MATEMÁTICA FINANCEIRA - IAG - A Escola de Negócios da PUC-Rio

MATEMÁTICA FINANCEIRAProf. Luiz Brandão

Índice1. INTRODUÇÃO 41.1 FLUXO DE CAIXA ...................................................................................................... 51.1.1 AMBIENTE ..................................................................................................... 61.1.2 DEFINIÇÕES ................................................................................................... 61.2 JUROS ....................................................................................................................... 71.3 EXERCÍCIOS.............................................................................................................. 72. JUROS SIMPLES 82.1 EXERCÍCIOS: JUROS SIMPLES................................................................................... 103. JUROS COMPOSTOS 113.1 EXERCÍCIOS: JUROS COMPOSTOS............................................................................. 143.2 UTILIZANDO CALCULADORAS FINANCEIRAS............................................................ 153.2.1 EXERCÍCIOS: USANDO A CALCULADORA......................................................... 183.3 ANUIDADES (PMT) ................................................................................................... 203.4 PERPETUIDADES ....................................................................................................... 223.4.1 EXERCÍCIOS: ANUIDADES E PERPETUIDADES................................................... 233.5 FLUXOS NÃO UNIFORMES ......................................................................................... 243.6 TAXAS DE JUROS....................................................................................................... 253.6.1 TAXA EFETIVA ............................................................................................... 253.6.2 TAXA NOMINAL............................................................................................. 253.6.3 TAXA REAL.................................................................................................... 273.6.4 TAXAS PROPORCIONAIS .................................................................................. 273.6.5 TAXAS EQUIVALENTES ................................................................................... 284. EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA 304.1 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO.................................................................................... 314.1.1 PAGAMENTO NO FINAL ................................................................................... 314.1.2 SISTEMA AMERICANO .................................................................................... 314.1.3 SISTEMA PRICE .............................................................................................. 314.1.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ............................................. 324.1.5 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES MISTA - SAM .................................................... 324.2 EXERCÍCIOS: SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO.............................................................. 36

5. DESCONTO BANCÁRIO 385.1 EXERCÍCIOS: DESCONTO BANCÁRIO ..................................................................... 396. ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTO 406.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO...................................................................................... 406.2 TAXA INTERNA DE RETORNO - TIR.......................................................................... 426.3 TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA.............................................................. 426.4 EXERCÍCIOS:............................................................................................................. 447. MATERIAL COMPLEMENTAR 49

1. IntroduçãoQuando o controle acionário da Cervejaria Brahma foi comprado em 1989, os novosdonos pagaram o equivalente a US$ 60 milhões de dólares pela maioria das açõesordinárias. Em 1997, oito anos depois, o valor de mercado desta participação era deUS$ 1 bilhão de dólares. É óbvio que esta operação resultou num bom negócio para os novossócios, mas se quiséssemos saber exatamente qual a rentabilidade média anual que essesinvestidores obtiveram nesse período, como faríamos este cálculo? Ao comprar uma geladeirade R$ 1.000 numa loja de eletrodomésticos, o vendedor lhe dá a opção de pagar à vista ou emtrês parcelas de R$ 350. Considerando que você tem R$5.000 investidos em caderneta depoupança, qual a melhor opção para você?Estas e outras questões que dizem respeito ao valor do dinheiro no tempo são o objeto deestudo da Matemática Financeira. Sabemos que o valor das ações de uma empresa dependeem parte do “timing” dos fluxos de caixa que os investidores esperam receber no futuro, edado que um dos principais objetivos do gerente financeiro é maximizar o valor da empresapara o acionista, é essencial que o gerente financeiro tenha o domínio dos conceitos deMatemática Financeira para que possa avaliar corretamente o valor destes e outros ativos daempresa.O conceito básico da Matemática Financeira é que um real recebido hoje vale mais de que umreal a ser recebido daqui a um ano. Dizemos então que o dinheiro tem valor no tempo. Mascomo comparar um real hoje com R$1,20 reais a serem recebidos em um ano? Sabemos quenão podemos comparar estes dois valores diretamente, pois eles ocorrem em épocasdiferentes. É a Matemática Financeira que nos permite comparar fluxos de caixa distintos eindicar qual é mais vantajoso para o indivíduo ou a empresa, e isso é feito transformando cadafluxo de caixa no seu valor equivalente à vista, “descontando” esses valores de um tempofuturo até o momento atual. Uma vez que os valores então se encontram agora todos namesma data, podemos então comparar esses valores entre si e tomar a nossa decisão.O conceito de fluxo de caixa descontado tem inúmeras aplicações, desde a elaboração deplanilhas de cálculo de amortização de empréstimos até a decisão de investimento em projetosindustriais. De todos os conceitos básicos de finanças, podemos dizer que a análise do Fluxode Caixa Descontado é um dos mais importantes.Veremos também que a transformação desses fluxos só pode ser feita com a fixação dos juros,e pode-se ainda dizer que a existência da Matemática Financeira, com todas as suas fórmulase fatores, se prende, exclusivamente, à existência dos mesmos. Dada essa importância dosjuros dentro do contexto da Matemática Financeira, eles serão estudados em detalhe nodecorrer do curso.Brandão Matemática Financeira 3.1 4

1.1 Fluxo de CaixaPara representar as entradas e saídas de caixa de um fluxo, adotaremos a seguinte convenção:Dinheiro investido (saída de caixa), seta para baixo, ou valor negativo(100)Dinheiro recebido (entrada de caixa), seta para cima100Denomina-se fluxo de caixa (de uma firma, de um investimento, de um projeto, de um indivíduoetc...) ao conjunto das entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Um fluxo decaixa pode apresentar diversas entradas e saídas de caixa, a fim de facilitar a visualização dosfluxos de caixa de um problema em particular, adotaremos o conceito da linha do tempo,conforme diagrama a seguir:0 1 2 3 4 5O instante zero representa a data de hoje: é o momento atual, o instante da decisão a sertomada. O tempo 1 ocorre daqui a um ano, e representa o instante final do ano 1, ou seja, 31de dezembro do ano 1. Da mesma forma, o tempo dois representa o instante final do ano 2,que começa em 01/01/02 e termina em 31/12/02, e os tempos 3, 4 e 5 também representam oinstante final do ano 3, 4 e 5. Observe que os períodos de um fluxo podem representar não sóanos, como também meses, semanas, dias, trimestres, ou qualquer período que se queira.O total de juros devido pelo tomador ao aplicador depende de dois fatores básicos: A taxapactuada e o prazo da operação. Como o tomador, em geral, dispõe de recursos em dataspreestabelecidas, é comum estabelecer indiretamente a vigência das operações pelasrespectivas datas de tomada e liquidação dos empréstimos.Os comerciantes medievais adotaram algumas regras simplificadoras dos cálculos, criando omês e o ano comercial. Segundo a convenção adotada, o mês comercial tem 30 dias e o ano,por ser decomposto em exatos 12 meses, tem 360 dias. assim o prazo de uma operação podeser definido em termos exatos (mês e ano civil) e em termos comerciais (mês e anocomercial). Quando o prazo da operação é dado em termos comerciais, os juros são chamadosde juros comerciais; quando o número de dias dos meses correspondem aqueles do ano civil,são chamados de juros exatos.Brandão Matemática Financeira 3.1 5

1.1.1 AmbientePara efeitos didáticos consideraremos o nosso ambiente como sendo um ambienteaonde não existem outros custos além dos especificamente mencionados. Ou sejacustos como: reciprocidade exigida pelos bancos, custos devido à exigência de saldosmédios a serem mantidos nos bancos, custos devido à compra “compulsória” deseguros empurradas pelos agentes financeiros, taxas de abertura de crédito, taxas decadastro, imposto de renda, IOF, Imposto sobre diversos, emolumentos, custos detransação tais como comissões, inadimplências, falências, congelamentos, e assimsucessivamente somente serão considerados quando explicitamente mencionados nosexemplos e exercícios.1.1.2 DefiniçõesUm real na mão hoje vale mais do que um real a ser recebido daqui a um ano, pois sevocê tiver um real hoje você pode investi-lo e receber juros deste investimento, deforma que daqui a um ano você terá mais do que um real. Para exemplificar, suponhaque você possua R$1.000 e tenha a oportunidade de investi-lo no banco a uma taxa dejuros de 10% ao ano. Quanto você teria ao final do ano? Adotaremos a seguintenotação:VP (Valor Presente,Principal) Valor que você dispõe hoje. No nosso exemplo é R$1.000.i (Taxa de Juros) Taxa de juros que o banco paga por período.Assumimos que esse juros é pago no final do período.VF (Valor Futuro) Valor de que você dispõe ao final do período, queinclui o valor que você tinha no inicio mais os jurosrecebidos no final do período.n (No de Períodos) Número de Períodos envolvidos na análise. No caso,n = 1.J Juros Valor de Juros recebidosNo nosso exemplo, temos então:VP = 1.000i = 10% a.a.n = 10 1VP =1.000 J = ?VF = ?J = VP x i = 1.000 x 10% = 1.000 x 0,10 = 100VF = VP + J = 1000 + 100 = 1.100Brandão Matemática Financeira 3.1 6

Podemos deduzir a fórmula do Valor Futuro (FV):VF = VP + VP x iVF = VP (1+i)Aplicando a fórmula ao exemplo: VF = 1000 (1+0,10) = 1.1001.2 JurosO conceito de juros pode ser introduzido através das expressões:a. dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiroscolocado à nossa disposição.b. remuneração do capital empregado em atividades produtivas ou, ainda, remuneraçãopaga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado.Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade detempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia.Ex 1: 12% ao ano = 12% a.a.10% ao mês = 10% a.m.Ex 2:Um capital de $10.000, aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a., proporcionará, nofinal de um ano, um total de juros. Qual é este total de juros?Resp: 8% de 10.000 = (8 / 100) x 10.000 = 0,08 x 10.000 = 8000 1VP =10.000 J = 8001.3 Exercícios1) Qual a importância da Matemática Financeira?2) O que é juros?3) Explique o que significa uma aplicação a juros simples.4) Explique o que significa uma aplicação a juros compostos.5) Se você aplicar hoje $1.000 a juros simples com uma taxa de 10% ao ano quantoterá em 2 anos?6) Se você aplicar hoje $1.000 a juros compostos com uma taxa de 10% ao ano quantoterá em 2 anos?Brandão Matemática Financeira 3.1 7

2. Juros SimplesOs juros que incidem sobre um empréstimo são chamados de juros com capitalizaçãosimples se a cada período que dura o empréstimo os juros são calculados sempre emcima do valor inicial do empréstimo. Sobre os juros não pagos não incide cobrançade juros. Nessa categoria os juros de cada período são sempre calculados em função do capitalinicial. Considere um poupador que investiu $1.000 numa aplicação de renda fixa que lherenderá juros simples à taxa de 10% a.a. Qual será o saldo ao final de 4 anos?AnoSaldo noInício do anoTaxa deJurosBase deCálculoJuros doperíodoSaldo finaldo ano1 $1.000 10% $1.000 $100 $1.1002 $1.100 10% $1.000 $100 $1.2003 $1.200 10% $1.000 $100 $1.3004 $1.300 10% $1.000 $100 $1.400Neste caso, é importante realçar que o banco sempre aplicou a taxa de juros de 10% a.a. sobreo capital inicial de $1.000, e nunca permitiu que o aplicador retirasse os juros de cada período.Assim, apesar de os juros estarem à disposição do banco, eles nunca foram remunerados.Caso o banco permitisse ao aplicador a retirada dos juros, ainda que continuasse a nãoremunerar os juros remanescentes, o poupador passaria a ter uma entrada nova de capital porconta da eventual aplicação que pudesse fazer com os juros recebidos. Neste caso o poupadorestaria recebendo 10% mais a taxa de remuneração sobre a aplicação dos juros, e esta nãomais seria uma situação de juros simples.Exemplo: Suponha que você pegou emprestado $1.000 com 10% de juros ao ano. O cálculodo valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes:Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de JurosValor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,10 = 100Valor do Principal = 1.000O Valor total a pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor doprincipal, ou seja: 100 + 1.000 = 1.1000 1VP =1.000 J = 100VF = 1.100Brandão Matemática Financeira 3.1 8

