização do principal com osjuros do período.Em ca<strong>da</strong> período, o principal remanescente <strong>de</strong>cresce do valor <strong>de</strong> uma amortização. Comoto<strong>da</strong>s as amortizações são iguais, esse <strong>de</strong>créscimo será uniforme, e, portanto os juros dosperíodos também serão uniformemente <strong>de</strong>crescentes ao longo do tempo4.1.5 Sistema <strong>de</strong> Amortizações Mista - SAMO principal é pago por parcelas periódicas cujos valores correspon<strong>de</strong>m a média doSistema PRICE e do Sistema <strong>de</strong> Amortizações Constantes (SAC). É utiliza<strong>da</strong> naliqui<strong>da</strong>ção <strong>de</strong> financiamentos <strong>da</strong> casa própria.Brandão Matemática Financeira 3.1 32
Exemplo:1) Suponha um financiamento <strong>de</strong> $100,00 sobre o qual inci<strong>da</strong>m juros à taxa <strong>de</strong> 5% a.a. eque o prazo do empréstimo seja <strong>de</strong> cinco anos. Calcule o juros, amortização e saldo<strong>de</strong>vedor a ca<strong>da</strong> ano em ca<strong>da</strong> um dos seguintes sistemas <strong>de</strong> amortização:Pagamento ao FinalAno 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00Juros do ano 5,00Saldo Final 105,00Pagam no Final do Ano:JurosAmortizaçãoTotalSaldo Devedor Final 100,00 105,00Sistema Americano - Amortização ao FinalAno 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00Juros do ano 5,00Saldo Final 105,00Pagam no Final do Ano:Juros (5,00)AmortizaçãoTotal (5,00)Saldo Devedor Final 100,00 100,00Sistema Price - Pagamento ConstanteAno 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00Juros do ano 5,00Saldo Final 105,00Pagam no Final do Ano:Juros (5,00)Amortização (18,10)Total (23,10)Saldo Devedor Final 100,00 81,90Brandão Matemática Financeira 3.1 33
SAC - Sistema <strong>de</strong> Amortização ConstanteAno 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00Juros do ano 5,00Saldo Final 105,00Pagam no Final do Ano:Juros (5,00)Amortização (20,00)Total (25,00)Saldo Devedor Final 100,00 80,00SAM - Sistema <strong>de</strong> Amortização MistoAno 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00Juros do ano 5,00Saldo Final 105,00Pagam no Final do Ano:Juros (5,00)Amortização (19,05)Total (24,05)Saldo Devedor Final 100,00 80,95Brandão Matemática Financeira 3.1 34
Respostas:Pagamento ao Final 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00 105,00 110,25 115,76 121,55Juros do ano 5,00 5,25 5,51 5,79 6,08Saldo Final 105,00 110,25 115,76 121,55 127,63Pagam no Final do Ano:Juros (27,63)Amortização (100,00)Total (127,63)Saldo Devedor Final 100,00 105,00 110,25 115,76 121,55 0,00Sistema Americano 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00Juros do ano 5,00 5,00 5,00 5,00 5,00Saldo Final 105,00 105,00 105,00 105,00 105,00Pagam no Final do Ano:Juros (5,00) (5,00) (5,00) (5,00) (5,00)Amortização (100,00)Total (5,00) (5,00) (5,00) (5,00) (105,00)Saldo Devedor Final 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 0,00Sistema Price 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00 81,90 62,90 42,95 22,00Juros do ano 5,00 4,10 3,15 2,15 1,10Saldo Final 105,00 86,00 66,05 45,10 23,10Pagam no Final do Ano:Juros (5,00) (4,10) (3,15) (2,15) (1,10)Amortização (18,10) (19,00) (19,95) (20,95) (22,00)Total (23,10) (23,10) (23,10) (23,10) (23,10)Saldo Devedor Final 100,00 81,90 62,90 42,95 22,00 0,00SAC 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00Juros do ano 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00Saldo Final 105,00 84,00 63,00 42,00 21,00Pagam no Final do Ano:Juros (5,00) (4,00) (3,00) (2,00) (1,00)Amortização (20,00) (20,00) (20,00) (20,00) (20,00)Total (25,00) (24,00) (23,00) (22,00) (21,00)Saldo Devedor Final 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0,00Brandão Matemática Financeira 3.1 35
SAM 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00 80,95 61,45 41,47 21,00Juros do ano 5,00 4,05 3,07 2,07 1,05Saldo Final 105,00 85,00 64,52 43,55 22,05Pagam no Final do Ano:Juros (5,00) (4,05) (3,07) (2,07) (1,05)Amortização (19,05) (19,50) (19,98) (20,47) (21,00)Total (24,05) (23,55) (23,05) (22,55) (22,05)Saldo Devedor Final 100,00 80,95 61,45 41,47 21,00 0,004.2 Exercícios: Sistemas <strong>de</strong> Amortização1) Um <strong>de</strong>terminado bem po<strong>de</strong> ser adquirido por $1.000,00 à vista ou, alternativamente, por 4planos equivalentes <strong>de</strong> financiamento a taxa <strong>de</strong> 10% a.a. que apresentam os esquemas <strong>de</strong>pagamentos vistos na tabela a seguir, em forma <strong>de</strong> pagamentos anuais (em $):Ano Plano A Plano B Plano C Plano D1 200,00 200,00 150,00 300,002 290,00 240,00 195,00 280,003 270,00 275,00 285,00 260,004 350,00 305,00 365,00 240,005 220,00 330,00 385,00 220,00Elabore uma tabela para ca<strong>da</strong> um <strong>de</strong>stes 4 planos <strong>de</strong> financiamento que permita obter o<strong>de</strong>sdobramento dos pagamentos anuais em juros e amortização, à taxa <strong>de</strong> 10% ao ano, eque, ain<strong>da</strong>, forneça o saldo <strong>de</strong>vedor (remanescente do principal) ao final <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> ano,antes e <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> pagamento.2) A firma pesqueira Peixão D’Ouro contratou você para <strong>de</strong>terminar qual será o valor <strong>de</strong>to<strong>da</strong>s as suas dívi<strong>da</strong>s no dia 30 <strong>de</strong> janeiro <strong>de</strong> 2004, consi<strong>de</strong>rando que to<strong>da</strong>s as prestaçõesdos seus diversos financiamentos estejam em dia nessa <strong>da</strong>ta. Você está em 30 <strong>de</strong> janeiro<strong>de</strong> 2001 (isto é hoje, para efeitos <strong>de</strong> seus cálculos). O panorama <strong>da</strong> Peixão D’Ouro é oseguinte:a) Prédio do escritório central: Comprado em 30 <strong>de</strong> janeiro <strong>de</strong> 2001, com 20 anos <strong>de</strong>prazo para pagamento pelo sistema PRICE, com taxa <strong>de</strong> juros pré fixa<strong>da</strong> <strong>de</strong> 8% aoano. Custo do prédio: $1.200.000 com 30% <strong>de</strong> entra<strong>da</strong> e o restante financiado.b) Barco <strong>de</strong> Pesca “Priscilla, Rainha do Mar” com casco cor <strong>de</strong> rosa com adornos nacor lilás <strong>de</strong>gradé. A compra foi efetua<strong>da</strong> com 50% <strong>de</strong> entra<strong>da</strong> e com o restantefinanciado pelo Banco Mãos ao Alto. O barco novo custou $1.800.000 (pagos aoestaleiro), em 30 janeiro <strong>de</strong> 1999, financiado pelo sistema SAC em 10 anos comtaxa <strong>de</strong> juros pré fixa<strong>da</strong> <strong>de</strong> 10% ao ano.Brandão Matemática Financeira 3.1 36
c) Terreno comprado por $400.000 junto ao Porto do <strong>Rio</strong> Seco para guar<strong>da</strong> e manuseio<strong>de</strong> cargas frigorifica<strong>da</strong>s. O sistema adotado foi <strong>de</strong> pagamento <strong>de</strong> juros durante ofinanciamento com pagamento do principal apenas no final. O financiamento foi em15 anos e o negócio foi fechado em 30 <strong>de</strong> janeiro <strong>de</strong> 2000. A taxa <strong>de</strong> juros adota<strong>da</strong>foi <strong>de</strong> 12% ao ano, fixos.3) Abaixo temos a receita para a construção <strong>de</strong> um sistema <strong>de</strong> amortização, o qual calcula ovalor <strong>da</strong>s prestações período a período <strong>da</strong> seguinte forma:a) Características do Financiamento: $1.000,00, à taxa <strong>de</strong> 10% a.a.b) Cálculo <strong>da</strong> prestação: Os juros <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> ano <strong>de</strong>vem ser calculados sobre o saldo<strong>de</strong>vedor do inicio do ano imediatamente após o pagamento <strong>da</strong> prestação.c) A prestação <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> ano é obti<strong>da</strong> através <strong>da</strong> divisão do saldo <strong>de</strong>vedor,imediatamente antes do pagamento, pelo número <strong>de</strong> prestações a pagar. Exemplo: Aprimeira prestação é igual a (1.000,00 + 100,00) / 5 = $220,00Monte um quadro <strong>de</strong>ste financiamento.4) Desenvolva uma tabela <strong>de</strong> planos equivalentes <strong>de</strong> financiamentos, semelhante ao quadrona forma abaixo, <strong>de</strong> acordo com as seguintes condições:Principal financiado: $1.000Prazo do financiamento: 5 trimestresTaxa <strong>de</strong> juros: 6% ao trimestreRegime <strong>de</strong> juros: CompostosCapitalização: TrimestralOs planos a serem consi<strong>de</strong>rados são os seguintes:Plano A:Plano B:Plano C:Plano D:Plano E:Pagamento ao finalPagamento periódico <strong>de</strong> jurosPrestações iguais - Sistema “PRICE”Sistema <strong>de</strong> amortizações constantes - SACSistema <strong>de</strong> amortizações mistas - SAMForma do quadro:Trimestre 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial do TrimestreJuros do TrimestreSaldo FinalPag no Final do Trimestre:JurosAmortizaçãoTotalSaldo Após PagamBrandão Matemática Financeira 3.1 37
5. Desconto bancárioDescontos bancários são operações <strong>de</strong> crédito que utilizam duplicatas e títulos. Demodo geral, uma operação <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto visa estabelecer o valor presente pelo qual<strong>de</strong>terminado ativo – que apresenta um valor numa <strong>da</strong>ta futura, o valor futuro – po<strong>de</strong>ser negociado hoje.A fórmula para <strong>de</strong>sconto é: VP = VF – JurosVP = VF – VF . i . nExemplo:VP = VF (1 – i . n)Uma duplicata com valor <strong>de</strong> face <strong>de</strong> $1.000,00 e prazo <strong>de</strong> vencimento <strong>de</strong> 2 meses é<strong>de</strong>sconta<strong>da</strong> com uma taxa <strong>de</strong> 4% ao mês. Determine o valor do <strong>de</strong>sconto e o valor <strong>de</strong>scontado<strong>de</strong>ste titulo.Solução:Dados valor Futuro = 1.000, o prazo <strong>de</strong> 2 meses e taxa <strong>de</strong> 4% po<strong>de</strong>mos fazer:VP = VF (1 – i . n)VP = 1.000 (1 – 0,04 x 2)VP = 1.000 – 80 = 920Valor do <strong>de</strong>sconto = $80,00Valor Presente do titulo <strong>de</strong>scontado = $920,00Exemplo:Vamos verificar agora quanto que o agente financeiro está recebendo como taxa <strong>de</strong> retornopor fazer este <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> duplicata do exemplo 1 (anterior).Solução:Quem está investindo $920,00 para receber em 2 meses $1.000,00, está recendo efetivamentea seguinte taxa <strong>de</strong> juros compostos:PV – 920N 2FV 1.000PMT 0I ???Brandão Matemática Financeira 3.1 38
