Cálculo Matricial

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1. O complemento algébrico de a ij , ou cofactor de a ij , denotado por A ij , está definido porA ij = (−1) i+j |A(i|j)|2. A matriz adjunta é a transposta da matriz dos complementos algébricosAdj(A) = [A ij ] T .Teorema 4.13 (Teorema de Laplace). Para A = [a ij ], n × n, n > 1, então, e para k =1,... ,n,|A| ==n∑a kj A kjj=1n∑a jk A jkj=1Para finalizar, apresentamos um método de cálculo da inversa de uma matriz não singular.Teorema 4.14. Se A é invertível entãoA −1 = Adj(A) .|A|OctaveVamos agora apresentar uma pequena função que tem como entrada uma matriz quadrada e comosaída sua matriz adjunta.function ADJ=adjunta(A)% sintaxe: adjunta(A)% onde A e’ uma matriz quadrada% use-a por sua propria conta e risco% copyleft ;-) Pedro Patricion=size(A)(1,1); % n e’ o numero de linhas da matrizADJ= zeros (n); % inicializacao da matriz ADJfor i=1:n % i denota a linhafor j=1:n % j denota a colunasubmatriz=A([1:i-1 i+1:n],[1:j-1 j+1:n]); % submatriz e’ asubmatriz de A a que se lhe retirou a linha i e a coluna jcofactor=(-1)^(i+j)* det(submatriz); % calculo do cofactorADJ(j,i)=cofactor; % ADJ é a transposta da matriz dos40
cofactores; repare que a entrada (j,i) e’ o cofactor (i,j) de Aend; % fim do ciclo for em jend % fim do ciclo for em iGrave a função, usando um editor de texto, na directoria de leitura do Octave. No Octave, vamoscriar uma matriz 4 × 4:> B=fix(10*rand(4,4)-5)B =0 -2 3 -2-2 3 1 -1-3 0 4 3-4 4 0 4> adjunta(B)ans =76.0000 -36.0000 -48.0000 65.000048.0000 -32.0000 -28.0000 37.000036.0000 -24.0000 -32.0000 36.000028.0000 -4.0000 -20.0000 17.0000Pelo teorema, como B −1 = Adj(B)|B|segue que B Adj(B) = |B|I 4 .> B*adjunta(B)ans =-44.00000 -0.00000 0.00000 0.000000.00000 -44.00000 -0.00000 0.000000.00000 -0.00000 -44.00000 0.000000.00000 -0.00000 0.00000 -44.0000041
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