Se você pegou este empréstimo por 2 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagarserão os seguintes:Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros x Número de anosValor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 x 2 = 200Valor do Principal = 1.000O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor doprincipal, ou seja: 200 + 1.000 = 1.2000 1 2VP =1.000 J = 100VF = 1.100J = 100VF = 1.200Se você pegou este empréstimo por 3 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagarserão os seguintes:Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros x Número de anosValor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 x 3 = 300Valor do Principal = 1.000O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor doprincipal, ou seja: 300 + 1.000 = 1.3000 1 2 3VP =1.000 J 1 = 100VF 1 = 1.100J 2 = 100VF 2 = 1.200J 3 = 100VF 3 = 1.300Fórmula Geral:0 1 2 3 ...... nVP =1.000 J 1 = 100VF 1 = 1.100J 2 = 100VF 2 = 1.200J 3 = 100VF 3 = 1.300...... J n = 100VF n = 1.300VF = VP + Juros⋅nVF = VP + VP ⋅i⋅nVF = VP 1+ i ⋅nbgA fórmula é somente esta, porém podemos através de manipulações algébricas utilizar afórmula do valor futuro (FV) para calcular Valor Presente (VP), taxa de juros (i) ou valor dosjuros a pagar (J).VFVF = VPb1+ i ⋅ng VP = 1+i ⋅ nBrandão Matemática Financeira 3.1 9

VF −VPi =VP ⋅nJ = VF − VP = VP ⋅i⋅nVF −VPn =iVP ⋅Onde: n: é o número de períodosVP: é o Valor Presente de principal aplicadoi: é a taxa de juros expressa em decimaisVF: é o Valor Futuro, é a soma de juros no período mais principalJ: é o total de juros pagos sobre o principal durante o investimentoObserve que só existem 4 variáveis: Taxa de Juros, Valor Presente, Valor Futuro e Número dePeríodos. Assim sendo só existem 4 tipos básicos de pergunta que podemos formular.Ex: Qual é o montante acumulado em 24 meses (VF), a uma taxa de 2% a.m., no regime dejuros simples, a partir de um principal (VP) igual a $2.000 ?Solução: P = $2.000 i = 2% a.m. 2/100 = 0.02 ao mêsn = 24 meses VF = ?VF = 2.000 ( 1 + 0,02 x 24) = 2.9602.1 Exercícios: Juros Simples1) Você tem hoje (t=0) $1.000 para aplicar a juros simples a uma taxa de 10% ao ano.Quanto você terá depois de 3 anos desta aplicação? Resp: $1.3002) Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em determinada instituição terá em 2 anos$2.400. Qual é a taxa que esta instituição está pagando para sua aplicação?Resp: 10%3) Você tem hoje $10.000 e pretender ter um total (juros mais principal) de $19.000 em umaaplicação que paga 30% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro aplicado?Resp: 3 anos4) Você precisa ter $17.760 daqui a quatro anos para fazer frente a um compromissofinanceiro. Quanto você deve investir hoje, sabendo que a taxa de juros que essa aplicaçãopaga é 12% ao ano? Resp: $12.0005) Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica $2.000 a juros simples pelo período de 4anos a uma taxa de 20% ao ano? Resp: $3.6006) Qual é o valor que você deve investir hoje para ter ao final do 5 ano $1.500. Considereque a taxa de juros simples que você usou é de 10% ao ano. Resp: $1.0007) Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar $3.000 por 2 anos a uma taxa de jurossimples de 20% ao ano? Resp $1.2008) Qual é a taxa de juros simples que faz uma aplicação de $180 em t=0 valer $360 em 10anos?Resp: 10% a.a.Brandão Matemática Financeira 3.1 10

3. Juros CompostosOs juros que incidem sobre um empréstimo são chamados de juros com capitalizaçãocomposta se a cada período que dura o empréstimo os juros são calculados, a cadaperíodo do empréstimo, sobre o saldo devedor do empréstimo que inclui o principale os juros ainda não pagos. Nessa categoria os juros de cada período são calculados sempreem função do saldo existente no inicio de cada respectivo período. Daqui para frente,consideraremos que todos os juros em questão são juros compostos.Considere a mesma situação do exemplo anterior de juros simples, agora com a diferença dautilização de juros compostos para o cálculo da remuneração ao investidor.AnoSaldo noInício do anoTaxa deJurosBase deCálculoJuros doperíodoSaldo finaldo ano1 $1.000 10% $1.000 $100 $1.1002 $1.100 10% $1.100 $110 $1.2103 $1.210 10% $1.210 $121 $1.3314 $1.331 10% $1.331 $133 $1.464Nesse caso o banco remunera os juros pagos, que são reinvestidos na aplicação. No gráfico aseguir, podemos observar a diferenças entre os juros simples e compostos mostrados nestastabelas.2500Juros Simples e Juros CompostosJuros Compostos20001500Juros Simples10000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Brandão Matemática Financeira 3.1 11

Exemplo:1) Suponha que você pegou emprestado $1.000 hoje, para pagar este empréstimo comjuros de 10% ao ano capitalizados de forma composta. Desta forma se você pegou esteempréstimo por apenas 1 ano o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão osseguintes:Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de JurosValor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100Valor do Principal = 1.000O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor doprincipal, ou seja: 100 + 1.000 = 1.1000 1VP =1.000 J = 100VF = 1.100Se você pegou este empréstimo por 2 anos o cálculo do valor dos juros e principal apagar serão os seguintes:Valor dos Juros no primeiro ano = Valor da Dívida x Taxa de JurosValor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do segundo ano será:Principal + Juros = 1.000 + 100 = 1.100Valor dos juros para o segundo ano = Saldo Devedor x Taxa de JurosValor do Juros do segundo ano = 1.100 x 0,1 = 110O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros do ano 1 + osjuros do ano 2 mais o principal, ou seja: 100 + 110 + 1.000 = 1.2100 1 2VP =1.000 J = 100VF = 1.100J = 110VF = 1.210Se você pegou este empréstimo por 3 anos o cálculo do valor dos juros e principal apagar serão os seguintes:Valor dos Juros no primeiro ano = Valor da Dívida x Taxa de JurosValor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do segundo ano será:Principal + Juros = 1.000 + 100 = 1.100Valor dos juros para o segundo ano = Saldo Devedor x Taxa de JurosValor do Juros do segundo ano = 1.100 x 0,1 = 110Brandão Matemática Financeira 3.1 12

Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do terceiro ano será:Principal + Juros (ano1) + Juros (ano2) = 1.000 + 100 110 = 1.210Valor dos juros para o terceiro ano = Saldo Devedor x Taxa de JurosValor do Juros do terceiro ano = 1.210 x 0,1 = 121O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros do ano 1 + osjuros do ano 2 + os juros do ano 2 + o principal, ou seja:100 + 110 + 121 + 1.000 = 1.3310 1 2 3VP =1.000 J = 100VF = 1.100J = 110VF = 1.210J = 121VF = 1.331Fórmula Geral para Juros Compostos:bgVF = VP 1+i nA partir da fórmula acima podemos obter:VP =bVF1+gi niVFVP1n= F H G I K J −F IHG K Jb gVFlnVP1 n =ln 1+iOnde: n: é o número de períodosVP: é o Valor Presente de principal aplicadoi: é a taxa de juros expressa em decimaisVF: é o Valor Futuro, é a soma de juros no período mais principalOBS: Valor Presente, Valor Atual, Valor de hoje, agora ou tempo zero (t=0) são sinônimos.Ex 1: Qual o montante acumulado em 6 anos, à uma taxa de 10% a.a., no regime de juroscompostos, a partir de um principal inicial de $100,00 ?Solução: Utilizando a fórmula: FV = VP (1 + i) n = 100,00 (1 + 0.1) 6 = 177,16Fazendo passo a passo:Seja VP 1 o principal no inicio do ano 1, VP 2 no inicio do ano 2 e assim sucessivamenteSeja VF 1 o montante ao final do ano 1, VF 2 ao final do ano 2 e assim sucessivamenteSeja J 1 o total de juros pagos ao final do ano 1, J 2 ..... aonde J = i VPFazendo o reinvestimento período a período até o sexto período de todo o disponível ao finaldo período anterior, teremos:Brandão Matemática Financeira 3.1 13

0 1 2 3 4 5 6VP 0 =100 J 1 = 10VF 1 = 110J 2 = 11VF 2 = 121J 3 = 12,1VF 3 = 133,1J 4 = 13,31VF 4 = 146,41J 5 = 14,461VF 5 = 161,051J 6 = 16,105VF 6 = 177,15no inicio do ano 1 VP 1 = 100,00no final do ano 1 VP 1 + J 1 = VF 1 =100 + 10 = 110no inicio do ano 2 VP 2 = 110no final do ano 2 VP 2 + J 2 =VF 2 = 110 + 11 = 121no inicio do ano 3 VP3 = 121no final do ano 3 VP3 + J3 = VF3 = 121 + 12,1 = 133,1no inicio do ano 4 VP 4 = 133,1no final do ano 4 VP 4 + J 4 = VF 4 =133,1 + 13.31 = 146,41no inicio do ano 5 VP 5 = 146,41no final do ano 5 VP 5 + J 5 = VF 5 = 146,41 + 14,641 = 161,051no inicio do ano 6 VP 6 = 161,051no final do ano 6 VP 6 + J 6 = VF 6 = 161,051 + 16,1051 = 177.153.1 Exercícios: Juros Compostos1) Você tem hoje (t=0) $1.000,00 para aplicar a uma taxa de 10% ao ano. Quanto você terádepois de 3 anos desta aplicação? Resp: $1.331,002) Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em determinada instituição terá em 2anos $2.420. Qual é a taxa que esta instituição está pagando para sua aplicação?Resp: 10%3) Você precisa ter $12.000,00 daqui a quatro anos para fazer frente a um compromissofinanceiro. Quanto você deve depositar hoje na poupança, sabendo que a taxa de jurosque esta poupança paga é 12% ao ano? Resp: $7.626,224) Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica $2.000,00 a juros compostos peloperíodo de 4 anos a uma taxa de 20% ao ano? Resp: $4.147,205) Qual é o valor que você deve investir hoje para ter ao final do 5 ano $1.500,00.Considere que a taxa de juros compostos que você usou é de 10% ao ano. Resp: $931,386) Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar $3.000,00 por 2 meses a uma taxa dejuros compostos de 20% ao mês? Resp $1.320,007) Você tem hoje (t=0) $1.000.000,00 para aplicar a uma taxa de 15% ao ano. Quanto vocêterá depois de 4 anos desta aplicação? Resp: $1.749.006,25Brandão Matemática Financeira 3.1 14