Resposta:A taxa <strong>de</strong> retorno é 4,26% ao mês.O que você po<strong>de</strong> concluir disto?5.1 Exercícios: Desconto bancário1) Você ven<strong>de</strong>u hoje uma mercadoria a um cliente por R$ 10.000,00, com pagamentoacertado para <strong>da</strong>qui a 2 meses (60 dias). O problema é que você precisa <strong>de</strong> dinheiro hojepara fechar a folha <strong>de</strong> pagamentos <strong>de</strong> sua firma. Você <strong>de</strong>ci<strong>de</strong> ir ao banco Forte e <strong>de</strong>scontara duplicata relativa à essa ven<strong>da</strong>. Suponha que o gerente do banco Forte lhe informe que ataxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto está fixa<strong>da</strong> em 3% ao mês, a juros simples. Quanto você vai receber, se<strong>de</strong>scontar essa duplicata?Resp: Você vai receber R$ 9.400,00.2) Você é o cliente e foi ao banco para <strong>de</strong>scontar, hoje, uma promissória no valor <strong>de</strong> face(valor escrito na promissória) <strong>de</strong> R$ 20.000,00, com vencimento para <strong>da</strong>qui a 2 meses. Obanco lhe creditou, hoje, em sua conta, R$ 18.000,00, em virtu<strong>de</strong> <strong>da</strong> operação <strong>de</strong><strong>de</strong>sconto. Qual é a taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto bancário em questão?Resp: A taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto bancário é <strong>de</strong> 5% ao mês.3) Você trabalha em uma gran<strong>de</strong> fabrica <strong>de</strong> escovas. Seus clientes são muitos e você semprelhes conce<strong>de</strong> prazo para que possam pagar suas contas. Supondo que você <strong>de</strong>sconte umaduplicata no valor <strong>de</strong> R$15.000,00, com vencimento para <strong>da</strong>qui a 3 meses, junto a umbanco que cobre uma taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 2% ao mês, quanto você <strong>de</strong>ve receber hoje dobanco ao realizar essa operação?Resp: Você <strong>de</strong>ve receber hoje R$ 14.100,00.4) A alta administração do banco on<strong>de</strong> você trabalha <strong>de</strong>terminou que as taxas para <strong>de</strong>sconto<strong>de</strong> promissórias ou duplicatas sejam <strong>de</strong> 9% ao mês. Você recebe seu primeiro cliente dodia e ele quer <strong>de</strong>scontar uma duplicata no valor (valor <strong>de</strong> face) <strong>de</strong> R$ 13.000,00, comvencimento para <strong>da</strong>qui a 2 meses. Quanto você <strong>de</strong>ve creditar hoje na conta do cliente, caso<strong>de</strong>ci<strong>da</strong> realizar a operação?Resp: Você <strong>de</strong>ve creditar hoje R$ 10.660,00Brandão Matemática Financeira 3.1 39
6. Análise <strong>de</strong> Projetos <strong>de</strong> InvestimentoOs projetos <strong>de</strong> investimento <strong>de</strong> uma empresa po<strong>de</strong>m ser representados como uma série <strong>de</strong>fluxos <strong>de</strong> caixa, on<strong>de</strong> os valores negativos representam as saí<strong>da</strong>s <strong>de</strong> caixa, ou osinvestimentos e custos a serem incorridos, enquanto que os valores positivosrepresentam o retorno liquido que o projeto oferece em ca<strong>da</strong> período, já <strong>de</strong>duzidos todos oscustos, taxas, impostos associados ao projeto. Em termos gerais, um fluxo <strong>de</strong> caixa <strong>de</strong> projetotem a seguinte representação:0 1 2 3 ...... jCF 0 CF 1 CF 2 CF 3 ...... CF j6.1 Valor Presente LíquidoDiz-se que um projeto é economicamente viável quando os seus ganhos são maiores que oinvestimento necessário para implantá-lo. Como geralmente os ganhos <strong>de</strong> um projeto estãodistribuídos ao longo <strong>de</strong> uma série <strong>de</strong> períodos, é necessário "<strong>de</strong>scontar" esses fluxos, isto é,calcular o seu Valor Presente, até o instante zero que é o momento atual on<strong>de</strong> a <strong>de</strong>cisão <strong>de</strong>investir ou não está sendo toma<strong>da</strong>. A diferença entre o Valor Presente do fluxo <strong>de</strong> caixa doprojeto, o investimento necessário, é chamado <strong>de</strong> Valor Presente Líquido, ou VPL.Assim, po<strong>de</strong>mos dizer que o VPL é a soma <strong>de</strong> to<strong>da</strong>s os fluxos, positivos ou negativos, <strong>de</strong> umprojeto, <strong>de</strong>scontados até o instante zero. Este VPL representa o valor do projeto, e aceita-se oprojeto caso VPL seja > 0. Isto representa uma firma trocando um ativo (caixa, dinheiro emespécie) por outro ativo (projeto) que acredita-se ter maior valor. Se isto se confirmar, osacionistas irão se beneficiar do montante <strong>da</strong> diferença. Caso VPL < 0, isto significa que o custodo projeto é maior do que os seus retornos, e ele não <strong>de</strong>ve ser realizado.Em análise <strong>de</strong> projetos, a taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto a ser utiliza<strong>da</strong> no fluxo é o custo <strong>de</strong> capital <strong>da</strong>empresa. Este custo <strong>de</strong> capital é a média pon<strong>de</strong>ra<strong>da</strong> <strong>da</strong> taxa <strong>de</strong> juros que os credores cobram <strong>da</strong>empresa, e <strong>da</strong> taxa <strong>de</strong> retorno que os acionistas esperam receber no futuro <strong>da</strong> empresa.Fórmula Geral:nFCVP = ∑ j( 1 + i )j = 1jBrandão Matemática Financeira 3.1 40
Exemplo:1) Suponha um projeto com duração <strong>de</strong> seis anos, que <strong>de</strong>man<strong>de</strong> um investimento único inicialno valor <strong>de</strong> $10.000 e que forneça um fluxo <strong>de</strong> caixa, livre <strong>de</strong> taxas e impostos conformediagrama a seguir. O custo <strong>de</strong> capital para o levantamento dos $10.000 juntos aos bancos é<strong>de</strong> 10% a.a. Qual é o Valor Presente Líquido <strong>de</strong>ste projeto?0 1 2 3 4 5 6CF 0CF 1CF 2CF 3CF 4CF 5CF 6(10000)200022001800280030003500CF1 CF CF CFVPL = CF ++ i+ 2360+ +⋅⋅⋅+236b1 g b1+ig b1+ig b1+igVPL = − 10000 + 2000 2200 1800 2800 3000 3500+ + + + +2 3 4 5 611 , 11 , 11 , 11 , 11 , 11 ,VPL = 739.59Isto significa que este projeto gera fluxos <strong>de</strong> caixa suficientes para “pagar” o custo do projeto àtaxa <strong>de</strong> 10% a.a. e ain<strong>da</strong> <strong>de</strong>ixa um resultado líquido (VPL) <strong>de</strong> $740 para os investidores.Utilizando a HP 12c:Passo Ação Descrição1 tecleFINLimpa a memória financeira2 10000 e tecleCF 02 2000 e tecle CF jInforma que o primeiro Fluxo é $20002 2200 e tecle CF jInforma que o primeiro Fluxo é $22002 1800 e tecle CF jInforma que o primeiro Fluxo é $18003 2800 e tecle CF jInforma que o segundo Fluxo é $28004 3000 e tecle CF jInforma que o terceiro Fluxo é $30005 3500 e tecle CF jInforma que o quarto Fluxo é $35006 10 e tecle Informa que o Custo <strong>de</strong> Capital é 10% ao ano7 tecleNPVCalcula o Valor Presente: 740Brandão Matemática Financeira 3.1 41
