Cálculo Matricial

iguala a entrada (i,j) de AB + AC. Ora, supondo que A tem p colunas, e portanto que B eC têm p linhas,p∑(A(B + C)) ij = (A) ik ((B) kj + (C) kj )==k=1p∑((A) ik (B) kj + (A) ik (C) kj )k=1p∑(A) ik (B) kj +k=1p∑(A) ik (C) kjk=1= (AB) ij + (AC)ij = (AB + AC) ij .Verifiquemos também a propriedade (3). Note-se que (I) i = 1 e (I) ij = 0 se i ≠ j. Ora(AI) ij = ∑ pk=1 (A) ik(I) kj = (A) ij .É[importante ][ notar ] que[o produto ][ matricial ] não é, em geral, comutativo. Por exemplo,≠. A lei do anulamento do produto também1 0 0 1 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 0[ ][ ]1 0 0 0não é válida, em geral, no produto matricial. Por exemplo,= 0, sem0 0 0 1que um dos factores seja nulo. Ou seja, AB = 0 (A = 0 ou B = 0). De uma forma[1 00 0] [2 21 1mais geral, (AB = AC e A ≠ 0) (B = C), já que, por exemplo,=[ ][ ]1 0 2 2.0 0 −1 3Como é fácil de observar, a soma de duas matrizes triangulares inferiores [resp. triangularessuperiores] é de novo triangular inferior [resp. triangular superior]. O que se pode dizerem relação ao produto?Teorema 2.1. O produto de matrizes triangulares inferiores [resp. triangulares superiores]é de novo uma matriz triangular inferior [resp. triangular superior].Demonstração. Sejam A,B duas matrizes triangulares inferiores de tipo apropriado. Ou seja,(A) ij ,(B) ij = 0, para i < j. Pretende-se mostrar que, para i < j se tem (AB) ij = 0. Ora, parai < j, e supondo que A tem p colunas, (AB) ij = ∑ pk=1 (A) ik(B) kj = ∑ ik=1 (A) ik(B) kj = 0.]Por vezes é conveniente considerar-se o produto matricial por blocos. Para tal, considereas matrizes A e B divididas em submatrizes[ ] [ ]A 11 A 12 B 11 B 12A = ,B =A 21 A 22 B 21 B 22de forma conforme as operações descritas de seguida estejam definidas, então[]A 11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22AB =.A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 229