3.2 Utilizando Calculadoras FinanceirasAs calculadoras financeiras facilitam o uso da Matemática Financeira, automatizando oscálculos mais tediosos e complexos. Embora cada modelo existente no mercado seja diferentena maneira de utilizá-lo, de um modo geral todos adotam as seguintes convenções:0 1 2 3 nPV PMT PMT PMT PMTFVn - Número de períodos do investimento ou empréstimoi - Taxa de juros que vai incidir sobre o VP, PMT e FVPV - Valor Presente (Present Value)PMT - Pagamento Periódico (Payment)FV - Valor Futuro (Future Value)Na HP 12c, estão funções estão na primeira linha de teclas, no lado esquerdo. Se você temuma calculadora HP 12c observe que a maioria das teclas de sua calculadora tem 3 funçõesdiferentes:1. função escrita em letras ou números “BRANCOS”2. função escrita em “AZUL” e3. função escrita em “AMARELO”.Brandão Matemática Financeira 3.1 15

Quando você liga a máquina automaticamente está na função BRANCA das teclas. Vocêpode determinar qual a função desejada simplesmente apertando as teclas “ f ” ou “ g ”seguida então da tecla com a função da cor desejada.A HP12c tem memória contínua, isto é, ela não perde os dados que estão em memória ao serdesligada. Por isso, antes de efetuar qualquer calculo é necessário limpar os dados que estãona memória da calculadora teclando a tecla e depois a tecla FIN em amarelo.Convenciona-se em nosso país considerar que os fluxos ocorrem ao final de cada período.Assim, se um fluxo que ocorre ao longo de todo o ano 1 seja representado por um único fluxono final deste ano, ou seja, no dia 31 de dezembro do ano 1. Para que sua calculadora tambémconsidere os fluxos ao final de cada período, é preciso ajustá-la para isso. Se sua calculadorapossui a opção END mode ou BEGIN mode coloque em END mode. Na calculadora HP 12crealize esta operação teclando a tecla azul seguida da tecla que tem a letras azuis “END”.Na calculadora HP12c você deve entrar com o valor da taxa de juros, tecla BRANCA “i” embase percentual. Isto é se a taxa for 20% digite 20 e em seguida tecle “ i ”. Lembre-se quequando você usa fórmulas, se a taxa for 20% você dever inserir na fórmula “0,2” que é basedecimal. Para escolher o número de casas decimais que o seu visor deve mostrar,simplesmente tecle seguido do número de casas decimais que pretende utilizar. Sugereseque adote duas casas decimais como padrão.Exemplo: Calculando um Valor FuturoSuponha que você irá investir $100 num banco a uma taxa de 10% a.a. por um período de 6anos. Qual o montante a receber ao final dos 6 anos?Valor do investimento hoje: PV = 100Taxa de juros que incide sobre o investimento: i = 10%No de períodos que o investimento irá durar: n = 6Valor Futuro deste investimento: FV = ?Procedimento passo a passo para HP 12c:Você deverá obter: FV = -177,16Passo Ação Descrição1 tecleFINLimpa a memória financeira2 100 e tecle Informa que o Valor Presente é $1.0003 10 e tecle Informa que os juros são de 10% por período4 6 e tecle Informa que são 6 períodos5 tecle Calcula o Valor Futuro: -177,16Brandão Matemática Financeira 3.1 16

Para alterar o número de casas decimais no visor da calculadora para:três casas decimais: tecle “ f ” “ 3 ” e obterá: - 177,156quatro casas decimais: tecle “ f ” “ 4 ” e obterá: - 177,1561cinco casas decimais: tecle “ f ” “ 5 ” e obterá: - 177,15610seis casas decimais: tecle “ f ” “ 6 ” e obterá: - 177,156100Lembre-se que a calculadora trabalha internamente sempre com precisão de 16 casasdecimais, independente de quantas casas você definiu para o visor da tela.Note que o resultado apresenta um sinal negativo. Isto ocorre porque a calculadora consideraque se você pegou um empréstimo (você recebeu $) deverá pagar com juros ao final doperíodo “N” (você paga $). Assim, se você coloca o VP (ou PV em inglês) com valorpositivo, significando que você recebeu, por exemplo, a resposta sairá com o sinal trocado (noexemplo, sinal negativo) significando que você pagou o FV. A recíproca também éverdadeira: se você colocar PV com sinal negativo sua resposta, o FV será dado com sinalpositivo.Exemplo: Calculando um Valor PresenteQual o principal que deve ser aplicado hoje (Valor Presente) para se ter acumulado um totalde $1.000 daqui a 12 meses, a uma taxa de 3% ao mês?Valor Futuro: FV = 1.000Taxa de juros que incide sobre o investimento: i = 3%No de períodos que o investimento irá durar: n = 12Valor Presente deste investimento: PV = ?Procedimento passo a passo para HP 12c:Você deverá obter: PV = - 701,38Passo Ação Descrição1 tecleFINLimpa a memória financeira2 12 e tecle Informa que são 12 períodos3 3 e tecle Informa que os juros são de 3% por período4 1000 e tecle Informa que o Valor Futuro será de $1.0005 tecle Calcula o Valor Presente: -701.37Observação: O sinal do valor em FV será sempre diferente do sinal do valor em PV, postoque para a calculadora um valor é recebimento e o outro pagamento (ou vice-versa).Brandão Matemática Financeira 3.1 17

Exemplo: Calculando uma taxa de jurosQual é a taxa de juros anual que faz uma aplicação hoje no valor de 1.000,00 valer $1.200,00em 1 ano?Valor Presente: PV = 1.000Valor Futuro: FV = - 1.200No de períodos: n = 1Taxa de juros que incide sobre o investimento: i = ?Procedimento passo a passo para HP 12c:Você deverá obter: i = 20%Passo Ação Descrição1 tecleFINLimpa a memória financeira2 1000 e tecle Informa que o Valor Presente é $1.0003 1200 e tecle Informa que o Valor Futuro será de - $1.2004 1 e tecle Informa que é 1 período5 tecle Calcula os juros: 20%Obs: É necessário teclarpara trocar o sinal do Valor Futuro.3.2.1 Exercícios: Usando a Calculadora1) Você tem hoje $10.000,00 e pretende ter um total (juros mais principal) de $21.970,00em uma aplicação que paga 30% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu dinheiroaplicado?Resp: 3 anos2) Qual é a taxa de juros compostos que faz uma aplicação de $180,00 em t=0 valer $360,00em 10 anos? Dica: Não se esqueça de colocar PV e FV com sinais diferentes.Resp: 7,177% ao ano3) Suponha que você tem $2.000,00 hoje e se investir na poupança da CEF terá em 10 anos$5.187,48. Qual é a taxa anual que a CEF está pagando para sua aplicação? Resp: 10%4) Pedro tem disponíveis hoje $50.000,00 e pretende ter um total (juros mais principal) de$82.151,60 em uma aplicação que paga 18% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seudinheiro aplicado?Resp: 3 anos5) Você quer ter $100.000,00 daqui a seis anos para comprar uma casa. Quanto você devedepositar hoje na poupança, sabendo que a taxa de juros que a poupança paga é 12% aoano? Resp: $50.663,11Brandão Matemática Financeira 3.1 18

6) Qual é o Valor Futuro que você espera obter se aplicar $222.000,00 a juros compostospelo período de 14 anos a uma taxa de 20% ao ano? Resp: $2.850.298,997) Maria quer comprar um automóvel popular. O preço de automóveis populares tem semantido estáveis no mercado há muitos anos. Suponha que Maria queira comprar oautomóvel daqui a quatro anos, e que precise ter $15.000,00 para poder comprá-lo.Sabendo que ela tem uma aplicação que vai remunerar seus depósitos a uma taxa de jurosanual de 18% ao ano durante os próximos quatro anos, que valor Maria deve depositarhoje nessa aplicação para que daqui a quatro anos ela possa comprar o seu automóvel?Resp: $7.736,838) Qual é o valor dos juros que você vai receber por uma aplicação num fundo de renda fixase aplicar $30.000,00 por 2 meses a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês?Resp $2.448,009) Qual é a taxa de juros que faz uma aplicação qualquer dobrar de valor em 5 anos?Resp: 14,87% ao ano10) Qual o principal que deve ser aplicado hoje para se ter acumulado um montante de$1.000,00 daqui a 12 meses, no regime de juros compostos, a uma taxa de 3 % ao mês?Resp: -701,3811) Um principal foi investido em uma aplicação financeira. Suponha que a taxa de juros seja3% ao mês no regime composto. No final do quarto mês o valor do montante é $100,00.Qual era o valor do montante ao final do primeiro mês e qual o valor do montante aofinal do sétimo mês ? Resp: a) $91,51 b) $109,2712) Um indivíduo recebe uma proposta de investir hoje uma quantia de $1.000,00 parareceber $ 1.343,92 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal doinvestimento proposto no regime de juros compostos?Resp: 3% a.m.13) Em quantos meses um capital dobra, a juros compostos de 2% a.m. Resp: 35 meses14) Um cidadão aplicou, nesta data, a importância de $1.000 numa instituição financeira queremunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos.Mostrar o crescimento desse capital no final dos próximos 6 trimestres e informar omontante que poderá ser retirado ao final do sexto trimestre. Resp: $1.340,095615) Durante a época de alta inflação no Brasil, o comércio paulista popularizou a seguinteforma de venda: “20% de desconto para pagamento à vista ou em 30 dias sem juros”.Nessas condições, qual a taxa efetiva para o pagamento em 30 dias?Resp: 25% ao mês16) Um cidadão investiu $10.000 nesta data, para receber $14.257,60 daqui a um ano. Qual ataxa de rentabilidade mensal de seu investimento?Resp: 3.00% ao mês17) Um cidadão aplicou, nesta data, a importância de $1.000 numa instituição financeira queremunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos.Mostrar o crescimento desse capital no final dos próximos 6 trimestres e informar omontante que poderá ser retirado ao final do sexto trimestre. Resp: $1.340Brandão Matemática Financeira 3.1 19

3.3 Anuidades (PMT)Uma anuidade consiste numa série de pagamentos (ou recebimentos) iguais e sucessivosfeitos ao final de cada período de tempo. Suponha que você deposite $1.000 anualmentedurante 3 anos em uma poupança que rende 10% ao ano. Quanto você terá ao final destes trêsanos? Nesse caso, o nosso interesse é calcular o Valor Futuro desta anuidade.0 1 2 32VF = PMT( 1+ i) + PMT( 1+ i)+ PMT2VF = 1000 × 11 . + 1000 × 11 . + 1000VF = 33101000 1000 1000110012103310A fórmula geral para o cálculo do Valor Futuro de uma anuidade (PMT) é dada por:nVF PMT i n −= +tVF∑b1g e também podemos ter PMT =nt = 1i n −∑b1+gtEstas fórmulas também podem ser expressas da seguinte forma:VF = PMTLNMnb ge PMT = VF1+ i −1iOQPLNMbigOPQ1P 1 + i n−t = 1Uma outra aplicação de anuidade é quando queremos calcular as vantagens ou desvantagensde se parcelar uma compra. Suponha que a sua companhia de seguro lhe deu a opção deparcelar a renovação do seguro do seu carro em três vezes. O valor do prêmio do seguro é de2.000 reais à vista ou três parcelas de 730 reais. Se você tem dinheiro investido que rende 1%ao mês, qual a melhor opção para você? Nesse caso, queremos achar o Valor Presente destaanuidade.0 1 2 37237167082147730 730 730Brandão Matemática Financeira 3.1 20