Nota: Cálculo do Valor Presente Líquido no ExcelA planilha Excel oferece diversas funções <strong>de</strong> matemática financeira que simplificam o cálculosmatemáticos necessários. No entanto, o uso <strong>da</strong> função VPL requer alguns cui<strong>da</strong>dos para que seobtenham resultados corretos. Como Excel consi<strong>de</strong>ra que os fluxos sempre se iniciam no ano 1,o fluxo do instante zero nunca <strong>de</strong>ve ser incluído na fórmula do VPL - este valor <strong>de</strong>ve ser somadoa parte, fora <strong>da</strong> fórmula. Assim, a solução para o exemplo acima no Excel seria:6.2 Taxa Interna <strong>de</strong> Retorno - TIRA taxa interna <strong>de</strong> retorno é a taxa à qual o fluxo <strong>de</strong> caixa <strong>de</strong>scontado <strong>de</strong> um projeto é igual aoValor <strong>de</strong> Investimento, ou seja, o Custo do projeto. Nesse caso, necessariamente o VPL <strong>de</strong> umprojeto <strong>de</strong>scontado à TIR é zero. Po<strong>de</strong>mos afirmar então que a TIR é o maior custo <strong>de</strong>oportuni<strong>da</strong><strong>de</strong> que um projeto po<strong>de</strong> suportar. Aceita-se um projeto se sua TIR for maior que ocusto <strong>de</strong> oportuni<strong>da</strong><strong>de</strong>. A maior vantagem <strong>da</strong> TIR é que ela dá os mesmos resultados que ométodo do VPL na maioria <strong>da</strong>s vezes, mas conflita em alguns casos.Como não existe fórmula analítica para a TIR, a única maneira <strong>de</strong> achá-la é por tentativas,alterando a taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto passo a passo até obtermos VPL = 0. Para calcular a TIR doexemplo anterior, utilizamos a função IRR (TIR) <strong>da</strong> calculadora, teclando IRR e acalculadora nos dá o valor <strong>de</strong> 12,2%.6.3 Taxa Interna <strong>de</strong> Retorno Modifica<strong>da</strong>O método <strong>da</strong> TIR pressupõe que todos os fluxos <strong>de</strong> caixa positivos são reinvestidos à taxainterna <strong>de</strong> retorno do projeto. Essa premissa é váli<strong>da</strong> <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que não haja uma gran<strong>de</strong>discrepância entre a taxa interna <strong>de</strong> retorno e a taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto utiliza<strong>da</strong> para o projeto.Quando isso ocorre, os resultados obtidos ten<strong>de</strong>m a ser menos confiáveis, e po<strong>de</strong>m induzir aerros <strong>de</strong> avaliação. Além disso, o método <strong>da</strong> TIR po<strong>de</strong> levar a múltiplas taxas internas paraum mesmo projeto, caso haja mais <strong>de</strong> uma inversão <strong>de</strong> sinal no fluxo <strong>de</strong> caixa do projeto.Essas taxas múltiplas, embora matematicamente corretas, não tem significado financeirorelevante para o processo <strong>de</strong> <strong>de</strong>cisão <strong>de</strong> investimento.Brandão Matemática Financeira 3.1 42
O método <strong>da</strong> Taxa interna <strong>de</strong> retorno modifica<strong>da</strong> (MIRR) evita esses dois problemas. Osfluxos negativos são trazidos a valor presente, enquanto que os fluxos positivos são levados avalor futuro no último períodos do fluxo. Com os valores concentrados no instante zero e noperíodo final, o cálculo <strong>da</strong> taxa interna se torna fácil e direto. Observe que para levar os fluxospositivos para o seu valor futuro no período final, é mais fácil concentrá-los todos no instantezero, para <strong>de</strong>pois projetá-lo para o instante final.a) Projetos mutuamente exclusivos com escalas <strong>de</strong> investimento muito diferentes. (Taxa <strong>de</strong>Desconto = 10%)0 1 TIR VPL(1000) 2000100% 8200 1 TIR VPL(10.000) 15.00050% 3.636b) Projetos com gran<strong>de</strong>s diferenças <strong>de</strong> prazo, ou padrões <strong>de</strong> fluxo <strong>de</strong> caixa muito diferentes.(Taxa <strong>de</strong> Desconto = 10%)0 1 2 3 4 5 TIR VPL33% 3.592(9.000) 6.000 5.000 4.000 0 00 1 2 3 n TIR VPL20% 9.000(9.000) 1.800 1.800 1.800 1.800Exemplo:1) Calcule o TIR e a TIR Modifica<strong>da</strong> para o seguinte fluxo <strong>de</strong> caixa. Adote uma taxa <strong>de</strong><strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 14%:0 1 2 3 4 TIR VPL21.86% 6.619(40.000) 16.000 16.000 16.000 16.000VP (14%) Entra<strong>da</strong>s = 46.619,40VF (14%) Entra<strong>da</strong>s = 78.738,30VP(14%) Saí<strong>da</strong>s = (40.000)Fluxo final:0 1 2 3 4 TIRM18.45%(40.000) 78.738Brandão Matemática Financeira 3.1 43
