Cálculo Matricial

1. A soma entre matrizes A + B é a matriz m × n cujo elemento (i,j) é a ij + b ij . Ou seja,(A + B) ij = (A) ij + (B) ij .2. O produto de uma matriz com um escalar αA é a matriz m × n cujo elemento (i,j) éα a ij . Ou seja, (αA) ij = α(A) ij .Repare que a soma de duas matrizes, da mesma ordem, é feita elemento a elemento, e oproduto escalar de uma matriz por α ∈ K é de novo uma matriz da mesma ordem da dada,onde cada entrada surge multiplicada por α. Ou seja,⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤a 11 a 12 ... a 1m b 11 b 12 ... b 1m a 11 + b 11 a 12 + b 12 ... a 1m + b 1ma 21 a 22 ... a 2m⎢⎥⎣ .. ⎦ + b 21 b 22 ... b 2m⎢⎥⎣ . . ⎦ = a 21 + b 21 a 22 + b 22 ... a 2m + b 2m⎢⎥⎣ .. ⎦a n1 a n2 ... a nm b n1 b n2 ... b nm a n1 + b n1 a n2 + b n2 ... a nm + b nmePor exemplo, [e⎡⎤ ⎡a 11 a 12 ... a 1maα21 a 22 ... a 2m⎢⎥⎣ .. ⎦ = ⎢⎣a n1 a n2 ... a nm1 23 45][+[1 23 45 67 8]=][⎤αa 11 αa 12 ... αa 1mαa 21 αa 22 ... αa 2m⎥..αa n1 αa n2 ... αa nm=[1 + 5 2 + 63 + 7 4 + 85 · 1 5 · 25 · 3 5 · 4Como é fácil de compreender, a soma e o produto escalar são comutativos.De ora em diante, 0 representa uma qualquer matriz cujos elementos são nulos, e seA = [a ij ] então −A = [−a ij ].Estas operações satisfazem as propriedades que de seguida se descrevem, onde A,B,C ∈M m×n (K) e α,β ∈ K:1. A soma de matrizes é associativa: (A + B) + C = A + (B + C).2. A soma de matrizes é comutativa: A + B = B + A3. A matriz nula é o elemento neutro da adição: A + 0 = 0 + A.4. Existe o simétrico de cada matriz A + (−A) = (−A) + A = 0.5. α(A + B) = αA + αB.6. (α + β)A = αA + βA.7. (αβ)A = α(βA).8. 1 · A = A.].]⎦ .7