VPPMT PMT PMT=1 + i+ 1 ++ i 1+ ib g b g b g730 730 730VP = + +2 3101 . 101 . 101 .VP = 21472 3O Valor Presente desta anuidade é maior do que o Valor para pagamento à vista, de modo quenão é interessante este parcelamento. A fórmula geral do Valor Presente de uma anuidade é aseguinte:nVP = PMT∑ 1t = 1+i t1 b ge também podemos terEstas fórmulas também podem ser expressas da seguinte forma:VP = PMTLbNMbgn1+ i −1ni 1+igOQPLbNMbe PMT VP i 1+=in1+ i −1gVPPMT =∑ n11+gnOQPt =i t1 b gA calculadora financeira simplifica os cálculos envolvendo anuidades, como podemos ver aseguir:Exemplo: Calculando o Valor Futuro de uma AnuidadeSe você depositar $100 mensalmente numa aplicação que rende juros de 1% ao mês, quantovocê terá ao final de dois anos?Procedimento passo a passo para HP 12c:Valor da Anuidade: PMT = 100No de períodos: n = 24Taxa de juros por período: i = 1Valor Futuro: FV = ?Você deverá obter: FV = - 2.697,35Passo Ação Descrição1 tecleFINLimpa a memória financeira2 100 e tecle Informa que a Anuidade é $1003 1 e tecle Informa que os juros são de 1% por período4 24 e tecle Informa que são 24 períodos5 tecle Calcula o Valor Futuro: - 2.697,35Brandão Matemática Financeira 3.1 21

Qualquer uma das variáveis de uma anuidade pode ser calculada se os valores das demaisvariáveis forem conhecidos. Dessa forma, dado o Valor Presente, a Anuidade e o número deperíodos, podemos calcular a taxa de juros, ou dada a taxa de juros, podemos calcular onúmero de períodos.3.4 PerpetuidadesQuando a anuidade não tem prazo para terminar, ou seja, o fluxo de pagamentos (ourecebimentos) é infinito, o que acontece com o seu Valor Presente? Vamos calcular os ValorPresente das seguintes anuidades que apresentam número de períodos distintos e crescentes.Suponha um PMT de $100 e uma taxa de desconto de 10% por ano:No de Períodos PMT Valor Presentea) 10 anos 100b) 30 anos 100c) 100 anos 100d) 500 anos 100e) Infinito 100Observe que o Valor Presente de uma Perpetuidade tende para um determinado valor, que édado pela seguinte fórmula: VP = PMT . Isso pode ser deduzido a partir da fórmula daianuidade, fazendo-se n tender para o infinito.n( i)( )(ni)( ) ( )⎡ 1+ − 1⎤ ⎡ 1+1 ⎤VP = PMT ⎢ PMTn⎥ = ⎢ −n n⎥⎢⎣ i 1+ i ⎥⎦ ⎢⎣i 1+ i i 1+i ⎥⎦⎡1 1VP = PMT ⎢ −⎢⎣i i i( 1+)n⎤⎥⎥⎦Quando n ∞ o segundo termo dentro do parênteses tenderá a zero, e ficamos então comPMTVP = .iSe a perpetuidade apresentar um crescimento constante " g " , isto pode ser incorporado nafórmula, que passa a ser:VP = PMTi − gEstas fórmulas são importantes na avaliação de empresas, pois supõe-se que uma empresa temduração indeterminada, e portanto, apresenta fluxos de anuidade infinita.Brandão Matemática Financeira 3.1 22

3.4.1 Exercícios: Anuidades e Perpetuidades1) Você está fazendo uma poupança pois precisa ter $150.000,00 daqui a 8 anos paracomprar uma casa. Quanto você deve depositar anualmente num investimento de rendafixa que rende 15% ao ano, considerando que o seu primeiro depósito ocorreráexatamente daqui a um ano, e todos estes depósitos anuais serão do mesmo valor?Resp: $10.927,512) No mesmo exemplo anterior, qual seria o valor anual a ser depositado, considerando queo primeiro depósito ocorrerá imediatamente? Resp: $9.502,193) Qual é o Valor Futuro que você obtém investindo $250,00 todo mês numa aplicação querende 1% a.m., durante cinco anos? Resp: $20.417,424) Qual é a taxa mensal de juros compostos que faz uma aplicação mensal de $100,00crescer para $3.000,00 em dois anos?Resp: 1,89% ao mês5) Qual o Valor Presente de uma Anuidade de $ 1.000 que tenha a duração de 7 anos, a umataxa de juros de 18% a.a.? Resp: 3.811,536) Qual o Valor Presente de uma Anuidade de $2.500 que tenha a duração de 10 anos, auma taxa de juros de 20% a.a.? Resp: $10.481,187) Qual o Valor Presente de uma Perpetuidade de $2.500 anuais, a uma taxa de juros de20% ao ano? Resp: $12.500,008) As ações da Datalog S.A. pagam um dividendo anual de $12,00. A expectativa domercado é de que este dividendo se mantenha constante no futuro. Se a taxa de juros aser utilizada for de 15% a.a., qual deve ser o valor desta ação? Resp: $80.009) Uma ação está sendo negociada no mercado a $50,00. Espera-se que a empresa distribuadividendos anuais constantes de $15,00 no futuro, e sabe-se que o custo de capital daempresa é de 20% a.a. Este preço está correto? Você deve comprar ou vender esta ação?Resp: $75,00, compra.Brandão Matemática Financeira 3.1 23

3.5 Fluxos não UniformesUma anuidade tem como característica básica o fato de ser uma série constante depagamentos (ou recebimentos). Muitas vezes, no entanto, nos deparamos com uma série depagamentos que não tem relação entre si, especialmente na análise de fluxos de caixa deprojetos de investimento de empresas, como no exemplo a seguir:0 1 2 3 4100 170 200 140O Valor Presente de um fluxo não uniforme pode ser calculado achando-se o Valor Presentede cada fluxo individualmente, e somando-se depois todos os valores encontrados. Supondouma taxa de juros de 10% por período, temos:0 1 2 3 490,9140,5150,395,6477,3100 170 200 140CF1 CF CF CFVP =+ i+ 23+ +231 1+i 1+i 1+i100 170 200 140VP = + + +2 3 411 , 11 , 11 , 11 ,VP = 477,3b g b g b g b g44Alternativamente podemos utilizar a calculadora financeira, ou mesmo a planilha Excel paraautomatizar os cálculos necessários.Exemplo: Calculando o Valor Presente de um fluxo não uniformeConsidere o mesmo fluxo anterior. O procedimento passo a passo para HP 12c envolve o usodas teclas azuis, que são acessadas sempre que se digita a tecla , é o seguinte:Brandão Matemática Financeira 3.1 24

Passo Ação Descrição1 tecleFINLimpa a memória financeira2 100 e tecle CF jInforma que o primeiro Fluxo é $1003 170 e tecle CF jInforma que o segundo Fluxo é $1704 200 e tecle CF jInforma que o terceiro Fluxo é $2005 140 e tecle CF jInforma que o quarto Fluxo é $1406 10 e tecle Informa que os juros são de 10% por período7 tecleNPVCalcula o Valor Presente: 477,3Exemplo: Calcule o Valor Presente do seguinte fluxo de caixa, considerando uma taxa dejuros de 15% a.a.:0 1 2 3 4 52.800 2.000 (4.500) 3.000 5.500Resp: VP(15%) = 5.437,983.6 Taxas de JurosEm finanças trabalha-se com diversos tipos de taxas de juros: Efetiva, Nominal, Real, ,Proporcional, Equivalente, e outras.3.6.1 Taxa efetivaTaxa efetiva é aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com asunidades de tempo dos períodos de capitalização.• 3% ao mês, capitalizados mensalmente• 4% ao trimestre, capitalizados trimestralmente• 6% ao semestre, capitalizados semestralmente• 10% ao ano, capitalizados anualmente3.6.2 Taxa NominalTaxa nominal é aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide coma unidade de tempo dos períodos de capitalização. É a taxa cotada por bancos,credores ou outros agentes do mercado financeiro. Dessa forma, se você estivernegociando com um gerente de banco, analista de mercado financeiro, ou um vendoBrandão Matemática Financeira 3.1 25

um anúncio de financiamento de automóvel na televisão, a taxa de juros mencionada ésempre uma taxa nominal. A taxa nominal é quase sempre fornecida em termosanuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais ou mensais. Ataxa nominal inclui a inflação estimada para o período.São exemplos de taxas nominais:• 12% ao ano capitalizados mensalmente• 24% ao ano capitalizados semestralmente• 10% ao ano capitalizados trimestralmenteA taxa nominal é bastante utilizada no mercado, entretanto o seu valor nunca é usadonos cálculos por não representar uma taxa efetiva. O que realmente interessa é a taxaefetiva embutida na taxa nominal, pois ela é que será efetivamente aplicada em cadaperíodo de capitalização. Para entendermos o significado de uma taxa nominal, vamosmostrar as taxas efetivas decorrentes das taxas nominais:a) 12% a.a. capitalizados mensalmente, significa uma taxa efetiva de:12% aa . . = 1% ao mês12 mesesb) 24% a.a. capitalizados semestralmente, significa uma taxa efetiva de:24% aa . .= 12% ao semestre2 semestresc) 10% a.a. capitalizados trimestralmente, significa uma taxa efetiva de:10% aa . .= 25% ,4 trimestresao trimestreNo nossos cálculos, devemos sempre trabalhar com as taxas efetivas correspondentes,ou seja, 1% ao mês, 12% ao semestre ou 2,5% ao trimestre, e nunca com taxasnominais. Conforme podemos observar, a obtenção da taxa efetiva embutida na taxanominal feita no regime de juros simples. Evidentemente a taxa anual equivalente aessa taxa efetiva embutida é maior do que a taxa nominal que lhe deu origem, poisesta equivalência é feita no regime de juros compostos.Exercícios:1) Qual é a taxa anual nominal equivalente a 3,5% efetivos ao mês?2) Qual é a taxa mensal efetiva equivalente a 24% nominais ao ano?3) Qual é a taxa mensal efetiva equivalente a 24% efetivos ao ano?4) Qual é a taxa mensal equivalente a 10% nominais ao semestre?5) Quanto você vai receber de juros em 4 meses se aplicar $2.500,00 a uma taxa24% ao ano efetiva?Brandão Matemática Financeira 3.1 26

3.6.3 Taxa RealSão as taxas utilizadas nas aplicações pós-fixadas. A taxa de juros real não inclui ainflação estimada para o período. Ela pode ser calculada a partir de uma taxa nominalou efetiva, expurgando-se a inflação nela embutida através da seguinte fórmula:11+ = + ir1+F1 ir = + 1+ F−1onder = taxa de juros reali = taxa de juros nominalF = inflação no períodoEx: Suponha um país onde a taxa de inflação mensal seja de 20% a.m. Se umempréstimo tem uma taxa mensal nominal de 26%, qual a taxa real deste empréstimo?1r = + 026 ,− =1+020 ,1 5%3.6.4 Taxas proporcionaisDuas ou mais taxas são ditas proporcionais, quando, ao serem aplicadas a um mesmoprincipal durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado nofinal daquele prazo, no regime de juros simples. O conceito de taxas proporcionaisestá, portanto, diretamente ligado ao regime de juros simples. Assim, considerando operíodo de um ano, as seguintes taxas são proporcionais entre si:1% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre, 12% ao ano.Podemos verificar isso calculando o montante obtido através da aplicação de $1000por um ano a cada uma dessas taxas em regime de juros simples, utilizando a fórmula:S = P (1+ i.n)Período Taxa Formula Montante Finalmês 1% S = 1000 (1+0,01 x 12) 1.120trimestre 3% S = 1000 (1+0,03 x 4) 1.120semestre 6% S = 1000 (1+0,06 x 2) 1.120ano 12% S = 1000 (1+0,12 x 1) 1.120Brandão Matemática Financeira 3.1 27