6.4 Exercícios:1) Um projeto <strong>de</strong> investimento apresenta o seguinte fluxo <strong>de</strong> caixa:0 1 2(4.000) 2.000 4.000a) Determine o seu VPL, consi<strong>de</strong>rando uma taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 10%.b) Determine o seu VPL para taxas <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto variando entre 0% e 90%.Taxa Desc VPLTaxa Desc VPL0 5010 6020 7030 8040 90c) Trace o gráfico <strong>da</strong> curva VPL x Taxa <strong>de</strong> DescontoVPL20001500100050000%-50010% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%-1000-1500-2000Taxa Descd) I<strong>de</strong>ntifique a Taxa Interna <strong>de</strong> Retorno <strong>de</strong>sse projeto.Brandão Matemática Financeira 3.1 44
2) O gerente <strong>da</strong> VJC Produções Artísticas está analisando a proposta <strong>de</strong> lançamento do disco<strong>de</strong> um novo artista <strong>de</strong> música tecno-cool-metal. Ele sabe que o lançamento <strong>de</strong> um discorequer um gran<strong>de</strong> investimento inicial em promoção e marketing, e que essa mo<strong>da</strong> <strong>de</strong>música tecno-cool-metal <strong>de</strong>ve durar 5 anos somente (felizmente). O fluxo <strong>de</strong> caixa <strong>de</strong>steprojeto está apresentado abaixo. Consi<strong>de</strong>rando que os acionistas <strong>da</strong> VJC esperam receberum retorno <strong>de</strong> 15% no seu investimento na empresa, calcule o VPL, a Taxa Interna <strong>de</strong>Retorno (TIR). Deve o gerente investir neste projeto?0 1 2 3 4 5(6.500) 1.800 2.300 3.200 1.000 3.500Resp: VPL(15%) = 1220,27, TIR = 22,2%3) Para uma <strong>de</strong>termina<strong>da</strong> obra pública há a alternativa <strong>de</strong> se adotar um encanamento <strong>de</strong>20cm ou 30cm. O encanamento <strong>de</strong> 20cm tem um custo inicial <strong>de</strong> $45.000 e o custo anual<strong>de</strong> bombeamento é estimado em $10.000. O encanamento <strong>de</strong> 30cm tem um custo inicial<strong>de</strong> $80.000 e um custo anual <strong>de</strong> bombeamento <strong>de</strong> $7.000. O serviço <strong>de</strong> tal equipamentoserá utilizado por 20 anos; nenhum valor residual é esperado para ambos os tipos ao final<strong>de</strong>sse período. Consi<strong>de</strong>rando uma taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 10% a.a., qual encanamento <strong>de</strong>veser utilizado? Resp: 20cm:VPL(10%) = 130.135, 30cm:VPL(10%) = 139.5944) Uma proprie<strong>da</strong><strong>de</strong> que contém lojas e escritório está à ven<strong>da</strong> por $6.000. Estima-se quedurante um período <strong>de</strong> 20 anos a ren<strong>da</strong> proveniente dos aluguéis <strong>da</strong>s lojas e escritórioatingirá por ano $890, e que as <strong>de</strong>spesas com impostos, manutenção, condomínio, etc,atingirão por ano $380. Estima-se ain<strong>da</strong> que ao final dos 20 anos, a proprie<strong>da</strong><strong>de</strong> po<strong>de</strong>ráser vendi<strong>da</strong> por $4.500. Consi<strong>de</strong>rando uma taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 10% a.a., <strong>de</strong>ci<strong>da</strong> se vale apena esse investimento. Informe também qual é o retorno que po<strong>de</strong>ria obter com onegócio. Resp: VPL(10%) = (989.19), TIR = 7.95%5) Para os dois projetos mutuamente exclusivos abaixo, calcule o VPL e a TIR, adotando-seuma taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 10%. Como você explica a discrepância observa<strong>da</strong> nosresultados obtidos pelos dois métodos?A)0 1 2 3 4(24.000) 10.000 10.000 10.000 10.000B)0 1 2 3 4(24.000) 0 5.000 10.000 33.000Resp: A: VPL = 7.698,7, TIR = 24,1%B: VPL = 10.184,8, TIR = 21,7%Brandão Matemática Financeira 3.1 45
6) A Globaltec S.A está <strong>de</strong>cidindo que tipo <strong>de</strong> empilha<strong>de</strong>iras a serão adota<strong>da</strong>s para amovimentação <strong>de</strong> carga nos seus armazéns para substituir as suas velhas empilha<strong>de</strong>iras adiesel. Existem duas alternativas: empilha<strong>de</strong>iras elétricas e a gás, e como ambas realizamas mesmas funções, a empresa irá escolher apenas um tipo. As empilha<strong>de</strong>iras elétricas sãomais caras, porém tem um custo <strong>de</strong> manutenção e operação menor: o seu preço unitário é<strong>de</strong> $23.000, enquanto empilha<strong>de</strong>iras a gás custam $17.000 ca<strong>da</strong>. O custo <strong>de</strong> capital <strong>da</strong>empresa é <strong>de</strong> 12%, e a vi<strong>da</strong> útil estima<strong>da</strong> <strong>de</strong> ambos os tipos <strong>de</strong> empilha<strong>de</strong>ira é <strong>de</strong> 6 anos.A economia líqui<strong>da</strong> gera<strong>da</strong> pela empilha<strong>de</strong>ira elétrica representa um benefício anual <strong>de</strong>fluxo <strong>de</strong> caixa <strong>de</strong> $7.000, e a <strong>da</strong> empilha<strong>de</strong>ira a gás é <strong>de</strong> $5.400 anuais, já consi<strong>de</strong>ra<strong>da</strong>s as<strong>de</strong>spesas <strong>de</strong> <strong>de</strong>preciação. Qual é o VPL, a TIR e a TIRM <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> alternativa? Qualmo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong>ve a empresa escolher?Resp: Elétrica: VPL(12%) = 5.779,85, TIR = 20,5%, TIRM = 16,3%Gás: VPL(12%) = 5.201,60, TIR = 22,2%, TIRM = 17,1%7) O estudo <strong>de</strong> viabili<strong>da</strong><strong>de</strong> econômica <strong>de</strong> um projeto <strong>de</strong> privatização <strong>de</strong> uma estatal conduziuaos seguintes fluxos <strong>de</strong> caixas. Calcule o VPL e a rentabili<strong>da</strong><strong>de</strong> do projeto. (Valores em R$milhões). Consi<strong>de</strong>re uma taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 10% a.a.Ano Pagamentos(investimento)Recebimentos(retorno)0 5.0001 800 3.0002 1.000 2.4003 2.200 1.8004 1.400 3.0005 1.600 4.000Resp: VPL= 439.53; TIR = 13,4%8) Você preten<strong>de</strong> investir na firma Cela<strong>da</strong>r que <strong>de</strong>ve pagar três fluxos <strong>de</strong> caixa $1.100,00em t=1, $1.500,00 em t=2 e $2.500,00 em t=3. Após o terceiro período a firma não pagamais nenhum fluxo <strong>de</strong> caixa, não vale na<strong>da</strong> e nem tem valor terminal. A taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>scontoapropria<strong>da</strong> para <strong>de</strong>scontar os fluxos <strong>de</strong> caixa é 20% ao ano. A firma Cela<strong>da</strong>r está a ven<strong>da</strong>por $3.000. Qual é o VPL e a TIR para o investidor que comprar a Cela<strong>da</strong>r? Vocêcompraria esta empresa?Resp: VPL(20%) = $405,09, TIR = 27,33%. Sim.9) A firma NOVASTAR está à ven<strong>da</strong> por $8.200.000. Os fluxos <strong>de</strong> caixa líquidos apóstaxas e impostos que a firma promete pagar aos seus proprietários no futuro é <strong>de</strong>$1.400.000 por anos pelos próximos 20 anos <strong>de</strong> sua vi<strong>da</strong> útil. Consi<strong>de</strong>rando que a taxa <strong>de</strong><strong>de</strong>sconto para esta firma seja 10% ao ano, qual é o VPL <strong>de</strong>sta operação <strong>de</strong> ven<strong>da</strong> seleva<strong>da</strong> a cabo pelos valores mencionados acima? Você investiria nesse projeto?Resp: $3.718.989,21. Sim.10) Você tem um projeto <strong>de</strong> investir na firma Unicom Lt<strong>da</strong>. que <strong>de</strong>ve pagar três fluxos <strong>de</strong>caixa $1.100 em t=1, $1.200 em t=2 e $1.300 em t=3. Após o terceiro período (ano) afirma não paga mais nenhum fluxo <strong>de</strong> caixa, não vale na<strong>da</strong> e nem tem valor terminal. AUnicom está à ven<strong>da</strong> por $3.000. Qual é o VPL e a TIR <strong>da</strong> <strong>de</strong>ste investimento? Supondoque o custo do capital para financiar o projeto seja 12% ao ano vale a pena investir noprojeto?Resp: VPL (12%) = ($135,91), TIR = 9,42%. Não.Brandão Matemática Financeira 3.1 46
11) Qual é o Valor Presente <strong>de</strong> um projeto que paga 4 fluxos <strong>de</strong> caixa iguais no valor <strong>de</strong> $850em t=1, t=2, t=3 e t=4 respectivamente. Consi<strong>de</strong>re que a taxa apropria<strong>da</strong> para <strong>de</strong>sconto é<strong>de</strong> 8% por período <strong>de</strong> tempo. Resp: $2.815,3112) Qual é o VPL e a TIR <strong>de</strong> um projeto que custa $2.350 e paga 4 fluxos <strong>de</strong> caixa iguais <strong>de</strong>$850 em t=1, t=2, t=3 e t=4 respectivamente. Consi<strong>de</strong>re que a taxa apropria<strong>da</strong> para<strong>de</strong>sconto é <strong>de</strong> 8% por período <strong>de</strong> tempo. Resp: VPL = $465,31, TIR = 16,605%13) Qual é a TIR do projeto QUASAR? O projeto Quasar promete pagar $4.500 em t=1,$5.400 em t=2 e $3.200 em t=3. O custo <strong>de</strong> implementação do projeto Quasar é $6.000Resp: TIR = 55,15814) Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa <strong>de</strong> 2% a.m., no regime <strong>de</strong> juroscompostos, a partir <strong>de</strong> um principal igual a $1.000.000? Resp: $1.428.246,2615) Um ci<strong>da</strong>dão investiu $10.000 nesta <strong>da</strong>ta, para receber $14.257,60 <strong>da</strong>qui a um ano. Qual ataxa <strong>de</strong> rentabili<strong>da</strong><strong>de</strong> mensal <strong>de</strong> seu investimento?Resp: 3.00% ao mês16) Um lojista coloca na vitrine um fogão <strong>de</strong> 6 bocas com o seguinte cartaz:Pechincha: $420,00. Em apoio ao novo plano econômico do governoven<strong>de</strong>mos sem juros! Só hoje! Pague em 3 parcelas iguais (0, 30 e 60dias) sem juros ou à vista com 30% <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto!A loja está fazendo propagan<strong>da</strong> enganosa ou não? Porque?Resp: Sim, porque o lojista está cobrando juros apesar <strong>de</strong> afirmaro contrário. A taxa <strong>de</strong> juros cobra<strong>da</strong> é 51,08% ao mês.17) Uma empresa contraiu um empréstimo no regime <strong>de</strong> juros compostos, a taxa <strong>de</strong> 3,5%a.m. para ser liqui<strong>da</strong>do em dois pagamentos. O primeiro pagamento será <strong>de</strong> $500.000 e<strong>de</strong>verá ocorrer no final do quinto mês. O segundo pagamento será <strong>de</strong> $1.000.000 e <strong>de</strong>veráocorrer no final do décimo segundo. Esse empréstimo po<strong>de</strong>ria, entretanto, ser liqui<strong>da</strong>docom um único pagamento <strong>de</strong> $2.154.483,45. Determinar em que mês este pagamento<strong>de</strong>veria ser realizado para que a taxa <strong>de</strong> 3,5% a.m. fosse manti<strong>da</strong>. Resp: n = 2018) O Banco <strong>de</strong> Comércio Internacional empresta dinheiro à “2,5% ao mês” ou seja nalinguagem bancária “7,5% ao trimestre” juros simples, entretanto, exige que os jurossejam pagos por ocasião <strong>da</strong> liberação do empréstimo, Assim assina-se uma notapromissória <strong>de</strong> $4.000 com vencimento <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> 3 meses, e o banco libera ao financiadoapenas $3.700 pois os $300 <strong>de</strong> juros são <strong>de</strong>scontados no ato ($4.000 x 0,075 = $300).Qual a taxa mensal efetiva cobra<strong>da</strong> nessa operação, a juros compostos? Qual seria a taxamensal efetiva cobra<strong>da</strong> caso o pagamento dos juros ($300) fosse no vencimento <strong>da</strong>promissória? Isto é, o banco liberaria $4.000 e no final do trimestre você pagaria $4.000mais $300. Resp: 2.63 % e 2,44 %.19) Uma pessoa <strong>de</strong>seja fazer uma aplicação financeira, a juros compostos <strong>de</strong> 1,8% a.m., <strong>de</strong>forma que possa retirar $ 250.000 ao final do 3o. mês e $ 170.000 ao final do 14o. mês.Qual o menor valor <strong>da</strong> aplicação que permitiria essas retira<strong>da</strong>s? Resp: $369.399,8720) Consi<strong>de</strong>re a seguinte operação <strong>de</strong> crédito:Brandão Matemática Financeira 3.1 47