Exemplos:1) Qual o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de$100, com uma taxa de juros de 12% a.a. , no regime de juros simples?Resp: S = 100 ( 1 + 0,12 x 4 ) = 1482) Qual é o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de$100, com uma taxa de juros de 6% ao semestre, no regime de juros simples?Resp: S = 100 ( 1 + 0,06 x 8 ) = 1483) Qual é o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de$100, com uma taxa de juros de 3% ao trimestre, no regime de juros simples?Resp: S = 100 ( 1 + 0,03 x 16 ) = 148Conclusão: As taxas de 12% ao ano, 6% ao semestre e 3% ao trimestre sãoproporcionais.3.6.5 Taxas equivalentesDuas ou mais taxas são ditas equivalentes quando, ao serem aplicadas a um mesmoprincipal durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado nofinal daquele prazo, no regime de juros compostos. O conceito de taxas equivalentesestá, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos.Exemplo:1) Qual o montante acumulado no final de um ano, a partir de um principal de$100,00, com uma taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos?Resp: FV = PV (1 + i ) n = 100,00 ( 1,01) 12 = $112,682) Qual o montante acumulado no final de um ano, a partir de um principal de$100,00, com uma taxa de juros de 12,683% a.a., no regime de juros compostos?Resp: FV = PV (1 + i ) n = 100,00 ( 1,01) 12 = $112,68Conclusão: Os juros de 1% a.m. produziram um crescimento efetivo do dinheiro de12,683% a.a. Assim, as taxas de 1% a.m. e 12,683 a.a. são taxas equivalentes.Fórmulas de equivalência no tempo:( 1+ id) 360 = ( 1+ im) 12 = ( 1+ it) 4 = ( 1+ is) 2 = ( 1+ia )onde: id = Taxa de juros diáriaim = Taxa de juros mensalit = Taxa de juros trimestralis = Taxa de juros semestralia = Taxa de juros anualBrandão Matemática Financeira 3.1 28

Exemplo:1) Qual a taxa mensal equivalente a taxa de 12% a.a.?(1 + im ) 12 = (1+ia) = 1 + 0.12 = 1,12(1 + im ) 12 = 1,121 + im = (1,12) (1/12)im = (1,12) (1/12) - 1im = 0,00948 ou seja 0,948 % a.m.2) Quais as taxas anual, semestral trimestral e diária equivalentes à taxa de 3% a.m.?Colocando a taxa em base decimal mensal im = 3/100 = 0.03Taxa anual (1 + im) 12 = (1 + ia)(1 + 0.03) 12 = (1 + ia) = 1,4258ia = 0.4258 = 42,58 % a.a.Taxa Semestral (1 + is) 2 = (1 + im) 12(1 + is) = (1 + im) 6is = (1 + im) 6 - 1is = (1 + 0,03) 6 - 1is = 0.1941 = 19,41 % a.s.Taxa trimestral (1 + it) = (1 + im) 3it = (1 + im) 3 - 1it = (1.03) 3 - 1it = 0.0927 = 9,27 % a.t.Taxa diária (1 + id) 30 = (1 + im)id = {Raiz (30) de (1 + im)} -1id = raiz (30) de (1,03) - 1id = 0,000986 = 0,0986 % a.d.Brandão Matemática Financeira 3.1 29

4. Equivalência de fluxos de caixaDois ou mais fluxos de caixa são ditos equivalentes a uma determinada taxa de juros,se os seus valores atuais, calculados com essa mesma taxa, forem iguais. O estudoda equivalência de fluxos de caixa se faz no regime de juros compostosConvém ressaltar que se os fluxos de caixa tiverem o mesmo valor atual a uma determinadataxa de juros, então seus montantes após n períodos, obtidos com essa mesma taxa, serãonecessariamente iguais. Assim a equivalência dos fluxos de caixa não precisaobrigatoriamente no período zero, isto é, com cálculo de valores atuais. Ela pode ser realizadaem qualquer período n, desde que o período escolhido seja o mesmo para todos os fluxos. Éimportante destacar que a equivalência de fluxos de caixa depende da taxa de juros. Assim, sedois fluxos são equivalentes a uma certa taxa, essa equivalência deixará de existir se a taxa foralterada.Exemplo:1) Analisamos quatro planos diferentes, porém equivalentes, de se financiar $1.000,00 a umataxa de 10% a.a. Verificar se esses planos são equivalentes (quando descontados à taxa de10% a.a.) pelo método do Valor Presente, VP.Ano Plano A Plano B Plano C Plano D1 100,00 315,47 350,002 100,00 315,47 325,003 100,00 315,47 300,004 1.464,10 1.100,00 315,47 275,00Solução:Plano A: VP (10%) = 1.464,10 / (1,10) 4 = 1.000,00Plano B:100 100 100 1100VP( 10%) = + + +110 , 1 110 , 2 110 , 3 110 ,4= 90,909 + 82,644 + 75,131 + 751,314 = 1.000,00Brandão Matemática Financeira 3.1 30

Plano C:315,47 315,47 315,47 315,47VP( 10%) = + + +110 ,1 110 ,2 110 ,3 110 ,4= 287,036 + 260,942 + 237,220 + 215,654 = 1.000,00Plano D:350 325 300 275VP( 10%) = + + +110 , 1 110 , 2 110 , 3 110 ,4= 318,1817 + 268,595 + 225,394 + 187,828 = 1.000,00Conclusão: Esses diversos fluxos de caixa são equivalentes, por terem o mesmo ValorPresente quando descontados a taxa de 10%.4.1 Sistemas de AmortizaçãoQuando fazemos um financiamento de um bem, seja de automóvel, ou de uma casa, ou umempréstimo para uma empresa, é preciso determinar como serão pagos os juros eamortizações devidos ao longo do tempo. Por exemplo, pode-se determinar que o principalsomente será pago ao final do prazo do empréstimo, ou ele pode ser amortizado durante a suavigência. Assim, cada parcela de pagamento pode incluir tanto os juros do período quanto aamortização do principal. Os sistemas mais utilizados são:4.1.1 Pagamento no finalO financiamento é pago de uma única vez no final. Os juros são capitalizados ao finalde cada período (mês ou ano por exemplo). Esta modalidade de pagamento é utilizadaem Papéis de renda fixa (Letras de Câmbio ou Certificados de Depósito com rendafinal) e Títulos descontados em banco comercial4.1.2 Sistema AmericanoÉ realizado o pagamento somente de juros ao final de cada período e ao final do prazodo empréstimo é pago, além dos juros do último período, também o principal integral.Esta modalidade é utilizada em papéis de renda fixa com renda paga periodicamentecomo letras de câmbio com renda mensal, certificados de depósito com renda mensal,trimestral, etc.4.1.3 Sistema PriceEsta modalidade de amortização consiste em uma série de pagamentos iguais eperiódicos, conforme já visto anteriormente A parcela periódica de pagamentosBrandão Matemática Financeira 3.1 31

compreende os juros do período mais amortização de parte do principal. Estamodalidade é utilizada em financiamentos imobiliários e crédito direto ao consumidor(automóveis, eletrodomésticos). Este também é conhecido como o sistema Francês deamortização.Cálculo:a) Cálculo do valor da prestação constante (com o uso de tabelas ou decalculadoras)b) Cálculo dos juros do período pela aplicação da taxa do contrato sobre osvalores do saldo (remanescente do principal) no inicio do período.c) Cálculo da amortização do principal pela diferença entre o valor da prestação eo valor dos juros do períodoObserva-se que os juros de cada prestação vão diminuindo com o tempo, pois oprincipal remanescente vai se tornando cada vez menor. Como o valor da prestação éconstante, a parcela de amortização de cada prestação vai aumentando ao longo dotempo.4.1.4 Sistema de Amortização Constante (SAC)O financiamento é pago em prestações decrescentes. Cada parcela compreendepagamento de juros e da amortização de parte do principal. Esta modalidade éutilizada em financiamentos imobiliários e em financiamentos à empresas, por partede entidades governamentaisCálculo:a) Cálculo da amortização do principal, que tem valor constante em todas asprestações, através da divisão do principal pelo número de prestações.b) Cálculo dos juros do período, pela aplicação da taxa do contrato sobre valordo saldo (remanescente do principal) no inicio do períodoc) Cálculo do valor da prestação pela soma da amortização do principal com osjuros do período.Em cada período, o principal remanescente decresce do valor de uma amortização. Comotodas as amortizações são iguais, esse decréscimo será uniforme, e, portanto os juros dosperíodos também serão uniformemente decrescentes ao longo do tempo4.1.5 Sistema de Amortizações Mista - SAMO principal é pago por parcelas periódicas cujos valores correspondem a média doSistema PRICE e do Sistema de Amortizações Constantes (SAC). É utilizada naliquidação de financiamentos da casa própria.Brandão Matemática Financeira 3.1 32

Exemplo:1) Suponha um financiamento de $100,00 sobre o qual incidam juros à taxa de 5% a.a. eque o prazo do empréstimo seja de cinco anos. Calcule o juros, amortização e saldodevedor a cada ano em cada um dos seguintes sistemas de amortização:Pagamento ao FinalAno 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00Juros do ano 5,00Saldo Final 105,00Pagam no Final do Ano:JurosAmortizaçãoTotalSaldo Devedor Final 100,00 105,00Sistema Americano - Amortização ao FinalAno 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00Juros do ano 5,00Saldo Final 105,00Pagam no Final do Ano:Juros (5,00)AmortizaçãoTotal (5,00)Saldo Devedor Final 100,00 100,00Sistema Price - Pagamento ConstanteAno 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00Juros do ano 5,00Saldo Final 105,00Pagam no Final do Ano:Juros (5,00)Amortização (18,10)Total (23,10)Saldo Devedor Final 100,00 81,90Brandão Matemática Financeira 3.1 33

SAC - Sistema de Amortização ConstanteAno 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00Juros do ano 5,00Saldo Final 105,00Pagam no Final do Ano:Juros (5,00)Amortização (20,00)Total (25,00)Saldo Devedor Final 100,00 80,00SAM - Sistema de Amortização MistoAno 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00Juros do ano 5,00Saldo Final 105,00Pagam no Final do Ano:Juros (5,00)Amortização (19,05)Total (24,05)Saldo Devedor Final 100,00 80,95Brandão Matemática Financeira 3.1 34