• Valor do empréstimo: $ 100.000.000• Taxa <strong>de</strong> Juros: 20% a.a., <strong>de</strong>vidos no final• Prazo: 30 meses• Comissão <strong>de</strong> Crédito: 5% sobre o valor do empréstimo, na liberação• Calcule a efetiva taxa <strong>de</strong> juros anual <strong>da</strong> operação.Dica: Mantenha a taxa anual (20% ao ano) e use o período como sendo 2,5. Se vocêtrabalha com uma HP 12C, tecle STO EEX para colocar a máquina na posição <strong>de</strong>calcular período fracionário com juros compostos. A máquina indica esta posiçãomostrando no visor um pequeno “c” no lado direito.Resp: = 22,4875 % ao ano21) A aplicação em um fundo <strong>de</strong> ren<strong>da</strong> fixa aumenta sua aplicação em 50% ao fim <strong>de</strong> 5meses. Qual é a taxa <strong>de</strong> juros que esta aplicação paga mensalmente?Resp: i = 8,45% ao mês22) Consi<strong>de</strong>re que a taxa <strong>de</strong> juros para financiamento ao consumidor está girando em torno<strong>de</strong> 3% ao mês. Esta é a taxa cobra<strong>da</strong> pelo seu cartão <strong>de</strong> crédito para o financiamento <strong>de</strong>suas <strong>de</strong>spesas. Você quer fazer o seguro <strong>de</strong> seu automóvel importado. O corretor <strong>de</strong>seguros lhe oferece um seguro que po<strong>de</strong> ter o prêmio pago à vista no valor <strong>de</strong> $12.000(dinheiro, cheque ou cartão <strong>de</strong> crédito) ou então po<strong>de</strong> ser pago em 4 parcelas (1+ 3mensais) iguais no valor <strong>de</strong> $3.130. Se você <strong>de</strong>cidir fazer o seguro qual será sua forma <strong>de</strong>pagamento caso não tenha condições <strong>de</strong> pagar à vista? Isto é você pagará com cartão oupelo financiamento direto <strong>da</strong> seguradora? Resp: Deve escolher o plano <strong>da</strong> seguradora.23) Você quer poupar para suas férias <strong>de</strong> fim <strong>de</strong> ano. Preten<strong>de</strong> gastar US$ 5.000 por mêsdurante 2 meses em Orlando – Flori<strong>da</strong>. Faltam 12 meses para suas férias. Você hoje nãotem na<strong>da</strong> na poupança. A ca<strong>de</strong>rneta <strong>de</strong> poupança com clausula <strong>de</strong> correção cambial quevocê tem, paga 1% ao mês. Quantos dólares você <strong>de</strong>verá poupar ca<strong>da</strong> mês até o dia <strong>da</strong>viagem para realizar seu sonho? Dica: Consi<strong>de</strong>re que você faz todos os seus gastos comcartão <strong>de</strong> crédito e que todo mês você quita suas dívi<strong>da</strong>s com o cartão <strong>de</strong> crédito.Consi<strong>de</strong>re que seu cartão vence no dia 30 <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> mês.Resp: Deve colocar na poupança o equivalente a US$ 776,82 todo mês.24) Você quer construir um prédio com 10 an<strong>da</strong>res com 6 apartamentos por an<strong>da</strong>r. O preço<strong>de</strong> ven<strong>da</strong> <strong>de</strong> ca<strong>da</strong> apartamento à vista (quando pronto) é <strong>de</strong> $60.000. A obra <strong>de</strong>mora umano <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o início até estar completamente acaba<strong>da</strong>. Você po<strong>de</strong>rá ven<strong>de</strong>r apartamentosna planta <strong>da</strong>ndo ao comprador um <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 20% sobre o preço à vista. Os custosprevistos são <strong>de</strong> $1.500.000 para a construção e <strong>de</strong> $1.000.000 para o terreno. Assumaque todos os custos <strong>de</strong>vem ser pagos hoje (à vista). Você e seus sócios dispõem <strong>de</strong> umtotal <strong>de</strong> $500.000. Os bancos po<strong>de</strong>m lhe emprestar até um máximo <strong>de</strong> $800.000 cobrandouma taxa <strong>de</strong> juros <strong>de</strong> 30% ao ano.a) Assuma que você tomar o valor máximo do empréstimo. Esse projeto éinteressante para você e seus sócios?b) Existe alternativa <strong>de</strong> financiamento que seja mais interessante para você?c) Quanto vai ser a taxa <strong>de</strong> retorno sobre o capital próprio ? (capital próprio é o dossócios)Brandão Matemática Financeira 3.1 48
7. Material Complementar1) Uma distribuidora está oferecendo uma taxa <strong>de</strong> 2% a.m. nos seguintes papéis <strong>de</strong> sua carteira:Prazo <strong>de</strong> resgateValor do resgate3 meses $1.0006 meses $2.0009 meses $3.000Um <strong>de</strong>terminado investidor <strong>de</strong>seja investir nos três papéis (um <strong>de</strong> ca<strong>da</strong>) nas condiçõesofereci<strong>da</strong>s. Qual o valor do cheque e que ele <strong>de</strong>verá fazer para a corretora para fechar aoperação? Não consi<strong>de</strong>re taxas, nem comissões e nem impostos. Resp: $5228,542) Em 30/03/XX uma empresa <strong>de</strong>seja liqui<strong>da</strong>r uma nota promissória <strong>de</strong> $100.000 venci<strong>da</strong> há12 meses, e ain<strong>da</strong> antecipar a liqui<strong>da</strong>ção <strong>de</strong> uma nota promissória <strong>de</strong> $500.000, que tem21 meses a <strong>de</strong>correr até o seu vencimento. Calcular