Respostas:Pagamento ao Final 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00 105,00 110,25 115,76 121,55Juros do ano 5,00 5,25 5,51 5,79 6,08Saldo Final 105,00 110,25 115,76 121,55 127,63Pagam no Final do Ano:Juros (27,63)Amortização (100,00)Total (127,63)Saldo Devedor Final 100,00 105,00 110,25 115,76 121,55 0,00Sistema Americano 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00Juros do ano 5,00 5,00 5,00 5,00 5,00Saldo Final 105,00 105,00 105,00 105,00 105,00Pagam no Final do Ano:Juros (5,00) (5,00) (5,00) (5,00) (5,00)Amortização (100,00)Total (5,00) (5,00) (5,00) (5,00) (105,00)Saldo Devedor Final 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 0,00Sistema Price 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00 81,90 62,90 42,95 22,00Juros do ano 5,00 4,10 3,15 2,15 1,10Saldo Final 105,00 86,00 66,05 45,10 23,10Pagam no Final do Ano:Juros (5,00) (4,10) (3,15) (2,15) (1,10)Amortização (18,10) (19,00) (19,95) (20,95) (22,00)Total (23,10) (23,10) (23,10) (23,10) (23,10)Saldo Devedor Final 100,00 81,90 62,90 42,95 22,00 0,00SAC 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00Juros do ano 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00Saldo Final 105,00 84,00 63,00 42,00 21,00Pagam no Final do Ano:Juros (5,00) (4,00) (3,00) (2,00) (1,00)Amortização (20,00) (20,00) (20,00) (20,00) (20,00)Total (25,00) (24,00) (23,00) (22,00) (21,00)Saldo Devedor Final 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0,00Brandão Matemática Financeira 3.1 35

SAM 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial 100,00 80,95 61,45 41,47 21,00Juros do ano 5,00 4,05 3,07 2,07 1,05Saldo Final 105,00 85,00 64,52 43,55 22,05Pagam no Final do Ano:Juros (5,00) (4,05) (3,07) (2,07) (1,05)Amortização (19,05) (19,50) (19,98) (20,47) (21,00)Total (24,05) (23,55) (23,05) (22,55) (22,05)Saldo Devedor Final 100,00 80,95 61,45 41,47 21,00 0,004.2 Exercícios: Sistemas de Amortização1) Um determinado bem pode ser adquirido por $1.000,00 à vista ou, alternativamente, por 4planos equivalentes de financiamento a taxa de 10% a.a. que apresentam os esquemas depagamentos vistos na tabela a seguir, em forma de pagamentos anuais (em $):Ano Plano A Plano B Plano C Plano D1 200,00 200,00 150,00 300,002 290,00 240,00 195,00 280,003 270,00 275,00 285,00 260,004 350,00 305,00 365,00 240,005 220,00 330,00 385,00 220,00Elabore uma tabela para cada um destes 4 planos de financiamento que permita obter odesdobramento dos pagamentos anuais em juros e amortização, à taxa de 10% ao ano, eque, ainda, forneça o saldo devedor (remanescente do principal) ao final de cada ano,antes e depois de cada pagamento.2) A firma pesqueira Peixão D’Ouro contratou você para determinar qual será o valor detodas as suas dívidas no dia 30 de janeiro de 2004, considerando que todas as prestaçõesdos seus diversos financiamentos estejam em dia nessa data. Você está em 30 de janeirode 2001 (isto é hoje, para efeitos de seus cálculos). O panorama da Peixão D’Ouro é oseguinte:a) Prédio do escritório central: Comprado em 30 de janeiro de 2001, com 20 anos deprazo para pagamento pelo sistema PRICE, com taxa de juros pré fixada de 8% aoano. Custo do prédio: $1.200.000 com 30% de entrada e o restante financiado.b) Barco de Pesca “Priscilla, Rainha do Mar” com casco cor de rosa com adornos nacor lilás degradé. A compra foi efetuada com 50% de entrada e com o restantefinanciado pelo Banco Mãos ao Alto. O barco novo custou $1.800.000 (pagos aoestaleiro), em 30 janeiro de 1999, financiado pelo sistema SAC em 10 anos comtaxa de juros pré fixada de 10% ao ano.Brandão Matemática Financeira 3.1 36

c) Terreno comprado por $400.000 junto ao Porto do Rio Seco para guarda e manuseiode cargas frigorificadas. O sistema adotado foi de pagamento de juros durante ofinanciamento com pagamento do principal apenas no final. O financiamento foi em15 anos e o negócio foi fechado em 30 de janeiro de 2000. A taxa de juros adotadafoi de 12% ao ano, fixos.3) Abaixo temos a receita para a construção de um sistema de amortização, o qual calcula ovalor das prestações período a período da seguinte forma:a) Características do Financiamento: $1.000,00, à taxa de 10% a.a.b) Cálculo da prestação: Os juros de cada ano devem ser calculados sobre o saldodevedor do inicio do ano imediatamente após o pagamento da prestação.c) A prestação de cada ano é obtida através da divisão do saldo devedor,imediatamente antes do pagamento, pelo número de prestações a pagar. Exemplo: Aprimeira prestação é igual a (1.000,00 + 100,00) / 5 = $220,00Monte um quadro deste financiamento.4) Desenvolva uma tabela de planos equivalentes de financiamentos, semelhante ao quadrona forma abaixo, de acordo com as seguintes condições:Principal financiado: $1.000Prazo do financiamento: 5 trimestresTaxa de juros: 6% ao trimestreRegime de juros: CompostosCapitalização: TrimestralOs planos a serem considerados são os seguintes:Plano A:Plano B:Plano C:Plano D:Plano E:Pagamento ao finalPagamento periódico de jurosPrestações iguais - Sistema “PRICE”Sistema de amortizações constantes - SACSistema de amortizações mistas - SAMForma do quadro:Trimestre 0 1 2 3 4 5Saldo Inicial do TrimestreJuros do TrimestreSaldo FinalPag no Final do Trimestre:JurosAmortizaçãoTotalSaldo Após PagamBrandão Matemática Financeira 3.1 37

5. Desconto bancárioDescontos bancários são operações de crédito que utilizam duplicatas e títulos. Demodo geral, uma operação de desconto visa estabelecer o valor presente pelo qualdeterminado ativo – que apresenta um valor numa data futura, o valor futuro – podeser negociado hoje.A fórmula para desconto é: VP = VF – JurosVP = VF – VF . i . nExemplo:VP = VF (1 – i . n)Uma duplicata com valor de face de $1.000,00 e prazo de vencimento de 2 meses édescontada com uma taxa de 4% ao mês. Determine o valor do desconto e o valor descontadodeste titulo.Solução:Dados valor Futuro = 1.000, o prazo de 2 meses e taxa de 4% podemos fazer:VP = VF (1 – i . n)VP = 1.000 (1 – 0,04 x 2)VP = 1.000 – 80 = 920Valor do desconto = $80,00Valor Presente do titulo descontado = $920,00Exemplo:Vamos verificar agora quanto que o agente financeiro está recebendo como taxa de retornopor fazer este desconto de duplicata do exemplo 1 (anterior).Solução:Quem está investindo $920,00 para receber em 2 meses $1.000,00, está recendo efetivamentea seguinte taxa de juros compostos:PV – 920N 2FV 1.000PMT 0I ???Brandão Matemática Financeira 3.1 38

Resposta:A taxa de retorno é 4,26% ao mês.O que você pode concluir disto?5.1 Exercícios: Desconto bancário1) Você vendeu hoje uma mercadoria a um cliente por R$ 10.000,00, com pagamentoacertado para daqui a 2 meses (60 dias). O problema é que você precisa de dinheiro hojepara fechar a folha de pagamentos de sua firma. Você decide ir ao banco Forte e descontara duplicata relativa à essa venda. Suponha que o gerente do banco Forte lhe informe que ataxa de desconto está fixada em 3% ao mês, a juros simples. Quanto você vai receber, sedescontar essa duplicata?Resp: Você vai receber R$ 9.400,00.2) Você é o cliente e foi ao banco para descontar, hoje, uma promissória no valor de face(valor escrito na promissória) de R$ 20.000,00, com vencimento para daqui a 2 meses. Obanco lhe creditou, hoje, em sua conta, R$ 18.000,00, em virtude da operação dedesconto. Qual é a taxa de desconto bancário em questão?Resp: A taxa de desconto bancário é de 5% ao mês.3) Você trabalha em uma grande fabrica de escovas. Seus clientes são muitos e você semprelhes concede prazo para que possam pagar suas contas. Supondo que você desconte umaduplicata no valor de R$15.000,00, com vencimento para daqui a 3 meses, junto a umbanco que cobre uma taxa de desconto de 2% ao mês, quanto você deve receber hoje dobanco ao realizar essa operação?Resp: Você deve receber hoje R$ 14.100,00.4) A alta administração do banco onde você trabalha determinou que as taxas para descontode promissórias ou duplicatas sejam de 9% ao mês. Você recebe seu primeiro cliente dodia e ele quer descontar uma duplicata no valor (valor de face) de R$ 13.000,00, comvencimento para daqui a 2 meses. Quanto você deve creditar hoje na conta do cliente, casodecida realizar a operação?Resp: Você deve creditar hoje R$ 10.660,00Brandão Matemática Financeira 3.1 39

6. Análise de Projetos de InvestimentoOs projetos de investimento de uma empresa podem ser representados como uma série defluxos de caixa, onde os valores negativos representam as saídas de caixa, ou osinvestimentos e custos a serem incorridos, enquanto que os valores positivosrepresentam o retorno liquido que o projeto oferece em cada período, já deduzidos todos oscustos, taxas, impostos associados ao projeto. Em termos gerais, um fluxo de caixa de projetotem a seguinte representação:0 1 2 3 ...... jCF 0 CF 1 CF 2 CF 3 ...... CF j6.1 Valor Presente LíquidoDiz-se que um projeto é economicamente viável quando os seus ganhos são maiores que oinvestimento necessário para implantá-lo. Como geralmente os ganhos de um projeto estãodistribuídos ao longo de uma série de períodos, é necessário "descontar" esses fluxos, isto é,calcular o seu Valor Presente, até o instante zero que é o momento atual onde a decisão deinvestir ou não está sendo tomada. A diferença entre o Valor Presente do fluxo de caixa doprojeto, o investimento necessário, é chamado de Valor Presente Líquido, ou VPL.Assim, podemos dizer que o VPL é a soma de todas os fluxos, positivos ou negativos, de umprojeto, descontados até o instante zero. Este VPL representa o valor do projeto, e aceita-se oprojeto caso VPL seja > 0. Isto representa uma firma trocando um ativo (caixa, dinheiro emespécie) por outro ativo (projeto) que acredita-se ter maior valor. Se isto se confirmar, osacionistas irão se beneficiar do montante da diferença. Caso VPL < 0, isto significa que o custodo projeto é maior do que os seus retornos, e ele não deve ser realizado.Em análise de projetos, a taxa de desconto a ser utilizada no fluxo é o custo de capital daempresa. Este custo de capital é a média ponderada da taxa de juros que os credores cobram daempresa, e da taxa de retorno que os acionistas esperam receber no futuro da empresa.Fórmula Geral:nFCVP = ∑ j( 1 + i )j = 1jBrandão Matemática Financeira 3.1 40