o valor do pagamento a ser feito nessa<strong>da</strong>ta, para liqui<strong>da</strong>r as duas notas promissórias, levando-se em consi<strong>de</strong>ração uma taxa <strong>de</strong>juros compostos <strong>de</strong> 2% ao mês, e admitindo que todos os meses tem 30 dias. Nãoconsi<strong>de</strong>rar a existência <strong>de</strong> multa sobre a nota venci<strong>da</strong>, nem <strong>de</strong>scontos excepcionais sobre aantecipação do pagamento <strong>da</strong>s notas não venci<strong>da</strong>s. Resp: $456.712,083) Uma pessoa <strong>de</strong>seja fazer uma aplicação financeira, a juros compostos <strong>de</strong> 2% a.m., <strong>de</strong>forma que possa retirar $10.000 no final do sexto mês e $20.000 no final do décimosegundomês. Qual o menor valor <strong>da</strong> aplicação que permite a retira<strong>da</strong> <strong>de</strong>sses valores nosmeses indicados? Resp: $24.649.584) No exercício anterior, caso a segun<strong>da</strong> retira<strong>da</strong>, a <strong>de</strong> $20.000, fosse no final do trigésimomês, qual o menor valor <strong>da</strong> aplicação que permite a retira<strong>da</strong> <strong>de</strong>sses valores nos mesesindicados? Resp: $19.921,135) Determinar o valor atual do seguinte fluxo <strong>de</strong> caixa, para uma taxa <strong>de</strong> juros compostos <strong>de</strong> 3%a.m.:Mês 0 = + 10.000 Mês 1 = - 2.000Mês 2 = + 1.000 Mês 3 = - 5.000Mês 4 = - 6.000 Mês 5 = - 8.000Mês 6 = + 2.000 Resp: - $6.131,676) Uma empresa tem uma dívi<strong>da</strong> com um banco <strong>de</strong> investimentos que <strong>de</strong>verá ser liqui<strong>da</strong><strong>da</strong> emdois pagamentos, sendo o primeiro <strong>de</strong> $150.000 no final do décimo segundo mês e osegundo <strong>de</strong> $250.000 no final do décimo oitavo mês. Sabendo-se que nesses dois valores jáforam computados juros compostos a uma taxa <strong>de</strong> 2% a.m., <strong>de</strong>terminar :Brandão Matemática Financeira 3.1 49
a) O valor que <strong>de</strong>ve ser pago ao banco para a quitação imediata <strong>da</strong> dívi<strong>da</strong>b) Os valores <strong>de</strong> dois pagamentos iguais, no final do nono e do décimo oitavo meses quepo<strong>de</strong>riam ser aceitos pelo banco como uma reformulação <strong>da</strong> dívi<strong>da</strong>, à mesma taxa <strong>de</strong>juros.Resp: a) Imediata $293.313,82 b) 190.845,887) Uma empresa contraiu um empréstimo no regime <strong>de</strong> juros compostos, à taxa <strong>de</strong> 2,5% a.m.para ser liqui<strong>da</strong>do em dois pagamentos. O primeiro pagamento será <strong>de</strong> $400.000 e <strong>de</strong>veráocorrer no final do sexto mês. O segundo pagamento será <strong>de</strong> $800.000 e <strong>de</strong>verá ocorrer nofinal do décimo mês. Esse empréstimo po<strong>de</strong>ria, entretanto, ser liqui<strong>da</strong>do com um únicopagamento <strong>de</strong> $1.404.677,20. Determinar em que mês <strong>de</strong>veria ser efetuado essepagamento, para que a taxa <strong>de</strong> 2,5% ao mês fosse observa<strong>da</strong>. Resp: mês 158) Um banco <strong>de</strong> investimentos <strong>de</strong>seja realizar um empréstimo para uma <strong>de</strong>termina<strong>da</strong> empresa,que <strong>de</strong>verá liquidá-lo no final do nono mês pelo valor <strong>de</strong> $1.304.773,18. Determinar o valorque <strong>de</strong>ve ser abatido no ato <strong>da</strong> contratação, uma vez que a empresa <strong>de</strong>seja limitar essepagamento final em $1.200.000, sabendo-se que o banco opera no regime <strong>de</strong> juroscompostos, à taxa <strong>de</strong> 3% a.m. Resp: $80.299,919) Suponha que uma <strong>de</strong>bênture lança<strong>da</strong> em 31/Janeiro/1983, com valor <strong>de</strong> face <strong>de</strong> $1.000,pagando 15% a.a. (coupon com vencimento todo 30/Janeiro, último dia do ano <strong>de</strong>aplicação), e com um prazo <strong>de</strong> maturi<strong>da</strong><strong>de</strong> para 15 anos, ou seja, 30/Janeiro/1998.Suponha que a época do lançamento, as taxas para papéis <strong>de</strong> risco semelhante eram 15%a.a. Essa <strong>de</strong>bênture paga portanto $150 a.a. e $1.150 no final do décimo quinto ano. Agoravocê está em 31/Janeiro/1994, e as taxas <strong>de</strong> mercado para papéis com risco equivalenteestão fixa<strong>da</strong>s em 9% a.a. A que valor esta <strong>de</strong>bênture <strong>de</strong>verá estar sendo negocia<strong>da</strong> hoje nomercado? Resp: $1.194,3810) Certa pessoa obteve um empréstimo <strong>de</strong> $ 100.000, taxa <strong>de</strong> juros simples <strong>de</strong> 42% a.a..Algum tempo <strong>de</strong>pois, tendo encontrado quem lhe emprestasse $ 150.000 à taxa <strong>de</strong> jurossimples <strong>de</strong> 36% a.a., liquidou a dívi<strong>da</strong> inicial (não obrigatoriamente no valor do novoempréstimo) e, na mesma <strong>da</strong>ta, contraiu o novo débito (no valor <strong>de</strong> $150.000). Dezoitomeses após o primeiro empréstimo, saldou sua obrigação e verificou ter pago um total,sobre os dois planos, <strong>de</strong> $ 72.000 <strong>de</strong> juros. Determinar os prazos do primeiro e segundoempréstimos. Resp: N1 = 10, N2 = 811) Dois capitais foram colocados a juros simples. O primeiro à taxa <strong>de</strong> 20% a.a. e o segundoà taxa <strong>de</strong> 40% a.a.. Calcule os capitais, sabendo que a soma <strong>de</strong>les é $500.000 e que elesproduziram, num ano, juros totais <strong>de</strong> $130.000. Resp: C1 = $350.000 e C2 = $150.000Brandão Matemática Financeira 3.1 50