Exemplo:1) Suponha um projeto com duração de seis anos, que demande um investimento único inicialno valor de $10.000 e que forneça um fluxo de caixa, livre de taxas e impostos conformediagrama a seguir. O custo de capital para o levantamento dos $10.000 juntos aos bancos éde 10% a.a. Qual é o Valor Presente Líquido deste projeto?0 1 2 3 4 5 6CF 0CF 1CF 2CF 3CF 4CF 5CF 6(10000)200022001800280030003500CF1 CF CF CFVPL = CF ++ i+ 2360+ +⋅⋅⋅+236b1 g b1+ig b1+ig b1+igVPL = − 10000 + 2000 2200 1800 2800 3000 3500+ + + + +2 3 4 5 611 , 11 , 11 , 11 , 11 , 11 ,VPL = 739.59Isto significa que este projeto gera fluxos de caixa suficientes para “pagar” o custo do projeto àtaxa de 10% a.a. e ainda deixa um resultado líquido (VPL) de $740 para os investidores.Utilizando a HP 12c:Passo Ação Descrição1 tecleFINLimpa a memória financeira2 10000 e tecleCF 02 2000 e tecle CF jInforma que o primeiro Fluxo é $20002 2200 e tecle CF jInforma que o primeiro Fluxo é $22002 1800 e tecle CF jInforma que o primeiro Fluxo é $18003 2800 e tecle CF jInforma que o segundo Fluxo é $28004 3000 e tecle CF jInforma que o terceiro Fluxo é $30005 3500 e tecle CF jInforma que o quarto Fluxo é $35006 10 e tecle Informa que o Custo de Capital é 10% ao ano7 tecleNPVCalcula o Valor Presente: 740Brandão Matemática Financeira 3.1 41

Nota: Cálculo do Valor Presente Líquido no ExcelA planilha Excel oferece diversas funções de matemática financeira que simplificam o cálculosmatemáticos necessários. No entanto, o uso da função VPL requer alguns cuidados para que seobtenham resultados corretos. Como Excel considera que os fluxos sempre se iniciam no ano 1,o fluxo do instante zero nunca deve ser incluído na fórmula do VPL - este valor deve ser somadoa parte, fora da fórmula. Assim, a solução para o exemplo acima no Excel seria:6.2 Taxa Interna de Retorno - TIRA taxa interna de retorno é a taxa à qual o fluxo de caixa descontado de um projeto é igual aoValor de Investimento, ou seja, o Custo do projeto. Nesse caso, necessariamente o VPL de umprojeto descontado à TIR é zero. Podemos afirmar então que a TIR é o maior custo deoportunidade que um projeto pode suportar. Aceita-se um projeto se sua TIR for maior que ocusto de oportunidade. A maior vantagem da TIR é que ela dá os mesmos resultados que ométodo do VPL na maioria das vezes, mas conflita em alguns casos.Como não existe fórmula analítica para a TIR, a única maneira de achá-la é por tentativas,alterando a taxa de desconto passo a passo até obtermos VPL = 0. Para calcular a TIR doexemplo anterior, utilizamos a função IRR (TIR) da calculadora, teclando IRR e acalculadora nos dá o valor de 12,2%.6.3 Taxa Interna de Retorno ModificadaO método da TIR pressupõe que todos os fluxos de caixa positivos são reinvestidos à taxainterna de retorno do projeto. Essa premissa é válida desde que não haja uma grandediscrepância entre a taxa interna de retorno e a taxa de desconto utilizada para o projeto.Quando isso ocorre, os resultados obtidos tendem a ser menos confiáveis, e podem induzir aerros de avaliação. Além disso, o método da TIR pode levar a múltiplas taxas internas paraum mesmo projeto, caso haja mais de uma inversão de sinal no fluxo de caixa do projeto.Essas taxas múltiplas, embora matematicamente corretas, não tem significado financeirorelevante para o processo de decisão de investimento.Brandão Matemática Financeira 3.1 42

O método da Taxa interna de retorno modificada (MIRR) evita esses dois problemas. Osfluxos negativos são trazidos a valor presente, enquanto que os fluxos positivos são levados avalor futuro no último períodos do fluxo. Com os valores concentrados no instante zero e noperíodo final, o cálculo da taxa interna se torna fácil e direto. Observe que para levar os fluxospositivos para o seu valor futuro no período final, é mais fácil concentrá-los todos no instantezero, para depois projetá-lo para o instante final.a) Projetos mutuamente exclusivos com escalas de investimento muito diferentes. (Taxa deDesconto = 10%)0 1 TIR VPL(1000) 2000100% 8200 1 TIR VPL(10.000) 15.00050% 3.636b) Projetos com grandes diferenças de prazo, ou padrões de fluxo de caixa muito diferentes.(Taxa de Desconto = 10%)0 1 2 3 4 5 TIR VPL33% 3.592(9.000) 6.000 5.000 4.000 0 00 1 2 3 n TIR VPL20% 9.000(9.000) 1.800 1.800 1.800 1.800Exemplo:1) Calcule o TIR e a TIR Modificada para o seguinte fluxo de caixa. Adote uma taxa dedesconto de 14%:0 1 2 3 4 TIR VPL21.86% 6.619(40.000) 16.000 16.000 16.000 16.000VP (14%) Entradas = 46.619,40VF (14%) Entradas = 78.738,30VP(14%) Saídas = (40.000)Fluxo final:0 1 2 3 4 TIRM18.45%(40.000) 78.738Brandão Matemática Financeira 3.1 43

6.4 Exercícios:1) Um projeto de investimento apresenta o seguinte fluxo de caixa:0 1 2(4.000) 2.000 4.000a) Determine o seu VPL, considerando uma taxa de desconto de 10%.b) Determine o seu VPL para taxas de desconto variando entre 0% e 90%.Taxa Desc VPLTaxa Desc VPL0 5010 6020 7030 8040 90c) Trace o gráfico da curva VPL x Taxa de DescontoVPL20001500100050000%-50010% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%-1000-1500-2000Taxa Descd) Identifique a Taxa Interna de Retorno desse projeto.Brandão Matemática Financeira 3.1 44

2) O gerente da VJC Produções Artísticas está analisando a proposta de lançamento do discode um novo artista de música tecno-cool-metal. Ele sabe que o lançamento de um discorequer um grande investimento inicial em promoção e marketing, e que essa moda demúsica tecno-cool-metal deve durar 5 anos somente (felizmente). O fluxo de caixa desteprojeto está apresentado abaixo. Considerando que os acionistas da VJC esperam receberum retorno de 15% no seu investimento na empresa, calcule o VPL, a Taxa Interna deRetorno (TIR). Deve o gerente investir neste projeto?0 1 2 3 4 5(6.500) 1.800 2.300 3.200 1.000 3.500Resp: VPL(15%) = 1220,27, TIR = 22,2%3) Para uma determinada obra pública há a alternativa de se adotar um encanamento de20cm ou 30cm. O encanamento de 20cm tem um custo inicial de $45.000 e o custo anualde bombeamento é estimado em $10.000. O encanamento de 30cm tem um custo inicialde $80.000 e um custo anual de bombeamento de $7.000. O serviço de tal equipamentoserá utilizado por 20 anos; nenhum valor residual é esperado para ambos os tipos ao finaldesse período. Considerando uma taxa de desconto de 10% a.a., qual encanamento deveser utilizado? Resp: 20cm:VPL(10%) = 130.135, 30cm:VPL(10%) = 139.5944) Uma propriedade que contém lojas e escritório está à venda por $6.000. Estima-se quedurante um período de 20 anos a renda proveniente dos aluguéis das lojas e escritórioatingirá por ano $890, e que as despesas com impostos, manutenção, condomínio, etc,atingirão por ano $380. Estima-se ainda que ao final dos 20 anos, a propriedade poderáser vendida por $4.500. Considerando uma taxa de desconto de 10% a.a., decida se vale apena esse investimento. Informe também qual é o retorno que poderia obter com onegócio. Resp: VPL(10%) = (989.19), TIR = 7.95%5) Para os dois projetos mutuamente exclusivos abaixo, calcule o VPL e a TIR, adotando-seuma taxa de desconto de 10%. Como você explica a discrepância observada nosresultados obtidos pelos dois métodos?A)0 1 2 3 4(24.000) 10.000 10.000 10.000 10.000B)0 1 2 3 4(24.000) 0 5.000 10.000 33.000Resp: A: VPL = 7.698,7, TIR = 24,1%B: VPL = 10.184,8, TIR = 21,7%Brandão Matemática Financeira 3.1 45

6) A Globaltec S.A está decidindo que tipo de empilhadeiras a serão adotadas para amovimentação de carga nos seus armazéns para substituir as suas velhas empilhadeiras adiesel. Existem duas alternativas: empilhadeiras elétricas e a gás, e como ambas realizamas mesmas funções, a empresa irá escolher apenas um tipo. As empilhadeiras elétricas sãomais caras, porém tem um custo de manutenção e operação menor: o seu preço unitário éde $23.000, enquanto empilhadeiras a gás custam $17.000 cada. O custo de capital daempresa é de 12%, e a vida útil estimada de ambos os tipos de empilhadeira é de 6 anos.A economia líquida gerada pela empilhadeira elétrica representa um benefício anual defluxo de caixa de $7.000, e a da empilhadeira a gás é de $5.400 anuais, já consideradas asdespesas de depreciação. Qual é o VPL, a TIR e a TIRM de cada alternativa? Qualmodelo deve a empresa escolher?Resp: Elétrica: VPL(12%) = 5.779,85, TIR = 20,5%, TIRM = 16,3%Gás: VPL(12%) = 5.201,60, TIR = 22,2%, TIRM = 17,1%7) O estudo de viabilidade econômica de um projeto de privatização de uma estatal conduziuaos seguintes fluxos de caixas. Calcule o VPL e a rentabilidade do projeto. (Valores em R$milhões). Considere uma taxa de desconto de 10% a.a.Ano Pagamentos(investimento)Recebimentos(retorno)0 5.0001 800 3.0002 1.000 2.4003 2.200 1.8004 1.400 3.0005 1.600 4.000Resp: VPL= 439.53; TIR = 13,4%8) Você pretende investir na firma Celadar que deve pagar três fluxos de caixa $1.100,00em t=1, $1.500,00 em t=2 e $2.500,00 em t=3. Após o terceiro período a firma não pagamais nenhum fluxo de caixa, não vale nada e nem tem valor terminal. A taxa de descontoapropriada para descontar os fluxos de caixa é 20% ao ano. A firma Celadar está a vendapor $3.000. Qual é o VPL e a TIR para o investidor que comprar a Celadar? Vocêcompraria esta empresa?Resp: VPL(20%) = $405,09, TIR = 27,33%. Sim.9) A firma NOVASTAR está à venda por $8.200.000. Os fluxos de caixa líquidos apóstaxas e impostos que a firma promete pagar aos seus proprietários no futuro é de$1.400.000 por anos pelos próximos 20 anos de sua vida útil. Considerando que a taxa dedesconto para esta firma seja 10% ao ano, qual é o VPL desta operação de venda selevada a cabo pelos valores mencionados acima? Você investiria nesse projeto?Resp: $3.718.989,21. Sim.10) Você tem um projeto de investir na firma Unicom Ltda. que deve pagar três fluxos decaixa $1.100 em t=1, $1.200 em t=2 e $1.300 em t=3. Após o terceiro período (ano) afirma não paga mais nenhum fluxo de caixa, não vale nada e nem tem valor terminal. AUnicom está à venda por $3.000. Qual é o VPL e a TIR da deste investimento? Supondoque o custo do capital para financiar o projeto seja 12% ao ano vale a pena investir noprojeto?Resp: VPL (12%) = ($135,91), TIR = 9,42%. Não.Brandão Matemática Financeira 3.1 46

11) Qual é o Valor Presente de um projeto que paga 4 fluxos de caixa iguais no valor de $850em t=1, t=2, t=3 e t=4 respectivamente. Considere que a taxa apropriada para desconto éde 8% por período de tempo. Resp: $2.815,3112) Qual é o VPL e a TIR de um projeto que custa $2.350 e paga 4 fluxos de caixa iguais de$850 em t=1, t=2, t=3 e t=4 respectivamente. Considere que a taxa apropriada paradesconto é de 8% por período de tempo. Resp: VPL = $465,31, TIR = 16,605%13) Qual é a TIR do projeto QUASAR? O projeto Quasar promete pagar $4.500 em t=1,$5.400 em t=2 e $3.200 em t=3. O custo de implementação do projeto Quasar é $6.000Resp: TIR = 55,15814) Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa de 2% a.m., no regime de juroscompostos, a partir de um principal igual a $1.000.000? Resp: $1.428.246,2615) Um cidadão investiu $10.000 nesta data, para receber $14.257,60 daqui a um ano. Qual ataxa de rentabilidade mensal de seu investimento?Resp: 3.00% ao mês16) Um lojista coloca na vitrine um fogão de 6 bocas com o seguinte cartaz:Pechincha: $420,00. Em apoio ao novo plano econômico do governovendemos sem juros! Só hoje! Pague em 3 parcelas iguais (0, 30 e 60dias) sem juros ou à vista com 30% de desconto!A loja está fazendo propaganda enganosa ou não? Porque?Resp: Sim, porque o lojista está cobrando juros apesar de afirmaro contrário. A taxa de juros cobrada é 51,08% ao mês.17) Uma empresa contraiu um empréstimo no regime de juros compostos, a taxa de 3,5%a.m. para ser liquidado em dois pagamentos. O primeiro pagamento será de $500.000 edeverá ocorrer no final do quinto mês. O segundo pagamento será de $1.000.000 e deveráocorrer no final do décimo segundo. Esse empréstimo poderia, entretanto, ser liquidadocom um único pagamento de $2.154.483,45. Determinar em que mês este pagamentodeveria ser realizado para que a taxa de 3,5% a.m. fosse mantida. Resp: n = 2018) O Banco de Comércio Internacional empresta dinheiro à “2,5% ao mês” ou seja nalinguagem bancária “7,5% ao trimestre” juros simples, entretanto, exige que os jurossejam pagos por ocasião da liberação do empréstimo, Assim assina-se uma notapromissória de $4.000 com vencimento dentro de 3 meses, e o banco libera ao financiadoapenas $3.700 pois os $300 de juros são descontados no ato ($4.000 x 0,075 = $300).Qual a taxa mensal efetiva cobrada nessa operação, a juros compostos? Qual seria a taxamensal efetiva cobrada caso o pagamento dos juros ($300) fosse no vencimento dapromissória? Isto é, o banco liberaria $4.000 e no final do trimestre você pagaria $4.000mais $300. Resp: 2.63 % e 2,44 %.19) Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, a juros compostos de 1,8% a.m., deforma que possa retirar $ 250.000 ao final do 3o. mês e $ 170.000 ao final do 14o. mês.Qual o menor valor da aplicação que permitiria essas retiradas? Resp: $369.399,8720) Considere a seguinte operação de crédito:Brandão Matemática Financeira 3.1 47

• Valor do empréstimo: $ 100.000.000• Taxa de Juros: 20% a.a., devidos no final• Prazo: 30 meses• Comissão de Crédito: 5% sobre o valor do empréstimo, na liberação• Calcule a efetiva taxa de juros anual da operação.Dica: Mantenha a taxa anual (20% ao ano) e use o período como sendo 2,5. Se vocêtrabalha com uma HP 12C, tecle STO EEX para colocar a máquina na posição decalcular período fracionário com juros compostos. A máquina indica esta posiçãomostrando no visor um pequeno “c” no lado direito.Resp: = 22,4875 % ao ano21) A aplicação em um fundo de renda fixa aumenta sua aplicação em 50% ao fim de 5meses. Qual é a taxa de juros que esta aplicação paga mensalmente?Resp: i = 8,45% ao mês22) Considere que a taxa de juros para financiamento ao consumidor está girando em tornode 3% ao mês. Esta é a taxa cobrada pelo seu cartão de crédito para o financiamento desuas despesas. Você quer fazer o seguro de seu automóvel importado. O corretor deseguros lhe oferece um seguro que pode ter o prêmio pago à vista no valor de $12.000(dinheiro, cheque ou cartão de crédito) ou então pode ser pago em 4 parcelas (1+ 3mensais) iguais no valor de $3.130. Se você decidir fazer o seguro qual será sua forma depagamento caso não tenha condições de pagar à vista? Isto é você pagará com cartão oupelo financiamento direto da seguradora? Resp: Deve escolher o plano da seguradora.23) Você quer poupar para suas férias de fim de ano. Pretende gastar US$ 5.000 por mêsdurante 2 meses em Orlando – Florida. Faltam 12 meses para suas férias. Você hoje nãotem nada na poupança. A caderneta de poupança com clausula de correção cambial quevocê tem, paga 1% ao mês. Quantos dólares você deverá poupar cada mês até o dia daviagem para realizar seu sonho? Dica: Considere que você faz todos os seus gastos comcartão de crédito e que todo mês você quita suas dívidas com o cartão de crédito.Considere que seu cartão vence no dia 30 de cada mês.Resp: Deve colocar na poupança o equivalente a US$ 776,82 todo mês.24) Você quer construir um prédio com 10 andares com 6 apartamentos por andar. O preçode venda de cada apartamento à vista (quando pronto) é de $60.000. A obra demora umano desde o início até estar completamente acabada. Você poderá vender apartamentosna planta dando ao comprador um desconto de 20% sobre o preço à vista. Os custosprevistos são de $1.500.000 para a construção e de $1.000.000 para o terreno. Assumaque todos os custos devem ser pagos hoje (à vista). Você e seus sócios dispõem de umtotal de $500.000. Os bancos podem lhe emprestar até um máximo de $800.000 cobrandouma taxa de juros de 30% ao ano.a) Assuma que você tomar o valor máximo do empréstimo. Esse projeto éinteressante para você e seus sócios?b) Existe alternativa de financiamento que seja mais interessante para você?c) Quanto vai ser a taxa de retorno sobre o capital próprio ? (capital próprio é o dossócios)Brandão Matemática Financeira 3.1 48

7. Material Complementar1) Uma distribuidora está oferecendo uma taxa de 2% a.m. nos seguintes papéis de sua carteira:Prazo de resgateValor do resgate3 meses $1.0006 meses $2.0009 meses $3.000Um determinado investidor deseja investir nos três papéis (um de cada) nas condiçõesoferecidas. Qual o valor do cheque e que ele deverá fazer para a corretora para fechar aoperação? Não considere taxas, nem comissões e nem impostos. Resp: $5228,542) Em 30/03/XX uma empresa deseja liquidar uma nota promissória de $100.000 vencida há12 meses, e ainda antecipar a liquidação de uma nota promissória de $500.000, que tem21 meses a decorrer até o seu vencimento. Calcular o valor do pagamento a ser feito nessadata, para liquidar as duas notas promissórias, levando-se em consideração uma taxa dejuros compostos de 2% ao mês, e admitindo que todos os meses tem 30 dias. Nãoconsiderar a existência de multa sobre a nota vencida, nem descontos excepcionais sobre aantecipação do pagamento das notas não vencidas. Resp: $456.712,083) Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, a juros compostos de 2% a.m., deforma que possa retirar $10.000 no final do sexto mês e $20.000 no final do décimosegundomês. Qual o menor valor da aplicação que permite a retirada desses valores nosmeses indicados? Resp: $24.649.584) No exercício anterior, caso a segunda retirada, a de $20.000, fosse no final do trigésimomês, qual o menor valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos mesesindicados? Resp: $19.921,135) Determinar o valor atual do seguinte fluxo de caixa, para uma taxa de juros compostos de 3%a.m.:Mês 0 = + 10.000 Mês 1 = - 2.000Mês 2 = + 1.000 Mês 3 = - 5.000Mês 4 = - 6.000 Mês 5 = - 8.000Mês 6 = + 2.000 Resp: - $6.131,676) Uma empresa tem uma dívida com um banco de investimentos que deverá ser liquidada emdois pagamentos, sendo o primeiro de $150.000 no final do décimo segundo mês e osegundo de $250.000 no final do décimo oitavo mês. Sabendo-se que nesses dois valores jáforam computados juros compostos a uma taxa de 2% a.m., determinar :Brandão Matemática Financeira 3.1 49

a) O valor que deve ser pago ao banco para a quitação imediata da dívidab) Os valores de dois pagamentos iguais, no final do nono e do décimo oitavo meses quepoderiam ser aceitos pelo banco como uma reformulação da dívida, à mesma taxa dejuros.Resp: a) Imediata $293.313,82 b) 190.845,887) Uma empresa contraiu um empréstimo no regime de juros compostos, à taxa de 2,5% a.m.para ser liquidado em dois pagamentos. O primeiro pagamento será de $400.000 e deveráocorrer no final do sexto mês. O segundo pagamento será de $800.000 e deverá ocorrer nofinal do décimo mês. Esse empréstimo poderia, entretanto, ser liquidado com um únicopagamento de $1.404.677,20. Determinar em que mês deveria ser efetuado essepagamento, para que a taxa de 2,5% ao mês fosse observada. Resp: mês 158) Um banco de investimentos deseja realizar um empréstimo para uma determinada empresa,que deverá liquidá-lo no final do nono mês pelo valor de $1.304.773,18. Determinar o valorque deve ser abatido no ato da contratação, uma vez que a empresa deseja limitar essepagamento final em $1.200.000, sabendo-se que o banco opera no regime de juroscompostos, à taxa de 3% a.m. Resp: $80.299,919) Suponha que uma debênture lançada em 31/Janeiro/1983, com valor de face de $1.000,pagando 15% a.a. (coupon com vencimento todo 30/Janeiro, último dia do ano deaplicação), e com um prazo de maturidade para 15 anos, ou seja, 30/Janeiro/1998.Suponha que a época do lançamento, as taxas para papéis de risco semelhante eram 15%a.a. Essa debênture paga portanto $150 a.a. e $1.150 no final do décimo quinto ano. Agoravocê está em 31/Janeiro/1994, e as taxas de mercado para papéis com risco equivalenteestão fixadas em 9% a.a. A que valor esta debênture deverá estar sendo negociada hoje nomercado? Resp: $1.194,3810) Certa pessoa obteve um empréstimo de $ 100.000, taxa de juros simples de 42% a.a..Algum tempo depois, tendo encontrado quem lhe emprestasse $ 150.000 à taxa de jurossimples de 36% a.a., liquidou a dívida inicial (não obrigatoriamente no valor do novoempréstimo) e, na mesma data, contraiu o novo débito (no valor de $150.000). Dezoitomeses após o primeiro empréstimo, saldou sua obrigação e verificou ter pago um total,sobre os dois planos, de $ 72.000 de juros. Determinar os prazos do primeiro e segundoempréstimos. Resp: N1 = 10, N2 = 811) Dois capitais foram colocados a juros simples. O primeiro à taxa de 20% a.a. e o segundoà taxa de 40% a.a.. Calcule os capitais, sabendo que a soma deles é $500.000 e que elesproduziram, num ano, juros totais de $130.000. Resp: C1 = $350.000 e C2 = $150.000Brandão Matemática Financeira 3.1 50